2020届人(新增5页)教版中考数学复习解题指导：第25讲多边形与平行四边形

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中考数学复习第五单元四边形第24课时多边形与平行四边形数学课件

ห้องสมุดไป่ตู้
求 DF 的长.
1
2
课堂考点探究
针对训练
[答案]D
[2018·宿迁] 一个多边形的内角和是外角和的 3 倍,这个多边
形是 (
)
[解析] 设这个多边形的边数为 n,根据题意得
(n-2)×180°=360°×3,解得 n=8.
A.四边形
B.五边形
C.六边形
D.八边形
00000000000
课堂考点探究
探究二
平行四边形的性质
则△ AED 的形状是 (
[答案] B
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
课前双基巩固
6.[2018·泰州] 如图 24-3,▱ ABCD 中,AC,BD 相交于点 O,
若 AD=6,AC+BD=16,则△ BOC 的周长为
图 24-3
[答案] 14
.
课堂考点探究
探究一
多边形的内角和与外角和
;
(4)如果一个正多边形的每个外角都是 30°,那么这个多边形的边数是
(5)如果一个多边形的内角和等于外角和,那么这个多边形的边数是
;
.
(4)12 (5)4
课堂考点探究
[方法模型] (1)多边形的内角中最多有三个锐角;(2)多边形的边数每增加一,内角和度数增加 180°;(3)多边形的
外角和与边数 n 无关.
UNIT FIVE
第五单元
第 24 课时多边形与平行四边形
四边形
课前双基巩固
考点聚焦
考点一
多边形
内角和
180°
n 边形的内角和为① (n-2)·

