§22.3.1 实践与探索教案、反思(2017公开课)

图23.2.1图23.2.1图23.2.2§22.3.1 实践与探索授课人： 陈凤法 时间：2017-9-29（周五第2节）【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程，领悟数学建模思想，体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值，培养学生的创新意识和实践能力，通过交流互动，逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题. 【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入，初步认识问题1： 学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m 2，小道的宽应是多少？问题2: 有一面积为150m 2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m ）， 另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35 m ，求鸡场的长与宽各为多少?二、思考探究，获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显， 即抓住种植面积为540m 2来列方程，设小道的宽 为xm,如何来表示种植面积？方法一：如图，由题意得，32×20-32x-20x+x 2=540 方法二：如图，采用平移的方法更简便. 由题意可得：（20-x ）（32-x ）=540 解得x 1=2,x 2=50x 2=50>20不符合题意，应舍去. ∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】先画出示意图，可根据长方形的面积为150m 2列方程，设与墙垂直的一边长为x m,如何来表示鸡场面积？解：设与墙垂直的一边长为x m ，则与墙平行的一边长为(35-2x )m根据题意得 x (35-2x )=150当x ＝10时，35－2x ＝15<18， 当x ＝7.5时，35－2x ＝20>18(舍去)答：鸡场的长为15m ，宽为10m . (35-2x)m三、运用新知，深化理解变型一：1.如图，在宽为20 m ，长为32 m 的矩形地面上修建同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使 草坪的面积为540 m 2，则道路的宽为 m.变型二：2.如图是宽为20米,长为32米的矩形 耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向, 且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要 使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米?解:设道路宽为x 米，则 化简得，x 2=35>20不符合题意，应舍去.答:道路的宽为1米.练习 1. 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为16厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的三分之二时较美观，求镶上彩纸条的宽.570)220)(232(=--x x 035362=+-x x 0)35)(1(=--x x 35,121==∴x x 22351500x x -+=1210,7.5x x ∴==车棚面积为48m 2?解：设垂直于围墙的一边长为x m ，依题意， 得x (20－2x )＝48，解得x 1＝4，x 2＝6， 当x ＝4时，20－2x ＝12>11(舍去)； 当x ＝6时，20－2x ＝8<11，答：所建矩形车棚的长为8 m ，宽为6 m 四、拓展延伸，发展思维拓展题：如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知配色条纹的宽度相同， 所占面积是整个地毯面积的1780.(1)求配色条纹的宽度；(2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价 200元，其余部分每平方米造价100元， 求地毯的总造价．解：(1)设条纹的宽度为x 米，依题意得2x ×5＋2x ×4－4x 2＝1780×5×4， 解得x 1＝14 ，x 2＝174(不合题意，舍去). 答：配色条纹宽度为14米(2)条纹造价：1780×5×4×200＝850(元)，其余部分造价：(1－1780)×4×5×100＝1 575(元)，总造价为：850＋1 575＝2 425(元)．答：地毯的总造价为2 425元五、师生互动，课堂小结1.列方程解应用题的一般步骤是:1)审:审清题意:已知什么,求什么?2)设:设未知数,语句完整,有单位的要注明单位;3)列:列代数式,找出相等关系列方程;4)解:解所列的方程;5)验:是否是所列方程的根;是否符合题意;6)答:也必需是完整的语句,注明单位且要贴近生活.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程. 同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.1.书本P42习题22.3第1、3题；2.启东作业13；3.《同步练习册》P23-24本课时从创设情境入手，让学生体会数学建模思想，学会分析问题并利用一元二次方程解决实际问题，能够一题多解、举一反三，然后对所学问题及时变型，培养学生的创新意识和实践能力，并且适当拓展延伸，助力学生的思维发展，同时通过合作交流培养学生参与合作的意识.(第2课时）掌握新知问题3:某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.分析：若每次降价的百分率为x，则第一次降价后的零售价为原来的（1-x）倍，即56（1-x）元，第二次降价后的零售价为56（1-x）元的（1-x）倍.解：设每次降价的百分率为x，根据题意，得56（1-x）2=31.5解方程，得x1=0.25,x2=1.75因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意.经检验x=0.25=25%符合本题要求.答：每次降价的百分率为25%.练习1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0.1%）2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．问题4:拓展题：某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同．(1)求该种商品每次降价的百分率；(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x，依题意得：400×(1－x)2＝324，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去)(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2400≥3210，解得m≥22.5，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件(第3课时）掌握新知问题5:小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2）.图1 图2(1)如果要求长方体的底面积为81 cm2 ,那么剪去的正方边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生怎么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生怎么样的变化？(面积：cm2边长：cm)在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．练习：李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．解：(1)设剪成的较短的这段为x cm，较长的这段为(40－x)cm，由题意得(x 4)2＋(40－x 4)2＝58，解得x 1＝12，x 2＝28，当x ＝12时， 较长的为40－12＝28 cm ，当x ＝28时，较长的为40－28＝12<28(舍去)．答：李明应该把铁丝剪成12 cm 和28 cm 的两段(2)李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为m cm ，较长的这段就为(40－m ) cm ，由题意得(m 4)2＋(40－m 4)2＝48，变形为：m 2－40m ＋416＝0，∵Δ＝(－40)2－4×416＝－64<0，∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm 2问题6:某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率应为多少？ 分析：翻一番，即为元产值的2倍，若设原产值为1个单位，那么两年后的产值就是2个单位.如果调整计划，两年后的产值为原产值的1.5倍、1.2倍......那么两年中的平均年增长率分别调整为多少？又如果第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的翻一番？（补充作业）1.界山村种的水稻2015年平均每公顷产量为7200kg,2017年平均每公顷产量为8450kg ，求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为75cm 2. （1）求此长方形的宽.（2）能围成一个面积为101cm 2的长方形吗？如能，说明围法.（3）若设围成一个长方形的面积为S （cm 2）,长方形的宽为x （cm ），求S 与x 的函数关系式，并求出当x 为何值时，S 的值最大，最大面积为多少.【答案】1.解：设年平均增长率为x ， 则有7200（1+x ）2=8450， 解得x 1=121≈0.08,x 2=-1224≈-2.08（舍去）.即年平均增长率为8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解：（1）设此长方形的宽为xcm，则长为（20-x）cm. 根据题意，得x（20-x）=75解得：x1=5,x2=15（舍去）.答：此长方形的宽是5cm.（2）不能.由x（20-x）=101，即x2-20x+101=0,，知Δ=202-4×101=-4＜0，方程无解，故不能围成一个面积为101cm2的长方形.（3）S=x（20-x）=-x2+20x.由S=-x2+20x=-（x-10）2+100可知，当x=10时，S的值最大，最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第（2）、（3）问中的应用.课堂小结：1.本节课我们学习了用一元二次方程解决生活中的一些实际问题，在列方程的时候我们要注意联系生活实际，得到方程的解之后也应该代入实际情况中去检验所得到的解是否符合题意.2.若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n 次后的量是b，则有：a（1±x）n=b（常见n=2）.1.布置作业：书本P40练习第3、4题， P42习题22.3第2、4、5、6题2.《同步练习册》P25-26。