二次根式的性质 课件
湘教版数学八年级上册第1课时二次根式的概念及性质同步课件
5.1 第1课时
二次根式的概念及性质
情景引入
（1） 5 的平方根是_______ ，0 的平方根是_________，
正实数a的平方根是_______ .
（2）运用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须到达一定的速度（称为
正实数a的平方根是
.
第一宇宙速度），才能克服地球的引力，从而将飞船送入环地球运行的
(a 0)
a
a a
a(a 0)
2
余 5 个式子含有二次根号“
都是二次根式.故选 C.
”,且被开方数均是正数,所以它们
对于非负实数a，由于 a 是a的一个平方根，因此
( a )2 = a( a ≥ 0 ).
例2 当x是怎样的实数时，二次根式
解 由 x-1≥0，
解得 x ≥ 1.
因此，当x≥1时，
x -1 在实数范围内有意义.
x -1在实数范围内有意义？
又由于已知a≥0，因此 a2 = a.
由此得出：
a2 = a ( a ≥ 0 ) .
(1)应用(√a)2=a时需注意成立的条件a≥0;
(2)可直接应用性质进行化简或计算;
(3)逆用此性质可以将一个非负数写成一个数的平方的情势.
例2
计算：
(2) 2 2
(1.2) 2 -1.2
根据上述结果，
轨道.而第一宇宙速度v与地球半径R之间存在如下关系： v 2 = gR，其中重
力加速度常数 g 9.8m / 若已知地球半径R，则第一宇宙速度v是多少
s2 .
？
因为速度一定大于0，
所以第一宇宙速度 v = gR .
5 的平方根是 ± 5，
正实数a的平方根是 ± a．
二次根式及其性质课件
1 •下列式子一定是二次根式的是( C )
知1－练
2 •(中考·武汉)若代数式 C
•则x的取值范围是( )
在实数范围内有意义，
•A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
知识点 2 二次根式的性质
知2－导
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
4 9 ____, 4 9 _____; 4 _____, 4 _____;
•
的根指数为2，所以
是二次根式．
• (7)是．理由：因为|x|≥0，且 根式．
的根指数为2，所以
是二次
总结
知1－讲
二次根式是在初始的外在情势上定义的，不能从化 简结果上判断，如 是二次根式. 像 （a≥0）这样的式子只能称为含有二次根式 的式子，不能称为二次根式.
知1－讲
• 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意 义？
知识点 1 二次根式的定义
知1－讲
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式． 特点：①都是形如 a 的式子，
②a都是非负数.
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
知1－讲
导引： 判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根
式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知3－练
1 (中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是( A )
2 在下列根式中，不是最简二次根式的是( D )
1. 当a≥0时， 2. 当a≥0时， •3.
完成教材P43,习题T1-T4
谢谢！
知2－讲
知识点
商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法
浙教版八年级下册 1.3 二次根式的运算 课件(共26张PPT)
术作品的面积为多少平方厘米？
解：
（2）三张长方形连接在一起的总长度为:
10 2
20 2
A
B
？
C
30 2
10 2 20 2+30 2=60 2cm
AB=5 2cm
AC=60 2 4=15 2cm
正方形的边长BC AC AB
= (m)
.
C
∴BE=AE÷0.8=
AEΒιβλιοθήκη FD
(m)
∴AB = +
= (m)
，
∵CF= BE=
=
.
∴DF=1.6CF= (m)
∴CD = +
=
(m)
答：这个小男孩经过的总路程约为7.71米.
∵CD= m
( 3) 2 3
(1 2) 2 1 2
(1 2)
2 1
三. 性质复习
最简二次根式
1.根号内是一个不含平
方因数的整数
例1 计算
1
3
(2)
4
12 24 化成最简二次根式
2.分母中不含根号
8
2
1
2
2
2
解：原式=
6 -12 2
2 2
2
2
2
1
3
3 2
3
E
G
D
图2
F
B
例题分析
例7 如图，一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=40cm，将斜边上
精品【冀教版】初二八年级数学上册《15.1.2 二次根式的性质》课件
1
化简:
(1) 125；
(2)
7 14 ;
(3) m 3 n5 (m 0);
(5)
(4) 0.49 x 5 y 6 ( y＞0)；
2
a
2
b
2
a
2
4
b
3
2
2
(ab＞0)；
1 (6) 4 y 4 xy x y y＞ x . 2
知3－导
归
纳
一般地，如果一个二次根式满足下面两个条件，那
么，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式.
