离散数学第2章,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂,课件,PPT
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《离散数学教案》课件
《离散数学教案》课件第一章：离散数学简介1.1 离散数学的定义与意义离散数学的定义离散数学在计算机科学中的应用1.2 离散数学的基本概念集合逻辑函数图论1.3 离散数学的研究方法形式化方法归纳法构造法第二章：集合与逻辑2.1 集合的基本概念与运算集合的定义与表示方法集合的运算（并、交、差、补）2.2 逻辑基本概念命题与联结词逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）2.3 命题逻辑与谓词逻辑命题逻辑的形式化表示与推理谓词逻辑的形式化表示与推理第三章：函数与图论3.1 函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性3.2 图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）3.3 树的基本概念与应用树与图的关系树的结构性质与应用（二叉树、堆、平衡树）第四章：组合数学4.1 组合数学的基本概念排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）4.2 组合数学的计算方法直接法、间接法、递推法、函数法4.3 组合数学在计算机科学中的应用算法设计与分析（动态规划、贪心算法）程序语言中的组合类型（类型系统、类型检查）第五章：数理逻辑与计算复杂性5.1 数理逻辑的基本概念命题逻辑的数学模型（布尔代数、逻辑函数）谓词逻辑的数学模型（一阶逻辑、描述逻辑）5.2 计算复杂性的基本概念与分类计算复杂性的定义与度量（时间复杂性、空间复杂性）计算复杂性的分类（P与NP问题、整数分解问题）5.3 离散数学在算法设计与分析中的应用算法设计与分析的基本原则离散数学在算法优化与分析中的作用第六章：关系与映射6.1 关系的基本概念关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）6.2 关系的闭包与简化关系的闭包概念关系的简化与规范化6.3 函数与二元关系函数与关系的联系与区别二元组与二元关系的应用第七章：代数结构7.1 代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用7.2 群与群作用群的定义与运算群作用与群同态7.3 环与域环的定义与性质域的特殊性质与应用第八章：数理逻辑与计算理论8.1 数理逻辑的进一步应用命题逻辑与谓词逻辑的推理规则数理逻辑在计算机科学中的应用8.2 计算理论的基本概念计算模型的定义与分类计算复杂性的理论基础8.3 离散数学在计算理论中的应用计算理论中的逻辑与证明离散数学在算法设计与分析中的作用第九章：组合设计与计数原理9.1 组合设计的基本概念组合设计的定义与类型组合设计在编码理论中的应用9.2 计数原理的基本概念鸽巢原理、包含-排除原理函数的方法与应用9.3 图论与网络流图的遍历与路径问题网络流与最优化问题第十章：离散数学的综合应用10.1 离散数学在计算机科学中的应用算法设计与分析数据结构与程序语言设计10.2 离散数学在数学与应用数学中的作用组合数学在概率论与数论中的应用图论在网络科学与社会网络分析中的应用10.3 离散数学在未来科技发展中的展望量子计算与离散数学与逻辑推理重点和难点解析重点环节一：集合的基本概念与运算集合的表示方法（列举法、描述法）集合的运算（并、交、差、补）重点环节二：逻辑基本概念与推理命题与联结词（且、或、非）逻辑推理规则（蕴涵、逆否、德摩根定律）重点环节三：函数的基本概念与性质函数的定义与表示方法函数的单调性、连续性、奇偶性重点环节四：图的基本概念与运算图的定义与表示方法图的运算（节点、边、路径、连通性）重点环节五：组合数学的基本概念与计数原理排列组合的定义与公式组合数学的应用（计数原理、图论）重点环节六：关系与映射关系的定义与性质关系的类型（对称性、传递性、反身性）重点环节七：代数结构的基本概念群、环、域的定义与性质代数结构在计算机科学中的应用重点环节八：数理逻辑与计算理论数理逻辑的推理规则计算理论的基本概念（计算模型、计算复杂性）重点环节九：组合设计与计数原理组合设计的定义与类型计数原理的应用（鸽巢原理、包含-排除原理）重点环节十：离散数学的综合应用离散数学在计算机科学中的应用（算法设计与分析、数据结构与程序语言设计）离散数学在数学与应用数学中的作用（组合数学在概率论与数论中的应用、图论在网络科学与社会网络分析中的应用）全文总结和概括：本《离散数学教案》课件涵盖了离散数学的基本概念、逻辑推理、函数与图论、组合数学、数理逻辑与计算理论、组合设计与计数原理等多个重要环节。
离散数学第2章-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂--ppt课件
p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
27
