分组与分配问题
组合知识点及题型归纳总结
组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型1 单纯组合应用问题 思路提示把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504815=C C （种）.（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有165311=C （种）.（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有8253112241112=+C C C C （种）.解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）.（4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：9665848153825=++C C C C C 种.（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名，故44173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有412C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.解法二：分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有47C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -⋅种，故共有412C +()47411C C -=790种.变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.A.84B.98C.112D.140变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D.142 变式3 若A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.A.15B.16C.82D.52例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =⋂是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302325=C C 个，故选A.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助. 变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.A.30B.60C.120D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.题型2 分选问题和选排问题 思路提示两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.A 选1m ，B 选2m ，共有2211m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有2160442624=A C C 种方法.（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：20944410=-C C . （3）减法：20944410=-C C .（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944446410=--C C C .（5）从10-3=7人中选3人，3537=C .评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？ 变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150B.180C.300D.345 例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，⋯这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有545=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种. A.10 B.15 C.20 D.30 解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有6213=C 种；当比赛5场结束时，有12224=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）.变式2 已知集合{}{}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.题型3 平均分组和分配问题 思路提示分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. ①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以mm A .分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：逐方向分配即可，共有分配数：m mnn n n n m n n m n m C C C C N ⋯=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有34种投法. ④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题.⎪⎩⎪⎨⎧≤∈∈⋯=+⋯++nm N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,**2121，共有11--m n C 组不同的解. 例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本. 解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有24C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有26C 24C 22C =90种.解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22222266A A A A 种分法.解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有33222426A C C C 种，再分配3个人的方法有33A种。
分组与隔板法
组合问题中分组问题和分配问题.（1）非均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为1m nCA =21m m -n C …k m )m ...m (m -n 1-k 21C +++例1：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为25205538210=C C C 若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为126003729110=C C C .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为rr A A /（其中A 为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K 组均匀分组应再除以kk A .例2：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为1575/224448210=A C C C .若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为44222224262819110/A A C C C C C C ⋅（3）非均匀编号分组: n 个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为m mA A ⋅例3：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：335538210A C C C ⋅⋅⋅种.若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有334538210A C C C ⋅种（4）均匀编号分组：n 个不同元素分成m 组，其中r 组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为）（rr A A A /mm ⋅. 例4：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为33224448210A A C C C ⋅练习题：1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（544213842/C C C A ）2.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 （1260）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______（22224262/90C C A A ）作业1：(1) 今有10件不同奖品,从中选6件分给三份，一份一件,一份二件和一份三件,有多少种分法?（2）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?(4) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?(5) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,一份4件，另外2份各一件, 有多少种分法?（6）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三个人,一个人4件，另外2个人各一件, 有多少种分法?（7）今有10件不同奖品, 从中选6件分成三个人,每人2件, 有多少种分法? 作业2：（1）10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？ （2） 25x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数隔板法隔板法又叫隔墙法，插板法，n 件相同物品（n 个名额）分给m个人，名额分配，相同物品分配常用此法。
高中数学选修2-3计数原理——排列组合中的分组分配问题(学案)
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题【例题1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。
三、基本的分配的问题(一)定向分配问题【例题1】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题【例题2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.结论 2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
【例题3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？四、分配问题的变形问题【例题1】四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？【例题2】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有多少种？【例题3】设集合A={1，2，3，4}，B={6，7，8}，A为定义域，B为值域，则从集合A到集合B的不同的函数有多少个？总之，掌握上述两个结论，就能顺利解决任何分配问题。
分组与分配问题(整理他人所得)
分组与分配问题（整理他人所得）一、分组与分配的概念将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有完全均分、全非均分和部分均分三种情况。
将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题。
分配问题有分为定向分配和不定向分配两种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
二、分组问题例1、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组2本（均分三堆）；(2)一组1本，一组2本，一组3本；(3)一组4本，另外两组各1本；分析：(1) 每组2本（均分三堆）；分组与顺序无关，是组合问题。
可分三步，应是222642C C C ⨯⨯种方法，但是这里出现了重复。
不妨把6本不同的书标记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF ，记这种分法为（AB ，CD ，EF ），那么222642C C C ⨯⨯种分法中包含着（AB ，EF ，CD ），（CD ，AB ，EF ），（CD ，EF ，AB ），（EF ，CD ，AB ），（EF ，AB ，CD ），共33A 种情况，而这33A 种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，应该除序，所以正确的分组数是：22264233C C C A ⨯⨯=15(种)。
(2) 一组1本，一组2本，一组3本；分组方法是123653C C C ⨯⨯，还要不要除以33A 呢？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有123653C C C ⨯⨯=60(种) 分法。
或231641C C C ⨯⨯或312632C C C ⨯⨯或321631C C C ⨯⨯或213643C C C ⨯⨯(3) 一组4本，另外两组各1本；分组方法是411621C C C ⨯⨯，有没有重复的分法？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
排列组合中的分组、分配问题的有效解法
图6
2= 4.
