电磁场理论第二章
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电磁场理论第2章：静电场
E
电位的单位是伏(V)， 因此电场强度的单位是伏/米(V/m) 。
第二章
静电场
(周学时2节）
体分布的电荷在场点r处的电位为:
(r )
1 4 0
(r ' )
r r'
V
dV '
(r )
(r )
1 4 0
1 4 0
l (r ' )
r r'
dl'
第二章
静电场
(周学时2节）
例 2 - 1 一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。 解： 取坐标系如图 2 - 2，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐
标原点重合，设电荷线密度为ρl 。
图 2 -2 例 2 - 1 用图
第二章
静电场
(周学时2节）
r ze z r ' a cose x a sin e y r r' (z a )
R P( r , )dV ' r r ' d 3 3 4 0 R 4 0 r r'
整个极化介质产生的电位是上式的积分：
p
(r )
1 4 0
P(r ' ) (r r' ) r r'
3
V
dV '
第二章
静电场
(周学时2节）
1 4 0
若其中的电量为Δq，则电荷体密度为
q dq lim V 0 V dV
其单位是库/米3(C/m3)。这里的ΔV趋于零，是指相对于宏观尺度 而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是 相对于微观尺度，该体积元又是足够大，它包含了大量的带电粒 子， 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。
电磁场与电磁波(电磁场理论)第二章.
相互抵消。 在圆环的中心点上，即z = 0 磁感应强 度最大
当场点P 远离圆环，即z >> a 时
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。 例2.3.2 求电流面密度为 强度。 解：分析场的分布，取安培环路如图，则 的无限大电流薄板产生的磁感应
例 2.5.2 在时变磁场
图所示。试求：
中，放置有一个
的
矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与
成α 角，如
（1）线圈静止时的感应电动势；
（2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。 解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故
z
a
x
b
B
y
en
时变磁场中的矩形线圈
（2）线圈绕 x 轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的 感应电动势可以用两种方法计算。 方法一：利用式 假定 故 时 计算 ，则在时刻 t 时， 与y 轴的夹角 ，
位移电流密度的振幅值为
而传导电流密度的振幅值为
通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使 扩展到极高频段（f = 30～300 GHz），从上面的关系式看出比
值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。
例 2.6.1 正弦交流电压源
连接到平行板电容器的两个
极板上，如图所示。( 1 ) 证明电容器两极板间的位移电流与连接 导线中的传导电流相等；( 2 )求导线附近距离连接导线为r 处的磁 场强度。 解：( 1 ) 导线中的传导电流为
y
C
根据对称性，有
，故
B1
B2
当场点P 远离圆环，即z >> a 时
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。 例2.3.2 求电流面密度为 强度。 解：分析场的分布，取安培环路如图，则 的无限大电流薄板产生的磁感应
例 2.5.2 在时变磁场
图所示。试求：
中，放置有一个
的
矩形线圈。初始时刻，线圈平面的法向单位矢量 与
成α 角，如
（1）线圈静止时的感应电动势；
（2）线圈以角速度 ω 绕 x 轴旋转时的感应电动势。 解: （1）线圈静止时，感应电动势是由时变磁场引起，故
z
a
x
b
B
y
en
时变磁场中的矩形线圈
（2）线圈绕 x 轴旋转时， 的指向将随时间变化。线圈内的 感应电动势可以用两种方法计算。 方法一：利用式 假定 故 时 计算 ，则在时刻 t 时， 与y 轴的夹角 ，
位移电流密度的振幅值为
而传导电流密度的振幅值为
通常所说的无线电频率是指 f = 300 MHz以下的频率范围，即使 扩展到极高频段（f = 30～300 GHz），从上面的关系式看出比
值 Jdm/Jm 也是很小的，故可忽略铜中的位移电流。
例 2.6.1 正弦交流电压源
连接到平行板电容器的两个
极板上，如图所示。( 1 ) 证明电容器两极板间的位移电流与连接 导线中的传导电流相等；( 2 )求导线附近距离连接导线为r 处的磁 场强度。 解：( 1 ) 导线中的传导电流为
y
C
根据对称性，有
，故
B1
B2