(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
5 6 9 2 如 3 6, 4 5, , , 都是最简二次根式. 4 2 二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的
(4) 0.49 x y 0.7
5 6 2
x y
2 2 3 2
2
x
0.7
2
x y
2 2 3
x 0.7 x 2 y 3 x .
（来自《点拨》）
冀教版八年级数学上册
知1－练
(5)
a b a b a b a b a
式，化简时要先分解因式．
（来自《点拨》）
冀教版八年级数学上册
知1－练
解： (1) 125 25 5 25 5 5 5.
(2)
7 14
7 14 2 7 2 2 7 2 7 2.
(3) m 3 n5 m 2 n4 mn m 2 n4 mn mn2 mn .
第十五章
二次根式
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
第01讲二次根式的性质
第01讲二次根式的性质第1讲二次根式的性质知识导航1．二次根式的概念与被开方数中字母的取值范围；2．二次根式的双重非负性；3．开平方与平方两种运算的关系【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如(a0)的式子叫做二次根式，”称为二次根号．开平方时，被开方数a的取值范围是a0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a0，算术平方根的结果0．题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()；；－；；；(x＞1)；A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】形如(a0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a0；不符合被开方数a的取值范围是a0，是开3次方，为二次根式，故选C．【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：；(x－2)0；中，x不可以取2的是()A．只有 B．只有 C．和 D．和【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，分母的值不为零．，x－20，则x2；(x－2)0，x－20，则x2；中，x－20，解得x2，故x不可以取2的是和，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若x，y为实数，y＝，则4y－3x的平方根是．【分析】，故只有x2－4＝0，即x＝±2，又x－2≠0，x＝－2，y＝＝－，4y－3x＝－1－(－6)＝5，故4y－3r的平方根是±．【解答】士．【例4】已知|7－9m|＋(n－3)2＝9m－7－，求(n－m)2019的值．【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0．【解答】＋(n－3)2＝9m－7－，＋(n－3)2＋＝9m－70，9m－7＋(n－3)2＋＝9m－7，(n－3)2＋＝0，n－3＝0，m－4＝0，n＝3，m＝4，(n－m)2019＝(－1)2019＝－1．题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数x，y，m适合关系式＋＝·，求m的值．【分析】由(x＋y)－200，20－(x＋y)0，所以x＋y＝20．再利用两个二次根式的和等于0，即每一个被开方数等于0．【解答】x＋y－200，20－(x＋y)0，x＋y＝20．＋＝0，≥0，0，3x＋3y－m＝0，m＝3(x＋y)＝3×20＝60．针对练习11．x取何值时，下列各式有意义(1)；(2)；－；(4)．【解答】(1)x＞；(2)x4且x－5；(3)1x≤2；(4)x5且x6．2．代数式＋＋的最小值是()A．0 B．1＋ C．1 D．不存在【解答】B．3．方程＋＝0的解是．【解答】，或4．已知x，y为实数，且满足－(3y－1)＝0，则(xy)2019＝．【解答】－15．如果x，y，z为实数，且满足＋＋z2－z＋＝0，求(y＋z)x2的值．【解答】|4x－4y＋1|＋＋(z－)2＝0，又≥0，0，(z－)20，4x－4y＋1＝0，2y＋z＝0，z－＝0，x＝－，y＝－，z＝，(y＋z)x2＝(－＋)(－)2＝．6．若m适合关系式：－＝－，求m的值．【解答】由条件得x＋y－1160，116－(x＋y)0，116≤x＋y116，x＋y＝116，＝－，≥0，－0，，＋得5(x＋y)＋18＝2m，2m＝5×116＋18，m＝299．【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质()2＝a(a≥0)和＝，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简．题型五＝的运用【例1】已知0＜a＜1，化简－＝．【分析】a＝()2，＝，又0＜a＜1，()2＜，即＜．原式＝－＝－＝＋－（－）＝2．【解答】2．【例2】若化简－的结果为2x－5，则x的取值范围是．【分析】根据x的取值化简绝对值和二次根式的性质分析．－＝－＝2x－5，则－＝x－1＋x－4，即1－x0，x－40，解得1x≤4．【解答】1x≤4．题型六()2＝a(a0)的运用【例3】已知ABC的三边a，b，c满足关系式a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，试求ABC的周长．【分析】根据式子的结构特点，运用a＝()2配方，然后利用非负性解题．【解答】a＋b＋c－2－4－6＋4＝0，(a－5)－2＋1＋(b－4)－4＋4＋(c－1)－6＋9＝0，(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，a－5＝1，b－4＝4，c－1＝9．