主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
30
主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
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主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
30
主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
离散数学课件第2章
4
序,而集合中的元素是不讲顺序的。但是 为了将所有的 概念都统一于集合概念， 可采用克亚托斯基(Kazimierz Kurafowski)在1921年给出的定义 (a, b)={{a},{a, b}} 将二元组定义为比其元素高二层的集合； (4) 也可用二元组来递归的定义n元组如下： (a,b,c)=((a,b),c)
例9 .设 A={1,2,3} R1 ={(1,1),(2,2)} ， R2 ={(1,2),(2,1)} 。
16
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)： R(a)={b : bBaRb }B ； (2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。 定理.设R A×B是一个二元关系， A1 ,A2 A 。则 (1)保序性：A1 A2 R(A1) R(A2) ； (2)R(A1∪A2) = R(A1)∪R(A2) ； (3)R(A1∩A2) R(A1)∩R(A2) 。
例.设A={a,b,c,d}， A1 = {c,d} ， R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(d,c),(c,b)}。
17
§3 .关系的表示
关系的性质
一.关系表示法 1°关系的矩阵表示法 设关系RA×B ， 这里A,B是两个非空的有限集合， A={ a1,a2,a3,…,am } ， B={ b1,b2,b3,…,bn } 。 则 用一个m×n阶0—1矩阵MR来表示关系R， 称此矩 阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。 MR=(xij)m×n ，其中 1 当（ai,bj) R时 xij = ( i=1,…,m ； j=1,…,n) 0 当（ai,bj) R时
序,而集合中的元素是不讲顺序的。但是 为了将所有的 概念都统一于集合概念， 可采用克亚托斯基(Kazimierz Kurafowski)在1921年给出的定义 (a, b)={{a},{a, b}} 将二元组定义为比其元素高二层的集合； (4) 也可用二元组来递归的定义n元组如下： (a,b,c)=((a,b),c)
例9 .设 A={1,2,3} R1 ={(1,1),(2,2)} ， R2 ={(1,2),(2,1)} 。
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元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)： R(a)={b : bBaRb }B ； (2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。 定理.设R A×B是一个二元关系， A1 ,A2 A 。则 (1)保序性：A1 A2 R(A1) R(A2) ； (2)R(A1∪A2) = R(A1)∪R(A2) ； (3)R(A1∩A2) R(A1)∩R(A2) 。
例.设A={a,b,c,d}， A1 = {c,d} ， R={(a,a),(a,b),(b,c),(c,a),(d,c),(c,b)}。
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§3 .关系的表示
关系的性质
一.关系表示法 1°关系的矩阵表示法 设关系RA×B ， 这里A,B是两个非空的有限集合， A={ a1,a2,a3,…,am } ， B={ b1,b2,b3,…,bn } 。 则 用一个m×n阶0—1矩阵MR来表示关系R， 称此矩 阵MR为关系R的关系矩阵(relation matrix)。 MR=(xij)m×n ，其中 1 当（ai,bj) R时 xij = ( i=1,…,m ； j=1,…,n) 0 当（ai,bj) R时
离散数学第五版第二章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
同一命题，在不同 域中的真值可能不
（b）个体域D2=R(R为实数集合)。
同。
（a）：
（b）：
令F（x）：x*x－3x+2=(x-1)(x-2) 。 令F（x）：x*x－3x+2=(x-1)(x-2) 。
G（x）：x+5=3。
G（x）：x+5=3。
1）∀xF（x） 真命题
1）∀xF（x） 真命题
2）∃xG（x）
15 2021/3/10
