多边形的镶嵌问题
多边形镶嵌问题
综合应用 5.如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，
如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的 圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③）， 其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案 （如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个 10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有______个.
方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时
选择其中两种镶嵌地面，选择的方式有（
）
A.2种 B B.3种
C.4种
D.5种
3.如果在一个顶点周围用两个正方形和 n个正三角
形恰好无缝隙、无重叠嵌入，则 n 的值是（
）
A.3A
B.4
C.5
D.6
4.试用边长相等的一个正六边形、6个正方形、6个 正三角形镶嵌成一个平面图案，画出草图.
各个顶点数上的内角之和等于360°.
练习2 欣赏下面两组美丽的图案，看看中间空缺 处应补上什么图形才完成平面镶嵌？
A组
B组
随堂演练
基础巩固
1.只用下列正多边形地砖中的一种，能够无缝隙，不
重叠地铺满地面的是（
）
A
A.正三角形
B.正五边形
C.正七边形
D.正八边形
2.现有四种地面砖，它们的形状分别是正三角形、正
课题拓展研究—— 多变形镶嵌问题
正十二边形，正六边形，正方形
正多边形的镶嵌图共有几种？
●所有的方法：用1种：（3，3，3，3，3，3） （4，4，4，4）（6，6，6）；
● 用2种：（4，8，8）（3，12，12）（3，3，6，6） （3，3，3，3，6）（3，3，3，4，4）（*5，10，10）
多边形及其内角和、镶嵌问题解决
多边形通常以边数命名 ，多边形有 儿 条 边就 叫做 儿边 形 ． 三角 形 、 四边 形 都 属 于 多边
形 ， 中三角 形 是边数 最 少 的多边 形 ． 其
的 一 个顶 点 向 和它 不 相 邻 的顶 点 可 引 一 ） ３
条 对 角 线 ， 儿边 形 分 成 了 （－ ） 三 角 形 ． 把 ｎ２个 由三角形 的 内角 和得 到 儿边 形 的 内角 和． 儿 即
，
，
鲺■用正多边形镶嵌的条件是什么？
用正 多边 形镶嵌 ，现 阶段 只研 究 正 多边 形 的 顶点不 落 在另 一个 正 多边 形 的边 上 的情 况． 这 种情 况 下 ， 正 多 边形 的边 长必 须 相 在 各
等 ， 由 于镶 嵌 无 间 隙 ， 又 又不重 叠 ． 以 在 每 所
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以知 道 ， 时 多 了一个 周 角 ， ３ ０ ． 这 即 ６ 。因此 ， 五 边 形 的 内角 和为 ：８ 。 ５ ３ ０ ＝ ４ 。 １０ ｘ — ６ 。 ５ ０ ．
皇■什么叫多边形呢？
边形 的内 角和 为 一 ）１０ ． ２ ・８ 。儿边形 的内角 和 ’
．
．
鲁 你能设法求出一个五边形的五个内 ■Ｉ
角的 和吗？
１直接 把 五 边形 的 五个 内角分 割 在 ３个 ．
三 角形 中 （ 图 ３ ，每个 三角 形 的 内角 和是 如 ）
１ ０ ， 以五边 形 的 内角和 为 ３ １０ ＝ ４ ｏ ８ 。所 ｘ ８ ｏ ５ ０．
在 平 面 内 ． 由若 干条 不 在 同一 直线 上 的 线 段 首尾顺 次 相 连组 成 的封 闭 图形 叫做 多边
19.4 综合与实践 多边形的镶嵌（教案练习）
沪科版数学八年级下册19.4多边形的镶嵌教学设计课题19.4多边形的镶嵌单元第19章= 学科数学年级八年级下学习目标【知识与技能】了解镶嵌的数学思想及其应用．【过程与方法】经历探究利用一种正多边形以及任意多边形镶嵌的过程，增进应用数学的自信心；【情感态度与价值观】通过研究多边形镶嵌获得成功的体验和克服困难的经历，体会数学之美，认识数学的应用价值．重点镶嵌的含义及平面镶嵌条件的探究．难点怎样进行镶嵌．教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课师：请同学们观看课件，这是生活中常见的镶嵌图案，体会数学的生活化。
师：请问拼接点处是否被瓷砖完全覆盖，有空隙吗？是否重叠？师：通过观察上面的地面及墙面，你发现它们有哪些共同特点？认真观察，积极思考并回答问题，通过生活场景到新课，讲授新课师：下面我们来描述一下平面镶嵌的定义：用形状相同或不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，这在几何里叫做平面镶嵌。
平面镶嵌也叫密铺。
师：同学们注意各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠师：接下来我们来探索一下如何利用正多边形以及任意多边形进行平面镶嵌，探究一：师：请同学们拿出准备好的正多边形纸片，以小组为单位，试一试，用同一种正多边形（如正三角形、正四边形、正五边形、正六边形）能否镶嵌成平面图案?（1）正三角形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正三角形能平面镶嵌（2）正方形能平面镶嵌吗？认真思考以及描述定义，在老师的引导下认真思考，积极探索平面镶嵌的有关内容学生拿手中正三边形进行实验并得出结论学生拿手中正方形进行实验并得出结论引出课题（板书）明确镶嵌含义通过分类讨论培养学生的逻辑思维能力学生通过拿手中的多边形进行实验探究得出结论，能够给学生加深印象，掌握知识点师：请问在拼接点处角度之和为多少？正方形能平面镶嵌（3）正五边形能平面镶嵌吗？正五边形不能平面镶嵌（4）正六边形能平面镶嵌吗？师：请问在拼接点处角度之和为多少？正六边形能平面镶嵌师：思考为什么边长相等的正五边形不能镶嵌，而边长相等的正六边形能镶嵌？师：由以上可得出结论：如果用一种正多边形可以进行镶嵌，那么每个内角学生拿手中正五边形进行实验并得出结论学生拿手中正六边形进行实验并得出结论都是360°的约数.所以说：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不能镶嵌．探究二：小明搬新家了,他的房间要自己设计,地板想用两种正多边形来镶嵌，帮忙设计一个方案吧？活动1：师：用边长相等的正三角形和正方形，能否镶嵌成平面图案？请你试一试！你知道正三角形及正方形各需要多少吗？解：设在一个拼接点周围有m 个正三角形的角,n 个正方边形的角，则有m·60°+n·90°=360°2m+3n=12∵m,n 为正整数∴解为m=3.n=2需要三个正三角形及两个正方形镶嵌。