a＝6，b＝8，c＝10，ABC的周长为6＋8＋10＝24．题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：，2，，2，，，…，(第n个数)．【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解＝，2＝，＝，2＝，＝，第6个数是＝2，第n个数是．【解答】2，．【例5】观察下列各式：＝2；＝3；＝4；，请你猜想⑴＝，＝；(2)计算(请写出推导过程)：；(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来．【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简．【解答】＝5，＝6；(2)＝＝＝14；＝(n＋1)（n1）．题型八求值【例6】已知：x＝2－，求代数式x2－4x－6的值．【分析】由x＝2－得x－2＝－，两边平方可得二次式．【解答】x＝2－，x－2＝－，(x－2)2＝(－)2，x2－4x＋4＝10，x2－4x＝6，x2－4x－6＝0．【例7】已知x＝2－，那么x4－8x3＋16x2－x＋1的值是．【分析】由x＝2－得出x2－4x－1＝0，用x2－4x－1除x4－8x3＋16x2－x＋1，得出商和余数，利用：被除数＝除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算．【解答】由x＝2－得x－2＝－，两边平方，得x2－4x＋4＝5，x2－4x－1＝0，x4－8x3＋16x2－x＋1＝(x2－4x－1)(x2－4x＋1)＋(－x＋2)＝2－x＝．题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个非负数a，b，使a＋b＝m，ab ＝n，这样()2＋()2＝m，(＝，那么便有＝＝(a＞b)．例如：化简．首先把化为，这里m＝7，n＝12；由于4＋3＝7，43＝12，即()2＋()2＝7，(＝，＝＝＝2＋．由上述例题的方法化简：(1)；(2)；(3)．【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数．【解答】(1)＝＝；(2)＝＝＝－；(3)＝＝(＝(－1)＝－．＝＝＝＝1＋．解决问题：(1)在括号内填上适当的数：＝＝＝＝________；(2)根据上述思路，试将予以化简．【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号．【解答】(1)＝＝＝＝3＋；(2)＝＝＝＝5－．针对训练21．a，b，＋＋－a－．a，b在数轴上的位置可得a＜0a＋b＜0－a＞0b－＜0．－a|－|b －|＝－a－a－b＋－a＋b－＝－3a．2．＝·，－2＋．＝·3x＋10，2－x0，∴－≤x≤2，x－2＋＝x－2＋3x＋1＝－(x－2)＋(3x＋1)＝2x＋3．＋＋1，试化简代数式：|x－1|－－．【解答】∵－x≥0，x－≥0，－x＝，y＞0＋0＋1，y＞1y－1＞，＝－＝－14．当1＜x＜5时，化简：－．【解答】原式＝－＝|x－1|－|x－5|，又∵1＜x＜5，原式＝(x－1)－[－(x－5)]＝2x－6．5．若x，y为实数，且y＝＋＋，求－的值．【解答】∵1－4x≥0，4x－1≥0，∴1－4x＝0，∴x＝，∴y＝，＋＝2＋＝．∴原式＝－＝＝．6．已知a为偶数，且＝，求－的值．【解答】∵＝，∴a－1≥0，3－a＞0，∴1≤a＜3，又∵a为偶数，∴a＝2，又∵－＝－，∵a＝2，a－3＜0，∴原式＝a－1－＝a－1＋＝2－1＋＝．7．对于题目“化简求值：＋，其中a＝”甲、乙两人的解答不同．甲的解答是：＋＝＋＝＋－a＝－a＝；乙的解笞是：＋＝＋＝＋a－＝a＝，谁的解答是错误的?为什么?【解答】乙的解答是错误的．∵当a＝时，－a＞0，∴＝－a．8．化简：(1)；(2)．【解答】(1)原式＝＝＝；(2)原式＝＝＝(＋1)＝＋．9．已知a＋b＋c＝2＋4＋6－14，求a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)的值．【解答】依题意得(a＋1)－2＋1＋(b＋1)－4＋4＋(c－2)－6＋9＝0，∴(－1)2＋(－2)2＋(－3)2＝0，∴＝1，＝2，＝3，∴a＝0，b＝3，c＝11．a(b＋c)＋b(c＋a)＋c(a＋b)＝0＋33＋33＝66．10．利用“≥0”解答下列问题：(1)若＋＋＝0，求a，b，c的值；(2)若a＋b＋c＝4＋6＋2，求a，b，c的值．【解答】(1)∵≥0，≥0，≥0．＋＋＝＝0，＝0＝0，a＝1b＝4，c ＝9；(2a－2＋b－4＋c－6＝0，[()2－2＋1]＋[()－4＋4]＋[()－6＋9]＝0，(－1＋(－2)＋(－3)＝0，(－10，(－2)0，(－3)0．－1＝0，－2＝0－3＝0，a＝2，b＝8，c＝18．11．＋＝a－2017＝__．a－2018≥0，即a≥2018，则原方程可化为|2017－a＋＝aa－2017＋＝a＝2017a－2018＝201720172＝2018．2018．。
人教版下册课件：16.1二次根式性质
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
广丰实验中学饶绍仁
19
议一议
1. x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
ab2
ab2
a
a
b
b2
2∣b∣ ba
a
(a
(a 0,b
0,b 0)
0)
b a (a 0,b 0)
一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因
式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这
样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号
外面.
