(完整版)波动方程
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
helmholtz equation 波动方程
helmholtz equation 波动方程
波动方程（Helmholtz equation）是一个常见的偏微分方程，描述了波动现象的传播过程。
它通常用于描述声波、光波、电磁波等在空间中的传播。
一维波动方程的数学形式为：
∂²u/∂x² + k²u = 0
其中，u是波函数，k是波数，x是空间坐标。
二维波动方程的数学形式为：
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + k²u = 0
其中，u是波函数，k是波数，x、y是空间坐标。
三维波动方程的数学形式为：
∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z² + k²u = 0
其中，u是波函数，k是波数，x、y、z是空间坐标。
波动方程描述了在各个坐标轴方向上的二阶偏导数之和与波函数自身之间的关系，表达了波动现象的传播规律。
它是研究波动现象的基础方程，在物理学、工程学中有广泛的应用。
波动方程_精品文档
l
=
=
12
50
600
s
=
1
(
)
υ
例题：有一列向x 轴正方向传播的平面简谐波，
它在t = 0 时刻的波形如图所示其波速为：
u = 600m/s 。试写出波动方程。
=
5m
A
24m
l
=
从波形图中可知：
ω
=
π
2
=
π
50
(
)
rad.
s
1
υ
原点处质点的振动方程为：
波动方程为：
y
0
2
π
由旋转矢量法：
u
l
=
=
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
1.时间推迟方法
x
x
u
y
o
P
·
A
已知振源（波源）的振动方程为：
振源的振动状态从0点以传播速度u传送到P 点，显然时间要落后：
´
u
x
＝
t
u
x
j
=
t
+
cos
(
)
A
ω
－
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
0
´
t
j
=
t
+
cos
(
)
y
A
ω
－
P
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位
置的位移（坐标为 y）随时间t 的变化关系。
＝
0
第2章波动方程
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
第三章波动方程
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1
波动方程的达朗贝尔公式
1.一维波动方程Cauchy问题的 D’Alembert公式
⎧ utt = a u xx , − ∞ < x < ∞, t > 0, ⎪ ⎨ ⎪u |t =0 = ϕ ( x ) , ut |t =0 = ψ ( x ) , −∞ < x < ∞ ⎩
2
(1) (2)
即
u ( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at )
(3)
容易验证, 只要 F G 具有二阶连续偏导, 表达式(3)就是 方程(1)的通解. 再由初始条件
F ( x) + G ( x) = ϕ ( x) −aF ′ ( x ) + aG′ ( x ) = ψ ( x )
启发人们把数学上解的概念加以扩充:用一个充分光滑的初始 函数序列来逼近不够光滑的初始函数,前者所对应的解的序列 的极限就是定义为后者所确定的解,称为问题的广义解.这就是 首先由索波列夫所引入的广义定义的解概念.引入广义解概念 的好处,就在于对定解条件的要求放宽了,从而使方程所能描述 的物理现象更为广泛.
z
( x, y, z ) 在球面上的平均值为 2π π 1 v ( x, y , z , t ) = ω (α , β , γ )ds 2 2 ∫0 ∫0
4π a t
θ (α , β , γ ) M ( x, y , z ) at
1 2π π = ∫0 ∫0 ω (α , β , γ )d Ω 4π a = x + at sin θ cos ϕ β = y + at sin θ sin ϕ γ = z +n θ dθ dϕ d Ω = sin θ dθ dϕ
波动方程和振动方程的表达式(3篇)
第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。
常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。
以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。
假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。
2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。
假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。
3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。
假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。
二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。
常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。
以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。
假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。
2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。
假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。
(大学物理 课件)波动方程
表示 x1 处质点的振动方程
结束
返回
2. t = t 1 (常数) y
o y = A cos ω ( t 1 x )+j u x
表示在 t 1 时刻的波形
结束
返回
3. t 与 x 都发生变化 x t = t1 y 1 = A cos ω ( t 1 u ) + j x t = t 1+Δ t y ´= A cos ω ( t 1+Δ t u ) + j y
波 动 方 程
返回16章 结束
波动方程 一、平面简谐波的波动方程 y u x
§16-2平面简谐波
o
B
x
参考点O点的振动方程为： y = A cos ( t + j ) ω
任意点（B点）的振动方程，即波动方程为： y = A cos ω ( t x ) + j u 结束 返回
平面简谐波的波动方程为: x j y = A cos ω ( t u ) + t x j y = A cos 2π ( T l ) +
A cos 2π (x +120 t ) = 60
π
3
例2. 有一列向 x 轴正方向传播的平面简 谐波，它在t = 0时刻的波形如图所示，其波 速为u =600m/s。试写出波动方程。 y(m)
u 5 x (m)
o
12
.