电磁场与电磁波第二章电磁学基本理论
F21 F12
物理意义 两点电荷q1与q2之间的作用力： 正比于它们的电荷量的乘积； 反比于它们之间距离的平方； 作用力的方向沿两者间的连线； 两点电荷同性为斥力，异性为吸力. 适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间 相互作用力; 109 0 8.85 1012 F / m 无限大真空情况. 36 可推广到无限大各向同性均匀介质中 ( 0 ) 电场力符合矢量叠加原理
电流和电流密度 电荷在电场的作用下发生宏观运动，形 成真实的电流。这样的电流又有传导电流 和运流电流之分。 传导电流：由导电媒质（导体、半导体、 漏电介质）中，电荷的流动 形成； 运流电流：由真空或气体中，电荷的流 动形成。
单位时间内通过某一横截面的电量，简称 为电流。其强弱用电流强度来表征 q dq i lim t 0 t dt i是标量,它只能描述一根导线上总的电流的 强弱，并不反映电流在每一点的流动情况。
无限细分该区域； 分析每一个区域； 叠加原理。
2.电位函数
电压（电位差）
它受到电场力的作用而产生运动， 这时电场力就作功。
P
若在静电场中放一试验电荷 qt ，
dl
E
电力线
n
m
A 如果 qt在场中移动了 dl的距离，电场力作的功 是: dWe F dl qt E dl 要使试验电荷处于平衡状态，应有一外力 Fa q 和该电场力大小相等，方向相反。即当t 位移 dl
p az qd
根据式（2.26）得电偶极子在P点 处的电场强度为:
E
p 4 0 r
(ar 2 cos a sin ) 3
电力线与等位线（面）的性质： E线不能相交; E线愈密处，场强愈大; E线与等位线（面）正交；
电磁场理论课件 2-1静电场的标势及其微分方程
P r
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
(P)
Q
4 0
(1 r
1 r
)
r2 R 2 l 2 2Rl cos
Q
2l
x -Q
求近似值：
r R
1
l2 R2
2l
cos
/
R
R
1 2l cos / R
R(1 1 2l cos ) R l cos
2R
R r
y
(l R)
同理
r R l cos
1 1 r r 2l cos 2l cos
R02 R2
20
ln
R R0
若选P0为参考点，则
(P)
ln R
ER
R
20
,
2 0 R
R0 E EZ 0
解2：
z
电荷源
dq dz z' o
r
场点
p
R
选取柱坐标：源点的坐标为（0, z'），场点的坐标为
（R, 0），考虑到导线是无限长，电场强度显然与z
无关。
这里，先求场强 E
，后求电势
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
第2章 电磁场与电磁波基本理论
式(2-26)可写成
（右边第二项要推导一下） V认为不变，主要是有一个假设，这里不是对 面积s微分，而是对场，因此可以认为场的形 状是刚性的，所以x，v是两个独立的变量。
回路 电动势
d E dl dt B ds l s
曲面磁通 量改变率
应用斯托克斯定理, 上式左端的线积分可化为面积分。同 时, 如果回路是静止的, 则穿过回路的磁通量的改变只有由于
2.1
麦克斯韦方程
2 .1.1 静态电磁场的基本定律和基本场矢量
1 库仑定律和电场强度
图1 两点电荷间的作用力
q1q2 ˆ F rK 2 r
式中, K 是比例常数, r 是两点电荷间的 距离,
ˆ r 是从 q 1指向 q 2的单位矢量。若
q1和q2同号, 该力是斥力, 异号时为吸力。
在SI制中, 库仑定律表达为
第2章 电磁场与电磁波基本理论
麦克斯韦研究时变场时需要修改安培定律。移位 电流（通过电容器的电流）的 引入使得麦克斯韦能 够预见电磁场在自由空间以光速传播。安培定律修改 被认为是麦克斯韦在电磁场理论方面意义最深远的贡 献之一。 法拉第感应定律、修改过的安培定律和两个高斯 定律（一个对时变电场，另一个对时变磁场）形成有 四个方程的方程组，称它们为麦克斯韦方程式。
FB qv B
v
B
改变粒子的运动方向，
而不改变粒子运动速度 的大小。
例 2 .1
参看图3, 长2l的直导线上流过电流 I 。 求真空
中P点的磁通量密度。（本例题在黑板上推导一遍）
图3 载流直导线
［解］ 采用柱坐标, 电流Idz′到P点的距离矢量是
ˆ ˆ R z ( z z '), R [ 2 ( z z ')2 ]1/ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ dl ' R zdz ' [ z ( z z ')] dz '
电磁场与电磁波第二章
第二章 电磁场的基本规律
第二章 电磁场的基本规律
麦克斯韦提出了“涡旋电场”和“位移电流”两个假说， 进而归纳出一组描述电磁场运动规律的基本方程，即麦克 斯韦方程组，其正确性为日后的实验所确认，是分析解决 电磁场问题的理论基础。 本章将回顾、总结电磁现象基本规律以及介质的极化和 磁化规律，给出涡旋电场和位移电流的概念，在此基础上 建立麦克斯韦方程组，并推导电磁场的边界条件，讨论电 磁场的能量和能流。
dF ′ =
µ 0 I d l × [ I ′ d l ′ × ( r − r ′)]
4π r − r′
3