第二章 一阶逻辑基本概念 2.1 一阶逻辑的基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式 2.4 一阶逻辑推理理论
16 2021/3/10
2.2一阶逻辑合式公式及解释
一、一阶语言ℱ 1. 一阶语言的字母表（定义2.1）
(1)个体常项：a,b,c,…… (2)个体变项：x,y,z,…… (3)函数符号：f,g,h,…… (4)谓词符号：F，G，H，…… (5)量词符号：∀，∃ (6)连接词符号：，⋀，⋁，→，↔ (7)括号与逗号：（，），，
1) 凡人都呼吸。 2) 有的人用左手写字。 其中：（a）个体域D1为人类集合。
同一命题，在不同的 域中命题符号化的形 式也不同！
（b）个体域D2为全总个体域。
（a）：令F（x）：x呼吸。 G（x）：x用左手写字。 1）∀xF（x） 2）∃xG（x）
2021/3/10
（b）：令F（x）：x呼吸。
G（x）：x用左手写字。
重言式的代换实例都是永真式，矛盾式的代换实例都是 矛盾式。
28 2021/3/10
2.2一阶逻辑合式公式及解释
例3：判断下列公式哪些是永真式，哪些是矛盾式： 1) x(F(x)G(x)) 2) x(F(x)G(x)) 3) xF(x)(xyG(x,y)xF(x)) 4) (xF(x)yG(y))yG(y) 5) xF(x)(xF(x)yG(y))
离散数学课件-第2章-3
2019/8/25
11
Primes (素数)
[ Definition 2 ] A positive integer p greater than 1 is called prime if the only positive factors of p are 1 and p. A positive integer that is greater than 1 and is not prime is
that do not exceed n equals the number of integers k with 0<dk≤n, or with 0<k ≤n/d.因为不超过n的正整 数中能被d整除的整数的个数等于能使0<dk≤n或0<k
≤n/d的整数k的个数
Therefore, there are n/d positive integers not
Solution: 11 = 3 (4) + 1
Quotient = 4 and Remainder = 1
2019/8/25
21
Greatest common divisor and least common multiple
最大公约数和最小公倍数
[ Definition 4 ] Let a and b be integers, not both zero. The largest integer d such that d∣a and d∣b is called the greatest common divisor of a and b .令a和b是不全为0的两个整数。能 使d|a和d|b的最大整数d称为a和b的最大公约数
called composite(大于1的正整数p称为素数，如果p仅有 的正因子是1和p。大于1又不是素数的正整数称为合数）.
左孝凌离散数学PPT课件
25
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
《离散数学概述》PPT课件
同 子代数 种
的 积代数 同
类 商代数 型
的 新代数系统
22
半群与群
广群 二元运算的封闭性
结合律
半群
交换律
交换半群
单位元 交换律
独异点
每个元素可逆 交换律
群
交换独异点 实例
Abel群
生成元
Klein群 循环群
有限个元素
有限群
编辑ppt
实例
n元置换群
23
图论
图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。
由于在计算机内,机器字长总是有限的, 它代表离散的数或其
它离散对象，因此随着计算机科学和技术的迅猛发展,离散数
学就显得重要。
编辑ppt
5
离散数学的内容
数理逻辑： “证明”在计算科学的某些领域至关重要，构 造一个证明和写一个程序的思维过程在本质上是一样的。
组合分析：解决问题的一个重要方面就是计数或枚举对象。
编辑ppt
20
代数系统
近世代数，……，是关于运算的学说，是关于运算规则 的学说，但它不把自己局限在研究数的运算性质上，而 是企图研究一般性元素的运算性质。
——Ｍ.Klein
数学之所以重要，其中心原因在于它所提供的数学系统 的丰富多彩；此外的原因是，数学给出了一个系统，以 便于使用这些模型对物理现实和技术领域提出问题，回 答问题，并且也就探索了模型的行为。
1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉(Euler) 发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人
们普遍认为欧拉是图论的创始人。
1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专 著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑 ，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。