中考数学复习指导：中考数学中的镶嵌问题
中考数学中的镶嵌问题解答镶嵌问题的关键是判断围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起是否恰好是一个周角．如果能构成一个周角，则能镶嵌成一个平面，否则不能镶嵌．现以中考题为例加以说明．一、用同一种正多边形镶嵌例 1 某商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A ）4种；（B ）3种 ；（C ）2种；（D ）1种．分析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是360°的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌．解：由于正三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为60°、90°、108°、120°．显然，108°不是360°的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌．故应选C ． 评注：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌例2 一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 ．分析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为n 1、n 2、n 3，则有()111802n n ︒⋅-＋()221802n n ︒⋅-＋()331802n n ︒⋅-=360°，整理得，11n ＋21n ＋31n =21． 解：根据分析可知，11n ＋21n ＋31n =21，即41＋61＋31n =21．解得，n 3=12．所以第三个正多边形的边数是12．评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌．（2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足11n ＋21n ＋31n =21． 三、运用镶嵌探索规律例3 如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案（如图②），其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案（如图③），其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案（如图④），其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有 个．分析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律．解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：完整圆的个数 第1个1=12＋（1－1）2 第2个5=22＋（2－1）2 第3个13=32＋（3－1）2 第4个25=42＋（4－1）2 …… n 个 n 2＋（n －1）2所以，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n 2＋（n －1）2= 102＋（10－1）2=181．评注：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法．。
平面镶嵌的条件
平面镶嵌的条件平面镶嵌是一种几何问题，即如何在平面上把多边形拼接成一个封闭的区域。
在这个问题中，我们需要考虑到多边形的边界线和内部空间的交错和重叠等因素，以保证拼接后的结果是合法的。
平面镶嵌的条件非常重要。
平面镶嵌的每个多边形都必须是凸多边形。
凸多边形是指平面上的一个区域，其中连接任意两个内部点的线段都在这个区域内。
在平面镶嵌中，凸多边形可以确保拼接后的图形不会出现奇怪的空洞或凹陷。
在计算过程中，凸多边形也更容易处理。
平面镶嵌中的每个多边形必须可以通过相邻多边形的公共边缝合在一起。
这就要求相邻多边形的公共边必须完全重合，并且两边的角度要相等。
这个条件是平面镶嵌中最基本的条件，也是每个多边形都需要满足的条件。
除了上述两个基本条件外，平面镶嵌中还需要满足一些其他的条件。
平面镶嵌中不能出现两个多边形的重叠部分，也不能出现两个多边形相交的情况。
这两个条件是保证拼接后的图形没有破损或重叠的关键条件。
如果不满足这些条件，拼接后的图形就可能出现错综复杂的情况，难以判定。
在平面镶嵌中，我们还需要考虑到多边形的方向。
通常情况下，我们规定多边形的内部在左边，而外部在右边。
这种规定是为了方便计算，使得我们可以通过向量或点积等方式来确定多边形的方向。
在将多边形放置在平面上进行拼接时，也需要考虑到这个方向性。
需要注意的是，平面镶嵌中的拼接结果可能不唯一。
即使是同样的凸多边形和相邻关系，可能也会有多种不同的拼接方式。
在进行平面镶嵌时，我们需要结合实际问题来选择最合适的拼接方式。
除了以上条件，平面镶嵌还需要满足一些其他的约束条件。
在某些情况下，平面镶嵌中的多边形必须被放置在特定的位置和方向上，或者必须满足特定的拓扑结构。
这些约束条件通常与实际应用有关，例如在设计地图、计算机芯片布线、制作纹理贴图等领域中都会涉及到平面镶嵌问题。
在实际应用中，平面镶嵌的计算通常会使用算法来实现。
常用的算法包括贪心算法、分治算法、动态规划等。
这些算法分别针对不同的问题和约束条件，采用不同的方法和策略进行求解。
精品 2014年八年级数学上册-三角形初步认识 05 多边形--镶嵌问题及复习
第05课多边形--镶嵌问题及复习知识点：下面的图形是由一些地板砖铺成的，看看它们有什么特点？都是一些多边形；相互不重叠；把一部分平面完全覆盖。
用一些不重叠．．．．，通常把这类问题叫做平面镶嵌（或用多边形覆盖．．．摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖平面）。
满足条件：同一个顶点处的各个角的和等于360°，且相邻的多边形有公共边.。
能单独进行平面镶嵌的只有三角形、四边形和正六边形。
例1.一个多边形除去一个内角后，其余各内角的和为2780°，求除去的这个内角的度数？例2.小华从点A出发向前走10m，向右转15°然后继续向前走10m，再向右转15°，他以同样的方法继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回到点A时共走多少米？若不能，写出理由。