（2）由旋转体的定义可知，阴影部分绕直线 BC 旋
转一周形成的几何体为圆柱中挖掉一个半球和一个圆
锥 . 该圆柱的底面半径 R=BA=2，母线长 l=AD=2，故该圆
柱的体积 V1=π × 22 × 2 = 8π，半球的半径为 1，其体积
个不同对象，称为分配问题 . 包括定向分配和不定向分
配两类 . 其关键词：
不同元素、不同对象、条件、分配 .
2 分组 . 把 n 个不同元素按照确定的条件分成 m 组
（或 m 堆），称为分组问题，包括平均分组、非平均分组和
混合分组三类 . 其关键词：
不同元素、条件、分组 .
从以上概念的关键词足以看出，分配与分组联系紧
平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
点评：立体几何证明题，是历年高考必考题型，难度
不大，命题者一般不会在试题的难度上下“猛药”，而是
处处考查考生的转化思想，如要证线垂直于线，常常通
过线面垂直转化，要证线平行于面，常常通过线面平行
或面面平行转化 .
转化，是数学解题的主旋律，尤其是对于立体几何
来说更是如此 . 只要掌握Fra bibliotek转化的方法与技巧，那么立
1 4
2π
V2= × π ×13 =
；圆锥的底面半径为 2，高为 1，其体
2 3
3
1
4
积 V3= π × 22 × 1= π，所以阴影部分绕直线 BC 旋转一
3
3
周形成的几何体的体积 V=V1-V2-V3=6π.
点评：割补法适用于求不规则几何体的体积，就是
排列组合中的分组分配问题完整
五非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法？
C61C52C33
非均分组有分配对象要把组数当作元素个数 再作排列。
五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
A
3 3
C
2 10
C
2 8
C
2 6
C
4 4
3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条 件，各有多少种不同的分法？
（1）每人各得两本； （2）甲得一本，乙得两本，丙得三本； （3）一人一本，一人两本，一人三本； （4）甲得四本，乙得一本，丙得一本； （5）一人四本，另两人各一本·
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同得对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
C61C52C33 A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
分组分配问题的教学探究与反思
分组分配问题的教学探究与反思摘要:本文就分组分配问题的常规教学作了深刻的探究，透过一系列的变式练习让学生理清各种分组与分配问题的本质，并对教学中每一环节的设计作了深刻的反思.关键词:非平均分组,完全平均分组,部分平均分组,定向分配,不定向分配分组与分配问题是排列组合中的难点问题，在历年的教学中发现，不少学生对这一模块的知识点比较含糊，似懂非懂，思维比较凌乱.鉴于此，我对这一节课的授课形式作了多次的尝试，最后整理出学生理解比较透彻的一个教学思路，现分享如下：一、分组问题：分组主要有非平均分组、完全平均分组、部分平均分组，编排三个简单的问题，引导学生先把分组情况用列举法一一列出，在列举的过程中体会各种分组的区别，理解列出式子的意义：例题1：把4张不同的邮票分成两份，其中一份1张，一份2张，共有多少种不同的分法？分析：设4张邮票编号分别为，列举如下：共有4种不同的分法；列式：反思：这个属非平均分组问题，式子不涉及到重复计数，因而不需去序,该题的编排旨在让学生理解组合数的简单应用.例题2：把4张不同的邮票分成两份，每份2张，共有多少种不同的分法？分析：在学生用组合数式子列完例题1接着做例题2时，很容易直接算出：的结果，这时引导学生尝试用列举法列出来看看结果是否正确.设问：这道题的列式跟例1思路如出一辙，结果怎会出错呢？通过列举，学生不难发现，列出的6种结果两两重复，所以实际上只有3种不同的分法，准确列式应为： .反思：这个属完全平均分组问题，式子中每种分法重复计数了两次，因此要除以去重，该题的编排旨在让学生通过列举，对组合数中的每种分法为什么重复、哪里重复、重复了多少有一个比较深刻的理解.例题3：把4张不同的邮票分成3份，其中一份2张，另两份各1张，共有多少种不同的分法？分析：有了例2的引导，学生做该题时小心了很多，开始不少同学直接列式子：但是当他们列完，马上懂得去考虑是否有重复计数的问题，很快就，有学生看到重复计数了两次，所以实际只有6种不同的分法，于是学生自己整理出式子： .反思：该题属部分平均分组问题，该题的编排旨在让学生分清完全平均分组与部分平均分组的区别，理解该怎么排除重复计数.二、分组讨论在这个环节，学生想到了很多挺有趣的问题，这里罗列一二：问题一：把7张不同的邮票分成4份，其中一份1张，其余3份各2张，共有多少种不同的分法？有了前面知识点的铺垫，学生变醒目了很多，通过讨论，先选：，但由于后3份都是2张，该式子中还要去重，所以最后的不同分法只有：.问题二：把11张不同的邮票分成5份，其中一份1张，有两份各2张，另外两份各3张，共有多少种不同的分法？在学生提出这个问题时，我惊喜了好一会，这也是一个很典型的分组问题，有两份是平均分组的，引导学生思考：式子有多少是重复计数的？