概率论与数理统计课件:ch5_3 抽样分布

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X ~ N(, 2 )
n
X
Байду номын сангаас
~
N (0,1)
n
(n 1)S2
2
n
i1
Xi
X
2
~
2(n 1)
两者独立
定理2(2)
X (n 1)S2 X
t分布定义 2(n 1) S ~ t(n 1)
n
n
Probability and Statistics– Chapter 5 Statistics and its Distribution
掌握
(2) X ~ t(n 1)
S/ n
对比定理2 样本减不同量 自由度的变化
注 适用总体 2 未知
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6
证 结论(1)是 2分布定义的直接推论.
(2) 设总体 X ~ N( , 2) ,样本为 X1, , Xn
第五章 统计量及其分布
Chapter 5 Statistics and its Distribution
教学内容 Content
§5.1 基本概念 §5.2 常用统计分布 §5.3 抽样分布
Probability and Statistics– Chapter 5 Statistics and its Distribution
P| X | 3 1000.1 P{| X | 0.03} 99.7%.
这时, 我们以同样的概率断言, X 与物体真正重量
的偏差不超过 0.03.
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下面重点讨论的正态总体的抽样分布属小样本统计. 此外, 也简要介绍一般总体的某些抽样分布的极限 分布, 这就属于大样本统计范畴.
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3
单正态总体的抽样分布
设总体 X的均值为 , 方差为 2 , X1, X2 ,, Xn 是
Probability and Statistics– Chapter 5 Statistics and its Distribution
5
定理3
设 X1, , Xn 是来自总体 N(, 2) 的样本
X , S 2 分别是样本均值和样本方差,

(1)
记号而已
2
1
2
n
(Xi
i 1
)2
~
2(n);
理1,
X
~
N
, 2
n
.
再从正态分布的 3
性质知
P{| X | 3 / n} 99.7%.
这就是说, 我们的估计值 X 与真值 的偏差不超 过 3 / n 的概率为 99.7%, 并且随着称量次数
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Probability and Statistics– Chapter 5 Statistics and its Distribution
2
抽样分布
另一种方式是让样本容量趋于无穷,并求出抽样 分布的极限分布. 然后在样本容量充分大时, 再利 用该极限分布作为抽样分布的近似分布,进而对 未知参数进行统计推断,称此为大样本统计推断.
1
抽样分布
有时总体分布的类型虽然已知,但含有未知参数 此时需要对总体的未知参数或数字特征如期望方差 进行统计推断,此类问题称为参数统计推断.
在参数统计推断问题中,常需利用总体的样本 构造出合适的统计量,并使其服从或渐近服从已知 的分布. 统计学中泛称统计量的分布为抽样分布. 讨论抽样分布的途径有两个. 一是精确地求出抽样 分布,并称相应的统计推断为小样本统计推断;
8
例2 假设某物体的实际重量为 , 但它是未知的. 现在用一架天平去称它, 共称了 n 次, 得到 X1,
X2 ,, Xn . 假设每次称量过程彼此独立且没有系
统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布
N ( , 2 ), 方差 2 反映了天平及测量过程的总 精度, 通常我们用样本均值 X 去估计 , 根据定
取自 X 的一个样本,X 与 S 2 分别为该样的样本均
值与样本方差,则有
E( X ) , D( X ) 2 / n,

E(S2)
E
n
1
1
n i 1
X
2 i
nX
2
n
1
1
n i 1
E(
X
2 i
)
nE(
X
2
)
n
1
1
n i 1
(
2
2
)
n(
2
/
n
2
)
2
.
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25
(2) 由 X ~ N (21,0.42 ), 得 X 21 ~ N (0,1), 0.4

P{| X
21
|
0.24}
P
X 21 0.4
0.6
2(0.6) 1 0.4514.
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4
二、正态总体的样本均值
与样本方差的分布
定理1
掌握
定理2
设 X1, , Xn 是来自总体 N(, 2) 的样本
X , S 2 分别是样本均值和样本方差,
则(1) X ~ N (, 2 )
n
X
~ N (0,1)
/ n
(2)
(n
1)S2
2
~
2(n
1)
n
X
i
X
2
i 1
2
~ 2(n 1)
(3) X 与 S 2独立. 适用总体 2 已知
7
例1 设 X ~ N (21,22 ), X1, X2 ,, X25 为 X 的一
个样本, 求:
(1) 样本均值 X 的数学期望与方差;
(2) P{| X 21 | 0.24}.
解 (1) 由于 X ~ N (21,22 ), 样本容量 n 25,
所以
X
~
N
21,
22 25
,
于是
E( X ) 21, D( X ) 22 0.42.
9
n 的增加, 这个偏差界限 3 / n 愈来愈小. 例如, 若 0.1, n 10, 则
P| X | 3 100.1 P{| X | 0.09} 99.7%,
于是我们以 99.7%的概率断言, X 与物体真正重
量 的偏差不超过 0.09. 如果将称量次数 n 增加
到 100, 则
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