中考数学《多边形和平行四边形》专题含解析

多边形和平行四边形一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=度，□ABCD的周长为cm．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为cm．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为．二、选择题4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB 6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．多边形和平行四边形参考答案与试题解析一、填空题1．如图，□ABCD中，∠B=50°，AB=5cm，BC=7cm，则∠D=50度，□ABCD的周长为24cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行边形性质中对角、对边相等可知，∠B=∠D=50°，平行四边形的周长=2（AB+BC）．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D=∠B∵∠B=50°∴∠D=50°②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD∵AB=5cm，BC=7cm∴□ABCD的周长为：2（AB+BC）=24cm．故答案为50、24．【点评】本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．2．如图：□ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为8cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=22，所以AC=22﹣14=8cm．【解答】解：∵□ABCD的周长是28 cm∴AB+AD=14cm∵△ABC的周长是22cm∴AC=22﹣（AB+AC）=8cm故答案为8．【点评】在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．3．如图，在□ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC的长为2．【考点】菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】作EF∥AB，交AD于F，可证ABEF、CDFE为平行四边形，又AE平分∠BAD，可进一步证明AB=BE，ABEF为菱形，则AF=AB=3，DF=5﹣3=2，则EC=2．【解答】解：过点E作EF∥AB，交AD于F∵在□ABCD，EF∥AB∴AB=EF，AF=BE∵∠FAE=∠BAE∴△AFE≌△ABE∴AB=BE=EF=AF∴ABEF为菱形∴EC=AD﹣AB=2．故答案为：2．【点评】此题综合性较强，考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、角平分线的定义等知识点．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）4．如图，已知□ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（﹣2，3），则点C的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（﹣2，﹣3）C．（3，﹣2）D．（2，﹣3）【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据平行四边形是中心对称的特点可知，点A与点C关于原点对称，所以C的坐标为（2，﹣3）．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，A点与C点关于原点对称∴C点坐标为（2，﹣3）．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系．要会根据平行四边形的性质得到点A与点C关于原点对称的特点，是解题的关键．5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC C．AB∥DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是C【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．故选C．【点评】此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．6．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（）A．S1=S4B．S1+S4=S2+S3C．S1S4=S2S3D．都不对【考点】平行四边形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】由于在平行四边形中，已给出条件MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此，MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，所以红、紫四边形的高相等，由此可证明S1S4=S2S3．【解答】解：设红、紫四边形的高相等为h1，黄、白四边形的高相等，高为h2，则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，因为DE=AF，EC=FB，故A错误；S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；S1S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以S1S4=S2S3，故C正确；故选：C．【点评】本题考查的是平行四变形的性质，平行四边形两组对边分别平行且相等，同时充分利用等量相加减原理解题，否则容易从直观上判断B是正确的．7．如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是（）A．S△AFD=2S△EFB B．BF=DFC．四边形AECD是等腰梯形D．∠AEB=∠ADC【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】本题要综合分析，但主要依据都是平行四边形的性质．【解答】解：A、∵AD∥BC∴△AFD∽△EFB∴====4S△EFB；故S△AFDB、由A中的相似比可知，BF=DF，正确．C、由∠AEC=∠DCE可知正确．D、利用等腰三角形和平行的性质即可证明．故选：A．【点评】解决本题的关键是利用相似求得各对应线段的比例关系．三、解答题8．如图，在□ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）由已知条件可得△AED，△CFB是正三角形，可得∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°，所以四边形AFCE是平行四边形．（2）上述结论还成立，可以证明△ADE≌△CBF，可得∠AEC=∠BFC，∠EAF=∠FCE，所以四边形AFCE是平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．∴∠ADE=∠CBF=60°．∵AE=AD，CF=CB，∴△AED，△CFB是正三角形．∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．∴四边形AFCE是平行四边形．（2）解：上述结论还成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．∴∠ADE=∠CBF．∵AE=AD，CF=CB，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．∴∠AED=∠CFB．又∵AD=BC，在△ADE和△CBF中．，∴△ADE≌△CBF（AAS）．∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．又∵∠DAB=∠BCD，∴∠EAF=∠FCE．∴四边形EAFC是平行四边形．【点评】本题考查了等边三角形的性质及平行四边形的判定．多种知识综合运用是解题中经常要遇到的．9．已知：□ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点（异于B、O、D三点），过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线AB于F．（1）若点P在线段BD上（如图所示），试说明：AC=PE+PF；（2）若点P在BD或DB的延长线上，试探究AC、PE、PF满足的等量关系式（只写出结论，不作证明）．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的判定与性质．【专题】证明题；探究型．【分析】（1）先判定四边形AFGC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等的性质知AC=FG；然后由被平行线所截的线段对应成比例（==）求出PE与PG的数量关系，解答到此，来证明AC=PE+PF的问题就迎刃而解了．（2）推理类同于（1）．【解答】证明：（1）延长FP交DC于点G，∵AB∥CD，AC∥FG，∴四边形AFGC是平行四边形，∴AC=FG（平行四边形的对边相等），∵EG∥AC，∴==（被平行线所截的线段对应成比例）；又∵OA=OC，∴PE=PG，∴AC=FG=PF+PG=PE+PF；（2）若点P在BD延长线上，AC=PF﹣PE．如下图所示若点P在DB延长线上，AC=PE﹣PF．如下图所示．．