学生不难想到两份2张的重复计数了次，两份3张的也重复计数了次，所以该题最后的不同分法有： .反思：该环节的设置旨在激发学生的思维，发挥学生的奇思妙想，进一步探究不同的分组问题，从而更深一步理解去重问题.三、理论升华：思考：以上问题都是在研究如果分组的问题，由此可得出什么结论？结论1：非平均分组问题不涉及到重复计数，只需用组合数选好即可；结论2：平均分组问题要去重，平均分为组，重复计数次，用组合数选好后要除以；结论3：部分平均分组问题，对于平均部分要去重.反思：该环节的设置由例题升华为理论，让学生对于分组问题有一个系统的掌握，进而推广到一般性的分组问题中去.四、分配问题分配问题属于排列问题，一般分为定向分配和不定向分配，我引导学生做分配问题的原则是：先分组，后分配.例题4：有7名消防员到A、B、C三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名消防员，B、C两个社区各2名消防员，则不同的分配方法有.分析：可先从7名消防员中选3人到A社区，再从剩下的4名消防员中选出2人到B社区，剩下的2名消防员去C社区，所以不同的分配方法有种.反思：该题为定向分配问题，题意已指定A社区3人，其余两个社区各2人，利用组合数选好即已经完成分配任务，不需要再重新排序，该题的设置旨在引导学生如何利用组合数处理定向分配问题.例题5：（例题4的改编）有7名消防员到A、B、C三个社区参加抗洪救灾工作，每个社区至少2名消防员，则不同的分配方法有种.分析：完成该题的分配任务分两步：第一步：把7名消防员分为3+2+2的3组，则有：种分法；第二步：把分好的3组分配给3个社区，有种分法；所以不同的分配方法有种.反思：该题为不定向分配问题，与例4不一样的是分好的3个组没有指定到哪个社区，故而要乘以进行排序分配.学生在做这题的时候思维会有一点凌乱，有学生列成：，这时适当引导学生思考犯了什么错误，学生经过讨论不难发现，在分组时忘记部分平均分组出现了计数重复的情况，因而要除以去重再考虑分配，分析到这个点的时候，一再强调：对于分配问题坚持“先分组，后分配”的重要性，这样可以做到不重不漏不乱.五、拼搏模拟，实战高考1、（2019广州天河二模）安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则不同的安排方式共有（）A、360种B、330种C、150种D、125种2、（2020课标II）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.反思：这两个题是分组分配问题的实际应用，该环节的编排旨在让学生通过实际操练，体会分组分配问题在高考中的考题方向及难度，从而消除对高考的恐惧.六、教学反思整节课的教学设计都是围绕着分组和分配这一主题进行，课堂以3个相对比较简单的变式题型引入，让学生通过列举、列式等形式理解非平均分组、完全平均分组、部分平均分组的各种分组问题，整节课最有趣的地方之一是学生在完成前三个例题以后提出的一些其他形式的分组，让他们自己去设题编题，可以更深一步加深他们对于分组的理解，从而准确地处理去重问题；课程的后半节是探究分配问题，掌握定向分配与不定向分配的处理方法，让学生坚持“先分组，后分配”的原则，这样复杂的实际问题也可以简单化，学生对于后面的高考模拟和高考真题也能轻易地解决.以上是我从教多次分组分配问题后总结出来的个人认为较为成功的一个课例，一节课下来学生反应良好，课堂气氛浓烈，而学生对这一主题的知识点基本也有了较为系统的掌握，轻而易举地将该难点问题简单化.参考文献：[1]普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3 人民教育出版社.2019.[2]高中新课标总复习数学广西师范大学出版社.2020.2。
(仅供参考)排列组合中分组(分堆)与分配问题
太奇MBA 数学助教李瑞玲一．分组（分堆）与分配问题将n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同的对象，称为分配问题，又分为定向分配和不定向分配两种问题。
将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题。
分组问题有不平均分组，平均分组，部分平均分组三情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组的元素个数相同，但因所要分配的对象不同，仍然是可区分的。
对于后者必须先分组后排列。
一．基本的分组问题例1.六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（均分三组）（平均分组问题）（2）一组一本，一组两本，一组三本（不平均分组问题）（3）一组四本，另外两组各一本（部分平均分组问题）分析：（1）分组和顺序无关，是组合问题。
分组数为90222426=C C C ,而这90种分组方法实际上重复了6次。
现把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看一下这种情况：（1,2）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6)(3,4)(3,4)(1,2）（5,6）（3,4）（5,6）（1,2）（5,6）（1,2）（3,4）（5,6）（3,4）（1,2）由于书是均匀分组的，三组的本数都一样，又与顺序无关，所以这种情况下这六种分法是同一种分法，于是可知重复了6次。