其中 µ0 为真空的磁导率， r 和 r’ 分 别为电流元 I dl 和 I’ dl’ 的位矢。
第二章 电磁场的基本规律
电流之间的磁相互作用通过磁场传递。电流在其周围空 间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运 动电荷有作用力。引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基 本性质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为 dF = I dl×B 由此，式（2-3-1）可写为 dF' = I dl×B' 其中
第二章 电磁场的基本规律
dq d F = I dl × B = dl × B = d q v × B dt 即运动电荷所受的磁力为 dF = dq v×B
(2-3-5)
此称洛仑兹力。上式表明洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速 度，故洛仑兹力永不作功，它只改变电荷的运动方向。
2.3.2 磁通连续性原理 磁场的散度
dB ′ =
(2-3-2)
µ 0 I ′ d l ′ × ( r − r ′)
4π r − r′
3Байду номын сангаас
（2-3-3)
为电流元 I' dl' 在 r 处产生的磁感应强度。
第二章 电磁场的基本规律
麦克斯韦提出了“涡旋电场”和“位移电流”两个假说， 进而归纳出一组描述电磁场运动规律的基本方程，即麦克 斯韦方程组，其正确性为日后的实验所确认，是分析解决 电磁场问题的理论基础。 本章将回顾、总结电磁现象基本规律以及介质的极化和 磁化规律，给出涡旋电场和位移电流的概念，在此基础上 建立麦克斯韦方程组，并推导电磁场的边界条件，讨论电 磁场的能量和能流。
dF ′ =
µ 0 I d l × [ I ′ d l ′ × ( r − r ′)]
4π r − r′
3
其中 µ0 为真空的磁导率， r 和 r’ 分 别为电流元 I dl 和 I’ dl’ 的位矢。
第二章 电磁场的基本规律
电流之间的磁相互作用通过磁场传递。电流在其周围空 间产生磁场，磁场的基本性质是对位于其中的电流和运 动电荷有作用力。引入磁感应强度 B 描写磁场的这一基 本性质，将电流元 I dl 在磁场中的受力写为 dF = I dl×B 由此，式（2-3-1）可写为 dF' = I dl×B' 其中
第二章 电磁场的基本规律
dq d F = I dl × B = dl × B = d q v × B dt 即运动电荷所受的磁力为 dF = dq v×B
(2-3-5)
此称洛仑兹力。上式表明洛仑兹力总是垂直于电荷的运动速 度，故洛仑兹力永不作功，它只改变电荷的运动方向。
2.3.2 磁通连续性原理 磁场的散度
dB ′ =
(2-3-2)
µ 0 I ′ d l ′ × ( r − r ′)
4π r − r′
3Байду номын сангаас
（2-3-3)
为电流元 I' dl' 在 r 处产生的磁感应强度。
《电磁场与电磁波》 第2章电磁学基本理论
多个电荷产生的电场 如果有多个点电荷源,场域中某点的电场强度应该是所有 点电荷在该场中产生的电场强度的矢量和。
E
i 1
n
qi
x
ˆ x i a x
y y
ˆ ˆ y i a y z z i a z y i z z i
l
d dl
E
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
例4: 有一对等量异号相距很近的电荷构成电偶极子，如图， 求：P点的电位和电场强度 。 解：取球坐标系， P点的电位
1 1 q R 2 R1 4 π 0 R1 R 2 4 π 0 R1 R 电场强度的计算
E qqt 4 π 0 qt R
2
ˆ aR
q 4 π 0 R
2
ˆ aR
ˆ 其中：a R 是源电荷指向场点的方向。
(1) 点电荷周围电场强度的计算公式：
E q 4 π 0 R
2
ˆ aR
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
例1：在直角坐标系中，设一点电荷q 位于点 P (3, 2 , 2 )， 计算空间点 P (5, 3, 4 ) 的电场强度。 解：如图
电磁场与电磁波
第2章 电磁学基本理论
一、场量的定义和计算
(一) 电场 1. 什么是电场？ 这种存在于电荷周围，能对其他电荷产生作用力的特殊的 物质称为电场。可见电荷是产生电场的源。 2. 电场强度的定义 单位正电荷在电场中某点受到的作用力称为该点的电场 强度。 电场强度严格的数学表达式为：
F E lim qt 0 q t
I 1 d l1 在空间所产生的磁感应强度为：
电磁场与电磁波理论基础 第二章 课后答案
u=0
∂u 1 ∂u ∂u E = −∇u = − e ρ + eϕ + e z ρ ∂ϕ ∂z ∂ρ
得到 题 2-9 图
E = −∇u = 0, ρ ≤ a
a2 a2 E = − A 1 + 2 cos ϕ e ρ + A 1 − 2 sin ϕ eϕ , ρ ≥ a ρ ρ
代入得到
2 2
r1
-2 q
Y
S1 (-a, 0 , 0)
X
S 2 (a, 0, 0)
题 2-7 图
u (r ) =
q 4πε 0
1
