离散数学(1-4章)自测题(答案)

《离散数学》题库答案

第2，3章(数理逻辑)

1.答：（2），（3），（4）

2.答：（2），（3），（4），（5），（6）

3.答：（1）是，T （2）是，F （3）不是

（4）是，T （5）不是（6）不是

4.答：（1）P

↔（4）Q

P→

⌝

P⌝

Q→

⌝（2）Q

P⌝

→（3）Q

5.答：（1）

6.答：2不是偶数且-3不是负数。

7.答：（2）

8.答：⌝P ，Q→P

9.答：P(x)∨∃yR(y)

10.答：⌝∀x(R(x)→Q(x))

11、

a、(P→Q)∧R

解：(P→Q)∧R⇔(⌝P∨Q )∧R

⇔(⌝P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）

⇔(⌝P∧(Q∨⌝Q)∧R)∨((⌝P∨P)∧Q∧R)

⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)

⇔(⌝P∧Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧R)

⇔m3∨ m1∨m7 （主析取范式）

⇔m1∨ m3∨m7

⇔M0∧M2∧M4∧M5∧M6 （主合取范式）

b、Q→(P∨⌝R)

解：Q→(P∨⌝R)

⇔⌝Q∨P∨⌝R

⇔M5（主合取范式）

⇔ m0∨ m1∨ m2∨m3∨ m4∨m6 ∨m7 （主析取范式）c、P→(P∧(Q→P))

解：P→(P∧(Q→P))

⇔⌝P∨(P∧(⌝Q∨P))

⇔⌝P∨P

⇔ 1 (主合取范式)

⇔ m0∨ m1∨m2∨ m3 （主析取范式）

d、P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))

解：P∨(⌝P→(Q∨(⌝Q→R)))

⇔ P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))

⇔ P∨Q∨R

⇔ M0 (主合取范式)

⇔ m1∨ m2∨m3∨ m4∨ m5∨m6 ∨m7 (主析取范式)

12、

a、P→Q，⌝Q∨R，⌝R，⌝S∨P=>⌝S

证明：

(1) ⌝R 前提

(2) ⌝Q∨R 前提

(3)⌝Q （1），（2）析取三段论

(4) P→Q 前提

(5)⌝P （3），（4）拒取式

(6)⌝S∨P 前提

(7) ⌝S （5），（6）析取三段论

b、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)

证明：

（1） P 附加前提

（2） Q 附加前提

（3） P→(Q→R) 前提

（4） Q→R （1），（3）假言推理（5） R （2），（4）假言推理（6） R→(Q→S) 前提

（7） Q→S （5），（6）假言推理（8） S （2），（7）假言推理

c、A，A→B， A→C， B→(D→⌝C) => ⌝D

证明：

（1） A 前提

（2） A→B 前提

（3） B (1)，(2) 假言推理

（4） A→C 前提

（5） C (1)，(4) 假言推理

（6） B→(D→⌝C) 前提

（7） D→⌝C (3)，(6) 假言推理

（8）⌝D (5)，(7) 拒取式

d、P→⌝Q，Q∨⌝R，R∧⌝S⇒⌝P

证明、

(1) P 附加前提

（2） P→⌝Q 前提

（3）⌝Q （1），（2）假言推理

（4） Q∨⌝R 前提

(5) ⌝R （3），（4）析取三段论

(6 ) R∧⌝S 前提

（7） R （6）化简

（8） R∧⌝R 矛盾（5），（7）合取

所以该推理正确

13.写出∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x) →∃xG(x))的前束范式。

解：原式⇔∀x(⌝F(x)∨G(x))→(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))

⇔⌝(∀x)(⌝F(x)∨G(x)) ∨(⌝(∃x)F(x) ∨ (∃x)G(x))

⇔ (∃x)((F(x)∧⌝ G(x)) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x) ⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀x) ⌝F(x)

⇔ (∃x)((F(x) ∨G(x)) ∨ (∀y) ⌝F(y)

⇔ (∃x) (∀y) (F(x) ∨G(x) ∨⌝F(y))

（集合论部分）

1、答：(4)

2.答：32

3.答：（3）

4.答：A1=A2=A3=A6， A4=A5

5. 答：（4）

6.答：（1）

7.答：（2），（4）

8、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：

a、A⋂ (B－C)＝(A⋂B)－(A⋂C)

证明：

(A⋂B)－(A⋂C)= (A⋂B)⋂~（A⋂C）=(A⋂B) ⋂（~A⋃~C）

=(A⋂B⋂~A)⋃(A⋂B⋂~C)= A⋂B⋂~C=A⋂（B⋂~C）

=A⋂（B-C）

b、(A－B)⋃(A－C)=A－(B⋂C)

证明：

(A-B)⋃(A-C)=(A⋂~B)⋃(A⋂⋂~C) =A⋂ (~B ⋃~C)

=A⋂~（B⋂C）= A-(B⋂C)

c、A⋃B=A⋃(B-A)

证明：

A⋃(B-A)=A⋃(B⋂~A)=(A⋃B)⋂(A⋃~A)

=(A⋃B)⋂E= A⋃B

9、P(A)⋃P(B)⊆P(A⋃B) （P(S)表示S的幂集）

证明：

∀S∈P(A)⋃P(B)，有S∈P(A)或S∈P(B)，所以S⊆A或S⊆B。

从而S⊆A⋃B，故S∈P(A⋃B)。即P(A)⋃P(B)⊆P(A⋃B)

10、P(A)⋂P(B)=P(A⋂B) （P(S)表示S的幂集）

证明：

∀S∈P(A)⋂P(B)，有S∈P(A)且S∈P(B)，所以S⊆A且S⊆B。

从而S⊆A⋂B，故S∈P(A⋂B)。即P(A)⋂P(B)⊆P(A⋂B)。

∀S∈P(A⋂B)，有S⊆A⋂B，所以S⊆A且S⊆B。

从而S∈P(A)且S∈P(B)，故S∈P(A)⋂P(B)。即P(A⋂B)⊆P(A)⋂P(B)。

故P(A⋂B)=P(A)⋂P(B)

（二元关系部分）