离散数学第2章ppt课件
E AA∪B∪BC
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
C
n
A k A 1A 2 A n
k 1
二、集合的并 (Union)
3、性质
1)幂等律 A∪A =A
2)零律
A∪U =U
3)同一律 A∪ =A
4)交换律 A∪B =B∪A
5)结合律 A∪(B∪C) =(A∪B)∪C
二、集合的并 (Union)
3、性质
， 6)
若A⊆B，C⊆D，则A∪C
是集合，没有元素
有1个元素的集合
2) ∈{}， {}
五、特殊集合
1、空集
定理 空集是任一集合A的子集，即 ⊆A。
下列命题是否为真。
1)√⊆;
2) ∈ ; 3) ⊆{}; 4) ∈{} 。
√
√
五、特殊集合
1、空集
推理 空集是唯一的。(绝对唯一)
证明： 设1，2是两个空集, 则1 2，且2 1，
证明唯一性 一般采用反
1、符号表示法
通常用大写字母A, B, C, …代表集合; 用小写字母a, b, c, …代表元素。
1)如果a是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a属于A”,或 “a在集合A中”。
2)如果a不是集合A的一个元素, 则记为 a∈A, 读做“a不属于A”,或 “a不在集合A中”。
注：任一元素, 对某一集合而言, 或属于该集合, 或不属于该集合, 二者必居其一, 且只居其一。
1) 若b∈A，则b是不给自己刮脸的人， 而由题意，b只给集合A中的人刮脸。 ∴b 要给b 刮脸， 即b ∈ A。
理发师问题
在一个很僻静的孤岛上，住着一些人家，岛上只 有一位理发师，该理发师专给那些并且只给那些自己 不刮脸的人刮脸。那么，谁给这位理发师刮脸？
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
15
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
离散数学第二章课件
2013-7-27 213页-第19
河南工业大学离散数学课程组
结论
F(x, y)：x是y的父亲
1.谓词中客体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如命题F(b, c)为‚真‛，但命题F(c, b)为‚假‛； 2.具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前 者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确 定的。如上例中S(x)：x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值。 3.一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的客 体变元都用具体的客体取代后，就成为一个命题。 而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题 的真值有很大的影响。
2013-7-27 213页-第6
河南工业大学离散数学课程组 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前 提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例 子如： 著名的苏格拉底三段论： 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却 苏格拉底（前469-前399） 无法得到证明，因为三段论的每句话都 古希腊唯心主义哲学家。 是一个原子命题，我们可分别用P，Q， 出现问题的原因 R来表示。这样，三段论方法用形式符号 在于，三段论中， 表示应为 P∧Q R 结论R与前提P， 但在命题逻辑里， P∧Q→R显然不是重言 Q的内在联系不 式。 可能在命题逻辑 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在 中表示出来。 联系,即不能将命题分解开。
2013-7-27 213页-第20
河南工业大学离散数学课程组
2-2 命题函数与量词
一、命题函数 1、命题函数 单独一个谓词不是命题,例如设A:…是大学生,不是 命题, 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是 命题,如A(张三)是一个命题。 设L(x, y): x小于y, 则L(2, 3)表示‚2小于3” 是真命题, 而L(5, 1)表示‚5小于1”是假命题。 上例中当x,y是客体变元时,谓词L(x,y)不是命题。 设P(x)表示‚x是大学生‛, 当x取特定的客体即客体常量时,则P(x)是命题, 而当x可在一定的范围任意取值, 则P(x)不是命 题，称为命题函数。
河南工业大学离散数学课程组
结论
F(x, y)：x是y的父亲
