正定矩阵及其应用

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α
= UTU (U 为正交矩阵 ) ,显
3
α 4
然 A 是正定矩阵 。
3 关于实对称正定矩阵的一些重要结论
对于实对称正定矩阵除了上面的一些充要条
件用于判定一个矩阵是否为正定矩阵外 ,还有很多
重要结论 ,下面给出 。 ( 1)若 A 是正定矩阵 ,则 A3 也是正定的 (其中
A3 表示 A 的伴随矩阵 ) 。 证明 ∵A 正定 , ∴A - 1正定 ; ∵A3 = │A │
(7) n阶实对称阵 A 为正定的充要条件是 :存 在对称正定阵 B ,使 A =B2。
证明 必要性 :存在正交阵 Q ,使
A =Q ∧QT =Q Λ ΛQT = Q ΛQTQ ΛQT = B2
其中 记 B = Q
ΛQT 以及
Λ = diag (
λ 1
,
λ 2
,
…,
λ n
).
(λi ( i = 1, 2, … n ) 为 A 的 特 征
λ i
,
1
≤
i≤n
,则
aE
+A
的特征值为 a +λi , 1 ≤ i≤n,所以存在 a使 aE + A
的特征值大于零 ,其余同理可证 。
(5)已知 A 是 n阶正定矩阵 ,则 Ak ( k是正整
数 )也是正定矩阵 。
证明 Ak 与 A 的特征值有熟知的关系 ,故从
特征值角度入手考虑. 根据 A 正定 ,即知其特征值
(1)正定矩阵的充要条件是 : A 的正惯性指数 等于 A 的维数 n (证明略 ) 。
(2) A 是正定矩阵的充要条件是 : A 合同于单
收稿日期 : 2008 - 06 - 19
同的合作 (控制 )模式 ,考察了在不同模式下的定 价策略和收益变动 ,同时针对不同的模式优势展开 了分析 。传统的供应链只注重对销售渠道的分析 ,
岳贵鑫
(辽宁省交通高等专科学校 ,辽宁沈阳 110122)
摘 要 本文给出了若干充要条件 ;正定矩阵是一类特殊的矩阵 ,固然有它与其它矩阵不同的性质 ,所以给出
了一些重要结论 ;本文还介绍了正定矩阵在分析中的应用 ;最后 ,讨论了正定矩阵与柯西不等式的关系. 关键词 正定矩阵 充要条件 柯西不等式
(UTAU ) T =UTATU ,存在正交矩阵 C使 CT (UTAU ) C = diag (λ1 ,λ2 , …,λn ) ,则
CT (UTBU ) C = CT EC = CT C = E,
取 P =UC,则 P为所求.
(3)若 A , B 都是 n阶正定矩阵 ,证明 │A + B
│≥│A │ + │B │。
α 11
>0
┆
( en ) TA en
>
0
,即
α nn
>0
4 正定矩阵与柯西不等式
如果有一个正定的矩阵 ,我们通常可以设计出
一个柯西不等式. 进而我们就有必要知道正定矩阵
与柯西不等式的关系 。
( 1 )柯西不等式
在中学里 ,我们就熟悉了如下的一个不等式 :
│ x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn │ ≤
对 A1 做同样处理 ,最终可得到
R2T R1T ……T2T T1TA T1 T2 ……R1 R2 = En 令 Q = T1 T2 ……T1 R2 ∴Q 是非退化的下三
角矩阵 ,且使 A =QTQ
充分性是显然的.