例3.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB=600，AB与DE有什么关系？BC与EF有这种关系吗？这些结论是怎么得出的？例4.如图所示，五个半径为2的圆，圆心分别是A 、B 、C 、D 、E ，求图中阴影部分的面积和是多少？例5.如图，在ABC ∆中，AE AD ,分别是ABC ∆的高线和角平分线.（1）若∠B=300,∠C=500,，求∠DAE 的度数；（2）若βα=∠=∠C B ,，用含βα,的式子表示DAE ∠。
例6.（1）已知△ABC 为正三角形，点M 是BC 上一点，点N 是AC 上一点，AM 、BN 相交于点Q ，∠BAM=∠NBC,猜想∠BQM 等于多少度，并证明你的猜想；（2）将（1）中的“正△ABC ”分别改为正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、正六边形ABCDEF 、正n 边形ABCD …X ，“点N 是AC 上一点”改为点N 是CD 上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM 等于多少度，将结论填入下表：课堂练习：1.某人到瓷砖商店去购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A.正三角形B.正四边形C.正六边形D.正八边形2.等腰三角形的腰长是4cm，则它的底边长不可能是( )A.1cmB.3cmC.6cmD.9cm3.不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为( )A.正八边形和正方形B.正五边形和正十边形C.正六边形和正三角形D.正六边形和正八边形4.用正三角形和正十二边形镶嵌,可能情况有( )A.1种B.2种C.3种 C.4种5.用正三角形和正六边形镶嵌,若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形,则m,n满足的关系式是( )A.2m+3n=12B.m+n=8C.2m+n=6D.m+2n=66.若多边形边数由3增加到n（n为大于3的整数），则其外角和的度数（）A.增加B.减少C.不变D.不能确定7.下列说法中正确的个数为( ).(1)一种三角形都能铺满地面(2)能够铺满地面的正多边形只有正三角形、正方形和正六边形(3)能够铺满地面的正多边形的组合只有正三角形，正方形和正六边形之间组合(4)一个正五边形和两个正十边形的组合能够铺满地面A.0B.1C.2D.38.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A与∠1、∠2之间保持一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A.∠A=∠1-∠2B.2∠A=∠1-∠2C.3∠A=2∠1-∠2D.3∠A=2（∠1-∠2）9.如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H +∠I +∠K的度数为（）A.720° B．900° C．1080° D．1260°10.用同一种正多边形能铺满地面的只有____＿＿.11.正十二边形的每一个外角等于_________12.四边形ABCD中，若∠A+∠B=∠C+∠D，若∠C=2∠D，则∠C＝13.如图所示的图案是由正六边形密铺而成，黑色正六边形周围第一层有六个白色正六边形，则第n层有________个白色正六边形.14.如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝15.如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=16.如图，①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺设地面，如果铺成一个2×2的正方形图案②，其中完整的圆共有5个，如果铺成一个3×3的正方形图案③，其中完整的圆共有13个，如果铺成一个4×4的正方形图案④，其中完整的圆共有25个，若这样铺成一个10×10的正方形图案，则其中完整的圆共有________个.17.如图，四边形ABCD中，∠BAF，∠DAE是与∠BAD相邻的外角，且∠BAD:∠BAF=4:5，求∠BAD，∠DAE的度数.18.看图答题：问题：（1）小华在求几边形的内角和?（2）少加的那个角为多少度？课堂测试题05日期：月日满分：100分姓名：得分：1.能够用一种正多边形铺满地面的是____。
平面镶嵌中的数学问题
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平面镶嵌中的数学问题
无论是室内地面的装修，还是室外地面的铺设，都涉及平面镶嵌的有关知识，如果你注意一下，就会发现用同一种地砖铺地面，地砖的形状大多是正方形或正六边形，为什么呢？
用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，形成无空隙、不重合的一片，就是平面的镶嵌。
一个正多边形能够镶嵌成平面图案的前提是它的内角在拼接点能够拼成一个周角。
在正多边形中，只有三种正多边形可以单独镶嵌。
1.正三角形
正三角形的每个内角都等于60°，因为60°×6=360°，所以用6个边长相等的正三角形可以镶嵌成一个平面图案，如图1。
2.正方形
正方形的每个内角都等于90°，因为90°×4=360°，所以用4个边长相等的正方形可以镶嵌成一个平面图案，如图2。
3.正六边形
正六边形的每个内角是120°，因为120°×3=360°，所以用3个边长相等的正六边形可以镶嵌成一个平面图案，如图3。
其它的正多边形不能单独镶嵌。
如正五边形的每个内角的度数为108°，3个正五边形拼在一起，在公共顶点上的三个角的和是108°×3=324°，小于360°，有空隙，而空隙又放不下第4个正五边形。
在铺地面时，为了美观，也可使用两种不同的正多边形地砖进行镶嵌，如用3个正三角形和两个正方形，用2个正八边形和一个正方形。
用三种不同的正多边形地砖进行地面镶嵌不常见，但也可以，如图4，用正六边形、正三角形和正方形地砖可以镶嵌成一个平面图案。
360° 三、两种正多边形镶嵌情况
只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。
17种可能镶嵌的正多边形如下：
正多形1 正多形2 正多形1 正多形2 正多形3
1 2 3 4 5 6 7 8 9
3,3,3,3,3,3 4,4,4,4 6,6,6 3,3,3 3,3,3,3 3,3 3 4 5,5
4,4 6 6,6 12,12 8,8 10
7. 两种正多边形进行镶嵌 有多少种情况？
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1个正三角形，2个正12边形； 2个正三角形，2个正6边形； 3个正三角形，2个正4边形； 4个正三角形，1个正6边形； 1个正四边形，2个正8边形； 2个正五边形，1个正10边形.