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质．10．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．（1）求证：四边形AECG是平行四边形；（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；解一元二次方程﹣公式法；勾股定理；平行四边形的判定；相似三角形的判定与性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG 即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA．∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE．又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，∴AC=5．∵CF=CB=3，∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4﹣x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4﹣x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2：∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC，∴△AEF∽△ACB，∴．∴，解得，即线段EF长为cm．【点评】本题考查图形的折叠变化，关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．11．如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD．一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD．（1）当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；（2）当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B→C的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动．过Q作直线QN，使QN∥PM．设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm2．①求S关于t的函数关系式；②（附加题）求S的最大值．【考点】二次函数综合题；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函数可求出AE和PE，即可求出面积；（2）①此题应分情况讨论，因为两个动点运动速度不同，所以有点P与点Q都在AB 上运动、点P在BC上运动点Q仍在AB上运动、点P和点Q都在BC上运动三种情况，在每种情况下可利用三角函数分别求出我们所需要的值，进而求解．②在①的基础上，首先①求出函数关系式之后，根据t的取值范围不同函数最大值也不同．【解答】解：（1）当点P运动2秒时，AP=2cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．（2分）=；∴S△APE（2）①当0≤t＜6时，点P与点Q都在AB上运动，如图所示：设PM与AD交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，QF=t，AP=t+2，AG=1+，PG=+t．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=t+；②当6≤t＜8时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与AD交于点F，则AQ=t，AF=，DF=4﹣，QF=t，BP=t﹣6，CP=10﹣t，PG=（10﹣t），而BD=4，故此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=﹣t2+10t﹣34，③当8≤t≤10时，点P和点Q都在BC上运动．如图所示：设PM与DC交于点G，QN与DC交于点F，则CQ=20﹣2t，QF=（20﹣2t），CP=10﹣t，PG=（10﹣t）．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为S=．（14分）故S关于t的函数关系式为；②（附加题）当0≤t＜6时，S的最大值为，（1分）当6≤t＜8时，S的最大值为6，（舍去），（2分）当8≤t≤10时，S的最大值为6，（3分）所以当t=8时，S有最大值为6．（如正确作出函数图象并根据图象得出最大值，同样给4分）【点评】此题解答需数形结合，把函数知识和几何知识紧密联系在一起，难易程度适中．12．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或；②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是S1×S3=S2×S4或．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】压轴题；新定义；开放型．【分析】（1）在BD上任选一点E（不与B、D重合），连接AE、CE即可；（2）根据等底等高，可得结论：①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②S1×S3=S2×S4或等．【解答】解：（1）比如：（2）①S1+S4=S2+S3，S1+S3=S2+S4或S1×S3=S2×S4或等．②∵分别作△ABD与△BCD的高，h1，h2，则=，=，∴S1×S3=S2×S4或等．【点评】此题主要考查学生的阅读理解能力和对等底等高知识的灵活应用．13．四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点．（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（3）如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．试说明点P是四边形ABCD的准等距点．（4）试研究四边形的准等距点个数的情况．（说出相应四边形的特征及此时准等距点的个数，不必证明）【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分，根据线段垂直平分线的性质，则只需要在其中一条对角线上找到和对角线的交点不重合的点即可；（2）根据到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则可作对角线BD的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点即为所求作；（3）只需说明PD=PB即可．根据已知的条件可以根据AAS证明△DCF≌△BCE，则∠CDB=∠CBD，进而得到∠PDB=∠PBD，证明结论即可；（4）根据上述确定准等距点的方法：即作其中一条对角线的垂直平分线和另一条对角线所在的直线的交点．所以分析讨论的时候，主要是根据两条对角线的位置关系进行分析讨论．【解答】解：（1）如图2，点P即为所画点；（1分）（2）如图3，点P即为所作点（作法不唯一）；（2分）（3）连接DB．在△DCF与△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD=CB，∴∠CDB=∠CBD，∴∠PDB=∠PBD，∴PD=PB，∵PA≠PC，∴点P是四边形ABCD的准等距点．（4）①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为0个；②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个．（7分）【点评】关键是熟悉菱形的性质，能够根据线段垂直平分线的性质的逆定理进行分析作图，能够根据找准等距点的方和四边形中两条对角线的位置关系判断准等距点的个数．14．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB=90°，M为AB边中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】连接BE，根据边角边可证△PAM和△EBM全等，可得EB和PA既平行又相等，而PA和CD既平行且相等，所以DE和BC平行相等，又因为BC⊥AC，所以DE也和AC 垂直．以下几种情况虽然图象有所变化，但是证明方法一致．【解答】解：（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC．（2）如图4，如图5．（3）方法一：如图6，连接BE，∵PM=ME，AM=MB，∠PMA=∠EMB，∴△PMA≌△EMB．∵PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵平行四边形PADC，∴PA∥DC，PA=DC．∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．方法二：如图7，连接BE，PB，AE，∵PM=ME，AM=MB，∴四边形PAEB是平行四边形．∴PA∥BE，PA=BE，余下部分同方法一：方法三：如图8，连接PD，交AC于N，连接MN，∵平行四边形PADC，∴AN=NC，PN=ND．∵AM=BM，AN=NC，∴MN∥BC，MN=BC．又∵PN=ND，PM=ME，∴MN∥DE，MN=DE．∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∴DE⊥AC．（4）如图9，DE∥BC，DE=BC．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，以及全等的应用，难易程度适中．。