( x + a)
2
+ y2 + z2
−
2 2 2 ( x − a) + y + z 2
电位为零，即令
q u (r ) = 4πε 0
∂u2 =0 ∂x
代入，得到
ρ S下 = −ε 0
∂u1 ∂x
=
x =0
ρd ρd ε U ε U x2 − 0 0 + 0 = − 0 0 + 0 2d 6 x =0 6 d d
ρ0
对于上极板，导体中的电位为常数
u1 = U 0
有
∂u1 =0 ∂x
上极板下表面电荷密度为
l
场分布具有柱对称性，电通密度矢量 D 仅有 e ρ 分量，由 高斯定理 题 2-15 图
D ⋅ dS = ρ
(S ) (V )
V
dV
取圆柱面为高斯面，有
2π
Dρ ρ ldϕ = 20 ρ e
0 0 0
电磁场与电磁波(第二章)
S
s
t
dS
v
Ñl JS
g(n)
v dl )
0
对时变面电流 对恒定面电流
第二节 库仑定律 电场强度
一、库仑定律
❖库仑定律描述了真空中两个点电荷间相互作用力的规律。
v
❖库仑定律内容：如图，电荷q1 对电荷q2的作用力为：
q1
R
v F12
q1 q2
4 0 R 2
evR
q1 q2
4 0 R3
v R
rv' vO
(
1
)
v ex
(
1
)
v ey
(
1
)
v ez
(1)
R x R y R z R
v ex
uv
x
x R3
' uur
v ey
y
y R3
'
v ez
zz' R3
R R3
eR R2
第二章
❖电荷、电流 2.4
❖电场强度、矢量积分公式 2.8 2.9
作业
t 0
讨论：1)
v J
vv
式中： 为空间中电荷体密度，vv 为
正电荷流动速度。
2) I Jv(rv)gdsv Jv(rv)gn)ds
S
S
S Jv(rv) cos ds
n)
S
Jv(rv)
2、面电流密度
❖当电荷只在一v个薄层内流动时，形成的电流为面电流。 ❖面电流密度 J s 定义：
电流在曲面S上流动，在垂直于
电流方向取一线元 l ，若通过
I l
v J
线元的电流为 I ，则定义
S
电磁场与电磁波(电磁场理论)第二章
例2.7.6 球形电容器的内导体半径为a ，外导体内半径为b，
设内球带电荷为q ，外球壳带电荷为-q ，求两球壳间的电场和极
q q
,
2
1
即为切向分量。根据边界条件可知
但 。由高斯定理，有
q q
2
1
处:
处:
相互抵消。 在圆环的中心点上，即z = 0 磁感应强 度最大
当场点P 远离圆环，即z >> a 时
3. 利用安培环路定理计算磁感应强度
在磁场分布具有一定对称性的情况下，可以利用安培环路 定理计算磁感应强度。 例2.3.2 求电流面密度为 感应强度。 解：分析场的分布，取安培环路如图，则 的无限大电流薄板产生的磁
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D 代入式
由
例2.7.1 z < 0的区域的媒质参数为 区域的媒质参数为 强度为 媒质2中的电场强度为 （1）试确定常数A的值;（2）求磁场强度 （3）验证 和 满足边界条件。 和
, z>0 。若媒质1中的电场
；
解:（1）这是两种电介质的分界面，在分界面z = 0 处，有
例 2.6.2 在无源
电场强度矢量
的电介质
中，若已知
，式中的E0为振幅、ω为
角频率、k 为相位常数。试确定 k 与ω 之间所满足的关系，并求
出与
相应的其他场矢量。
解： 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利
用麦克斯韦方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与
相应的其他场矢量。
对时间 t 积分，得
的球形电介质内的极化强
，式中的 k 为常数。（1）计算极化电荷体密度 解：（1）电介质球内的极化电荷体密度为
电磁场理论第二章
对另一恒定电流元（或磁
铁）具有力作用的物质，
I0d l
称为磁场。对电流元有作
用力是磁场的基本特性。
电磁场理论第二章
现代物理学证明:
电流元之间的作用力是通过磁场来传递的。空间 不同点处磁场的大小和方向是变化的，引入磁场 强度概念描述空间电场的大小和方向。
由于历史上磁场对电流元的作用力实验是 在介质中进行的，其所得到的磁场强度定 义包含了介质磁化的影响。从而导致磁场 强度沿用另一名词：磁感应强度 B
电磁场理论第二章
4. 磁场的基本性质
性质1 恒定电流的磁感应强是无散矢量场，即：
B r A r 0
磁感应强力线是闭合的，没有起点也没有终点
B rdVB rds0
V
s
电磁场理论第二章
性质2 恒定电流激发的磁感应强度是有旋 场，电流是磁感应强度的涡旋源，即：
B0Jr
B d sB d l0Jd s0I
Maxwell 认为：电流由两个部分组成，一部分为传导 电流，另一部分他称之为位移电流 ，即总电流密度：
J 总 J传 导 J位 移 JJD
问题1中：通过曲面S1只有传 导电流，没有位移电流，通 过曲面S2只有位移电流，没 有传导电流
总电流
电磁场理论第二章
问题2
t
－ J
0
( B) 0 J 0
（变化）磁场
电场
电磁场理论第二章
2 . 静态场面临的问题
问题一：将Biot－Savart定律用到如图所表示的环
路，同样以L为边界的两个不同曲面S1和 S2，其旋涡源的通量有两个不同的结果
l
B
dl
0 0S1