四、 三种正多边形镶嵌情况
90o ×1 + 108o ×1 +162o × 1 =360°
7、1个0o ×1
+ 90o ×1 +120o × 1 =360°
1个正4边形，1个正6边形，1个正12边形镶嵌整体效果
(8)1个正3边形，1个正7边形，1个正42边形镶嵌 60o + 5 /7× 180o +40/42 × 180o =360°
原因：每一个角60°,60
°×6
=360°
任意三角形能否镶嵌？
情况：没有缝隙-任意正三角形可以镶嵌
C
2.四边形能够镶嵌吗？
90o
原因：每一个角90°,90
°×4
=360°
任意四边形能镶嵌成平面图形吗，为什么？
3.正六边形能否镶嵌？
原因：每一个角120°,120
°×3
=360°
正多边形镶嵌成一个平面的条件： 一个顶点处的各角之和为360度.
n1
(n2-2)×180o ＋ = 360o n2
沪科版(2012)初中数学八年级下册 19.4 综合与实践 多边形的镶嵌 教案
19.4综合与实践《多边形的镶嵌》教学设计一、教学课题《多边形的镶嵌》二、教学设计背景《多边形的镶嵌》是在沪科版八下教材中以数学活动的形式呈现的。
课标中已将综合实践活动作为数学学习的一个重要组成部分。
“综合与实践”是一类以问题为载体，学生主动参与的学习活动．学生在教师的指导下，将所学过的知识有机地结合，增强对知识的理解；注意与实际问题有机地结合，进一步获得数学活动的经验，增强应用意识。
三、教材分析（一）学习目标分析：本课是在信息环境、资源环境中让学生通过实例认识图形的镶嵌，理解构成镶嵌的条件，在发现只用正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌的基础上，上升到选用两种正多边形镶嵌平面和任意三角形、四边形可以镶嵌平面。
通过学生思考，相互讨论，动手操作，丰富学生对镶嵌的认识，提高动手能力，发展空间观念，增强审美意识。
（二）资源环境分析：现代信息技术及各种有效的资源既能调动学生思维的主观能动性，培养其创新精神，又能使学生活跃思路，多角度、全方位的思考问题。
为此，我构建了图形镶嵌的图片资源、拼图动画资源、现场实物操作资源等环境。
在思考、操作、欣赏与提高各板块的活动中，充分利用现代信息技术让学生欣赏图形的镶嵌、感受到图形镶嵌的魅力；在合作学习、快乐体验中达到学习目标。
（三）学生学习心理分析：我所面对的教学对象是八年级学生，他们思维活跃、求知欲强，对事情有自己的看法，他们的学习在很大的程度上受着兴趣、情感的支配。
信息技术的运用这对他们来说是一种新异刺激，可使其充分集中注意力，更激发他们参与活动的内在动机。
苏霍姆林斯基说：“儿童是用形象、色彩、声音来思维的”。
从儿童心理学角度看，儿童具有直观、形象的思维特征。
所以我同时又在信息环境的氛围中采用具体、形象的教学形式，学生在信息技术的引导下清楚的了解到图形镶嵌的实质。
学生在整个活动中思维活跃，从接受灌输的被动地位转变为发现知识、理解知识掌握知识的主体地位，构成了探究式的学习氛围。
正多边形镶嵌平面问题
正 三 角形 与正 六 边 形 有 以下 两种 镶 嵌 方 式
都不小于 ３ 则÷ 一— ， 不小于÷ ， ｍ≤ 得
Ｕ
６所 以每一 组 解 中 未 知数 的个 数 只 能是 ３４ ５６ ． ，， ，． 下 面 我 们 采 取 “ 举 法 ” 解 这 个 方 程 ： 答 中 一 枚 来 解 定会 出 现 六个 “ ” 四个 “ ” ３； ３ 与一 个 “ ” 三 个 “ ” 情 形 ６； ３的 有 （ ， ， ， ， ） 两 个 “ ” （ ， ， ， ） （ ， ， ， ２ ； 个 ３３３４４ ； ３ ：３ ３ ６ ６ ，３ ３ ４ ｌ ） 一
［ 责任编 校
王
蓓］
（ 上接 第 ６ ３页 ）
分析 ：根据 题 意 两 边 平 方 的解 法不 足 取 ， 从 配 方 若
角 度 考虑 ， 想椭 圆定 义 即可 求 解 ． 联
解 ：原 方 程 配 方 得
变 ① 有 唯一 公 共 点 时 ， 元 公 共 点 时 ， ｋ的取 值 ② 求
，Ｐｑ ” 使÷ ～ ＋÷ 一÷ ＋÷ 一 ＋…一１假 ２， ， ． ，
设 ” ．ｓ ． 等 ｍ 个 正 整 数 满 足 此 方 程 ， 方 程 的 …． ‰ ． 则 解 为 （ ， ｚ …． ） 又 由 于一 个 顶 点 处 至 少 要 有 三 个 ． ． ． ． 角拼 在 一 起 ， 否则 必 有 超 过 或 等 于 １ ０的 角 ， 以 ｍ≥ ３ ８。 所 ；
图黑 色 部 分 ．
・ ６ ３ ・
数 学 教 育 研 究
２０ ０ ８年第 ５期 正 三 角 形 ， 四边 形 与 正 六 边 形 正
正 四 边形 ， 六 边 形 与正 十 二 边 形 ： 正
多边形的镶嵌