以上的分组实际上加入了组的顺序，同理其他情况也是如此，因此还应取消分组的顺序，即除以33P ,于是最后知分法为1569033222426==P C C C .(2)先分组，分组方法是60332516=C C C ，那么还要不要除以33P ???（很关键的问题）由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有60332516=C C C 。
（3）先分组，分组方法是30111246=C C C ，这其中有没有重复的分法???(需要好好考虑）现还把六本不同的书标上6,5,4,3,2,1六个号码，先看以下情况1）先取四本分一组，剩下的两本，一本一组，情况如下（1,2,3,4）56（1,2,3,4）652）先取一本分一组，再取四本分一组，剩余的一本为一组，情况如下5（1,2,3，4）66（1,2,3,4）53）先取一本分一组，再取一本为一组，剩下的四本为一组，情况如下56（1,2,3,4）65（1,2,3,4）由此可知每一种分法重复了2次，原因是其中两组的的书的本数都是一本，这两组有了顺序，需要把分组的顺序取消掉，而四本的那一组，由于书的本数不一样，不可重复，故最后的结果为1523022111246==P C C C .通过以上三个小题的分析，可以得出分组问题的一般结论如下：一般地，将n 个不同的元素分成p 组，各组内元素个数分别为p m m m ,,,21⋯，其中k 组内元素个数相等，那么分组方法数为()kk mm m m m m n m m n m n P C C C C pp i i ⋯⋯⋯121211−+++−−，即选完元素后要除以元素相同的总组数的全排列！三．基本的分配问题1.定向分配问题例2六本不同的书，分给甲乙丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲四本，乙一本，丙一本分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的，属于分配问题中的定向分配问题。
概率中的分组与分配问题
概率中的分组与分配问题在概率学中，分组与分配问题是指将一组有限元素（总是整数）分到不同的组中，或将这些元素分配给不同的容器（也称分组中的容器），以满足某些条件。
本文讨论的是概率中的这类问题的数学表示以及在特殊情况下的解决方法。
概率学中的分组与分配问题是一个非常重要的理论。
它不仅涉及到有限组合数的计算问题，而且可以用来描述概率学中的组合问题。
其基本形式是，将元素按一定的顺序放入容器中，使每个容器都满足一定的条件。
例如，可以将元素放入n个容器中，使容器i（i≤n）中的元素数量等于aiai为可调整参数）。
在概率学中，分组与分配问题可以用来描述实际问题，并用数学方法解决。
例如，假设有一批商品，需要根据不同的价格分配到不同的市场上去销售，那么就可以用概率中的分组与分配问题来解决。
它可以让商品按照价格分到不同的市场，然后通过概率论来估计销售数量。
此外，在非线性优化模型中经常用到分组与分配问题。
这类数值最优化问题往往涉及到多个变量，这些变量可以按某一特定的概率分配到不同的维度，以便实现更好的优化效果。
分组与分配问题是一个复杂的问题，它的解决方案也有很多种。
常用的方法有贪心算法、符号搜索、回溯算法等。
贪心算法的思路是，每次从某个容器中选取一个最优的元素并加入到另一个容器中，直到所有的容器都满足预期条件为止。
这种方法简单，可以快速找到最优解，但有时也可能会让问题变得更复杂。
符号搜索和回溯算法是一种较为复杂的解决方案。
它们通过在可行解空间中进行搜索来尝试每一种可能的解。
符号搜索算法可以尝试全部的解，而回溯算法可以在搜索过程中剪枝，从而缩短搜索时间。
概率中的分组与分配问题是一个复杂但又有趣的课题，研究它可以为解决实际问题提供有效的数学技术支持。
因此，研究概率中的分组与分配问题，对于提高系统管理水平和实现优化有重要而又直接的意义。
总之，概率中的分组与分配问题是一个非常有趣的研究课题，它有许多应用领域，比如计算机科学、概率论和优化等。
排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题仁荣中学 杨明关键词：分组 均匀 不均匀 分配 定向分配 不定向分配 分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本. (3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C C A =15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C ，那么还要不要除以33A ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(原卷版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n堆（组）必须除以n n A；A.如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以m m【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A．240种B．360种C．450种D．