中考数学复习《多边形与平行四边形》

证明：∵BD垂直平分AC， ∴AB=BC，AD=DC.
在△ADB与△CDB中，
∴△ADB≌△CDB（SSS）. ∴∠BCD=∠BAD. ∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF， ∴AB∥FD. ∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD. ∴四边形ABDF是平行四边形.
考题再现
1. （2015广州）下列命题中，真命题的个数有（ B ）
（5）面积：①计算公式：S□=底×高=ah.
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形.
4. 平行四边形的判定（1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. （2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形. （4）对角线互相平分的四边形是平行四边形. （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 5. 三角形中位线定理（1）三角形的中位线：连接三角形两边的中点，所得线段叫做该三角形的中位线. （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
中考考点精讲精练
考点1 多边形的内角和与外角和
考点精讲
【例1】（2016临沂）一个正多边形的内角和为540°，则这
个正多边形的每一个外角等于
（）
A. 108°
B. 90°
C. 72° D. 60°
思路点拨：首先设此多边形为n边形，根据题意，得180·
（n-2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，
5. （2016梅州）如图1-4-6-6，平行
四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°， E，F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于点O. （1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG=1时，求 AE的长.

中考数学精讲篇考点系统复习第五章四边形第一节多边形与平行四边形

(1)AE＝CF.
(2)证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF， ∵AE＝CF， ∴四边形 AECF 为平行四边形．
8．(2021·怀化第 20 题 10 分)已知：如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E，A，C，F 在同一直线上，AE＝CF.求证： (1)△ADE≌△CBF； (2)ED∥BF.
命题点 1：多边形(2021 年考查 4 次，2020 年考查 4 次，2019 年考查 2
次)
1．(2021·怀化第 3 题 4 分)以下说法中错误的是
( A)
A．多边形的内角大于任何一个外角
B．图形
D．圆内接四边形的对角互补
2．(2021 ·常德第 3 题 3 分)一个多边形的内角和为 1 800°，则这个多
6．(2020·衡阳第 7 题 3 分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，下列条件不能判断四边形 ABCD 是平行四边形的是( C ) A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
7．(2021·岳阳第 18 题 6 分)如图，在四边形 ABCD 中，AE⊥BD, CF⊥BD, 垂足分别为点 E, F. (1)请你只添加一个条件(不另加辅助线)，使得四边形 AECF 为平行四边形，你添加的条件是________； (2)添加了条件后，证明四边形 AECF 为平行四边形．
【易错提醒】易误用平行四边形的判定方法 1．一组对边平行，而另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形． 2．一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形． 3．一组对角相等且这组对角的顶点所连对角线被另一条对角线平分的四边形不一定是平行四边形． 4．一组对角相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形不一定是平行四边形．

广东省中考数学复习配套课件：多边形与平行四边形

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
3.一组对边平行且相等
的四边形是
平行四边形.
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
练一练 1.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ D ） A．AB∥DC，AD∥BC B．AB=DC，AD=BC C．AO=CO，BO=DO D．AB∥DC，AD=BC
∠BAE＝∠FDE
∴ AE=DE ，
∠ABE＝∠DFE
AE=DE
∴△ABE≌△DFE（ AAS ）.
引导学生读懂数学书课题研究成果配套课件
(2)如图，连结BD，AF，四边形ABDF是平行四边形，理由如下： ∵△ABE≌△DFE， ∴AB＝DF， ∵四边形ABCD是平行四边， ∴AB∥CF，即AB ∥= DF， ∴四边形ABDF是平行四边形．
4.如图，在□ ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长
线与CD的延长线相交于点F. (1)求证：△ABE≌△DFE； (2)试连结BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CF. ∴∠BAE＝∠FDE，∠ABE＝∠DFE .
∵点E是边AD的中点在△ABE和△DFE中
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A．∠1=∠2 B．∠BAD=∠BCD C．AB=CD D．AC⊥BD
4.如图，在 ABCD中，已知对角线AC和BD 相交于点O，△AOB•的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=__1_8____．