J ds 0I
J ds 0
S2
电磁场理论第二章
0 0 u G G cos G,
G
u
u u u ey ez 在直角坐标系中： grad u ex x y z
引入Hamilton算子： ex e y ez x y z
矢量不是常矢量，在求导数时要特别注意，不能随 意将坐标单位矢量提到微分符号之外（坐标单位矢 量是坐标变量的函数）。 6、由于各种坐标系中的坐标单位矢量均不随时间
变化，矢量函数对时间t求偏导数时，可以将它们作
为常矢量提到偏微分符号之外。 例如，在球坐标系中： E Er E E (er Er e E e E ) er e e t t t t t
例2：求函数 u x 2 y 2 z 2 在点 M (1,0,1) 沿方向 的方向导数。 ex e y 2 ez 2
二、矢量函数的散度
（一）矢量场的矢量线（力线）
1、定义：矢量场中的一些曲线，曲线上每一点的切
线方向代表该点矢量场的方向，该点矢量场的强度
由附近矢量线的密度来确定。 2、矢量线方程：
0 称为在点M处，矢量场 F 沿 n 方向上的环量面密度。 （场中某点单位面积的环量）
s
2、旋度的定义：
0 矢量旋度的定义式： (rot F ) n lim
rot F
F d
s 0
s
G
M
环量面密度
n0
u
3、旋度在直角坐标系中的表示式
3、梯度的基本运算公式
梯度的运算法则与一般函数求导数的法则类似
C 0
(Cu) Cu
《电磁场理论》第二章 静电场2
1 r
1 r
2
l c o s ，代入电场表达式得
ur r E (r )
q 4 0
[ (
1 r
1 r
2
1 l c o s ) ( )] r
q 4 0
u r
(
l cos r
r
2
)
ql cos r q l s in r e e r 3 3 2 0 r 4 0 r
（2.16）
例 2.1.1 证明： 解
1 R
) 是 函数。
在直角坐标系下，
R ( x x ') ( y y ') ( z z ')
2 2 2
(
2
1 R
)
2 2
x
(
1 R
)
2 2
y
(
1 R
)
2 2
z
(
1 R
)
33
其中
2 2
x
(
1 R
)
r ur 1
（2.14） （2.15）
( r r ')
( ') ( ') ( z z ')
1
球坐标系下
( r r ')
1 4 (
2
r sin
2
( r r ' ) ( ' ) ( ' )
R r r'
（2.7）
或
V ( r r ') dV
电磁场与电磁波(第2章)
第二十一页，共三十一页。
2.7 积分形式(xíngshì)的麦克斯韦方程组
根据高斯定理和斯托克斯定理，可将微分形式的麦克斯韦方程转 化(zhuǎnhuà)为积分形式的麦克斯韦方程。
D
E B/t B 0 H J D/t
转化
(zhuǎnhu
à)为
s D dS Q
s E dl
s
B t
( s Jc dS
s Jv dS ) id
D dS s t
于是可得
即
s (Jc Jv Jd ) dS 0
ic iv id 0 此式称为电流连续性原理
第十二页，共三十一页。
或 s J dS 0
电流连续性原理(yuánlǐ)表明：在时 变场中，在传导电流中断处必有运 流电流或位移电流接续。
id
dq dt
D dS s t
s Jd dS
式中位移电流密度
Jd
D t
0
E t
第十一页，共三十一页。
2.电流(diànliú)连续性 原理在时变(shíbiàn)电磁场空间，围绕着通电导体作一闭合面S，则穿入的
传导电流和运流电流应等于S面内自由电量q的增加率，即
ic
iv
dq dt
麦克斯韦假设， S面内自由电量q的增长(zēngzhǎng)应与穿出的位移电流相 一致，并且若指定穿出S面的电流为正，则
其中(qízJhōng) Jc
Jv
Jd
E v 0
E t
称为(chēnɡ wéi)全电流密度
通常，又将电流连续性原理称为全电流定律，该定理揭示了不仅
传导电流激发磁场，变化的电场也可以激发磁场。它与变化的磁场激发 电场形成自然界的一个对偶关系。
电磁场理论第二章
r r' r r'
3
V
(r ' )dV
(r ' ) 高斯定律的微分形式 E (r ) 0
E 0
E 0
E 0
返 回 上 页 下 页
说明 静电场是有源场，电荷是电场的通量源。
第 二 章
静 电 场
2.6 静电场的环路定律
2. 已知电荷求电位 以点电荷为例
连续分布电荷
1 (r ) 4π 0
V'
dq C r r'
返 回 上 页 下 页
dq dV , dS , dl 相应的积分原域 V ' , S ' , l '。 式中
第 二 章
3. 与 E 的积分关系
静 电 场
线积分
P0Leabharlann P • 说明： W 1 (r ) (r )dV e V 2
电场能量与电荷分布的关系
1)此公式只适用于静电场能量求解； 1 不表示电场能量密度； 2)公式中 2 3) (r )为空间中自由电荷分布； 4)积分范围 V 为整个空间，但可退化到电荷 分布区域。
第 二 章
静 电 场
第 二 章
[1 (2 1 ) 0 ]U Q ln b ln a U ˆ E er (ln b ln a)r 1 2 1 We E dV1 0 E 2 dV1 V1 2 V2 2 b 1 1 U2 rdr 2 a 2 1 2 (ln b ln a ) r
导体内部电场为零； 导体边界面上电场的切向分量为零； 导体为等势体； 电荷只分布在导体的表面
