多边形的镶嵌问题

1.三角形可以作平面镶嵌吗? 若能，三角形将如何镶嵌呢?
形状、大小完全相同的任意 三角形可以镶嵌平面吗？
1
3 2
1
3
1
3
2
2
1
3
1
2
3
2 1
2
1 2 3 1 2 3
3
2.四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°, 所以四边形也可以作平面镶嵌.
D C A
B
形状、大小完全相同的任意四边形 可以镶嵌平面吗？
关键：得到一个关于边数x，y的方程， 然后求出它的整数解。
正三角形、正方形、正六边形的组合镶嵌
正三角形、正十二边形的组合镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、 n个正十二边形的角，则有 。 。 。
m· 60 +n· 150 =360
2m+5n=12
∵m、n为正整数
∴解为
m=1 n=2
6
能否平面 镶嵌
图形
一个顶点处正 多边形的个数
正三角形 正方形
能
6
能 不能
能
4
正五边形 正六边形
3
收获
规律小结：
(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共 顶点的各个角的度数之和应等于360°. (2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的 内角度数一定能整除360.
试一试
能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？
（2）正三角形与正方形；
（3）正方形与正八边形；
（4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形、正方形与正六边形。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形 的内角和加在一起恰好组成一个周角时, 就能镶嵌一个平面图形;那么哪些正多 边形可以进行镶呢？
(1) 正三角形与正方形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形， n个正方形的角。
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
60
o
90
o
108
o
120
o
正n边形呢？
(n 2)180 n

用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留缝隙,
也不重叠地铺成一片,叫做平面图形的镶嵌.
生活中利用镶嵌组成的美丽图案
你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？ 下列各正多边形中 ,哪些能单独镶嵌平面， 有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？ 哪些不能，为什么？
(1)正八边形； (2)正十边形；
(8 2) 180 135 8
(10 2) 180 144 10 (20 2) 180 162 20
(3)正二十边形；
综合上述研究，可得出以下结论：
能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，
即正三角形、正方形、正六边形.
观察以下图形并思考在镶嵌时，
如何做到既无缝隙又不重叠?
每个顶点处几个角的和为360°
正三角形为什么能镶嵌？
正方形为什么能镶嵌？
正五边形可以镶嵌吗？
原来拼不了！ 为什么?
1 2
3
∠1+∠2+∠3=?
正五边形不能密铺!
正六边形为什么能镶嵌？
正多边形能否镶嵌平面,关键是拼接点处的 几个内角和能否构成360°.
正六边形和正三角形的组合镶嵌
正六边形和正三角形的组合镶嵌
1.镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2.多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为360°
试试看: 请你用两种或两种以上的 多边形设计镶嵌图案.
例:用边长相同的正四边形和正八边形 做平面密铺，有几种可能？为什么？
解：因为正八边形的内角为135 ， o 正方形的内角为90 ，根据： o o o 135 ×2+90 ＝360 ，可知： 两个正八边形和一个正方形 能拼成一幅镶嵌图. 在公共的顶点处各正多边形的内角和等于360°
o
正方形、正八边形的组合镶嵌
例:用边长相同的正四边形和正八边形 做平面密铺，有几种可能？为什么？
解：设在一个顶点周围有x个正四边形，y个正八边形， 则 x· 90°+y· 135°=360° 即2x+3y=8 这个方程的非负整数解为： x 1 =1 x 2 =4 y 1 =2 y 2 =0 所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能： (1)在它的一个顶点周围1个正四边形配2个正八边形； (2)在它的一个顶点周围都用正四边形.
m 3 60m 90n 360 n 2
注意:同一个组合会有不同的镶嵌效果
正方形和正三角形的组合镶嵌
正 方 形 和 正 三 角 形 的 组 合 镶 嵌
(2) 正三角形与正六边形的平面镶嵌 设在一个顶点周围有m个正三角形， n个正六边形的角.
m 4 m 2 60 m 120 n 360 , n 1 n 2
1
1
3 4
2
2
1 3
ห้องสมุดไป่ตู้2 2
4
1 3
2
2
3
3
4
4
1
1
2
1
2 2
3
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4 3
3
1
4
4 3
1
3
3 2 4
4
1
3
1
2
4
4 1
2
从而发现： 形状、大小完全相同的平面图形 能够镶嵌平面的有： 任意三角形、任意四边形、正六边形.
探究多种正多边形的组合镶嵌平面
下列多边形组合，能够密铺平面的是：
（1）正三角形与正六边形；
请你欣赏
观察以下图案，说明它们都是由哪些 几何图形组成？
……..
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
正多边形: 各边相等、各内角也相等的多边形. 思考:(1)三边都相等的三角形是正三角形吗? (2)四边都相等的四边形是正方形吗? (3)四个角都相等的四边形是正方形吗?
做一做:求下列各正多边形的各个内角度数
还有其他的正多边形可以进行镶嵌吗？
正多边 形边数 3 4
拼图
每个内角 每个内角与 的度数 360°的关系
结论 能镶嵌 能镶嵌
60° 6×60°= 360° 90° 4×90°= 360°
108° 3×108°＜ 360° 不能镶嵌 5
108° 4×108°＞ 360° 不能镶嵌 120° 3×120°= 360° 能镶嵌