广丰实验中学饶绍仁
6
观察思考
若(x 3)0 1 有意义,则x __2_且_ x 3
x 2 广丰实验中学饶绍仁
27
课堂检测
(1) 27 15
(2) a2 b
3) a3 (b 0) b
(4) 1 ab
(5） 18x3 (6) 12 y2 ( y 0)
广丰实验中学饶绍仁
28
课堂检测
（7）.化简二次根式
1 x
结果是. 1 x
广丰实验中学饶绍仁
30
2
2 3
___23___6_,
2
2 3
___23__6__
3 3 ___34 __6_, 3 3 __34__6__
8
8
4
4
8 15
__15____
4
4
8 15
_1_5____
二次根式的性质课件
求解$sqrt{2x + 1} + sqrt{x - 2} leq 5$。同样先确定定 义域，再利用二次根式的性质和不等式的解法进行求解。
实践操作
给出一些具体的一元二次不等式问题，让学生尝试利用二 次根式的性质进行求解，并引导学生总结求解过程中的注 意事项和技巧。
05
二次根式在函数图像和性质中应 用
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
• 二次根式的定义：$\sqrt{a}$（$a \geq 0$）是一个二次根式 ，其中$a$是被开方数，$\sqrt{}$是根号。
关键知识点总结回顾
二次根式的性质 $sqrt{a^2} = |a|$（$a$为任意实数）
$(sqrt{a})^2 = a$（$a geq 0$）
04
解
$sqrt{12} + sqrt{27} = sqrt{4 times 3} + sqrt{9 times 3} = 2sqrt{3} + 3sqrt{3} = 5sqrt{3}$。
06
解
$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = [(sqrt{3} + 1) + (sqrt{3} - 1)][(sqrt{3} + 1) - (sqrt{3} - 1)] = (2sqrt{3})(2) = 4sqrt{3}$。
二次函数图像和性质回顾
二次函数的一般形式：$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的图像是一条抛物线，对称 轴为 $x = -frac{b}{2a}$，顶点坐标 为 $left(-frac{b}{2a}, c frac{b^2}{4a}right)$。
人教初中数学八年级下册 16.1《二次根式》二次根式的概念和性质课件1
通常把形如 m a(a 0)的式子也叫做二
次根式,如 3 2, 2a b2 1 等. 24
例题1 化简二次根式:
1 72; 2 12a3; 3 18x2 x 0.
注意判断根号 内字母的取值 范围，
25
例题2 化简二次根式:
1 a;
3
2 5 ;
2x
3 b2 b 0;
aa 0.
29
9a
4 a 1.
a
注意判断根号内 字母的取值范围，
26
写出下列等式成立的条件：
1 (x 2)(x 6) x 2 x 6
2 y 2 y 2
6 y 6 y
27
小结
1.掌握化简二次根式的两个基本步骤: ⑴ 将二次根式中的分母化去; ⑵ 把二次根式中所含的完全平方因式移
不要忽略 4
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
在实数范围内,负数没有平方根
5
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
6
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3
在实数范围内有意义？
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式 在实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x
7
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
浙教八年级下册数学第一章第2节《二次根式的性质(1)》参考课件1(共19张PPT)
2
2 22 ___,
5
2
5 ___,
0 02 ___,
2 | 2 | ___; 5 | 5 | ___; 0. | 0 | ___
a a
2
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关 系?当 a 0 时, a2 ____; a a ;当a 0 时, a2 ____.
