恒等证明-第4讲恒等式证明竞赛班教师版

第四讲 利用恒等式解题

代数式的恒等变形可以认为是解决数学问题必不可少的一种变形（运算）的方式。将已知、求证的式子进行适当、巧妙的变形，使问题得到解决，也是衡量一个同学数学能力的标准之一。因此，国内外各级数学竞赛试题中，都有大量涉及恒等变形的试题。 一、 基础知识 1． 恒等变形的意义

如果一个等式中的字母取允许范围内的任意一个值，等式总能成立，那么这个等式叫做恒等式；把一个式子变形为与原式恒等的另一种不同形式的式子，这种变形叫做恒等变形。 2． 恒等变形的分类

恒等变形主要分为无条件限制等式和有条件限制等式变形两大类； 恒等变形主要形式可概括为整式变形、分式变形和根式变形。 3． 三种数学方法在恒等变形中的体现

初中同学接触到的数学方法在恒等变形中的体现主要有：换元法、配方法、待定系数法。

二、 例题部分－分式部分

例1．（★，1999年北京市）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足1111

a b c a b c

++=

++，求证：a 、b 、c 中至少有两个互为相反数。 《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P113，例5

例2．（★）不等于0的三个正数a 、b 、c 满足

1111

a b c a b c

++=

++，求证：对任意整数n ， 21

21

21

212121

1

111

n n n n n n a

b

c a b c ------++=

++；

《初中数学竞赛同步辅导》，华中师范大学出版社，P116，4 《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P90，例3

例3．（★）设a 、b 、c 都不为0，2a b c ++=，1111

2

a b c ++=；求证：a ，b ，c 中至少有一个等于2； 【证明】：由

11112a b c ++=，得2abc ab bc ca

=++，故()()0a b c ab bc ca abc ++++-= 从而()()()0a b b c c a +++=，若a ＋b ＝0，则c ＝2，其余类似；

例4．（★★）若x 、y 、z 不全相等，且111

x y z p y z x

+

=+=+=，求所有可能得p ，并且证明：0xyz p += 【证明】：由x 、y 、z 不全相等，则x 、y 、z 必互不相等；∵1

p z x

=+

，及1x p y =-，得1y p z yp =+-，

又由1y p z =-

得21(1)()p p z z ---＝0，若1

p z z

=+，则x ＝z ，这不可能；∴1p =±；由1x p y +=；

得(1)xyz z yp =-；

而1p y z =+

，故21p p py z ==+，1p

py z

=-，代入上式，即得0xyz p += 例5．（★）若x 、y 、z 为三个不相等的实数，且111

x y z y z x

+

=+=+，求证：2221x y z = 《初中数学竞赛同步辅导》，第二分册，华中师范大学出版社，P129，例3

例6．（★）已知22222222b bx x b bx x a ay y a ay y ++-+=++-+，求证：x b a y =或x y

b a

=

【证明】：由等比性质2222222222222222

()()()()

()()()()

b bx x b bx x b bx x b bx x a ay y a ay y a ay y a ay y +++-+++--+=+++-+++--+ 即2222

b x bx a y ay

+=+，∴2222

ab y ax y a bx bxy +=+ ∴()()0xy ab ax by --=；∴

x b a y =或x y

b a

= 例7．（★）已知

22x y z

a b c a c a b c

==

++--+；且abcxy z ≠0，求证： 22a b c

x y z x z x y z

==++--+

《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P91，例4

例8．（★）已知1x y z

a b c

++=，0a b c x y z ++=；求证：2222221x y z a b c ++=

《奥数教程》初二年级，华东师范大学出版社，P92，例5

例9．（★★，据1998年全国初中数学联赛改编）已知a 是方程210x x --=的一个根，试求186

323a a

-+的值。

三、

例题部分－根式部分

例10．（★，基辅数学奥林匹克）正数1u 、2u 、…、n u 组成等差数列，求证：

1223111111

...n n n

n u u u u u u u u --+++=

++++ 【证明】：设d 为公差，则

12231111

...n n

u u u u u u -+++

+++ ＝

32121

21321

...n n n n u u u u u u u u u u u u -----+++---

＝

32121...n n u u u u u u d d d ----+++＝1n u u d -＝1

1()

n n u u d u u -+ ＝

1(1)()n n d d u u -+＝11

n

n u u -+

例11．（★★，第15届希望杯初二）对于任意的自然数n ，有

3

33222

1

()21121

f n n n n n n =

+++-+-+，求(1)(3)(5)...(999)f f f f ++++

【解】：

()3

3223333311

()(11)((1)(1)1(1))

n n f n n n n n n n +--=+--+++-+-＝3

3112n n +--

∴(1)(3)(5)...(999)f f f f ++++＝

3

3333

31111212199919991...222+--+--+--+++＝

33100011

52

--=