探究多边形的镶嵌人大附中 陆剑鸣 100080用一些多边形既不重叠又无空隙地将平面完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形镶嵌平面（或覆盖平面）问题.依照这个镶嵌的定义，在一点处能够进行多边形镶嵌的条件是：这一点处各多边形内角和为360°，各多边形的边长相等.下面我们从特殊到一般，从简单到复杂对“多边形镶嵌”问题进行一些初步的探究，能得到什么结论并不重要，重要的是在探究过程中体会提出问题和解决问题的方法. 从最特殊情况入手，探究以一种正多边形为基础的平面镶嵌，提出问题1.问题1：哪些正多边形能够单独进行平面镶嵌呢？由于一点处各内角和为360°，所以考虑正多边形内角是360°的倍数的情况，进而得出以下结论：结论1：在一点处用6个正三角形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（3，3，3，3，3，3）表示.即用正三角形（等边三角形）可以平面镶嵌，如图1所示；结论2：在一点处用4个正四边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（4，4，4，4）表示，即用正四边形（正方形）可以平面镶嵌，如图2所示；结论3：在一点处用3个正六边形可以平面镶嵌，进而扩展到整个平面，用符号（6，6，6）表示，如图3所示.只有以上三种正多边形可以平面镶嵌吗？其它的正多边的情况又如何呢？由此提出问题2.问题2：除正三、正四、正六边形外，其它正多边形能不能镶嵌平面呢？请你说明理由. 结论4：正五边形不能单独镶嵌平面，这是因为若在一点处摆放3个正五边形，那么一点处内角和为1083324360︒⨯=︒<︒，若在一点处摆放4个正五边形，那么一点处内角和为1084432360︒⨯=︒>︒，如图4所示；图1 图2 图3 图4结论5：正(7)n n ≥边形均不能镶嵌平面，因为在一点处各内角的和不等于360°.以上的探究，我们用的是“实验”的方法.如果我们应用代数方法，有如下的推理： 设一点处用m 个正n 边形镶嵌，则有 (2)180360,2,2n m m n n-⋅⋅=>>的整数. 220mn m n ∴--=. （*）(2)2(2)4,(2)(2)4m n n m n ∴---=--=.242221,,212224m m m n n n -=-=-=⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨-=-=-=⎩⎩⎩. 643,,346m m m n n n ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩. 这就证明了，只用一种正多边形来镶嵌平面，只存在三种情况.比较以上探究过程中的两种方法，用代数方法简单明了.其中方程（*）为不定方程，它的解法是方程两边同加4，之后将左边因式分解，进而得到方程的解.由正多边形想到一般多边形，提出问题3.问题3：哪些多边形可以单独进行平面镶嵌呢？结论6：任意三角形可以单独镶嵌平面，这是因为三角形内角和为180°，在一点处用6个全等的三角形可以镶嵌， 进而扩展到整个平面，如图5所示；结论7：任意四边形可以单独镶嵌平面，这是因为四边形内角和为360°，在一点处用4个全等的四边形可以镶嵌，进而扩展到整个平面，如图6所示；结论8：(5)n n ≥边形均不能单独镶嵌平面.说明某个多边形不能单独镶嵌平面，只需举一个反例即可.这里以五边形为例，若五边形的内角分别为100°，100°，100°，119°，121°，可以验证其中任意两个角、三个角、四个角的和均不等于360°，所以单独用这个五边形不能平面镶嵌.其它(6)n n ≥边形均不能单独镶嵌平面，请同学们自己举反例说明.下面探究以两种正多边形为基础的平面镶嵌，提出问题4.问题4：如果用两种边长相等的正多边形，哪些正多边形能够平面镶嵌呢？我们可以将某些正多边形的角度都列出来，然后组合各角和为360°.这是前面提到的如，603902360︒⨯+︒⨯=︒，所以在一点处可用边长相等的3个正三角形和2个正方形镶嵌；我们还可以借助于代数方法求解.设一点处用x 个正三角形，y 个正方形平面镶嵌，x y 、为正整数.则 60903602312x y x y +=+=，.32x y =⎧∴⎨=⎩. 这里要求方程2312x y +=的整数解，由于方程系数比较简单，我们直接观察就可以得到.结论9：用正三角形和正方形可以平面镶嵌，用符号（3，3，3，4，4）表示，如图7所示.图5 图6 图7用同样的方法还可以得到以下结论：结论10：用正三角形和正六边形可以平面镶嵌，有两种情况（3，3，6，6）如图8所示和（3，3，3，3，6）如图9所示.结论11：用正四角形和正八边形可以平面镶嵌，用符号（4，8，8）表示，如图10所示. 结论12：用正五角形和正十边形虽然能够在一点处镶嵌（各角和构成360°），但是它们不能镶嵌平面，如图11所示.图8 图9 图10 图11用两种正多边形的镶嵌就有以上五种情况.下面同学们会自然提出我们该探究以三种正多边形为基础的平面镶嵌.由于以三种边长相等的正多边形为基础的平面镶嵌比较复杂，我们这里只举两个“实验”得出的例子.有兴趣的同学可自己“实验”探究.︒+︒⨯︒=︒，所以（3，4，4，6）可以镶嵌平面，如图12所结论13：由于60902+120360示[︒︒+︒=︒，所以（4，6，12）可以镶嵌平面，如图13所示. 结论14：由于90+120150360图12 图13以上探究过程涉及到三种方法：“实验”的方法，代数的方法，举反例否定一个命题的方法，这三种方法也是我们研究问题解决问题普遍适用的方法.你体会到了吗？。
多边形镶嵌
《多边形的镶嵌》教学设计陆青凤一、设计背景本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。
教材背景是学生刚学完多边形内角和与外角和、正多边形等知识。