结束
返回
解： o 由图可知， 在t = 0时刻
y(m)
u 5 x (m)
12
.
y1 y´ ut
.
O
x
x´
t
令 y 1= y ´
得： ´= x +uΔ t x 这表示相应于位移y1的相位，向前传播了 uΔ t的距离。 结束 返回
第六章_波动方程
一、波动方程
薛定谔方程
氢原子中的电子非相对论能量动量关系：
E p / 2m V (r )
2
把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：
i 2 V (r ) t 2m
2
再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。
ˆ 一般写成： i H t
ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2 ka ka u C cos D sin 0 2 2
(3)
(4)
一、波动方程
3+4：
3-4：
ka 2u 2C cos 0 2 ka (1,3,5,...) 2 2 k
n 0,1, 2,...
(7)
7式给出能量算符 H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能 级差为hν，最低能级是 hν/ 2 而不是0！ 许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍 意义。 例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的 能量子是一份一份的，每一份的能量为hν，这就是普朗克假 设的物理本质。
波动方程
一、波动方程
第七章 波动方程
波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要 描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方 程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔²伯努利和拉格朗日等在研 究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
一、波动方程
在红色区域V＝∞，1式写为：
d 2 u 2m 2 2 V E u u; 2 dx
第三章波动方程
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x;
ti)∆ti
=
w(t, x; τ )dτ.
于f (ti, x)
=
F
(ti, ρ
x)
(这里F
(ti,
x)表示外力，而ρ是密度函数)，所以在时间段∆ti
内非齐
次项所产生的速度改变是为f (ti, x)∆ti。我们把这个速度改变量看作是在时刻ti时的初
3
始速度，它所产生的振动可以由下面的具有非齐初始条件的齐次方程的Cauchy问题来
描述
wtt − c2wxx = 0,
ξ − x = −c(τ − t)
-
0
ξ
图 1.1. 三角形区域Ω
上面我们用两种方法得到了Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解的表达式(1.19)式。它究竟是 否确实是Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解呢？这一点还需要按照解的定义进行验证。
我们假设f ∈ C1。由(1.19)式可知，
于是，有
为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2)，我们引入
wtt − c2wxx = 0,
(1.3)
t = τ : w = 0, wt = f (τ, x).
记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为
w = w(t, x; τ ),
1波动方程
t x y = A cos2π + T λ
x y = A cos 2π ν t + λ 2π x y = A cos[ 2πν t +]
Tu = λ
1 ν= T
y
λ
ut
0 x X
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= -π/2 2π 2πx π y = Acos( t + ) λ 2 T
F
y
0.04m
u
0.2m 0.4m
X
= 4 ×10 2 cos(100πt + 5πx π 2)m 17
因为: 因为: = y = y( x, t ) = Aω sin[ω (t + x ) + 0 ] v u t 所以 v = y = y ( x, t ) = 12.6 cos(100πt + 5πx)(m / s ) t 显然与波速u=20m/s 不同. 不同. 显然与波速 上例中条件是已知t=0时刻的波动方程 时刻的波动方程. 上例中条件是已知 时刻的波动方程. 如果t=0时 波源 波源x=0点的振动方程为: 点的振动方程为: 如果 时,波源 点的振动方程为
19
三,波函数的物理意义
1.振动方程与波动方程的区别 振动方程与波动方程的区别
x = A cos(ωt + )
振动方程是时间 t 的函 数 波动方程是坐标 x 和时间 t 的函数, 的函数,表示的是参与波 动的一系列的质点任意时 刻的振动位移. 刻的振动位移.
