隐函数定理的一个证明

Fy- 1 ( x0 , y0 ) Fy ( x,θf ( x)
+ ( 1 - θ) g ( x) )
| )。
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=
m ax x∈U ( x0,α)
|
f ( x)
-
g ( x)
-
Fy- 1 ( x0 , y0 ) Fy ( x,θf ( x)
+ ( 1 - θ) g ( x) ) ( f ( x)
-
g ( x) )
|≤
m ax ( | f ( x) x∈U ( x0,α)
-
g ( x)
|| 1 -
|
<
1 3
| Fy ( x0 , y0 )
|,
即
|1-
Fy- 1 ( x0 , y0 ) Fy ( x,θf ( x)
+ ( 1 - θ) g ( x) )
|
<
1。 3
于是 ρ( Tf, Tg) ≤ 1 m ax | f ( x) - g ( x) | = 1ρ( f, g) , 则 T为一个压缩映射 。现取 X 的子
3 x∈U ( x0,α)
3
集 M = { f ∈ X | f ( x0 ) = y0 , f ( x) ∈U ( y0 ,δ) , x ∈U ( x0 ,α) } , 则易验证 M 为 X 的闭线性子空 间 ,所以由 X 的完备性知 M 也是完备的 。
由上述讨论知 T为 M 上的压缩映射 。下面只要证 T为 M 到 M 的映射即可 。由 F及 f ( x)
的连续性得 :
ρ( Tf, Tg) = m ax | ( Tf) ( x) - ( Tg) ( x) | = x∈U ( x0,α)
m ax
x∈U ( x0,α)
| f ( x)
-
g ( x)
-
Fy- 1 ( x0 , y0 ) [ F ( x, f ( x) )
-
F ( x, g ( x) ) ] |
所以 Tf∈M , T为 M 到 M 的映射 ,由定理 1知 T有唯一的不动点 f∈M ,使得 ( 1) , ( 2)成立 。证 毕。
参考文献 :
[ 1 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 :下册 [M ]. 第 2版. 北京 :高等教育出版社 , 2002. [ 2 ] 刘炳初. 泛函分析 [M ]. 北京 :科学出版社 , 2002.
的连续性 及 复 合 函 数 的 连 续 性 , 对 任 意 的 f ∈X, Tf ∈X 且 ( Tf) ( x0 ) = f ( x0 ) - Fy- 1 ( x0 ,
y0 ) F ( x0 , f ( x0 ) )
= f ( x0 )
=
y0 , 又由
F的连续性 ,对任意的 ε =
1 3
|
Fy
( x0 , y0 )
X 为完备的度量空间 。 Π f∈X,定义映射 : T: f→Tf, 使得对 Π x ∈ U ( x0 ,α) ( Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0) ,
( Tf) ( x) = f ( x) - Fy- 1 ( x0 , y0 ) F ( x, f ( x) ) ,则 Tf∈X。 Π f, g∈X, 由微分中值定理及 Fy ( x, y)
| δ, ϖα’ <α。
当 | x - x0 | <α时’ ,
| F ( x, y0 )
-
F ( x0 , y0 )
|<
1 3
|
Fy ( x0 , y0 )
| δ, 所以
ρ( Ty0 , y0 )
= max x∈U ( x0,α)
|
Fy- 1 ( x0 , y0 ) F ( x, y0 )
|
=
m ax
证明 : 用 X = C (U ( x0 ,α) , R) 表示所有定义在 U ( x0 ,α)上取值于 R的连续函数全体 ,其 中 α < r1 。
对任意的 f, g∈X,用 : ρ( f, g) = m ax | f ( x) - g ( x) | 表示 f, g间的距离 ,由文献 [ 2 ]知 x∈U ( x0,α)
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第 28卷 第 122期
气象教育与科技
2006年 总第 75期
隐函数定理的一个证明
陈 艳
(南京信息工程大学 数学系 ,江苏 南京 210044)
隐函数定理不仅是数学分析中的一个重要定理 ,而且对一些后继课程如《泛函分析 》、《微 分几何 》等的学习也很有帮助 。文献 [ 1 ]中给出了隐函数定理的形式 ,并用连续函数的性质给 出了证明 。实际上 ,在学习了泛函分析后 ,也可用求算子不动点的方法来证明隐函数定理 ,本 文将给出这一证明 ,旨在表明学习各门课程时要注意不同课程间的联系 ,学会融会贯通 ,以期 达到良好的学习效果 。
x∈U ( x0,α)
| Fy- 1 ( x0 , y0 ) ( F ( x, y0 )
-
F ( x0
-
y0 ) )
|<
1δ。 3
进而 ρ( Tf, y0 )
≤ρ[ ( Tf, Ty0 )
+ρ( Ty0 , y0 )
]≤[
1ρ( 3
f,
y0
)
+ρ( Ty0 , y0 )
]
<[
13δ+ 13δ]
=
23δ,
其中
0
<θ < 1,又
Fy
( x,
y) 在
P0
( x0 ,
y0 ) 连续 ,所以 Πε =百度文库
1 3
| Fy
( x0 ,
y0 )
|,
ϖδ<m in{α,
r2 } ,当
| x - x0 | <δ, | y - y0 | <δ时 ,有
| Fy ( x0 , y0 )
-
Fy ( x,θf ( x)
+ ( 1 - θ) g ( x) )
定理 2 (隐函数定理 ) 若满足下列条件 : ( 1)函数 F在以 P0 ( x0 , y0 ) 为内点的某一区域 D = { ( x, y) | | x - x0 | < r1 , | y - y0 | < r2 } < R2 连续 ;
( 2) F ( x0 , y0 ) = 0 ;
( 3) F在 D 内存在连续的偏导数 Fy ( x, y) ;
定义 1 设 ( X,ρ)为度量空间 , 映射 T: X →X, 如存在 θ∈ ( 0, 1 )使得 Π x, y ∈X, 有 ρ( Tx, Ty) ≤θρ( x, y) ,则称 T为 X →X 的压缩映射 。
定理 1[2 ] (压缩映射原理 ) 设 (X,ρ)为完备的度量空间 , T为 X →X 的压缩映射 , 则存在 唯一的 x∈X,使得 Tx = x。
( 4) Fy ( x0 , y0 ) ≠0,则在点 P0 的某区域 U ( P0 ) < D 内 ,方程 F ( x, y) = 0唯一地确定了一 个定义在某闭区间 U ( x0 ,α)内的函数 y = f ( x) ,使得 : ( 1) f ( x0 ) = y0 , 当 x∈U ( x0 ,α)时 , f ( x) ∈U ( y0 ,δ)且 F ( x, f ( x) ) = 0; ( 2) f ( x) 在 U ( x0 ,α)内连续 。