1.谓词中客体词的顺序是十分重要的，不能随意变 更。如命题F(b, c)为‚真‛，但命题F(c, b)为‚假‛； 2.具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的，前 者是有真值的，而后者不是命题，它的真值是不确 定的。如上例中S(x)：x是一个三好学生， a为王童， S(a)是有真值的，但S(x)却没有真值。 3.一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的客 体变元都用具体的客体取代后，就成为一个命题。 而且，客体变元取不同的值对是否成为命题及命题 的真值有很大的影响。
2013-7-27 213页-第6
河南工业大学离散数学课程组 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。 逻辑学中著名的三段论方法，是由一个大前 提，一个小前提推出结论的方法。这方面的例 子如： 著名的苏格拉底三段论： 显然这是正确的推理，但在命题逻辑中却 苏格拉底（前469-前399） 无法得到证明，因为三段论的每句话都 古希腊唯心主义哲学家。 是一个原子命题，我们可分别用P，Q， 出现问题的原因 R来表示。这样，三段论方法用形式符号 在于，三段论中， 表示应为 P∧Q R 结论R与前提P， 但在命题逻辑里， P∧Q→R显然不是重言 Q的内在联系不 式。 可能在命题逻辑 命题演算的局限性: 不能反映命题之间的内在 中表示出来。 联系,即不能将命题分解开。
2013-7-27 213页-第20
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2-2 命题函数与量词
一、命题函数 1、命题函数 单独一个谓词不是命题,例如设A:…是大学生,不是 命题, 只有当这个谓词后面紧跟一个具体客体后才是 命题,如A(张三)是一个命题。 设L(x, y): x小于y, 则L(2, 3)表示‚2小于3” 是真命题, 而L(5, 1)表示‚5小于1”是假命题。 上例中当x,y是客体变元时,谓词L(x,y)不是命题。 设P(x)表示‚x是大学生‛, 当x取特定的客体即客体常量时,则P(x)是命题, 而当x可在一定的范围任意取值, 则P(x)不是命 题，称为命题函数。
离散数学-数理逻辑共87页
段
想。
12
英国数学家 G.Bool于1847年发表《逻辑的数学分
析》，创建一套表示逻辑推理的基本符号以及符号的
创 运算规律，建立了布尔代数。
立
阶
段
德国数学家 G.Frege于1879年在《概念的演算》
一书中引进谓词符号和量词符号，创建第一个比较严
Hale Waihona Puke 格的逻辑演算系统。13
英国逻辑学家 A.N.Witehead和B.Russel于1910
3.通过演算规则，得出结果
8
（3）内容
命题逻辑 谓词逻辑
9
（4）分支
证明论 模型论 递归论 公理集合论
10
§1.2 数理逻辑的发展简史
起源阶段
发
展
历
创立阶段
史
完善阶段
11
德国数学家、哲学家 G.Leibniz
起 源
（1646~1716），提出建立一种普遍的符
阶 号语言，利用符号语言进行思维演算的设
– 《Discrete Mathematics and Its Applications》(Sixth Edition)， [美]Kenneth H. Rosen，机械工业出版社影印版、译本
1
课程主要内容
• 数理逻辑 • 集合论 • 图论 • 代数系统*
2
目的、意义和要求
• 研究内容：离散量的结构及其相互间的关系。 • 意义：计算机科学的理论基础。 • 目的：打基础
数理逻辑是采用数学方法研究抽象思维推理规律 （形式推理）的一门科学。
命题逻辑是数理逻辑的基本组成部分之一
推理的基本要素是命题 把命题作为基本单位来分析
符号化
研究公式间的关系
离散数学标准讲义sy第2章精品PPT课件
2021/2/4
离散数学
10
一阶逻辑命题符号化
例：在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将 下面两个命题符号化: (1) 凡是人都要呼吸. (2) 有的人用左手写字.
其中: (a)个体域 D1为人类集合； (b)个体域 D2为全总个体域.
解答
2021/2/4
离散数学
11
F (x) : x呼吸。
再取i癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学57一阶逻辑知识结构21一阶逻辑基本概念22一阶逻辑等值演算23一阶逻辑的推理理论第四次课第一二次课第三次课癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学58一阶逻辑等值演算知识点量词消去等值式量词否定等值式量词辖域收缩与扩张等值式量词分配等值式代替规则癌痛治疗工作的开展使阿片类止痛药用量出现明显增加的趋势然而阿片类的滥用人数却呈现下降的趋势阿片类止痛药物医疗用药并未增加阿片类药物滥用的危险2020622离散数学59一阶逻辑等值式b为逻辑有效式则称a与b是等值的记作
(a)个体域 D1为人类集合；
(b)个体域 D2为全总个体域.
