2018年高考数学(理)二轮练习：大题规范练1 “17题～19题+二选一”46分练

大题规范练(一) “17题～19题＋二选一”46分练(时间：45分钟 分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 5＝27a 23，S 7＝63.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b 1＝a 1且b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，易知a n ＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝27a 1＋2d 27a 1＋21d ＝63，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2，∴a n ＝2n ＋1.法二：(等差数列的性质)∵{a n }是等差数列且a 1＋a 5＝27a 23，∴2a 3＝27a 23，又a n ＞0，∴a 3＝7. ∵S 7＝7a 1＋a 72＝7a 4＝63，∴a 4＝9，∴d ＝a 4－a 3＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋1. (2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1且a n ＝2n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝2n ＋3，当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n ＋1)＋(2n －1)＋…＋5＋3＝n (n ＋2)，当n ＝1时，b 1＝3满足上式，故b n ＝n (n ＋2)． ∴1b n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. ∴T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n －1＋1b n＝12⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝12CD ＝2，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，E 为CD 的中点，沿AE把△DAE 折起到△PAE 的位置(D 折后变为P )，使得PB ＝2，如图2.(1)求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PB 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O ，连接PO ，OB ，BE .由于在平面图形中，如题图(图1)，连接BD ，BE ，易知四边形ABED 为正方形，图(1)所以在立体图形中，△PAE ，△BAE 为等腰直角三角形，所以PO ⊥AE ，OB ⊥AE ，PO ＝OB ＝2， 因为PB ＝2，所以PO 2＋OB 2＝PB 2，所以PO ⊥OB ， 又AE ∩OB ＝O ，所以PO ⊥平面ABCE ，因为PO ⊂平面PAE ，所以平面PAE ⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB ，OE ，OP 两两垂直，以O 为坐标原点，以OB ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图(2)，则O (0,0,0)，P (0,0，2)，B (2，0,0)，E (0，2，0)，C (2，22，0)，PB →＝(2，0，－2)，EP →＝(0，－2，2)，EC →＝(2，2，0)．图(2)设平面PCE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EP →＝0，n ·EC →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)． 所以cos 〈PB →，n 〉＝PB →·n |PB →|·|n |＝2223＝63，所以直线PB 和平面PCE 所成角的正弦值为63. 19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师办理流量套餐．为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L (单位：M)的数据，其频率分布直方图如下：图3若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频率视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300 M 的概率；(2)现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/MA 20 300B 30 500 C38700系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20元，以此类推，如果当月流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．[解](1)记“从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量不超过300 M”为事件D.依题意，P(D)＝(0.000 8＋0.002 2)×100＝0.3.从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300 M的人数为X，则X～B(3,0.3)，所以从该校教师中随机抽取3人，至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率为P(X＝0)＋P(X＝1)＝C03×0.30×(1－0.3)3＋C13×0.3×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.(2)依题意，从该校随机抽取1位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500]的概率为(0.0025＋0.003 5)×100＝0.6，L∈(500,700]的概率为(0.000 8＋0.000 2)×100＝0.1.当学校订购A套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X1元，则X1的所有可能取值为20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P(X1＝50)＝0.1，所以X1的分布列为所以E(X1)当学校订购B套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X2元，则X2的所有可能取值为30,45，且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，所以X2的分布列为所以E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝当学校订购C套餐时，设学校为1位教师承担的月费用为X3元，则X3的所有可能取值为38，且P(X3＝38)＝1，所以E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，所以学校订购B套餐最经济．(请在第22～23题中选一题作答，如果多做，则按照所做第一题计分)22．选修4­4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系.【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．[解] (1)因为ρ2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3， 所以x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，即(x －2)2＋(y －2)2＝5为圆C 的直角坐标方程， 所以圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋5cos θy ＝2＋5sin θ(θ为参数)．(2)法一：设x ＋2y ＝t ，得x ＝t －2y ，代入x 2＋y 2－4x －4y ＋3＝0，整理得5y 2＋4(1－t )y ＋t 2－4t ＋3＝0 (*)，则关于y 的方程必有实数根．所以Δ＝16(1－t )2－20(t 2－4t ＋3)≥0，化简得t 2－12t ＋11≤0， 解得1≤t ≤11，即x ＋2y 的最大值为11.将t ＝11代入方程(*)得y 2－8y ＋16＝0，解得y ＝4，代入x ＋2y ＝11，得x ＝3， 故x ＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)． 法二：由(1)可设点P (2＋5cos θ，2＋5sin θ)， 则x ＋2y ＝6＋5cos θ＋25sin θ＝6＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫55cos θ＋255sin θ，设sin α＝55，则cos α＝255，所以x ＋2y ＝6＋5sin(θ＋α)， 当sin(θ＋α)＝1时，(x ＋2y )max ＝11，此时，θ＋α＝π2＋2k π，k ∈Z ，即θ＝π2－α＋2k π(k ∈Z )，所以sin θ＝cos α＝255，cos θ＝sin α＝55，故点P 的直角坐标为(3,4)．23．选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －2|＋2，g (x )＝m |x |(m ∈R )． (1)解关于x 的不等式f (x )＞5；(2)若不等式f (x )≥g (x )对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围． [解] (1)由f (x )＞5，得|x －2|＞3， ∴x －2＜－3或x －2＞3， 解得x ＜－1或x ＞5.故原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞5}．(2)由f (x )≥g (x )，得|x －2|＋2≥m |x |对任意x ∈R 恒成立， 当x ＝0时，不等式|x －2|＋2≥0恒成立， 当x ≠0时，问题等价于m ≤|x －2|＋2|x |对任意非零实数恒成立，∵|x －2|＋2|x |≥|x －2＋2||x |＝1，∴m ≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．。