540种例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A．450种B．72种C．90种D．360种例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A．36种B．14种C．22种D．8种例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A．540种B．300种C．210种D．150种例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（）A．42种B．30种C．24种D．18种例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A．36B．81C．120D．180例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A．335B．100C．360D．340例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A．1880种B．2940种C．3740种D．5640种例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A．96种B．124种C．150种D．130种例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A．540种B．180种C．360种D．630种例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A．240B．180C．690D．150A B C三个不同的小区参加新冠疫情例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A．28种B．32种C．36种D．42种例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A．72B．108C．216D．432例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．例26．（2023·全国·高三专题练习）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和B不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？。
分组与分配问题讲解纪实
分组与分配问题讲解辨析分组与分配问题可谓老生常谈，很多教师在论文中谈到，我认真阅读，做了透彻分析；前一阶段，教研活动，又听了其他教师的课程讲授，同头教师在关于分组与分配问题的讲解上又进一步进行了探讨，有以下感受与同行探讨。
一：分组与分配的定义理解1、分配：n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题。
分定向分配和不定向分配两种。
2、分组：将n个不同元素按照某些条件分成k组，成为分组问题。
分组问题有平均分组、不平均分组、与部分平均分组三种情况。
分组与分配是有区别的，但也有联系存在。
前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因对象不同仍可取分。
因此，对于后者必须先分组后排列。
讲解透析：但仅仅向学生说明定义，就以具体的模式讲解例子，学生自然不能理解，所以在讲授时必须以简单实例，真正分组、分配给予演示。
二：特例演示：(一)基本的分组问题例1：6本不同的书分为3组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每组两本（2）一组一本，一组两本，一组三本（3）一组四本，另外两组各一本以此例分析：（1）把6本书设置上具体的编号，再分组，让学生真正体会均匀分组中存在的组的顺序问题。
（2）让学生体会，因不是均匀分组，所以不存在组的顺序问题。
（3）因存在两组的均分问题，所以两组之间存在组的轮换顺序问题。
通过以上3小题的分组问题，得出结论。
更形象些，直观些。
（二）基本的分配问题1、定向分配例2：6本不同的书分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下的不同分配方法？（1）甲两本，乙两本，丙两本（2）甲一本，乙两本，丙三本（3）甲4本，乙一本，丙一本分析：由于每个人几本是一定的，属于分配中的定向问题，由于有了上例的具体演示，所以学生不难理解乘法中存在的组轮换顺序问题。
2、不定向分配例3：6本不同的书分给甲乙丙三人，求在下列条件下的不同分配方法？（1）每人两本（2）一人一本，一人2本，一人三本（3）一人四本，一人一本，一人一本分析：(1)与上例中的（1）同，都是没人两本，学生基本从字面意思能够理解（2）与上例中（2）比较，在上例(2)分配好的基础上再加以轮换，因为不指定谁得到一本、两本、三本。
分组与分配问题的解决方法课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
练习2：将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中，若每个盒 子放2个，其中标号为1,2的小球放入同一个盒子中，有___种不同的放法.