x o
x = f (t )
t
y = f ( x ,t )
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5
6
四,波阵面,波射线,波前 波阵面,波射线,
波动方程的三种表达式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。
波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。
波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。
不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。
电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。
这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。
波动方程
1.1 波动方程的形式一维波动方程（描述弦的振动或波动现象的）()t x f x u a t u ,22222=∂∂-∂∂ 二维波动方程（例如薄膜振动）()t y x f y u x u a t u ,,2222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂ 三维波动方程（例如电磁波、声波的传播）()t z y x f z u y u xu a t u ,,,222222222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 1.2 波动方程的定解条件（以一维波动方程为例）（1）边界条件 ①第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）：弦振动问题中，弦的两端被固定在0=x 及l x =两点，因此有()0,0=t u ，()0,=t l u 。
②第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）：弦的一端（例如0=x ）处于自由状态，即可以在垂直于x 轴的直线上自由滑动，未受到垂直方向的外力，此时成立0=∂∂=ox xu。
也可以考虑更普遍的边界条件()t xu x μ=∂∂=0，其中()t μ是t 的已知函数。
③第三类边界条件：弦的一端固定在弹性支承上，不放考虑在l x =的一端，此时边界条件归结为0u =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=l x u x σ。
也可以考虑更普遍的情况()t u x lx v u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=σ，其中()t v 是t 的已知函数。
1.3 利用叠加原理求解初值问题 初值问题()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<∞=∂∂==+∞<<∞>=∂∂-∂∂)x -(,,:0t x 0,-t ,,22222x t u x u t x f x u a t u ψϕ （1） 利用叠加原理求解上述初值问题，叠加原理表明由()t x f ,所代表的外力因素和由()()x x ψϕ,所代表的初始振动状态对整个振动过程所产生的综合影响，可以分解为单独只考虑外力因素或只考虑初始振动状态对振动过程所产生的影响的叠加。
大学物理-波动方程
2
谱方法的优点是精度高，适用于大规模问题求解， 且能够处理复杂的边界条件和初值条件。
3
谱方法的缺点是计算量大，需要较高的编程技巧 和计算资源，且对非线性问题的处理较为困难。
06 波动方程在物理中的应用
声波传播
声波传播
波动方程可以描述声波在介质中的传播规律 。通过求解波动方程，可以得到声波的传播 速度、振幅和相位等信息。
有限差分法的优点是简单直观，易于编程实现，适用于规则区域的问题求解。
有限差分法的缺点是对不规则区域和边界条件的处理较为复杂，且精度相对较低。
有限元法
01
有限元法是一种将连续的波动问题离散化为有限个相互连接的子域（即有限元 ）的方法，通过将波动方程转化为有限元方程组，然后求解该方程组得到波动 问题的数值解。
大学物理-波动方程
contents
目录
• 波动方程概述 • 一维波动方程 • 二维波动方程 • 三维波动方程 • 波动方程的数值解法 • 波动方程在物理中的应用
01 波动方程概述
波动方程的定义
波动方程是描述波动现象的基本数学 模型，它描述了波动在空间和时间上 的变化规律。
波动方程通常表示为偏微分方程，其 中包含未知函数（如波动位移或速度 ）及其偏导数。
地震定位与测深
利用地震波的传播规律，可以进行地震定位和测深，以了解地球内 部结构和构造。
地震灾害评估
地震波的传播特性可以为地震灾害评估提供重要信息，如地震烈度、 震源深度和地表破裂带等。
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偏微分方程的形式
三维波动方程通常采用偏微分方程的形式，包含了波动传播的空间 和时间信息。
三维波动方程的解法
波传播所满足的波动方程
波传播所满足的波动方程
波传播所满足的波动方程可以根据具体情况而定。
以下是几个常见的波动方程：
1. 一维波动方程：
∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x²
其中，u(x,t)代表波的位移，c为波速，x为空间坐标，t为时间。
2. 二维波动方程（横波）：
∂²u/∂t² = c² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)
其中，u(x,y,t)代表波的位移，c为波速，x和y为平面上的空间坐标，t为时间。
3. 三维波动方程（横波）：
∂²u/∂t² = c² (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)
其中，u(x,y,z,t)代表波的位移，c为波速，x、y和z为空间坐标，t为时间。
需要注意的是，不同类型的波（例如横波或纵波）以及不同的介质（例如固体、液体或气体）可能有不同的波动方程。
此外，上述方程还是基于经典的波动理论，实际情况可能需要考虑更复杂的因素。
波动方程