(9) A是正定矩阵的充要条件是 : A - 1是正定
矩阵 。
证明 必要性 若 A 是正定的 ,则存在实可 逆矩阵 C使 A = CT C。
λ 1
,
…,λn
全正
,由于
Ak
的全部特征值就是
λ 1
k
,
…,λn k ,也都为正. 这就知 Ai 是正定矩阵 。
这些结论如果能熟练掌握 ,并且可以巧妙运用
有些题就可迎刃而解了 。
例 1 若 A 是 n阶正定矩阵 ,则 │A + 2E│ >
2n 。
证明 法一 : A 与 2E都是 n阶实对称正定矩
阵 ,因此存在一 n阶实可逆矩阵 P使
第 5期
岳贵鑫 :正定矩阵及其应用
=λ1 ,λ2 ,λn , │P│2 │B │ =μ1 ,μ2 …μn。
PT (A + B ) P = diag (λ1 +μ1 ,λ2 +μ2 , …λn +
μ n
)
,两边取行列
:
│p │2 │A + B │ = (λ2 +μ2 ) … (λn +μn ) ≥
≠0, CX≠0,则 ATAX = XT CT CX = (CX) T (CX) > 0, 所以 , A 是正定的 。 (4) n阶实对称阵 A 为正定的充要条件是 : n
个特征值全为正值 (证明略 ) 。 (5) A 是正定矩阵的充要条件是 : A 的所有顺
而忽略了外在属性和不同的所有权模式对供应链 的影响 ,维修服务的引入 ,对提升供应链的绩效和 提高产品的市场竞争力 ,均具有举足轻重的作用 。
∴A - 1 = (CT C) - 1 = C - 1 ( C - 1 ) T , ∵C 可逆 , ∴
·32·
C - 1也是实可逆矩阵 。
∴有 A - 1也是正定矩阵 。 充分性 若 A - 1 是 正 定 矩 阵 , 则 A - 1 = C - 1 (C - 1 ) T = (CT C) - 1 。
值 )。
充分性 :对任给 X≠0, XTAX = XTB2 X > 0, (因
为 B 正定 ) ,所以 A 正定 。
(8) A 是正定矩阵的充要条件是 :存在非退化
的上 (下 )三角矩阵 Q ,使 A =QTQ。
证明 不妨以下三角矩阵为例来证明 ,上三角
矩阵的情况同理可证 。
必要性 若 A = ( aij ) n是 A 阶正定矩阵 ,则 A 的任意 k阶主子式大于零. 特别的 ,有 am > 0. 将 A 的第 n列乘适当的倍数 ,分别加到第 1, 2……n - 1 列上, 再施同样的行变化, 可使 A 变成为
法二 :因为 A 与 2E 都是 n 阶实对称正定矩
阵 ,所以 │A + 2E │≥│A │ + │2E │ > 2n (用到
了第五个结论 ) 。
( 6 )若
A是
n阶实对称正定矩阵
,则必有
α 11
> 0,α22 > 0, …,αnn > 0。
证明 根据定义 ,对一切 X ≠0 皆有 XTAX >
0,故依次令 X = e- 1 , …en ,就有 ( e1 ) TAe1 > 0,即
Study on the Pr ic ing Issue of( sa les and serv ices) D ua l - channel Ba sed on the O wersh ip
M a Dongmei
〔Abstract〕Through the p ricing issue of ( sales and services) dual - channel study the ownership. It’s considered all parties can get different system p lus under different ownership mode, and then we study on how the supp ly chain members to discover the potential of channel development through effective control strategy in allusion to different market structures, different p roduct m ix, and different elasticity of dem and. 〔Keywords〕C losed - Loop Supp ly Chain; Repair; Service Operations; Ownership; Pricing
x1 2 x2 2 + … + xn 2 y1 2 y2 2 + … + yn 2 ,
证明 存在实可逆矩阵 P使
PTAP = diag (λ1 ,λ2 , …λn ) PTB P = diag (μ1 ,μ2 ,
…μn
)
,其中
λ i
> 0,μi
> 0. 取行列式
│P│2 │A │
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A1
0 的形式. 即 : 存在非退化的下三角矩阵
0 ann
T1 ,使
T1TA T1 = ,
A1 0
0 ,
ann
再令 T2 = diag (1, 1, …, 1, 1 ) , ann
∴T2T T1TA T1 T2 = A1
0 ,
01
∵A 正定 ∴A1 作为 A 的 n - 1 阶顺序主子 式 ,也是正定的.