先分组，后分配：
C42 C22 A22
A33
18
探究新知
不同元素的分组与分配问题 解题思想：先分组、后分配
(1)完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等. ①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消去重复； ②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可以用分步乘
Cnk
C nk k
C
k n
2k
Amm
C
k k
种
②分配：一般地，把n个元素平均分配给m个目标，每个目标k个元素 （其中n=mk），则不同的分配方法有
C
k n
C nk k
C nk 2k
Ckk 种
课堂练习
练习：（列出式子即可）
1、(1)要把8个人分成4组，每组2人，共有几种分法？ (2) 若分成3组，一组1人，一组3人，一组4人呢？
次，即 A33 次.
问题2：怎么样才能去掉重复的分堆呢？
答：6次只算1次，可以除以 A33 得到，所以六本不同的书，平均分成三堆，最后的分堆方
法数是
C62 C42 C22 A33
15 种.
归纳总结 题型二：不同元素完全均匀分组/分配问题
①分组：一般地，把n个元素平均分成m组，每组k个元素（其中n=mk）， 则不同的分组方法有
C51C42C21C21 5 6 2 2 120
问题2：从三双不同的鞋中任意取两只鞋，则它们不是一双鞋有多少种取法？
C32C21C21 3 2 2 12
问题3：设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为①，②，③，④，⑤的 五个盒子，现将五个小球投入这五个盒子里，要求每个盒子放一个球，并且恰 好有两个小球的编号与盒子编号相同，问有多少种方法？
例谈排列组合中的分组分配问题
例谈排列组合中的分组分配问题发表时间：2010-12-17T10:46:04.123Z 来源：《少年智力开发报》2010年第3期供稿作者：何国雄[导读] 即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
湖北省咸宁市通城县第二高级中学何国雄一、提出分组与分配问题，澄清概念将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题。
n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种。
二、分组问题常见形式及处理方法1.编号分组：（1）相同元素编号分组“编号分组”的意思是：即使分出来两个或多个组中元素的个数相同，仍然看成不同的组例题1：10个相同的小球，放入5个不同的盒子里面，每个盒子至少要放一个球。
问有几种放法？方法（隔板法）：10个相同小球排成一行，中间有9个空，将4块隔板，插入从这9个空中任意选取的4个空，就得到5组小球，再放入5个不同的盒子，有. 种分组方法。
（2）不同元素编号分组分成两种情况：(i)非均匀编号分组（每组元素个数不同）例题2：10个人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同（在这里体现“编号分组”）劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数，然后要乘以组数的全排列。
有 .种 (ii)均匀编号分组（包括部分均匀、全部均匀）例题3：10个人分成三组，各组人数分别为2、2、6，去参加不同劳动，问有几种安排方法？方法：分步选人，分别选各组人数。
但是，由于有两个组人数相同，而选人时又是分步选人的（即有顺序在里面），所以必然会造成重复。
比如：甲乙、丙丁和丙丁、甲乙是一种情况，我们却多算了。
要除以元素相同的2个组的组数的全排列. ，选人完之后要放进编好号码的组里面，所以乘以总组数的全排列. ，即有 . 种。
2.不编号分组：与编号分组不同的是，在不编号分组中，各个组元素的个数成为了区别不同组的唯一标志，换言之，只要有两个或者多个组有相同个数的元素，它们就被视为相同的组。
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解
2023年高考数学复习---排列组合分组问题、分配问题典型例题讲解分组问题【典型例题】例1．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（ ）A ．91B ．101C ．111D ．121【答案】B 【解析】（1）若编号为1222310++++=，则有25220C ⨯=种，（2）若编号为1123310++++=，则有215330C C ⨯=种，（3）若编号为1122410++++=，则有225330C C ⨯=种，（4）若编号为1113410++++=，则有315220C C ⨯=种，（5）若编号为2222210++++=，则有1种，所以不同的指派方法种数为203030201101++++=种．故选：B ．例2．已知有6本不同的书．