参考结果： Test Scheme: AX'=BX [0,N]=126 dx=4.9866550e-002 E2=1.1227816e-004 EM=8.2816971e-004 2_4_0.ini [0,N]=126 dx=4.9473900e-002 E2=2.3789179e-006 EM=3.3642419e-006 2_4_0_T.ini Test Wave: df/dt+c*df/dx=0 [0,N]=126 dx=4.9473900e-002 c=1 E2=5.5015039e-003 EM=7.7798533e-003 2_4_0_T.ini t= [0,N]=126 dx=4.9473900e-002 c=1 E2=1.#INF000e+000 EM=1.1291954e+184 0_4_2_T.ini t= [0,N]=126 dx=4.9473900e-002 c=1 E2=5.5165671e-003 EM=7.8011563e-003 12_36_12_T.ini t=
• 3.由
• 4.由方程 • 5.由 • 6. 用
∂u ( x, t ) ∂u ( x, t ) = −c ∂t ∂x
u ( x, t + dt ) = u ( x, t ) +
u ( x, t ) 代替 u ( x, t + dt )
重复第3步
例1
∂f ∂f =0 对于波动方程： + c ∂x ∂t 空间计算域等间距离散点数为 n， 离散点为 x = ( x1 , x2 , x3 , , xi , , xn − 2 , xn −1 , xn )， 其中 x1 = 0，xi +1 − xi = dx，dx = 2π / n， 初始函数为以 2π 为周期的函数 f ( x,0)，求 f ( x, t ) 与 f ( x,0) 的误差， 1 n 即 E2 = ( f ( xi , t ) − f ( xi ,0)) 2 和 EM = max(| f ( xi , t ) − f ( xi ,0) |)， ∑ n i =1 其中 c = 1，n = 127，dt = π / n / 10，t = 2π，f ( x,0) = sin( x)。 分别采用以下三种周期性差分格式，比较不同差分格式对波动方程的影响。 4 f ' ( xi ) + 2 f ' ( xi +1 ) = (− f ( xi −1 ) − 4 f ( xi ) + 5 f ( xi +1 )) / dx 2 f ' ( xi −1 ) + 4 f ' ( xi ) = (−5 f ( xi −1 ) + 4 f ( xi ) + f ( xi +1 )) / dx 12 f ' ( xi −1 ) + 36 f ' ( xi ) + 12 f ' ( xi +1 ) = (− f ( xi − 2 ) − 28 f ( xi −1 ) + 28 f ( xi +1 ) + f ( xi + 2 )) / dx
波动方程
(0.01cm-1 ) x2 ] 2π
-1 -1
x2 - x1 200 cm
-1 -1
周期为相位传播一个波长所需的时间
π [(2.50s )t1 - (0.01cm ) x1 ] π [( 2.50s )t2 - (0.01cm ) x2 ]
x2 - x1 200 cm T t2 - t1 0.8 s
5 – 3 波动方程
-1
第五章 振动和波
-1
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [( 2.50s )t - (0.01cm ) x].
解：方法二（由各物理量的定义解之）. 波长是指同一时刻 t ，波线上相位差为 2π 的两 点间的距离.
π [( 2.50s -1 )t - (0.01cm-1 ) x1 ] -π [( 2.50s -1 )t -
5 – 3 波动方程
第五章 振动和波
讨论 1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 和 x 0 点的初相位.
t x y - A cos 2π ( - ) (向x 轴正向传播 , π ) T x y - A cos (-t - ) (向x 轴负向传播 , π ) u 2）平面简谐波的波函数为 y A cos( Bt - Cx )
点P
t 时刻点 P 的运动
5 – 3 波动方程
如果原点的 初相位不为零
第五章 振动和波
y
A
O
u
x
x 0 , 0 - A
点 O 振动方程
yO A cos(t )
x 波 y A cos[ (t - ) ] u 沿 x 轴正向 u 函 x 数 y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴负向 u
第一章_波动方程
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
数学物理方程
第一章 波动方程
回 答 下 列 方 程 是 线 性、 的非 线 性 的 ？ 齐 次 非次 齐？ 阶 数 ？
(1)
4u
4
x x y y u u ( 2)u xy 0 x x
2u
2
2
4u
2 2
4u
4
0
四阶线性齐次 一阶非线性，拟线性的 二阶线性齐次的 二阶线性非齐次的 三阶非线性
要在区域 ( 0 x l ,t 0 )上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。 一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。
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y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
t 1.0s y (1.0m) cos[ π (π m1)x]
波形方程
2
(1.0m) sin(π m1)x
y/m
1.0
o
2.0
x/m
-1.0
t 1.0 s 时刻波形图
3） x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . y (1.0m) cos[2 π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
第二节 波动方程
用数学表达式表示波动----波函数 波函数—任意时刻任意位置处的质点的振动位移。
y y(x,t)
各质点相对于平衡位置的位移
波线上各质点平衡位置
一、平面余弦行波的波函数
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（1）前进波（波沿X轴正方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去，沿X
原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
1）波动方程
解 写出波动方程的标准式
O
y
A
y Acos[2π ( t x ) ] T
t0 x0
y 0, v y 0
π
2
t
y (1.0m) cos[2π( t x ) π] 2.0s 2.0m 2
2）求t 1.0s 波形图.