2021/2/4
离散数学
13
一阶逻辑命题符号化
例：在个体域限制为(a)和(b)条件时，将下列命题符 号化:
(1) 对于任意的x，均有 x2-3x+2=(x-1)(x-2) .
(2) 存在x，使得 x+5=3.
其中: (a) 个体域 D1=N (N为自然数集合) (b) 个体域 D2=R (R为实数集合)
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特别提示：必须牢记这16组等值式，这是继续学习的基础
6
等值演算与置换规则
1. 等值演算——由已知的等值式推演出新的等值式的过程 2. 等值演算的基础： (1) 等值关系的性质：自反性、对称性、传递性 (2) 基本的等值式 (3) 置换规则（见3） 3. 置换规则 设 (A) 是含公式 A 的命题公式，(B) 是用公式 B 置换 (A) 中所有的 A 后得到的命题公式 若 BA，则 (B)(A)
17
求公式的范式
(2) (pq)r (pq)r (pq)r (pq)r (pr)(qr)
（消去第一个） （消去第二个） （否定号内移——德摩根律) 析取范式 （对分配律） 合取范式
18
极小项与极大项
定义2.4 在含有n个命题变项的简单合取式（简单析取式） 中，若每个命题变项均以文字的形式在其中出现且仅出现 一次，而且第i个文字出现在左起第i位上（1in），称这 样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.
5
基本等值式
零律 同一律 排中律 矛盾律 蕴涵等值式 等价等值式 假言易位 等价否定等值式 归谬论 A11, A00 A0A. A1A AA1 AA0 ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
几点说明： n个命题变项有2n个极小项和2n个极大项 2n个极小项（极大项）均互不等值 用mi表示第i个极小项，其中i是该极小项成真赋值的十进 制表示. 用Mi表示第i个极大项，其中i是该极大项成假赋值 的十进制表示. mi（Mi）称为极小项（极大项）的名称.
19
实例
由两个命题变项 p, q 形成的极小项与极大项 极小项 公式 pq pq pq pq 成真赋值 名称 0 0 1 1 0 1 0 1 m0 m1 m2 m3 公式 pq pq pq pq 极大项 成假赋值 0 0 1 1 0 1 0 1 名称 M0 M1 M2 M3
15
命题公式的范式
(3) 使用分配律 A(BC)(AB)(AC) A(BC) (AB)(AC)
求合取范式 求析取范式
公式范式的不足不惟一
16
求公式的范式
例5 求下列公式的析取范式与合取范式 (1) (pq)r (2) (pq)r 解 (1) (pq)r (pq)r （消去） pqr （结合律）
10
判断公式类型
(2) (pq)(qp) (pq)(qp) （蕴涵等值式） (pq)(pq) （交换律） 1 重言式 (3) ((pq)(pq))r) (p(qq))r （分配律） p1r （排中律） pr （同一律） 可满足式，101和111是成真赋值，000和010等是成假赋值.
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
21
mi与Mi的关系： mi Mi, Mi mi
主析取范式与主合取范式
主析取范式——由极小项构成的析取范式 主合取范式——由极大项构成的合取范式 例如，n=3, 命题变项为 p, q, r 时， (pqr)(pqr) m1m3 ——主析取范式 (pqr)(pqr) M1M7——主合取范式
3
结论: p(qr) (pq) r
等值式例题
(2) p(qr) 与 (pq) r
p q r
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
qr
1 1 0 1 1 1 0 1
p(qr)
1 1 1 1 1 1 0 1
pq 1 1 1 1 0 0 1 1
12
范式概念
说明： 单个文字既是简单析取式，又是简单合取式
13
范式的性质
定理2.1 (1) 一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含有某 个命题变项和它的否定式. (2) 一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题 变项和它的否定式.
定理2.2 (1) 一个析取范式是矛盾式当且仅当它每个简单合 取式都是矛盾式. (2) 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都 是重言式.