（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【解析】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为2226423315 C C C A =． （2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为12365360.C C C =分配问题【典型例题】例1．（2022·浙江·模拟预测）杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了,,A B C 三个项目的志愿者工作，每个项目需1名或2名志愿者，若甲不能参加A 项目，乙不能参加B 、C 项目，那么共有______种不同的志愿者选拔方案．【答案】10【解析】由题意可得乙一定参加A 项目，若A 项目只有一个人时，即为乙，则先将甲、丙、丁分为两组，有23C 种， 再将两组分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有2232C A 6⋅=种不同的志愿者选拔方案，若A 项目有2人时，又甲不能参加A 项目，则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A 项目，有12C 种，再将剩下的2人分配到,B C 两个项目，有22A 种， 则有1222C A 4⋅=种不同的志愿者选拔方案，综上，共有6410+=种不同的志愿者选拔方案．故答案为：10．例2．（2022·上海长宁·统考一模）有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法【答案】180【解析】第一步，先从6人中任选2人承担任务甲，有26C 种选法，第二步，再从剩余4人中任选1人承担任务乙，有14C 种选法，第三步，再从3人中任选1人承担任务丙，有13C 种选法， 所以共有211643C C C 180=种选法．故答案为： 180．例3．（2022·四川南充·高三统考期中）随着高三学习时间的增加，很多高三同学心理压力加大．通过心理问卷调查发现，某校高三年级有5位学生心理问题凸显，需要心理老师干预．已知该校高三年级有3位心理老师，每位心理老师至少安排1位学生，至多安排3位学生，则共有______种心理辅导安排方法．【答案】150【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5位学生分为3组，若有两组2人，一组1人，有225322C C 15A =种分组方法， 若两组1人，一组3人，有35C 10=种分组方法，则有15＋10＝25种分组方法，②将分好的3组安排给3个老师进行心理辅导，有33A 6=种情况，则有25×6＝150种安排方法，故答案为：150．。
高中数学专题排列组合中的分组分配问题
高中数学专题排列组合中的分组分配问题Ⅰ.概述分组分配问题是排列、组合问题的综合，是排列组合问题中的一个重点和难点；某些排列组合问题看似非分配问题，实际上也可运用分配问题的方法来解决。
解决分组分配问题的一个基本指导思想就是先分组后分配。
分组分配问题特征：（1）分组分配特征：问题涉及把相关的元素进行分组然后再分配；（2）分组的类型：整体均分、部分均分和不等分三种；无论分成几组，都应注意只要有元素的个数相等的组存在，就需要考虑均分的现象（即：整体平均分组；或部分平均分组）；（3）均分特征：只要出现所分组中的元素个数相等，则存在重复出现的情况，作为分组只能计为一种。
Ⅱ.排列组合中的分组与分配问题一.分组与分配有关概念1.将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题；分组问题有不平均分组、整体平均分组和部分平均分组三种情况。
2.将n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象（位置），称为分配问题；分配分定向分配和不定向分配两种问题；3.分组问题和分配问题的区别：前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是有区分的，对于分配问题必须先分组后分配，而分组通常与组合相关，分配通常与排列相关。
二．基本的分组问题（一）分组问题的基础题例【题例1】六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分组方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.【分析】：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
注意，这里6个元素，分3组，每组2个元素，所求的分组种类：不是“从6个元素中取2个元素的组合数”，而是“6选2，选3次，分成3组，所得的组数”；在这样的分组中，由于要选3次，且平均选取，就存在选取的顺序，故所得组中出现重复的组，重复的种数即所分组的全排列数。