中考数学总复习第一部分教材同步复习第五章四边形第多边形与平行四边形课件

（1）证明：在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°. ∵在等边△ABD 中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°，
∴BC∥AD．∴∠BCE＝∠EFA．
在△ABC 中，∵∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点，∴CE＝12AB＝AE. ∴∠EAC＝∠ECA＝30°.∴∠BCE＝90°－∠ECA＝60°.
方法指导
已知一a.证这组对组相对等边边b对.证平边另行相一等组
（1）平行四边形的判定思路组平已对知行边一a边b对..证证相边这另等平组一行对组
已知一组对角相等，
证另一组对角相等
已知一条对角线平
分另一条对角线，证
对角线互相平分
122/9/2021
• （2）利用平行四边形性质进行有关计算，一般运用平行四边形的性质转化为角度或线段之间的等量关系．
（5）平行四边形是中心对称图形，⑧____对_角__线_的__交_点________是它的对称中心
（6）面积：S＝底×高＝AB·DE[同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等]
182/9/2021
• 4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（ B ）
A．AD＝BC B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BCA D．OA＝OC
重难点 · 突破
重难点1 多边形的内角和与外角例1 （2018·铜仁）如果一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则这个多边形
的边数是（ A ）
A．8
B．9
C．10
D．11
思路点拨
• 根据多边形的内角和公式及外角和计算．
【解答】多边形的外角和是 360°，根据题意得 180°·（n－2）＝3×360°，解得 n＝8．

中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解(基础)

中考总复习：多边形与平行四边形--知识讲解（基础）【知识网络】【考点梳理】考点一、多边形1.多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．多边形的对角线是连接多边形不相邻的两个顶点的线段．2.多边形的对角线：从n边形的一个顶点出发可以引出(n－3)条对角线，共有n(n-3)/2条对角线，把多边形分成了(n －2)个三角形．3．多边形的角：n边形的内角和是(n－2)·180°，外角和是360°.【要点诠释】（1）多边形包括三角形、四边形、五边形……，等边三角形是边数最少的正多边形.（2）多边形中最多有3个内角是锐角（如锐角三角形）,也可以没有锐角（如矩形）.（3）解决n边形的有关问题时，往往连接其对角线转化成三角形的相关知识，研究n边形的外角问题时，也往往转化为n边形的内角问题.考点二、平面图形的镶嵌1．镶嵌的定义用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．2．平面图形的镶嵌(1)一个多边形镶嵌的图形有：三角形，四边形和正六边形；(2)两个多边形镶嵌的图形有：正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形，正三角形和正十二边形；(3)三个多边形镶嵌的图形一般有：正三角形、正方形和正六边形，正方形、正六边形和正十二边形，正三角形、正方形和正十二边形.【要点诠释】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.考点三、三角形中位线定理1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.考点四、平行四边形的定义、性质与判定1．定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．2．性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．3．判定：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．两条平行线间的距离：定义：夹在两条平行线间最短的线段的长度叫做两条平行线间的距离．性质：夹在两条平行线间的平行线段相等．【要点诠释】1.平行四边形的面积=底×高；2.同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．【典型例题】类型一、多边形与平面图形的镶嵌1．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．60° B．65° C．55° D．50°【思路点拨】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，∴∠P=180°﹣120°=60°．故选：A．【总结升华】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．举一反三：【变式】如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=_________.【答案】40°.2．现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( )A．正方形和正六边形 B．正三角形和正方形C．正三角形和正六边形 D．正三角形、正方形和正六边形【思路点拨】注意各正多边形的内角度数.【答案】A.【解析】正方形和正六边形的每个内角分别为90°和120°，要镶嵌则需要满足90°m＋120°n＝360°，但是m、n没有正整数解，故选A.【总结升华】能镶嵌的图形在一个拼接点处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°,并使相等的边互相重合.举一反三：【变式】现有四种地面砖，它们的形状分别是：正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等．同时选择其中两种地面砖密铺地面，选择的方式有( )A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【答案】 B.类型二：平行四边形及其他知识的综合运用3．如图，已知在▭ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，BM⊥AC、DN⊥AC，CF⊥BD垂足分别是E、M、N、F，求证：EN∥MF．【思路点拨】连接ME，FN，由四边形ABCD为平行四边形，得到对角线互相平分，利用AAS得到三角形AOE与三角形COF全等，利用全等三角形对应边相等得到OE=OF，同理得到三角形BOM与三角形DON全等，得到OM=ON，进而确定出四边形MEFN为平行四边形，利用平行四边形的对边平行即可得证．【答案与解析】证明：连接ME，FN，∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF，同理△BOM≌△DON，得到OM=ON，∴四边形EMFN为平行四边形，∴EN∥MF．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．4.如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D，使，点E、F分别为边BC、AC 的中点.（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG.【思路点拨】（1）E、F分别为BC、AC中点，则EF为△ABC的中位线，所以EF∥AB，.而.则EF=AD.从而易证△DAF≌△EFC, 则DF=CE=BE.(2) AG与DG在同一个三角形中,只需证∠D=∠DAG即可.【答案与解析】（1）∵点E、F分别为BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，.又∵，∴ EF=AD.∵ EF∥AB，∴∠EFC=∠BAC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠DAF=90.又∵ F是AC的中点，∴AF=CF，∴△DAF≌△EFC.∴DF=EC=BE.（2）由(1)知∵△DAF≌△EFC，∴∠D=∠FEC.又∵ EF∥AB，∴∠B=∠FEC.又∵ AG∥BC，∴∠DAG=∠B，∴∠ DAG=∠FEC∴∠D=∠DAG.∴AG=DG.【总结升华】三角形中位线定理的作用：位置关系——可以证明两条直线平行；数量关系——可以证明线段的相等或倍分.此外应注意三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形.举一反三：【变式】如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C.5．如图：六边形ABCDEF中，AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，BC平行且等于FE，对角线FD ⊥BD．已知FD=4cm，BD=3cm．则六边形ABCDEF的面积是_________cm2．【思路点拨】连接AC交BD于G，AE交DF于H．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得平行四边形AEDB和AFDC．易得AC=FD，EH=BG．计算该六边形的面积可以分成3部分计算，即平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积．【答案与解析】连接AC交BD于G，AE交DF于H．∵AB平行且等于ED，AF平行且等于CD，∴四边形AEDB是平行四边形，四边形AFDC是平行四边形，∴AE=BD，AC=FD，∵FD⊥BD，∴∠GDH=90°，∴四边形AHDG是矩形，∴AH=DG∵EH=AE-AH，BG=BD-DG∴EH=BG．∴六边形ABCDEF的面积=平行四边形AFDC的面积+三角形ABC的面积+三角形EFD的面积=FD•BD=3×4=12cm2．故答案为：12.【总结升华】注意求不规则图形的面积可以分割成规则图形，根据面积公式进行计算．6 .已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．（1）如图，若3，EO=1，求∠EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+32-4，求BC的长．【思路点拨】（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=12AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．【答案与解析】（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE=3，EO=1，∴tan∠EPO=3 EOPE=，∴∠EPO=30°，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO=∠PFO=90°，在Rt△PEO和Rt△PFO中，PO PO PE PF=⎧⎨=⎩，∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），∴∠FPO=∠EPO=30°，∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，∴PF ∥AO ，且PF=12AO ， ∵PF ⊥BD ，∴∠PFD=90°， ∴∠AOD=∠PFD=90°，又∵PE ⊥AC ，∴∠AEP=90°，∴∠AOD=∠AEP ，∴PE ∥OD ，∵点P 是AD 的中点，∴PE 是△AOD 的中位线，∴PE=12OD ， ∵PE=PF ，∴AO=OD ，且AO ⊥OD ，∴平行四边形ABCD 是正方形，设BC=x ，则x+12x ，∵ -4，∴x ，解得x=4，即BC=4．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD 是正方形是解题的关键．举一反三：【变式】如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M （－2，－1），且P （－1，－2）是双曲线上的一点，Q 为坐标平面上的一动点，PA ⊥x 轴，QB ⊥y 轴，垂足分别为A 、B ．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q 在直线MO 上运动时，是否可以使△OBQ 与△OAP 面积相等？（3）如图2，点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．图1 图2【答案】（1）正比例函数解析式为，反比例函数解析式为．（2）当点Q在直线MO上运动时，设点Q的坐标为，，解得.所以点Q的坐标为和．（3）因为P（，），由勾股定理得OP＝，平行四边形OPCQ周长=．因为点Q在第一象限中的双曲线上，所以可设点Q的坐标为，由勾股定理可得，通过图形分析可得：OQ有最小值2，即当Q为第一象限中的双曲线与直线的交点时，线段OQ的长度最小．所以平行四边形OPCQ周长的最小值：．。