②, ③代入①并排序，得 (pq)r m1m3m5 m6m7 （主析取范式）
25
实例
(pq)r (pr)(qr) （合取范式） ④ pr p(qq)r (pqr)(pqr) M0M2 ⑤ qr (pp)qr (pqr)(pqr) M0M4 ⑥ ⑤, ⑥代入④ 并排序，得 (pq)r M0M2M4
(2) 若某个Bj既不含pi, 又不含pi, 则将Bj展开成
Bj Bj(pipi) (Bjpi)(Bjpi) 重复这个过程, 直到所有简单合取式都是长度为n的极
小项为止
(3) 消去重复出现的极小项, 即用mi代替mimi (4) 将极小项按下标从小到大排列
23
求公式主范式的步骤
9
等值演算的应用举例
判断公式类型: A为矛盾式当且仅当A 0 A为重言式当且仅当A 1
例4 用等值演算法判断下列公式的类型 (1) q(pq) (2) (pq)(qp) (3) ((pq)(pq))r) 解 (1) q(pq) q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律） p(qq) （交换律，结合律） p0 （矛盾律） 0 （零律） 矛盾式
24
实例
例6 (1) 求公式 A=(pq)r的主析取范式和主合取范式 解 (pq)r (pq)r （析取范式） ①
(pq) (pq)(rr) (pqr)(pqr) m6m7 ② r (pp)(qq)r (pqr)(pqr)(pqr)(pqr) m1m3m5m7 ③
（主合取范式）
26
主范式的应用
1.求公式的成真成假赋值
设公式A含n个命题变项, A的主析取范式有s个极小项, 则A 有s个成真赋值, 它们是极小项下标的二进制表示, 其余2n-s 个赋值都是成假赋值 例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100. 类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
20
实例
由三个命题变项 p, q, r 形成的极小项与极大项.
极小项
公式 成真赋值 名称 公式
极大项
成假赋值 名称
p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
7
等值演算的应用举例
证明两个公式等值
例2 证明 p(qr) (pq)r 证 p(qr) p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
(pq)r
0 1 0 1 1 1 0 1
4
结论: p(qr) 与 (pq) r 不等值
基本等值式
双重否定律 AA 幂等律 AAA, AAA 交换律 ABBA, ABBA 结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC) 分配律 A(BC)(AB)(AC), A(BC)(AB)(AC) 德摩根律 (AB)AB (AB)AB 吸收律 A(AB)A, A(AB)A
11
2.2 析取范式与合取范式
基本概念 (1) 文字——命题变项及其否定的总称 (2) 简单析取式——有限个文字构成的析取式 p, q, pq, pqr, … (3) 简单合取式——有限个文字构成的合取式 p, q, pq, pqr, … (4) 析取范式——由有限个简单合取式组成的析取式 p, pq, pq, (pq)(pqr)(qr) (5) 合取范式——由有限个简单析取式组成的合取式 p, pq, pq, (pqp(pqr) (6) 范式——析取范式与合取范式的总称
公式A的主析取(合取)范式——与A 等值的主析取(合取)范式 定理2.5 (主范式的存在惟一定理) 任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式, 并且是惟一的
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求公式主范式的步骤
求公式主析取范式的步骤:
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn
(1) 求A的析取范式A=B1 B2 … Bs , 其中Bj是简单合取 式 j=1,2, … ,s
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命题公式的范式
定理2.3（范式存在定理） 任何命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式 公式A的析取(合取)范式与A等值的析取(合取)范式 求公式A的范式的步骤： (1) 消去A中的, （若存在） ABAB AB(AB)(AB) (2) 否定联结词的内移或消去 A A (AB)AB (AB)AB
第二章 命题逻辑等值演算
主要内容 等值式与基本的等值式 等值演算与置换规则 析取范式与合取范式，主析取范式与主合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法
1
2.1 等值式
定义2.1 若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记作 AB，并称AB是等值式 几点说明： 定义中，A, B, 均为元语言符号 A或B中可能有哑元出现. 例如 (pq) ((pq)(rr)) r为左边公式的哑元. 用真值表可检查两个公式是否等值 请验证： p(qr) (pq) r p(qr) 不与 (pq) r 等值
求公式的主合取范式的步骤:
设公式A含命题变项p1,p2,…,pn
(1) 求A的合取范式A=B1B2 … Bs , 其中Bj是简单析取 式 j=1,2, … ,s