2018年高考数学(理)二轮练习：大题规范练1 “17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一) “17题～19题＋二选一”46分练

(时间：45分钟 分值：46分)

解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 5＝27

a 2

3，S 7＝63.

(1)求数列{a n }的通项公式a n ；

(2)若数列{b n }满足b 1＝a 1且b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1b n 的前n 项和T n .

【导学号：07804229】

[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，易知a n ＞0，

则⎩⎪⎨

⎪⎧

a 1＋a 1＋4d ＝27a 1＋2d 2

7a 1＋21d ＝63

，

解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

a 1＝3d ＝2，

∴a n ＝2n ＋1.

法二：(等差数列的性质)∵{a n }是等差数列且a 1＋a 5＝27a 23，∴2a 3＝27a 2

3，

又a n ＞0，∴a 3＝7. ∵S 7＝

7

a 1＋a 7

2

＝7a 4＝63，∴a 4＝9，

∴d ＝a 4－a 3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1且a n ＝2n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝2n ＋3，

当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n ＋1)＋(2n －1)＋…＋5＋3＝n (n ＋2)，

当n ＝1时，b 1＝3满足上式，故b n ＝n (n ＋2)． ∴1b n ＝

1n

n ＋2＝12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1

n －1n ＋2. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＋1

b n

＝12⎣⎢⎡

⎝

⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫

13－15＋…＋

⎦

⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1

2－1n ＋1－1n ＋2

＝34－2n ＋3

2n ＋1n ＋2

. 18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝1

2

CD ＝2，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，E 为CD 的中点，沿AE

把△DAE 折起到△PAE 的位置(D 折后变为P )，使得PB ＝2，如图2.

(1)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；

(2)求直线PB 和平面PCE 所成角的正弦值．

[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O ，连接PO ，OB ，BE .

由于在平面图形中，如题图(图1)，连接BD ，BE ，易知四边形ABED 为正方形，

图(1)

所以在立体图形中，△PAE ，△BAE 为等腰直角三角形，所以PO ⊥AE ，OB ⊥AE ，PO ＝OB ＝2， 因为PB ＝2，所以PO 2

＋OB 2

＝PB 2

，所以PO ⊥OB ， 又AE ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABCE ，

因为PO ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面ABCE .

(2)由(1)知，OB ，OE ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴、

y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图(2)，则O (0,0,0)，P (0,0，2)，B (2，0,0)，E (0，

2，0)，C (2，22，0)，PB →＝(2，0，－2)，EP →＝(0，－2，2)，EC →

＝(2，2，0)．

图(2)

设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·EP →＝0，

n ·EC →＝0，

即⎩⎨

⎧

－2y ＋2z ＝0，

2x ＋2y ＝0，

令x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以cos 〈PB →

，n 〉＝PB →·n |PB →|·|n |＝2223＝63，

所以直线PB 和平面PCE 所成角的正弦值为

63

. 19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐．为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L (单位：M)的数据，其频率分布直方图如下：

图3

若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题．

(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300 M 的概率；

(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：

套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/M

A 20 300

B 30 500 C

38

700

系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20元，以此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无

法转入次月使用．

学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．

[解](1)记“从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量不超过300 M”为事件D.

依题意，P(D)＝(0.000 8＋0.002 2)×100＝0.3.

从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300 M的人数为X，则X～B(3,0.3)，

所以从该校教师中随机抽取3人，至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率为P(X＝

0)＋P(X＝1)＝C03×0.30×(1－0.3)3＋C13×0.3×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.

(2)依题意，从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500]的概率为(0.002

5＋0.003 5)×100＝0.6，L∈(500,700]的概率为(0.000 8＋0.000 2)×100＝0.1.

当学校订购A套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X1元，则X1的所有可能取值为20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P(X1＝50)＝0.1，

所以X1的分布列为

所以E(X1)

当学校订购B套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X2元，则X2的所有可能取值为30,45，且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，

所以X2的分布列为

所以E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝

当学校订购C套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X3元，则X3的所有可能取值为38，且P(X3＝38)＝1，所以E(X3)＝38×1＝38(元)．

因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，

所以学校订购B套餐最经济．

(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)

22．选修4­4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.

【导学号：07804230】

(1)求圆C的参数方程；

(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y的最大值，并求出此时点P的