多边形与平行四边形知识点归纳

第部分四边形第一单元第1课时多边形与平行四边形二、知识梳理(一) 多边形1．多边形的概念：（1）多边形：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形叫做多边形。

（2）正多边形：在平面内，各内角都相等，各边也都相等的多边形叫正多边形。

各角相等的多边形不一定是正多边形，如矩形；各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形。

正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形。

2．多边形的内角和与外角和:（1）内角和：n 边形的内角和等于（n ─2）∙180 ；正n 边形的一个内角等于nn180)2( .（2）外角和：多边形的外角和等于360°.（注：多边形的外角和是定值，与边数无关）. 3.多边形的对角线:（1）概念：在多边形中，连接互不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线. (2) n 边形有2)3( n n 条对角线 4.平面图形的镶嵌:（1）概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接,彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌 . （2）镶嵌的条件：在同一顶点的几个角的和等于360°. (二) 平行四边形1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2.平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的两组对边分别平行且相等 . （2）角：平行四边形的对角相等，邻角互补。

图1图2图4 （3）对角线：平行四边形的对角线互相平分。

（4）平行四边形对称性：平行四边形是中心对称图形，其对称中心是对角线交点；经过对称中心的任意一条直线将平行四边形面积平分. 3.平行四边形的判定方法：（1）边：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形（平行四边形的概念）；②一组对边平行且相等的四边形是开行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（2）角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. （3）对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 4.平行四边形面积：平行四边形面积=底×高.三、课堂训练考查目标：多边形的内角和与外角和 1．已知一个多边形的内角和是外角和的23，则这个多边形的边数是 5 . [举一反三]一个多边形的内角和是720°，则这个多有的边数为 6 . [举一反三]矩形的外角和等于 360° 考查目标：正多边形的概念2．一个正多边形的每一个外角都是40°，这个多边形的边数是 9 .[举一反三]一个正多边形的一个内角是144°，它是一个 10 边形. 考查目标：平面图形的镶嵌3．下列多边形中，不能单独铺满地面的是（ C ）（A ）正三角形（B ）正方形（C ）正五边形（D ）正六边形[举一反三]现有四种地砖，它们的形状分别为正三角形、正方形、正六边形、正八边形，且它们的边长都相等，同时选择其中两种地砖密铺地面.选择的方式有（ B ）（A ）2种（B ）3种（C ）4种（D ）5种考查目标：平行四边形的性质4．如图1.在□ABCD 中，过点C 的直线CE ⊥AB .垂足为E ，若∠EAD =53°，则∠BCE 的度数为（ B ）（A ）53° （B ）37° （C ）47° （D ）123°[举一反三] 如图2.在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（ A ）（A ）AC ⊥BD （B ）AB =CD （C ）BO =OD （D ）∠BAD =∠BCD5．如图3.在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB =3.则□ABCD 的周长（ C ）（A ）6 （B ）9 （C ）12 （D ）15图5图5 第3题第6题第7题[举一反三]如图4在□ABCD 中，已知AB =6cm ，AD =8cm ， DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 等于（ A ）（A ）2cm （B ）4cm （C ）6cm （D ）8cm 考查目标：平行四边形的判定6．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（ B ）（A ）两组对边分别平行（B ）一组对边平行另一组对边相等（C ）一组对边平等且相等（D ）两组对边分别相等 [举一反三]在四边形ABCD 中，已知AB =CD ，再添加一个条件：_AD =BC (答案不唯一)______,使四边形ABCD 成为平行四边形考查目标：平行四边形的面积 7．平行四边形花坛的底是6m ，高是4m ，则它的面积是 24cm 2[举一反三].如图5，A 、B 、C 为一个平行四边形的三个顶点，且A 、B 、C 三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4、6）.（1）请直接写出这个平行四边形的第四个顶点的坐标；（2）求此平行四边形的面积. 解：（1）第四个顶点的坐标为（7，7）或（5，1）或（1，5）（2）把⊿ABC 补成正方形，面积为9，减去三个小直角三角形的面积可得S ⊿ABC =4，∴平行四边形的面积为8 【达标训练】1.（2013.长沙市）下列多边形中，内角和与外角和相等的是( A ) ．（A ）四边形（B ）五边形（C ）六边形（D ）八边形 2.（2013.梅州市）已知一个多边形的内角和小于它的外角和.则这个多边形的边数是（ A ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63.（2013.襄阳市）如图□ABCD 的对角线相交于点O ，且AB =5， ⊿OCD 的周长为23,则□ABCD 的两条对角线的和是（ C ）（A ）18 （B ）28 （C ）36 （D ）464.（2013.杭州市）在□ABCD 中，下列结论一定正确的是( B ) ．（A ）AC ⊥BD （B ）∠A +∠B =180° （C ）AB =CD （D ）∠A ≠∠C5.（2011.泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O .给出下列四组条件：①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC .其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有（ C ）（A ）1组（B ）2组（C ）3组（D ）4组6.（2013.江西省）如图. □ABCD 与□DCEF 的周长相等，且∠BAD =60°，∠F =110°，则∠DAE 的度数为 25° ．7.（2013.安徽省）如图.P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E 、F 分别为PB 、PC 的中点.⊿PEF 、⊿PDC 、⊿P AB 的面积分别为S 、S 1、S 2.若S =2.则S 1+S 2= 8 .8.（2013.烟台市）如图.□ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BC =12，则⊿DOE 的周长为 15 ．C 9.（2013.北京市）如图.在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=12BC，连接DE、CF.（1）求证：四边形CEDF是平行四边形.（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°.求DE的长答案：（1）证明：在□ABCD中AD∥BC，AD=BC.∵F是AD的中点，∴DF=12AD.又∵CE=12BC，∴DF=CE且DF∥CE，∴四边形CEDF为平行四边形.（2）解：过点D作DH⊥BE于H，在□ABCD，AB∥CD.∵∠B=60°，∴∠DCE=60°.∵AB=4，∴CD=4.∴在Rt⊿CDH中，CH=12CD=2，DH=32.在□CEDF中，CE=DF=12AD=3，∴EH=CE-CH=3-2=1.在Rt⊿DHE中，DE=22HEDH =221)32( =13.10.（2011.常德）如图.已知四边形ABCD是平行四边形（1）求证：⊿MEF∽⊿MBA（2）若AF、BE分别是∠DAB和∠CBA的平分线，求证DF=EC.【答案】（1）证明：在□ABCD中，∵CD∥AB，∴∠MEF=∠MBA，∠MFE=∠MAB，∴⊿MEF∽⊿MBA.（2）证明：在□ABCD中，CD∥AB，∠DF A=∠F AB，又∵AF是∠DAB的平分线，∴∠DAF=∠F AB∴∠DAF=∠DF A，∴AD=DF，同理可得EC=BC，∵在□ABCD中，AD=BC，∴DF=EC.。

人教版初中数学中考复习一轮复习-多边形和平行四边形(知识点+中考真题)

2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形的对边平行且相等．（2）平行四边形的邻角互补，对角相．等．
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．（3）平行四边形的对角线互相平分．
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则：则二等这分条此直平线行被四一边组形对的边面截积下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直．线
是中心对称图形．②正n边形有 n 条对称轴．
3.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形
覆盖平面（或平面镶嵌）．平面镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内
角和为 360° 时，可以平面镶嵌．
知识点梳理——平行四边形
1.平行四边形的概念：两组对边分别平行的四边形叫做平行．四边形
【解答】证明：∵DE=DC，∴∠DEC=∠C． ∵∠B=∠C， ∴∠B=∠DEC， ∴ AB∥BE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． ∴AD=BE．
14.（10分）（2021•怀化）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E、 A、C、F在同一直线上，AE＝CF．求证：（1）△ADE≌△CBF；
C ∠D＝58°，则∠AEC的大小是（）
A．61° B．109° C．119° D．122°
典型例题
7.（2021•恩施州）如图，在▱ABCD中，AB＝13，AD＝5，
AC⊥BC，则▱ABCD的面积为（ B ）
A．30 B．60
C．65 D．
典型例题
8.(2021·安顺、贵阳) 如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，
形的边数是
．
2.（2020•陕西12/25）如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD ，则∠BDM的度数是．