电磁场理论(第二章)
V s
磁场力线是闭合的，没有起点也没有终点。
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
性质2 恒定电流的磁感应强度是有旋场， 电流是磁感应强度的涡旋源。
B 0 J r
B ds B dl J ds
0 s l s
0
I
B A A A
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
F qv B
磁场对运动带电粒子的 作用力与粒子运动的方 向垂直，这说明磁场对 带电粒子不做功，它只 改变粒子的运动方向， 而不改变粒子运动速度 的大小。
v B
法拉第(Faraday 1791-1867 英国） 电磁感应（1831年）
电生磁（奥斯特 电流的磁效应）
B r
0
4
V
J r R
'
R
3
dV
Biot—Savart定律
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 3 磁矢位 如果记
0 Ar 4
V
J r R
dV
'
磁感应强度矢量可表示为：
B r 1 ' J r dV R 4 V
存在变化电场
2 位移电流概念 将 Biot—Savart定律应 用到如图所表示的环 路L，同样以L为边界 的两个不同曲面S1和 S2，其旋涡源的通量 有两个不同的结果：
J ds 0 I 0 S1 B dl l 0 J ds 0 S2
演绎法
§2.2 Coulomb定律与静电场
1 Coulomb定律 真空中任意两个静止 点电荷q1 和q2之间 作用力的大小与两电 荷的电荷量成正比， 与两电荷距离的平方 成反比；方向沿q1 和 q2 连线方向，同性电 荷相互排斥，异性电 荷相互吸引。
磁场力线是闭合的，没有起点也没有终点。
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
性质2 恒定电流的磁感应强度是有旋场， 电流是磁感应强度的涡旋源。
B 0 J r
B ds B dl J ds
0 s l s
0
I
B A A A
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场
F qv B
磁场对运动带电粒子的 作用力与粒子运动的方 向垂直，这说明磁场对 带电粒子不做功，它只 改变粒子的运动方向， 而不改变粒子运动速度 的大小。
v B
法拉第(Faraday 1791-1867 英国） 电磁感应（1831年）
电生磁（奥斯特 电流的磁效应）
B r
0
4
V
J r R
'
R
3
dV
Biot—Savart定律
§2.3 Ampere定律与恒定电流的磁场 3 磁矢位 如果记
0 Ar 4
V
J r R
dV
'
磁感应强度矢量可表示为：
B r 1 ' J r dV R 4 V
存在变化电场
2 位移电流概念 将 Biot—Savart定律应 用到如图所表示的环 路L，同样以L为边界 的两个不同曲面S1和 S2，其旋涡源的通量 有两个不同的结果：
J ds 0 I 0 S1 B dl l 0 J ds 0 S2
演绎法
§2.2 Coulomb定律与静电场
1 Coulomb定律 真空中任意两个静止 点电荷q1 和q2之间 作用力的大小与两电 荷的电荷量成正比， 与两电荷距离的平方 成反比；方向沿q1 和 q2 连线方向，同性电 荷相互排斥，异性电 荷相互吸引。
电磁场与电磁波第二章资料
由对称性和电场的叠加性，合电场只 有z分量，则
l
z
dE
R
dEz
ez l E z ez dE z l 4 0 ez l 4 0
cos l R2 dl
r0
O
dl
l
ez l z z dl 3 R 4 0 R 3
2 r l z qz l dl 4 0 R3 ez 4 0 R3 ez
z
r
q
l
o
y
q l (r )dl
C
07:11
x
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
7
点荷线
电量为q、集中在体积为零的几何点上的电荷
点电荷的电荷密度表示
z
r
q
(r ) qδ(r r )
点电荷的 (r ) 表示
点电荷q位于坐标原点
o x
y
(r ) q (r )
14
恒定（稳恒）电流的连续性方程
所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量不随时间变化。
不随时间变化电流称为恒定电流（或稳恒电流）。
恒定电流空间中，电荷分布也恒定不变，即对时间的偏导数为
零，则电流连续性方程为
J 0
07:11
S
J dS 0
恒定电流连续性方程
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
z
Vi V r (r )
M
r
o
x
y
设体电荷密度为 ( r ) ，图中dV在P点产生的电场为：
(r ')dV ' dE (r , r ') R 3 4 0 R
l
z
dE
R
dEz
ez l E z ez dE z l 4 0 ez l 4 0
cos l R2 dl
r0
O
dl
l
ez l z z dl 3 R 4 0 R 3
2 r l z qz l dl 4 0 R3 ez 4 0 R3 ez
z
r
q
l
o
y
