状态空间极点配置设计汇总
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第4章 极点配置设计：状态空间方法
• 主要内容
• (1) 状态反馈极点配置 • (2) 状态观测器 • (3) 带状态观测器的调节器设计 • (4) 输入系统的极点配置
4.1 引言
状态空间中的极点配置设计方法是基本的设计方法之一。 如果系统是完全状态可控的，那么，要求的z平面上闭环极点可 以选择，并且，以这些极点为闭环极点的系统可以设计。这种 在z平面设置期望的闭环极点的设计方法，称为极点配置设计法。
得到差分方程；
后向差分法用后向差分近似导数：
dx(t) x(t) x(t T ) q 1 x(t)
dt
T
qT
来得到差分方程。
在上述变换变量中，相当于用(z－l)/T或者(z－l)/(zT)代替s。前 面的章节已经表明，可把变量z和s用自然指数关联起来，即z ＝exp(sT)。这两个差分近似相应于级数展开：
i
2 T
eiT eiT
1 1
2 T
eiT eiT
/ /
2 2
eiT / 2 eiT / 2
2i T
tan(T )
2
则模拟频率ω与离散频率ω'之间有如下关系：
即：
2 tan(T )
T2
2 T
tan1(T
2
)
1
(T )2
12
（4.7）
ω与ω´的非线性关系
双线性变换造成的频率畸变
由（4.7）式可知，在ω=0处没有频率畸变，并且ωT小时畸
（4.5）式由s平面到z平面的映射
（4.6）式由s平面到z平面的映射
可以看出：
• 使用前向差分法有可能把一个稳定的连续时间系统映射为 一个不稳定的离散时间系统。
• 使用后向差分近似时，一个稳定的连续时间系统将总是给 出一个稳定的离散系统。但是一些不稳定连续时间系统也可 能被转换成稳定的离散时间系统。而且运用后向差分法时频 率被严重压缩了，不能保证频率特性不变。
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以改进闭环系统的性能。假定离散时间控制器形式如下：
u(kT) M~uc (kT) L~x(kT)
（4.15）
可以采用离散状态空间的极点配置设计方法来实现上述
4.2.1 状态反馈
假设连续系统由方程：
dx Ax Bu dt
描述。只讨论单输入-单输出情况。对该系统按一定周期进行 零阶保持采样得到的离散系统为：
x(kT T ) x(kT) u(kT)
其中矩阵Ф和Г由：
e AT
T e AsdsB 0
给出。为简化起见，将系统写为：
x(k 1) x(k) u(k)
（4.13）
如果系统（4.12）是能控的，那么使用形式为：
u(t) Muc (t) Lx(t) 的控制器就可任意配置该闭环系统的极点。
（4.14）
对状态采样并在采样周期内保持控制信号恒定就可以实
现数字形式（4.14）的控制器。随着采样周期的增加，
离散闭环系统的特性开始恶化，不过，可以修改控制器
z esT 1 sT （前向差分法/欧拉法）（4.1）
z esT
1 esT
1 1 sT
（后向差分法）（4.2）
另一种与数值积分的梯形法相对应的近似法是：
z
esT
esT / 2 esT / 2
1 sT 1 sT
/2 /2
（4.3）
这种近似也常常叫做双线性变换，或者塔斯廷（Tustin）近似。
• 使用双线性变换（塔斯廷近似）将s平面的左半平面映射到 z平面的单位圆内。因此把连续时间系统的稳定性与离散时 间系统的稳定性不变。
4.2.1.2 频率畸变现象的预防
经过双线性近似变换后，模拟频率与离散频率之间存在着非
线性关系。设模拟频率为ω，变换后得到的离散频率为ω'，
现在将s' = iω，z = eiω´T代入双线性变换式，得到：
在极点配置设计方法中，将反馈全部状态变量，使得全部 闭环极点均设置在各期望的位置上。然而，实际的控制系统中， 量测到全部状态变量是不可能的，不是全部状态变量都可以用 于反馈。为了实现状态反馈，估计这些未知的状态变量是很必 要的，这种估计可以用状态观测器进行。
状态反馈极点配置问题，可以分成为两个部分： 首先假定系统的全部状态都可能用于反馈，设计一个 全状态反馈的控制系统；然后，再设计一个状态观测 器，用来估计状态反馈要用的状态变量。设计中依据 的参数为期望的闭环极点的位置和采样周期T。