初中数学多边形与平行四边形

多边形与平行四边形一．选择题（共15小题）1．（2020•北京）正五边形的外角和为（）A．180°B．360°C．540°D．720°【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解析】任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．2．（2020•德州）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解析】根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．3．（2020•无锡）正十边形的每一个外角的度数为（）A．36°B．30°C．144°D．150°【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．【解析】正十边形的每一个外角都相等，因此每一个外角为：360°÷10＝36°，故选：A．4．（2020•温州）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据平行四边形的性质可求∠E．【解析】∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵四边形BCDE是平行四边形，∴∠E＝70°．故选：D．5．（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．故选：D．6．（2020•衡阳）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BCC．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【分析】根据平行四边形的定义，可以得到选项A中的条件可以判断四边形ABCD 是平行四边形；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以得到选项B中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以得到选项D中的条件可以判断四边形ABCD是平行四边形；选项C中的条件，无法判断四边形ABCD是平行四边形．【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四边形ABCD是平行四边形；∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；故选：C．7．（2020•济宁）一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解析】设所求正n边形边数为n，则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．故选：B．8．（2020•怀化）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．【解析】设这个多边形的边数为n，根据题意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故选：C．9．（2020•淮安）六边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．1080°【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．【解析】根据多边形的内角和可得：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．10．（2020•广东）若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可求解．【解析】设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．故选：B．11．（2020•扬州）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10米到达点D…照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．100米B．80米C．60米D．40米【分析】根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用360°除以45°求出边数，然后再乘以10米即可．【解析】∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，∴他走过的图形是正多边形，∴边数n＝360°÷45°＝8，∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10＝80（m）．故选：B．12．（2020•临沂）如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，△P AD的面积为S1，△PBC的面积为S2，则（）A．S1+S2＞S 2B．S1+S2＜S 2C．S1+S2=S 2D．S1+S2的大小与P点位置有关【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形和平行四边形的面积、三角形的面积，即可得到S和S1、S2之间的关系，本题得以解决．【解析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∴S＝BC•EF，S1=AD⋅PE2，S2=BC⋅PF2，∵EF＝PE+PF，AD＝BC，∴S1+S2=S 2，故选：C．13．（2020•陕西）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是边BC的中点，F是▱ABCD 内一点，且∠BFC＝90°．连接AF并延长，交CD于点G．若EF∥AB，则DG的长为（）A．52B．32C．3 D．2【分析】依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到EF的长，再根据梯形中位线定理，即可得到CG的长，进而得出DG的长．【解析】∵E是边BC的中点，且∠BFC＝90°，∴Rt△BCF中，EF=12BC＝4，∵EF∥AB，AB∥CG，E是边BC的中点，∴F是AG的中点，∴EF是梯形ABCG的中位线，∴CG＝2EF﹣AB＝3，又∵CD＝AB＝5，∴DG＝5﹣3＝2，故选：D．14．（2020•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2，AB=√6，∠B是锐角，AE ⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF．若∠EFD＝90°，则AE长为（）A．2 B．√5C．3√22D．3√32【分析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．首先证明DQ＝DE＝x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解析】如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF，∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QF A≌△EFB（AAS），∴AQ＝BE＝x，∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE，∴DQ＝DE＝x+2，∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，∵AE2＝DE2﹣AD2＝AB2﹣BE2，∴（x+2）2﹣4＝6﹣x2，整理得：2x2+4x﹣6＝0，解得x＝1或﹣3（舍弃），∴BE＝1，∴AE=√AB2−BE2=√6−1=√5，故选：B．15．（2020•绥化）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】证出DE是△ABC的中位线，则DE=12BC；①正确；证出DF＝BC，则四边形DBCF是平行四边形；②正确；由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=1 2AB＝BD ，则CF ＝CD ，得出∠CFE ＝∠CDE ，证∠CDE ＝∠EGF ，则∠CFE ＝∠EGF ，得出EF ＝EG ，③正确；作EH ⊥FG 于H ，由等腰三角形的性质得出FH ＝GH =12FG ＝1，证△EFH ∽△CEH ，则EH CH =FH EH，求出EH ＝2，由勾股定理的EF =√5，进而得出BC ＝2√5，④正确．