教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题，让学生经历从实际问题抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，加深对相关知识的理解，提高思维能力。
本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。
根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。
二、教学目标根据新课程标准的要求，教学内容的特点以及八年级学生的认知水平,特制订以下教学目标。
（一）知识与技能目标：1、使学生掌握平面镶嵌的条件；2、能运用两种常见的正多边形进行简单的镶嵌设计。
（二）过程与方法目标：1、经历探索正多边形镶嵌条件的过程，训练学生的合情推理能力；2、通过平面图形的镶嵌活动，培养学生的创新精神和应用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感与态度目标：1、使学生体会数学知识与现实生活的密切联系；2、通过合作学习培养学生团结协作的精神；3、通过拼图和图片欣赏增强学生的审美意识。
三、教学重点、难点及关键本课题学习需要学生通过观察图片和动手操作来感知概念，进而探索用一种或两种正多边形能够镶嵌的规律。
鉴于八年级学生的认知水平和理解能力，我将确定以下重、难点，采用学生小组合作探究、多媒体演示等方式来突出重点，突破难点。
重点：1、探究平面镶嵌的条件；2、设计“镶嵌”的平面图案难点：用两种多边形设计镶嵌图案。
关键：理解平面镶嵌的条件。
四、学情分析八年级学生对镶嵌的认识大多数来源于生活实际中的感性认识，对其内在规律关注不够，因而在本章教学中教师应通过创设情境，组织学生动手活动，在活动中与学生共同探究加深对镶嵌的认识，发现其内在规律，将感性认识上升为理性认识。
沪科版数学八年级下册19.4《综合与实践多边形的镶嵌》教学设计
沪科版数学八年级下册19.4《综合与实践多边形的镶嵌》教学设计一. 教材分析《综合与实践多边形的镶嵌》是沪科版数学八年级下册19.4节的内容。
本节主要让学生了解平面镶嵌的条件，学会用多边形进行镶嵌，并能解释生活中的镶嵌现象。
教材通过实例引导学生探究多边形的镶嵌问题，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了多边形的性质、分类和计算方法。
但平面镶嵌问题较为抽象，需要学生具备一定的空间想象能力和抽象思维能力。
此外，学生可能对生活中的镶嵌现象了解不多，需要通过实例来激发兴趣和理解概念。
三. 教学目标1.了解平面镶嵌的条件，学会用多边形进行镶嵌。
2.能解释生活中的镶嵌现象。
3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
4.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：平面镶嵌的条件，用多边形进行镶嵌。
2.难点：理解平面镶嵌的原理，运用多边形进行实际镶嵌。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究多边形的镶嵌问题。
2.利用实物模型和图片，帮助学生直观地理解镶嵌现象。
3.运用合作学习法，让学生在小组内讨论和分享镶嵌问题的解决方法。
4.采用案例教学法，结合生活中的镶嵌现象，提高学生的兴趣和理解。
六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括多边形的图片、实物模型等。
2.准备相关的生活案例，如瓷砖铺设、地毯图案等。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的镶嵌现象，如瓷砖铺设、地毯图案等，引导学生关注镶嵌问题，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍平面镶嵌的概念，引导学生思考平面镶嵌的条件。
通过示例，让学生尝试用多边形进行镶嵌，并解释镶嵌的原理。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个多边形进行镶嵌，并尝试解释镶嵌的原理。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些生活中的镶嵌现象，让学生运用所学知识进行解释。
2020年春沪科版八年级数学下册课件19.4综合与实践 多边形的镶嵌
A.3
B.4
C.5
D.6
3.如果只用一种正多边形作平面镶嵌, 而且在每一个正
多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形, 则该正多边
形的边数为
（A）
A.3
B.4
C.5
D.6
课堂小测
4.下列图形中, 单独选用一种图形不能进行
平面镶嵌的是
（D）
A.正三角形
B.正六边形
C.正方形
D.正五边形
课堂小测
5.小芳家房屋装修时, 她选中了一种漂亮的正八
探究总结： 用两种正多边形经进行镶嵌可能的组合： 正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形等.