β 2
,
…,βn
)
,令
α i
=
λβ ii
(
i
=
1,
2,
…,
n)
,其中
α i
(
i
=
1,
2,
…, n)为正交向量组 ,即得 A =α1α1 T +α1α2 iT + …
+αnαn T。
充分 性 : A =α1α1 iT +α2α2 T + … +αnαn T =
α 1
α
(αT ,α2 T , …,αn T )
·31·
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辽宁省交通高等专科学校学报
2008年
序主子式大于零 (证明略 ) 。
(6) n阶实对称阵 A 为正定的充要条件是 :存 在满秩阵 P,使 PTAP成对角线元素皆正的对角阵 D (证明略 ) 。
中图分类号 : O151. 2 文献标识码 : A
1 引言 代数学是数学中的一个重要的基础分支 ,而正
定矩阵又是高等代数中的重中之重. 特别是正定矩 阵部分的应用很广泛 ,本文提供解决正定矩阵问题 的方法并阐明它在实际中的应用 。 2 正定矩阵的等价定理
判定一个矩阵是正定的除用定义外还可以运 用一些等价定理 ,下面给出了一些判定矩阵正定的 充要条件 。
∵A = (A - 1 ) - 1 = ( ( CT C) - 1 ) - 1 = CT C, ∴A 是
正定的 。
(10) A 是正定矩阵的充要条件是 : 存在正交
向量组
α 1
,
α 2
,
…αn , 使
A
=
αα 12
T
+
αα 22
T
+…
Anαn T。
证明 必要性 : A 是正定矩阵 ,因此存在正定
矩阵 U ,使 A = UT diag (λ1 ,λ2 , …,λn ) U , U = (β1 ,
A - 1 , ( │A │ > 0) , ∴A3 也正定 。
( 2)若 A , B 都是 n阶实对称矩阵 ,且 B 是正定
矩阵. 证明存在一 n 阶实可逆矩阵 P 使 PTAP 与 PTB P同时为对角形 。
证明 ∵B 是正定的 , ∴合同于 E,即存在可
逆阵 U 使 UTBU = E; 且 A 是 n 阶实对称矩阵 ,则
位矩阵 E (证明略 ) 。 3. n阶实对称阵 A 为正定的充要条件是 :存在
满秩阵 C,使 A = CT C成立 。 证明 必要性 :若 A 是正定矩阵 ,则 A 合同于 E. ∴存在实可逆矩阵 C,使 A = CT EC = CT C 充分性 : 若 A = CT C, C 是实可逆矩阵 ,对 Π X
PT (A
+ 2E ) P = diag (λ1
+
2
,
λ 2
+
2,
…,
λ n
+
2) ,
其中
λ i
(i
= 1,
2,
…,
n)为
A 的特征值且大于零.
所
以
λ i
+2
(
i
= 1,
2,
…,
n)为
A
+ 2E的特征值
,也是
大于零的. 所以 │A + 2E │ = (λ1 + 2 ) (λ2 + 2 ) …
(λn + 2) ≥2n (用到第四个结论 ) 。
(λ1λ2 …λn +μ1μ2 …μn = │P│2 │A │ + │P│2 │
B │,即 │A +B │≥│A │ + │B │.
(4)若 A 是实对称的正定矩阵 ,则存在 a > 0, b
> 0, c > 0,使 aE + A , E + bA , cE - A 均是正定矩
阵。
证明
若
A
的特征值为
第 10卷 第 5期 2 0 0 8年 1 0月
辽宁省交通高等专科学校学报
JOURNAL OF L IAON ING PROV INC IAL COLLEGE OF COMMUN ICATIONS
文章编号 : 1008 - 3812 (2008) 05 - 031 - 03
正定矩阵及其应用
Vol. 10 No. 5 Oct. 2 0 0 8