2 3 那计算式子 7 5
2
4 3 呢？ 5 7
2
2.计算
(1) (7) ( 7 )
2 2
2
(2)( 11 ) (13)
2
3 如图, P 5, 2 是直角坐标系 中一点,求点P到原点的距离.
3
y
2
P
5, 2
O
5
x
二次根式的性质及它们的应用:
a
2
b
c
2
(a b) (b c) c a
3.化简
(1 p)
2
2 p
2
1 p (2 p) p 1 2 p 1
化简（ 1 3x ) 1 x
2
如果 a a 2 2a 1 1 那么a的取值范围是＿＿＿
化简：
(1)
2.数a在数轴上的位置如图,
1 (2)( 3 ) ______ (1) (1) ______ 3
则
a . a _____
2
a
-2
-1
0
1
计算:
3 2 2 4 2 ( ) 5 3 5 3
解：
3 2 4 2 0, 0 5 3 5 3
《最简二次根式》二次根式PPT课件
2．被开方数是分数的二次根式化简
例 2 化简 1125． 分析：因为，125=5×5×5=52×5，所以，只需 分子、分母同乘以 5 就可以了．
解法一： 1125＝ 513××55＝255．
3．被开方数是小数的二次根式化简
例 3 化简 1.5．
分析：被开方数是小数时，常把小数化成相 应的分数，然后进行求解．
1 8x3
x
0
0.8 4 45 2 5 5 55 5
4 1 9 92 3 2 2 2 22 2
20a2b 4a2 5b c 2 a 5bc 2a 5bc
c
cc
c
c
x2
1 8x3
x2
1 2x x2 8x3 2x 4x2
2x
2x 4
1.最简二次根式的概念.
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式。
(2) 1 6x 9x2 (x 1) 3
(2)3x 1
(3) x 32 1 x2 1 x 3 (3)2
2、如果 a3 a2 a a 1， 那么a的取值范围是 ( D )
A． a 0 C． a 1
B． a 1
D． 1 a 0
3.化简 1 x3 x
错解：原式 1 x x2 x
18
32
被开方数不 含开得尽方 的因数
a 3
b2
(b 0)
9a
3a 3
ba
(b 0)
3a
被开方数 不含分母
（１）被开方数各因式的指数都为1． （２）被开方数不含分母．
被开方数满足上述两个条件的二次根式，叫 做最简二次根式．
如：1 x2 y √
4
6m(a2 b2 ) √
1 4
x2 y x 4
二次根式的性质课件(共31张PPT)
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
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a (a>0)
2、
= │a│ = 0 (a=0)
-a (a＜0)
11
想一想： a2 等于什么呢？ 性质 2：当 a≥0 时， a2 = a ；
当 a＜0 时， a2 = -a 。
也就是说： a2 = |a| 。
注意： 的化简
化简
时，先将它化成
，再根据绝
对值的意义来进行化简，即
=
算一算：(1) (3)
（-9）2 (2)
(
1 3
)2
64
(4) (x2+1)2
小结：
1、（ a）2＝a （a 0）
（4）x（x≥0） ( x)2
这种改写的应用，例如：在实数范围内
分解因式 a²-5= a²- ( 5)2
6
( a)2与 a2有区别吗?
( a)2与 a2
1:从运算顺序来看,
2 a
先开方,后平方
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
二次根式的性质（2）
算一算： 02 = 0 ； 22 = 2 ； （-2）2 = 2 ； 32 = 3 ； （-3）2 = 3 。
知识回顾
1.数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ C ）. A.a>0 B.a≥0 C.a<0 D.a=0
2.下列各式中，是二次根式的有___m_2 _+_20_、___a_2_+_b_2 _、___15__.
-144、 m2 +20、 3a、 a2 + b2 、 15、 b2 -1 .
3.a取什么实数时，下列各式有意义？
2 a a (a≥0)
自学检测一：
(1)计算 - 2
2
3
原式=(-2)²X3=12
2. 把式子 ( a )2 a(a≥ 0) 反过来，就得到
a ( a )2 (a≥ 0).
3.把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 ( 5)2
（2）3.4 ( 3.4)2
（3）
1 6
( 1 )2 6
(1) a + 2; a≥－2
(2) a2 ; a为任意实数
(3) 1 . a
a＞0
学习目标
1、掌握二次根式的两个性质。 2、会利用这两个性质进行相 应的计算和化简。
2020/12/30
( 4)2 4 ( 0)2 0
1
(
0.01)2 0.01 (
1 )2 3
3
?
观测上述等式 的两边,你能得 到什么启示?