课堂小测
1.下列多边形一定不能进行平面镶嵌的是 （ D ） A.三角形 B.正方形 C.任意四边形 D.正八边形
2.用正方形一种图形进行平面镶嵌时, 在它的一个顶点
周围的正方形的个数是
（B ）
2.用一种形状、大小完全相同的任意三角形, 任意四边形也能进行平面镶嵌.
新知探究
探究 5
用两种正多边形镶嵌, 哪些图形可以进行镶嵌呢? ①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌
每个顶点周围有三个正三角形和两个正方形
新知探究
用两种正多边形镶嵌, 哪些图形可以进行镶嵌呢?
②尝试用正三角形和正六边形镶嵌
有两种情况： 每个顶点周围有四个正三角形和一个正六边形 每个顶点周围有两个正三角形和两个正六边形
新知探究
探究 6
用两种正多边形镶嵌, 哪些图形可以进行镶嵌呢? ③尝试用正方形和正八边形镶嵌
每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形
课堂小结
多边形能进行平面镶嵌的条件：
1.形状、大小完全相同的一种或几种平面图形; 拼接在同一点的各 个角的度数和是360°. 2.无空隙、不重叠铺成一片. 相邻的多边形有公共边.
正多边形镶嵌中的几个认识误区
图 ３
常见的回答： 正方形、正八边形的内角分别 等于 ９ 。 ３ 。 又 ９ 。 ３ 。Ｘ２＝ ３０ ．正 ０ 、１５ ， ０ 十１ ５ ６。 方形、正六边形的内角分别等于９ 。 ２ 。 但 ０ 、１０， 不存在正整数 Ｘ ， 、Ｙ 使得等式 ９ｘ＋１０ ０ ２ ｙ＝３０ ６
ห้องสมุดไป่ตู้成立．
为两种正多边形 的内角能够 组合成一个周角是 它们进行镶嵌 的必要非充分条件． 非充分条件的
一
个例外： 正五边形、正十边形的 内角分别等于
图 １
图２
１８ 、１４ ， １８ ０ 。 ４ 。 且 ０。×２ ４。＝３０ ， ＋１４ ６。 但它们 不能进行镶嵌， 图４ ｉ 如 Ｚ 示． ） ： 正五边形和正十边形不能进行镶嵌是可以
育数学课程标准（ 实验稿） 对镶嵌部分的要求： 通 正六边形能进行镶嵌的理 由是内角度数为３ ０ ６ 的
约数； 其余正多边形不能进行镶嵌的理由是 内角
度数不为３ ０ ６ 的约数．
各版本的教材在编写镶嵌部分时， 通常会在 课程标准的基础上做适 当延伸或拓展．如笔者 所使用的华师大版教材， 基础部分安排了用多种 正多边形镶嵌； 阅读材料介绍了一些复杂图形的
（ 边界上的除外） 它肯定是三个 角“０ 度 角、１８ １８ ０
度 角和１４ 角” ４度 的公共顶点． 如图５ 我们再假定正五边 形ＡＢ ， ＤＥ是里
面的一块图形（ 它的任一点都不在边界上）显然 ，
在它的周围都有别的正多边形存在． 由于 是两 个 １８ 角的顶点，因此 肯定存 在一个“ ０度 正五边 形１， ” 它的一条边必 与 或 Ｅ中的一条完全 重合．由对称性可知， 、 Ｅ是 一样的， ＡＢ 我们 不妨选择ＡＥ（ ） 图６．
多边形的镶嵌
∵正三角形各内角60 ° 正六边形各内角120° ∴120 ° +60 °× 3=360 ° 由此可知正三角形正六边形可以镶嵌
∵正三角形各内角60 ° 正六边形各内角120° ∴120 °×2 +60 °×2 =360 ° 由此可知正三角形正六边形可以 镶嵌
∵正十二边形各内角150 ° 正方形各内角90 ° 正六边形各内角120 ° ∴90 ° + 120 ° + 150 ° =360 ° 由此可知正六边形、正方形和正十二边 形可以镶嵌
用两种正多边形镶嵌, 用两种正多边形镶嵌,哪些图形可以 进行镶嵌呢? 进行镶嵌呢? ①尝试用正三角形和正方形进行镶嵌
每个顶点周围有三个正三角形和两个正方形
∵正三角形各内角60° 正方形各内角90 ° ∴90 °×2 +60 °× 3=360 ° 由此可知正三角形和正方形可以镶嵌
②尝试用正三角形和正六边形镶嵌
③尝试用正方形和正八边ຫໍສະໝຸດ 镶嵌每个顶点周围有一个正方形和两个正八边形
∵正方形内角90 ° 正八边形内角135° ∴ 90 °+ 135 ° ×2=360° 由此可知正方形正八边形可以 镶嵌
④尝试用正十二边形和正六 边形、正方形进行镶嵌
每个顶点周围有个一个正方形、 每个顶点周围有个一个正方形、正六边形和 正十二边形
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正六边形和正三角形的组合镶嵌
正六边形和正三角形的组合镶嵌
1.镶嵌的要求：
无缝隙，不重叠
2.多边形能否镶嵌的条件：
每个顶点处几个角的和为360°
试试看: 请你用两种或两种以上的 多边形设计镶嵌图案.