q l (r )dl
C
07:11
x
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
7
点荷线
电量为q、集中在体积为零的几何点上的电荷
点电荷的电荷密度表示
z
r
q
(r ) qδ(r r )
点电荷的 (r ) 表示
点电荷q位于坐标原点
o x
y
(r ) q (r )
14
恒定（稳恒）电流的连续性方程
所谓恒定（或称为稳恒），是指所有物理量不随时间变化。
不随时间变化电流称为恒定电流（或稳恒电流）。
恒定电流空间中，电荷分布也恒定不变，即对时间的偏导数为
零，则电流连续性方程为
J 0
07:11
S
J dS 0
恒定电流连续性方程
电磁场与电磁波
第2章 电磁场的基本规律
z
Vi V r (r )
M
r
o
x
y
设体电荷密度为 ( r ) ，图中dV在P点产生的电场为：
(r ')dV ' dE (r , r ') R 3 4 0 R
第二章电磁场理论
正电荷，终止于负电荷；而磁场的散度总是为零，旋度不为 零，磁力线是与电流铰链的闭合曲线，且磁力线和电力线也 互相铰链；在远离场源的无源区域中，电场和磁场的散度都 为零，这时电力线和磁力线自行闭合，相互铰链，在空间形 成电磁波。 4)一般情况下，时变电磁场的场矢量和场源既是空间坐 标的函数，又是时间的函数；如果不是时间的函数，则式 (5-28)和(5-29)两组方程就退化为静态场方程。 5)在线性媒质中，麦克斯韦方程组是线性方程，可以应 用叠加原理。 6)麦克斯韦方程组中的四个方程并不都是独立的，但有 各自的重要意义，二者不能混淆。 如对式(5-28b)两边取散度，则有：
律进行分析、总结的基础上，经过扩充和推广而得到的；它
揭示了电场与磁场之间，电磁场与电荷、电流之间的相互关 系，是一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律；是电磁运动规
律最简洁的数学语言描述；是电磁场的基本方程；是分析、
研究一切电磁问题的基本出发点。 (2)麦克斯韦方程组的微分形式
一组描述宏观电磁现象特性的微分方程如下：
于是就得到了用位函数表示的两个方程，两个方程都包 含A和 ，是联立方程。如果适当地选择·A的值，就可以 使这两个方程进一步简化为分别只含有一个位函数的方程。 为此选择：
A t
70)和(5-71)就得到：
(5-72)
式(5-72)称为洛仑兹条件或洛仑兹规范。将其代入式(5-
22heeheeee??????????????????????tt??00???????????ehheehtt?对式560b两边取散度并利用矢量恒等式560a560b560c560d得00????????????????????2???????222222tttthheeee???0将式560a和560d代入上式得到
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多个电荷体系中电荷 q受i 到的作用力是系统
中除 qi以外的电荷与该电荷单独存在时作用
力之矢量代数和，满足线性叠加原理。
2. 电场与电场强度
◆ 实验证明: 任何电荷在其所
处的空间中激发出对置于其
中别的电荷有作用力的物
质，称为电场。由静止电荷
激发的电场称为静电场。
电场
◆ 电场对电荷有作用力是电场的基本性质之 一，现代物理学证明电荷之间的作用力是 通过电场来传递的。
t
－ J
0
( B) 0 J 0
相一致，只有两式中电流密度的物理含义不同
B 0 J 0
Maxwell 认为：电流由两个部分组成，一部分为传导 电流，另一部分他称之为位移电流 ，即总电流密度：
J总 J传导 J位移 J JD
问题1中：通过曲面S1只有传 导电流，没有位移电流，通 过曲面S2只有位移电流，没 有传导电流
Maxwell方程组表明：变化的磁场激发旋涡电场； 变化的电场同样可以激发涡旋磁场。电场与磁场 之间的相互激发可以脱离电荷和电流而发生。电 场与磁场的相互联系，相互激发，时间上周而复 始，空间上交链重复，这一过程预示着波动是电 磁场的基本运动形态。他的这一预言在Maxwell去 世后（1879年）不到10年的时间内，由德国科学 家Hertz通过实验证实。
Rj
I0dl
0 4
V
J
r
r
Hale Waihona Puke rr3r
dr
2. Biot－Savart 定律与磁感应强度
实验证明任一恒定电流元
Idl 在其周围空间激发出
对另一恒定电流元（或磁
铁）具有力作用的物质，
I0dl
称为磁场。对电流元有作
用力是磁场的基本特性。
现代物理学证明:
电流元之间的作用力是通过磁场来传递的。空间 不同点处磁场的大小和方向是变化的，引入磁场 强度概念描述空间电场的大小和方向。
ÑÒÒlÑsslEBEBBEBErrdrrd,,dd,lt,tlttss0001dd00rstJ0,Bt(VsrJrt,Bt,tddV0s0E0t )Edrts,t
真空中Maxwell方程组描述了真空中电荷和 电流源激发电磁场， 以及电场与磁场之间 的相互作用和联系。
四个方程是实验规律以及Maxwell推广的总 结，并非都是独立的，只有两个是独立的。
总电流
问题2
t
－ J
0
( B) 0 J 0
两式中的电流密度有不同的物理意义，应理解为
t
－ J传导
0
( B) 0 J总 0
总电流