已知波源的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程: y(x,t)
x 0处 前进波 x 0处 后退波
y( x, t ) y( x, t )
A cos[ (t A cos[ (t
x) ux ) u
0 ] 0 ]
4、已知真实波源的振动，波源不在原点
已知波源的振动
x x0处 前进波 x x0处 后退波
y(x0 ,t) Acos(t 0 )
y( x, t )
A cos[ (t
x
x0 u
)
0
]
y( x, t )
A cos[ (t
x
x0 u
)
0 ]
注意: 振动方程与波函数的区别
x A cos(t )
x f (t ) x
x为振动位移,是时间 t 的函数 o
u cos(t 2
) 0 ]
x
0
Acos[2 ( t
T
) Acos(t
x)
kx
0
0 )
]
注意：a) x为正、负，均适用； b)对横、纵波均适用；
2、从无穷远处来到无穷远处去
已知 x x0的振动 y(x0 ,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程:
y( x, t )
Acos[(t x
u Acos(t 2
) 0 ]
x
0
Acos[2 ( t
T
) Acos(t
x
)
0
kx 0)
]
注意：a)不论x为正、负，均适用； b)对横、纵波均适用；
1、从无穷远处来到无穷远处去
已知 原点的振动
（2）后退波（波沿X轴负方向传播） 已知：一列平面简谐波从无穷远处来到无穷远处去,沿X轴
y[0, (t
t )]
A cos[ (t
x) u
0 ]
ii)相位法
点 P 比点 O 落后的相位
2π x
点 P 振动方程：
A y u
P
x
Ox *
A
y(x,t) Acos(t 0 )
A cos( t
2
x
0 )
平面简谐波前进波的波函数（表达式、波函数、波动
方程、运动学方程）：
y(
x,
t)
求波线上任意位置x处质点的振动方程:
y( x, t )
u
（2）后退波
y(x,t) y(x0 ,t t)
o·····x·0·······x····x
y(x0 ,t
x x0 ) u
A cos[ (t
x
x0 u
)
0
]
Acos[2 ( t
T
x
x0
)
0 ]
A cos( t
2
x
x0
0 )
3、已知真实波源的振动，波源在原点
T
把题中波动方程改写成
y (5cm) cos2π [(2.50s-1)t (0.01cm-1)x]
2
2
比较得
T 2 s 0.8 s 2cm 200 cm u 250 cms1
2.5
0.01
T
例2 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振
幅 A 1.0m ，T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标
A
cos[ (tx u) Nhomakorabea0
]
ii)相位法
A y u
点 P 比点 O超前的相位
P
x
2π x
Ox *
A
点 P 振动方程：
y( x, t )
A cos( t
0
)
A cos( t
2
x
0 )
平面简谐波后退波的波函数（表达式、波函数、波动
方程、运动学方程）：
y( x, t )
A A
cos[(t x
轴正向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程 y(x,t)。
解: X处的振 动规律y(x,t) 与原点的振动 规律的关系：
i)时间法
点O 的振动状态 t 时刻点 P 的运动
t x u
点P
t-x/u时刻点O 的运动
y( x, t )
（1）前进波
y(x,t) y(x0 ,t t)
o···· ·x·0······u ·x····x
y(x0
,t
x
x0 u
)
Acos[(t
x
u
x0
)
0
]
Acos[2 ( t
T
x
x0
)
0
]
Acos(t 2
x x0
0 )
2、从无穷远处来到无穷远处去
已知 x x0的振动 y(x0 ,t) Acos(t 0 )
为某一时刻各质点的振动位移，给这列波拍的“照片”
y t 0
y t T /4
o
x
o
x
y t T /2
o
x
y t 3T / 4
o
x
例1 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s -1)t (0.01cm-1)x].
解：方法一（比较系数法）.
y Acos2π ( t x )
t
x 为波线上各质元的平衡 位置，y 为 t 时刻 x 处质 点振动位移，波函数是x 和 t 的函数。
y f (x,t)
y
o
x
y
A
cos
t
x u
二、波函数的物理意义
y
A
cos
t
x u
1.当 x x0（常数）时，
y
y f (t )
o
t
为波线上 x0处质点的振动方程。
2.当 t c （常数）时， y f (x )
负向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0,t) Acos(t 0 )
求波线上任意位置x处质点的振动方程 y(x,t)。
解: X处的振动规律y(x,t) 与原点的振动规律的关系：
i)时间法
t x
P点 的振动状态
u
原点
t 时刻点 P 的运动
t+x/u时刻点O 的运动
y(x,t)
y[0, (t t)]