二项式定理的十大应用

二项式定理的十方面应用
一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数
1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)(
1
x2-1)5的展开式的常数项是（）
(A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D
【解析】第一个因式取x2，第二个因式取
1
x2得：1⨯C1(-1)4=5
5
第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2⨯(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3.
2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2-
1
x
)5的二项展开式中，x的系数为（）
（A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40
点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．
3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是
解：ΘT
r+1
=C r x11-r(-1)r
11
∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的
11
系数为C5(-1)5=-462
11
二、利用二项式定理求展开式的系数和
1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a
0122013
x2013(x∈R)，
则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a
010********
)=_______。

(用数字作答)
解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a
0122013
x2013中，令x=0，则a=1，
令x=1，则a+a+a+a+Λ+a
01232004
=(-1)2013=1
故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a
0102030
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2013
)
x
)4的展开式；
+a
=2013a+a+a+a+a+Λ+a
001232013
=2013。

点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．
三、利用二项式定理求幂指数n
1
1.(2012年高考全国卷理科15)若(x+)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，
x
则该展开式中
1
x2的系数为.
点评：利用二项式定理求幂指数n，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n的方程，即可获解．
四．求展开式
1．求(3x-
1
11
分析：解决此题，只需要把(3x-)4改写成[3x+(-)]4的形式然后按照二项
x x
展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

五、利用二项式定理证明整除问题
(2012年高考湖北卷理科5)设a∈Z，且0≤a≤13，若512012能被13整除，则a=() A.0 B.1 C.11 D.12
点评：利用二项式定理证明整除（或求余数）问题，通常把底数拆成与除数的倍数有关的和式．
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n !n ! n n
六、利用二项式定理求近似值
例 求 0.9986 的近似值，使误差小于 0．001．
策略：因为 0.9986 = (1- 0.002)6 ，所以可以用二项式定理来计算．
解： 0.9986 = (1- 0.002)6 = 1 + 6 ⨯ (-0.002) + 15 ⨯ (-0.002)2 + L + (-0.002)6 ，
∵ T = 15 ⨯ (-0.002)2 = 0.00006 < 0.001 ．
3
即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001， ∴从第 3 项起，以后的项可以忽略不计，
即 0.9986 = (1- 0.002)6 ≈ 1 + 6 ⨯ (-0.002) = 0.988 ．
点评：由 (1+ x)n = 1 + C 1 x + C 2 x 2 + C 3 x 3 + L + C n x n 知，当 x 的绝对值与 1 相比很小且 n
n
n n n
足够大时， x 2 ， x 3 ，…， x n 等项的绝对值就会更小，因此在精确度允许的范围之内可以忽
略不计．因此可以使用近似计算公式 (1+ x)n ≈ 1 + nx ．在使用这个公式时，要注意按问题对
精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍．
七、利用二项式定理证明组合数问题
例 6 求证： (C 0 )2 + (C 1 )2 + (C 2 )2 + L + (C n )2 = (2n !)
．
n n n n
策略：观察等式 (2n )!
n !n !
= C n 的特点，想到构造等式 (1+ x) ·(1+ x)n = (1+ x)2n ，利用同一
2n
项的系数相等进行证明．
证明：已知
(1+ x)2n = (1+ x) ·(1+ x)n = (C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + L + C n x n )(C 0 + C 1 x + C 2 x 2 + L + C n x n ) ，
n
n
n
n
n
n
n
n
由于 x n 的系数为第一个因式中 x r 的系数与第二个因式中 x n -r 的系数的乘积的和，
即 (C 0 )2 + (C 1 )2 + (C 2 )2 + L + (C n )2 （这是因为 x r 的系数 C r 与 x n -r 的系数 C n -r 相等）
n
n
n
n
n
n
而在 (1+ x)2n 的展开式中 x n 的系数为 C n ，因此原等式恒成立．
2n
点评：对于本题的解决，基于对等式的认真观察分析基础之上，充分利用展开式系数的
特点，进行合理构造．
八、利用二项式定理证明不等式
求证： 2n +1 ≥ n 2 + n + 2 （ n ∈ N * ）
分析：本题是一边指数式，另一边是多项式的不等式的证明问题，用二项式定理证明.
证明：当 n = 1 时， 21+1 =4，12 + 1 + 2 =4，
∴ 2n +1 = n 2 + n + 2 ；
当 n ≥2 时，
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从1010
11。

0!⋅8!+
1!⋅7!
+⋅⋅⋅+
6!⋅2!
+
7!⋅1!
+
8!⋅0!
的值，尽管面目很可
2n+1=2(1+1)n=2(1+C1+C2+…+C n)
n n n
≥2(1+C1+C2)=2[1+n+
n n n(n-1)
2
]=n2+n+2.
∴2n+1≥n2+n+2（n∈N*）.
点评：对于一边是指数式另一边是含指数式或为关于n的多项式的不等式证明问题，可以用二项式定理证明，先将指数式的底数化为两项的和或差的形式，再用二项式定理展开，通过舍去展开式的若干项进行放缩并用组合数公式展开化简正好为不等式右端的形式，而证明了不等式.本题也可用数学归纳法证明.
九．逆向求值
二项展开式通常以正向展开的应用为主，但有时需要逆向应用，这有助于培养学生思维的双向性和灵活性。

求值：（1）C094+C193+C292+C39+C4；
99999
（2）C0+1C1+1C2+⋅⋅⋅+1 102310C10
10。

分析：如果直接求解的话，第（1）题稍微烦琐点，而第（2）题简直是无从下手。

现在先化简变形，再逆用二项式定理求值，真是“确实好多了！”
解：（1）设C094+C193+C292+C39+C4=x，则
99999
92x+C59+C6=(9+1)6，即x= 991000000-54-1
81
=12345
∴C094+C193+C292+C39+C4=12345。

99999
（2）∵1
k+1C k=
10
1
11
C k+1(0≤k≤10)
11
∴C0+1C1+1C2+⋅⋅⋅+ 102103101
10
C10=
10
1
11
(C1+C2+⋅⋅⋅+C11)
111111
=1[(1+1)11-1)=
11
2047
点评：这类二项式逆向求值通常与组合数公式等的变形联系在一起。

以下这道题也曾经出现在多种资料上，很典型。

题目为求11111
憎，但是只要将分子都变成8！，则该式即为1(C0+C1+⋅⋅⋅+C8)=28=
8!8888!
2。

315
十．.求二项式中参数的值
(2012年高考福建卷理科11)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________.【答案】2
【解析】(a+x)4中含x3的一项为T
r+1=C r a4-r x r，令r=3，则C3a4-3=8，即a=2.
44
【考点定位】本题考查的知识点为二项式定理的展开式，直接应用即可.
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