若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（3，4）（1，2）（5，6），则这样的两组只能算一组，不能算作两组；若一组分组为：（1，2）（3，4）（5，6），另一组分组为（1，3）（2，4）（5，6），则这样的两组应算作两个不同的分组；在（1，2）（3，4）（5，6）与（1，3）（2，4）（5，6）这两个分组中出现的“从6个元素中选取2个元素的组合”则有5个，且其中的组合（5，6）只能算作1个计数；三．基本的分配问题（一）定向分配问题：将所给元素按要求分配到指定对象【题例2】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.(二)不定向分配问题：将所给元素按要求分配到非指定对象【题例3】六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）每人两本.（2）一人一本、一人两本、一人三本.（3）一人四本、一人一本、一人一本.Ⅲ.分组-分配问题类型与方法探究一．分组问题的基本类型--思想方法（一）分组问题类型1--非均匀分组（分步-组合法）：“非均匀分组”是指将所给元素分成元素个数彼此不相等的若干组。
分组问题和分配问题
分组问题和分配问题一、问题的提出（课本习题）4名同学报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中1个运动队，不同报名方法和种数是43还是34？解法1：分4步，第1步，第1名同学报名，有3种方法；第2步，第2名同学报名，有3种方法┅┅，所以共有43。
解法2：分3步，第1步，确定足球队的人选，有4种方法；第2步，确定篮球队的人选，有4种方法┅┅，所以共有34。
解法2错在哪里？ 依解法2应分成3类。
第1类先把4名同学分成1组，再分配给1个运动队有3种方法；第2类把同学分成2组（1、3或2、2），再分配给2个运动队，有232222241134)(A A C C C C 种；第3类分成3组（2、1、1），再分配给3个运动队，有3322111224A A C C C 种。
二、分配问题定义：把一类对象分配给另一类对象来接受的问题。
释义：把分配对象视作“元素”，接受对象视作“位置”，实质是元素和位置的对应问题。
故解题的关键是分清谁是元素，谁是位置。
基本类型：1） 元素和位置之间“一对一”。
实质就是排列问题，种数为mn A ；2） 元素和位置之间“多对一”。
即一个元素只能占一个位置，而一个位置允许容纳多个元素，种数为nm 。
例1：8名大学生分配给9个工作单位，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？（89A ） 例2：9名大学生分配给8个工作单位，每个单位只接受1名，有多少种分配方法？（89A ）例3：将6封信投入4个不同的信箱，有多少种不同的投法？（64） 例4：把3名学生分配给5个不同的班级，有多少种不同的分配方法？（35） 例5：将6本不同的教学参考书借给3位教师，有多少种不同的借法？（63） 例6：8名体操运动员争夺6个体操冠军，有多少种不同的结果？不设并列冠军（68）三、分组问题定义：将n 个不同的元素分成p 组，有多少种不同的分组方法；无序分组：将n 个不同的元素分成p 组，各组元素数目为m 1，m 2，┉┉m p ，其中组内元素数目相等的组数分别为k 1，k 2，┉┉k s ，那么种数为s sp pk k k k k k mm m m n m n AA A C C C N 2211211-=。
6.2 分组分配问题 -高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册
考察
选2个
ab ab cd cd ef ef
再选2
cd ef ab ef ab cd
又选2个
ef cd ef ab cd ab
剩下四个
ghij ghij ghij ghij ghij ghij
分组方法数
这A33种只 能算一种
C120C82C62C44
A33
部分平均分组：在 分组时，每组的个 数是不均等的，而 是有一部分个数相 同.需要除以相同的 组的“全排列”，
C
61C 52C
3 3
A33
（1）非均分问题无分配对象只要按比例分完再用乘法原理作积
（2）非均分组有分配对象要把组数当作元素个数再作排列。
变式：按1:2:3依次分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法？
C
61C
52C
3 3
☆ 方法归纳
分组分配问题
解题思想：先分组、后分配 1.完全平均分组：在分组时，每组元素的个数都相等.
解：
(1)
C122C120C82C66 A33
(2)
C132C93C62C42C22 A33 A22
A55
.
☆ 不平均分组问题
例3 现有6本不同的书. (1) 按1:2:3分成三堆有多少种不同的分法？ (2) 按1:2:3分给三个不同人有多少种不同的分法？
解：
注意：
(1)
C
61C52C
3 3
；
(
2)
①只分组无分配时，需要除以这几组的“全排列”，以确保消
去重复；
②分组且分配时，一种方法是先分组再分配；另一种方法是可
以用分步乘法计数原理解题.
☆ 部分均匀分组问题
问题2 将十个不同的零件分成四堆，每堆分别有2个、2个、2个、4个，