使用上述近似方法时，可用下述s´直接代替G(s)中的自变量s
而得到脉冲传递函数G(z)，其中：
从而
s z 1 T
s z 1 zT
s 2 z 1 T z 1
（前向差分法/欧拉法）（4.4） （后向差分法） （ 4.5 ） （双线性变换法） （ 4.6 ）
G(z) G(s)
（4.4）式由s平面到z平面的映射
变也小。如果系统要求变换后的某些特定频率不能畸变时，
可以采用预畸变方法来补偿。要在规定的频率ω1处没有畸变，
只要把（4.6）式的双线性变换修改为下列变换即可：
s
1 tan(1T
/ 2)
z z
1 1
（频率预畸变的双线性变换） （4.8）
根据（4.8）式，可以得出：
G(ei1T ) G(i1) 即该连续时间滤波器及其近似式在频率ω1处具有同样值。不 过，该方法仅仅能在规定的频率处保证不发生畸变，在其他 频率处仍会有畸变。
4.2 状态反馈极点配置
假设系统的全部状态变量都可以量测，并且都能用 于反馈。如果系统是完全状态可控的，那么，用状态 反馈的方法，适当地选择状态反馈增益矩阵，可以将 闭环系统的极点配置在z平面的任何期望的位置。
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充 分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
4.2.1.1 差分法和双线性变换法
连续控制器D(s)在时间域里用微分方程来表示，把微分运算用 等效差分来近似，就可得到逼近微分方程的差分方程。
等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又称为 欧拉法，是用前向差分近似导数：
dx(t) x(t T ) x(t) q 1 x(t)
dt
T
T
4.2.2 基于状态模型的近似法
在某些情况下，已知连续时间状态空间模型描述的控制器，
希望将它离散化成离散时间近似式。可以把状态反馈控制器
看作广义的P控制器。假设连续时间系统方程为：
dx Ax Bu dt y Cx
（4.12）
且所有的状态都是可量测的。对应的离散系统方程为：
x(kT T ) x(kT) u(kT) y(kT) Cx(kT)
• 主要内容
• (1) 状态反馈极点配置 • (2) 状态观测器 • (3) 带状态观测器的调节器设计 • (4) 输入系统的极点配置
4.1 引言
状态空间中的极点配置设计方法是基本的设计方法之一。 如果系统是完全状态可控的，那么，要求的z平面上闭环极点可 以选择，并且，以这些极点为闭环极点的系统可以设计。这种 在z平面设置期望的闭环极点的设计方法，称为极点配置设计法。
得到差分方程；
后向差分法用后向差分近似导数：
dx(t) x(t) x(t T ) q 1 x(t)
dt
T
qT
来得到差分方程。
在上述变换变量中，相当于用(z－l)/T或者(z－l)/(zT)代替s。前 面的章节已经表明，可把变量z和s用自然指数关联起来，即z ＝exp(sT)。这两个差分近似相应于级数展开：
i
2 T
eiT eiT
1 1
2 T
eiT eiT
/ /
2 2
eiT / 2 eiT / 2
2i T
tan(T )
2
则模拟频率ω与离散频率ω'之间有如下关系：
即：
2 tan(T )
T2
2 T
tan1(T
2
)
1
(T )2
12
（4.7）
ω与ω´的非线性关系
双线性变换造成的频率畸变
由（4.7）式可知，在ω=0处没有频率畸变，并且ωT小时畸
（4.5）式由s平面到z平面的映射
（4.6）式由s平面到z平面的映射
可以看出：
• 使用前向差分法有可能把一个稳定的连续时间系统映射为 一个不稳定的离散时间系统。
• 使用后向差分近似时，一个稳定的连续时间系统将总是给 出一个稳定的离散系统。但是一些不稳定连续时间系统也可 能被转换成稳定的离散时间系统。而且运用后向差分法时频 率被严重压缩了，不能保证频率特性不变。
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以改进闭环系统的性能。假定离散时间控制器形式如下：
u(kT) M~uc (kT) L~x(kT)
（4.15）
可以采用离散状态空间的极点配置设计方法来实现上述