为了获得位移电流表达式，Maxwell认为静电场 的Gauss定律和电荷守恒定律是实验的总结，应 予以保留。利用这两个定律，他对电流的形式 进行了如下的推广：
Er ,t r ,t
0
s
Er,t ds
1
0
V
r , t dV
磁场Gauss定理： Maxwell认为恒定电流磁场的
Gauss定理可以直接推广到一般情形，即：
Br,t 0
Br,t ds 0
s
Faraday电磁感应定律：Maxwell认为Faraday电磁感
应定律直接推广到一般情况，即：
Er ,t Br ,t
t
d
l
E
dl
dt
s
B
ds
广义Biot-Savart 定律： Maxwell引入位移电流，修正
了恒定电流情况下的 Biot-Savart定律，得到：
B 0(J JD )
B dl 0 (J J D ) ds
l
s
微 积分分形形式式M:aMxwaexllw方el程l方组程组
Er r
利用Gauss定理得到： 0
V
EdV
s
Er ds
1
0
V
r dV
称为静电场的Gauss定律。
静电场的Gauss定律表明： 静电场的力线发源于正电荷，终止于负电荷; 在没有电荷的空间中，静电场力线是连续的。
有净余的正电荷 没有净余的电荷 有净余的负电荷
E 0
E 0 Ε 0
性质2 静电场是无旋矢量场
40 R3
如果电荷是连续分布，密度为 (r) 。 它在空间任意一点产生的电场为：
r
E (r )
i 1
(ri' )Vi Ri 40 Ri3
V
(r ' ) R 40 R3
dV
R = r – r’
R (ri' )Vi
小体积元中的电荷产生的电场
3. 静电场的性质
性质1 静电场是有散矢量场，电荷是静电场的 通量源。对电场直接求散度:
l
E
dl
d dt
s
B
ds
回路的 电动势
曲面磁通 量改变率
Faraday电磁感应实验定律表明：
变化的磁场可以产生感应电场，该电场与静 电场都对电荷有力的作用，所不同的是感应 电场沿闭合回路的积分不为零，具有涡旋场 的性质，变化的磁场是其旋涡源。
（变化）磁场
电场
2 . 静态场面临的问题
问题一：将Biot－Savart定律用到如图所表示的环
t
J
J总
J
JD
0
JD
t
0
E t
Ε
0
Maxwell推广位移电流基于如下考虑：
电磁感应实验表明变化的磁场能够激发电场， 变化的电场激发磁场是电磁现象的合理假设。
以最简单形式解决了静态电磁场存在的矛盾， 保证了电荷守恒定律和Gauss定律的成立。
4. 真空中的Maxwell方程组
电场Gauss定理： Maxwell认为静电场Gauss定理 可直接推广到一般情形，即：
由于历史上磁场对电流元的作用力实验是 在介质中进行的，其所得到的磁场强度定 义包含了介质磁化的影响。从而导致磁场 强度沿用另一名词：磁感应强度 B
磁场对电流元的作用力可用于定义区域V上的磁感应
强度。其数值为检验电流元受到最大作用力与检验电
流元比的极限
B
r
lim
d
F
max
dl0 I0d l
F
其方向垂直电流元与电流元 受力方向所构成的平面，三
40 R132
实验证明： 真空中多个点电荷构 成的电荷体系，两两 间的作用力，不受其 它电荷存在的影响。
qj qi
Fi
ji
qiq j Rij
4 0 Ri3j
Fi
ji
qiq j Rij
4 0 Ri3j
qi q1 Ri1
4 0 Ri31
qiq2 Ri2
4 0 Ri32
qiqn Rin
4 0 Ri3n
B 0Jr
B ds Ñ B dl 0 J ds 0I
s
l
s
B A A 2A
其中：
A
0 4
v
J r
r'
r'
dV
'
0 4
J
v
r
'
r
1 r'
r
1 r'
J
r' dV '
0 4
J
v
r
'
'
r
1 r'
r
1 r'
' J r' dV '
0 4
'
v
J r
r'
r'
dV '
0 4
Ò
s
J r
r'
r'
ds'
0
另外一项：
2 A
0 4
2
v
J r
r'
r'
dV
'
0 4
J v
r ' 2
r
1 r'
dV '
－ 0 4
4 J
v
r'
r
r' dV
'
0J
r
B r 0J r
5. 电磁场对带电粒子的作用
电场对带电粒子的作用力为 Fe Edq
Er
1
4 0
V
R R3
r'
dV
1
4 0
V
r'
1 dV R
0
标量场的梯度是无旋场，所以静电场
又可以表示为某个标量场的梯度。即
Er r
§2.3 恒定电流的磁场
1. Ampere定律 Ampere 在1821－25
l1
l2
R12
年之间，设计并完成 了四个关于电流相互
r1
r2
作用的精巧实验，得
磁场对电流的作用力实际上是磁场对运动带电粒子 的作用力，即
Fm
Idl
B
dq dt
vdt
B
dqv
B
因此，电磁场对带电粒子的作用力为（Lorent力）
F Fe Fm dqE v B
电场对运动带电粒子的作用力不受 粒子运动与否的影响，作用力既可 改变粒子速度（大小和方向。这说 明电场对带电粒子做功。磁场对运 动带电粒子的作用力与粒子运动的 方向垂直，说明磁场对带电粒子不 做功，只改变粒子运动方向，不改 变粒子运动速度的大小。
◆ 空间不同点处电场的大小和方向是变化 的，引入电场强度概念描述空间电场的 大小和方向。因此电场对电荷的作用力 可以用于定义电场的强度。
◆ 电场强度
空间某点电场强度定义为置于该点的单位
点电荷（称试验电荷）受到的作用力：
Er lim F r