例:用边长相同的正四边形和正八边形 做平面密铺，有几种可能？为什么？
解：因为正八边形的内角为135 ， o 正方形的内角为90 ，根据： o o o 135 ×2+90 ＝360 ，可知： 两个正八边形和一个正方形 能拼成一幅镶嵌图. 在公共的顶点处各正多边形的内角和等于360°
6
能否平面 镶嵌
图形
一个顶点处正 多边形的个数
正三角形 正方形
能
6
能 不能
能
4
正五边形 正六边形
3
收获
规律小结：
(1)如果正多边形能够镶嵌平面，那么共 顶点的各个角的度数之和应等于360°. (2)能单独用来镶嵌平面的正多边形的 内角度数一定能整除360.
试一试
能用下列正多边形单独镶嵌平面吗？
1.三角形可以作平面镶嵌吗? 若能，三角形将如何镶嵌呢?
形状、大小完全相同的任意 三角形可以镶嵌平面吗？
1
3 2
1
3
1
3
2
2
1
3
1
2
3
2 1
2
1 2 3 1 2 3
3
2.四边形呢?
如图,四边形ABCD中,因为 ∠A+∠B+∠C+ ∠D = 360°, 所以四边形也可以作平面镶嵌.
D C A
B
形状、大小完全相同的任意四边形 可以镶嵌平面吗？
关键：得到一个关于边数x，y的方程， 然后求出它的整数解。
正三角形、正方形、正六边形的组合镶嵌
正三角形、正十二边形的组合镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形的角、 n个正十二边形的角，则有 。 。 。
m· 60 +n· 150 =360
2m+5n=12
∵m、n为正整数
∴解为
m=1 n=2
(1)正八边形； (2)正十边形；
(8 2) 180 135 8
(10 2) 180 144 10 (20 2) 180 162 20
(3)正二十边形；
综合上述研究，可得出以下结论：
能单独镶嵌平面的正多边形只有3种，
即正三角形、正方形、正六边形.
m 3 60m 90n 360 n 2
注意:同一个组合会有不同的镶嵌效果
正方形和正三角形的组合镶嵌
正 方 形 和 正 三 角 形 的 组 合 镶 嵌
(2) 正三角形与正六边形的平面镶嵌 设在一个顶点周围有m个正三角形， n个正六边形的角.
m 4 m 2 60 m 120 n 360 , n 1 n 2
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
60
o
90
o
108
o
120
o
正n边形呢？
(n 2)180 n
用一种或几种多边形进行拼接,彼此之间不留缝隙,
也不重叠地铺成一片,叫做平面图形的镶嵌.
生活中利用镶嵌组成的美丽图案
你注意到地砖的形状一般都是几边形吗？ 下列各正多边形中 ,哪些能单独镶嵌平面， 有没有正五边形地砖？你知道为什么吗？ 哪些不能，为什么？
（2）正三角形与正方形；
（3）正方形与正八边形；
（4）正六边形与正八边形；
（5）正三角形、正方形与正六边形。
当围绕一点拼在一起的几个正多边形 的内角和加在一起恰好组成一个周角时, 就能镶嵌一个平面图形;那么哪些正多 边形可以进行镶呢？
(1) 正三角形与正方形的平面镶嵌
设在一个顶点周围有m个正三角形， n个正方形的角。
1
1
3 4
2
2
1 3
2 2
4
1 3
2
2
3
3
4
4
1
1
2
1
2 2
3
4
4 3
3
1
4
4 3
1
3
3 2 4
4
1
3
1
2
4
4 1
2
从而发现： 形状、大小完全相同的平面图形 能够镶嵌平面的有： 任意三角形、任意四边形、正六边形.
探究多种正多边形的组合镶嵌平面
下列多边形组合，能够密铺平面的是：
（1）正三角形与正六边形；
观察以下图形并思考在镶嵌时，
如何做到既无缝隙又不重叠?
每个顶点处几个角的和为360°
正三角形为什么能镶嵌？
正方形为什么能镶嵌？
正五边形可以镶嵌吗？
原来拼不了！ 为什么?
1 2
3
∠1+∠2+∠3=?
正五边形不能密铺!
正六边形为什么能镶嵌？
正多边形能否镶嵌平面,关键是拼接点处的 几个内角和能否构成360°.
o
正方形、正八边形的组合镶嵌
例:用边长相同的正四边形和正八边形 做平面密铺，有几种可能？为什么？
解：设在一个顶点周围有x个正四边形，y个正八边形， 则 x· 90°+y· 135°=360° 即2x+3y=8 这个方程的非负整数解为： x 1 =1 x 2 =4 y 1 =2 y 2 =0 所以用正四边形和正八边形做平面密铺有两种可能： (1)在它的一个顶点周围1个正四边形配2个正八边形； (2)在它的一个顶点周围都用正四边形.
还有其他的正多边形可以进行镶嵌吗？
正多边 形边数 3 4
拼图
每个内角 每个内角与 的度数 360°的关系
结论 能镶嵌 能镶嵌
60° 6×60°= 360° 90° 4×90°= 360°
108° 3×108°＜ 360° 不能镶嵌 5
108° 4×108°＞ 360° 不能镶嵌 120° 3×120°= 360° 能镶嵌
请你欣赏
观察以下图案，说明它们都是由哪些 几图形组成？
……..
正三角形 正方形 正五边形 正六边形
正多边形: 各边相等、各内角也相等的多边形. 思考:(1)三边都相等的三角形是正三角形吗? (2)四边都相等的四边形是正方形吗? (3)四个角都相等的四边形是正方形吗?
做一做:求下列各正多边形的各个内角度数