4.2.1 状态反馈
假设连续系统由方程：
dx Ax Bu dt
描述。只讨论单输入-单输出情况。对该系统按一定周期进行 零阶保持采样得到的离散系统为：
x(kT T ) x(kT) u(kT)
其中矩阵Ф和Г由：
e AT
T e AsdsB 0
给出。为简化起见，将系统写为：
x(k 1) x(k) u(k)
（4.13）
如果系统（4.12）是能控的，那么使用形式为：
u(t) Muc (t) Lx(t) 的控制器就可任意配置该闭环系统的极点。
（4.14）
对状态采样并在采样周期内保持控制信号恒定就可以实
现数字形式（4.14）的控制器。随着采样周期的增加，
离散闭环系统的特性开始恶化，不过，可以修改控制器
z esT 1 sT （前向差分法/欧拉法）（4.1）
z esT
1 esT
1 1 sT
（后向差分法）（4.2）
另一种与数值积分的梯形法相对应的近似法是：
z
esT
esT / 2 esT / 2
1 sT 1 sT
/2 /2
（4.3）
这种近似也常常叫做双线性变换，或者塔斯廷（Tustin）近似。
• 使用双线性变换（塔斯廷近似）将s平面的左半平面映射到 z平面的单位圆内。因此把连续时间系统的稳定性与离散时 间系统的稳定性不变。
4.2.1.2 频率畸变现象的预防
经过双线性近似变换后，模拟频率与离散频率之间存在着非
线性关系。设模拟频率为ω，变换后得到的离散频率为ω'，
现在将s' = iω，z = eiω´T代入双线性变换式，得到：
在极点配置设计方法中，将反馈全部状态变量，使得全部 闭环极点均设置在各期望的位置上。然而，实际的控制系统中， 量测到全部状态变量是不可能的，不是全部状态变量都可以用 于反馈。为了实现状态反馈，估计这些未知的状态变量是很必 要的，这种估计可以用状态观测器进行。
状态反馈极点配置问题，可以分成为两个部分： 首先假定系统的全部状态都可能用于反馈，设计一个 全状态反馈的控制系统；然后，再设计一个状态观测 器，用来估计状态反馈要用的状态变量。设计中依据 的参数为期望的闭环极点的位置和采样周期T。
使用上述近似方法时，可用下述s´直接代替G(s)中的自变量s
而得到脉冲传递函数G(z)，其中：
从而
s z 1 T
s z 1 zT
s 2 z 1 T z 1
（前向差分法/欧拉法）（4.4） （后向差分法） （ 4.5 ） （双线性变换法） （ 4.6 ）
G(z) G(s)
（4.4）式由s平面到z平面的映射
变也小。如果系统要求变换后的某些特定频率不能畸变时，
可以采用预畸变方法来补偿。要在规定的频率ω1处没有畸变，
只要把（4.6）式的双线性变换修改为下列变换即可：
s
1 tan(1T
/ 2)
z z
1 1
（频率预畸变的双线性变换） （4.8）
根据（4.8）式，可以得出：
G(ei1T ) G(i1) 即该连续时间滤波器及其近似式在频率ω1处具有同样值。不 过，该方法仅仅能在规定的频率处保证不发生畸变，在其他 频率处仍会有畸变。
4.2 状态反馈极点配置
假设系统的全部状态变量都可以量测，并且都能用 于反馈。如果系统是完全状态可控的，那么，用状态 反馈的方法，适当地选择状态反馈增益矩阵，可以将 闭环系统的极点配置在z平面的任何期望的位置。
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充 分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
4.2.1.1 差分法和双线性变换法
连续控制器D(s)在时间域里用微分方程来表示，把微分运算用 等效差分来近似，就可得到逼近微分方程的差分方程。
等效差分有前向差分、后向差分等方法。前向差分法又称为 欧拉法，是用前向差分近似导数：
dx(t) x(t T ) x(t) q 1 x(t)
dt
T
T
4.2.2 基于状态模型的近似法
在某些情况下，已知连续时间状态空间模型描述的控制器，
希望将它离散化成离散时间近似式。可以把状态反馈控制器
看作广义的P控制器。假设连续时间系统方程为：
dx Ax Bu dt y Cx
（4.12）
且所有的状态都是可量测的。对应的离散系统方程为：
x(kT T ) x(kT) u(kT) y(kT) Cx(kT)