【解答】解；∵CD 为斜边AB 的中线，∴AD ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，∴BC ⊥AC ，∵DE ⊥AC ，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴AE ＝CE ，DE =12BC ；①正确； ∵EF ＝DE ，∴DF ＝BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确；∴CF ∥BD ，CF ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 的中线，∴CD =12AB ＝BD ， ∴CF ＝CD ，∴∠CFE ＝∠CDE ，∵∠CDE +∠EGC ＝180°，∠EGF +∠EGC ＝180°，∴∠CDE ＝∠EGF ，∴∠CFE ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ，③正确；作EH ⊥FG 于H ，如图所示：则∠EHF＝∠CHE＝90°，∠HEF+∠EFH＝∠HEF+∠CEH＝90°，FH＝GH=12FG＝1，∴∠EFH＝∠CEH，CH＝GC+GH＝3+1＝4，∴△EFH∽△CEH，∴EHCH=FHEH，∴EH2＝CH×FH＝4×1＝4，∴EH＝2，∴EF=√FH2+EH2=√12+22=√5，∴BC＝2DE＝2EF＝2√5，④正确；故选：D．二．填空题（共15小题）16．（2020•湘西州）若一个多边形的内角和是外角和的两倍，则该多边形的边数是6．【分析】任何多边形的外角和是360°，内角和等于外角和的2倍则内角和是720°．n 边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解析】设该多边形的边数为n，根据题意，得，（n﹣2）•180°＝720°，解得：n＝6．故这个多边形的边数为6．故答案为：617．（2020•福建）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC ＝30度．【分析】由于六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，所以这个六边形是正六边形，先算出正六边形每个内角的度数，即可求出∠ABC 的度数．【解析】正六边形的每个内角的度数为：(6−2)⋅180°6=120°，所以∠ABC ＝120°﹣90°＝30°，故答案为：30．18．（2020•陕西）如图，在正五边形ABCDE 中，DM 是边CD 的延长线，连接BD ，则∠BDM 的度数是 144° ．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，求得每个内角的度数为108°，再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答．【解析】因为五边形ABCDE 是正五边形，所以∠C =(5−2)⋅180°5=108°，BC ＝DC ，所以∠BDC =180°−108°2=36°，所以∠BDM ＝180°﹣36°＝144°，故答案为：144°．19．（2020•烟台）已知正多边形的一个外角等于40°，则这个正多边形的内角和的度数为 1260° ．【分析】利用任意多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．【解析】正n 边形的每个外角相等，且其和为360°，据此可得360°n=40°，解得n ＝9．（9﹣2）×180°＝1260°，即这个正多边形的内角和为1260°．故答案为：1260°．20．（2020•河北）正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，则n ＝ 12 ．【分析】根据多边形的内角和公式求出正六边形的一个内角等于120°，再根据多边形的外角和是360°即可解答．【解析】正六边形的一个内角为：(6−2)×180°6=120°， ∵正六边形的一个内角是正n 边形一个外角的4倍，∴正n 边形一个外角为：120°÷4＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．21．（2020•衡阳）已知一个n 边形的每一个外角都为30°，则n 等于 12 ．【分析】根据多边形的外角和等于360°列式计算即可．【解析】∵一个n 边形的每一个外角都为30°，任意多边形的外角和都是360°， ∴n ＝360°÷30°＝12．故答案为：12．22．（2020•重庆）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是 6 ．【分析】n 边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，外角和为360°，根据题意列方程求解．【解析】设这个多边形的边数为n ，依题意，得：（n ﹣2）•180°＝2×360°，解得n ＝6．故答案为：6．23．（2020•遂宁）已知一个正多边形的内角和为1440°，则它的一个外角的度数为 36 度．【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：180（n ﹣2）＝1440，即可求得n＝10，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【解析】设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）＝1440，解得：n＝10，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10＝36°．故答案为：36．24．（2020•扬州）如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为9√3．【分析】根据题意和平行四边形的性质，可以得到BD和EF的比值，再根据三角形相似和最短距离，即可得到EG的最小值，本题得以解决．【解析】作CH⊥AB于点H，∵在▱ABCD中，∠B＝60°，BC＝8，∴CH＝4√3，∵四边形ECGF是平行四边形，∴EF∥CG，∴△EOD∽△GOC，∴EOGO=DOOC=EDGC，∵DF=14DE，∴DEEF=45，∴EDGC=45，∴EOGO=45，∴当EO取得最小值时，EG即可取得最小值，当EO⊥CD时，EO取得最小值，∴CH＝EO，∴EO＝4√3，∴GO＝5√3，∴EG的最小值是9√3，故答案为：9√3．25．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，AC是▱ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的大小是26°．【分析】根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，根据三角形外角的性质得到∠ACB ＝2∠CAB，由三角形的内角和定理即可得到结论．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，∵AD＝AE＝BE，∴BC＝AE＝BE，∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，∵∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝2∠EAB，∴∠ACB＝2∠CAB，∴∠CAB+∠ACB＝3∠CAB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣102°，故答案为：26°．26．（2020•天津）如图，▱ABCD 的顶点C 在等边△BEF 的边BF 上，点E 在AB 的延长线上，G 为DE 的中点，连接CG ．若AD ＝3，AB ＝CF ＝2，则CG 的长为 32．【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF 和BE 的长，然后可以证明△DCG 和△EHG 全等，然后即可得到CG 的长．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，CD ＝AB ，DC ∥AB ，∵AD ＝3，AB ＝CF ＝2，∴CD ＝2，BC ＝3，∴BF ＝BC +CF ＝5，∵△BEF 是等边三角形，G 为DE 的中点，∴BF ＝BE ＝5，DG ＝EG ，延长CG 交BE 于点H ，∵DC ∥AB ，∴∠CDG ＝∠HEG ，在△DCG 和△EHG 中，{∠CDG =∠HEGDG =EG ∠DGC =∠EGH， ∴△DCG ≌△EHG （ASA ），∴DC ＝EH ，CG ＝HG ，∵CD ＝2，BE ＝5，∴HE ＝2，BH ＝3，∵∠CBH ＝60°，BC ＝BH ＝3，∴△CBH 是等边三角形，∴CG =12CH =32，故答案为：32．27．（2020•凉山州）如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OE ∥AB 交AD 于点E ，若OA ＝1，△AOE 的周长等于5，则▱ABCD 的周长等于 16 ．【分析】由平行四边形的性质得AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，证OE 是△ABD 的中位线，则AB ＝2OE ，AD ＝2AE ，求出AE +OE ＝4，则AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，即可得出答案．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∵OE ∥AB ，∴OE 是△ABD 的中位线，∴AB ＝2OE ，AD ＝2AE ，∵△AOE 的周长等于5，∴OA +AE +OE ＝5，∴AE +OE ＝5﹣OA ＝5﹣1＝4，∴AB +AD ＝2AE +2OE ＝8，∴▱ABCD 的周长＝2×（AB +AD ）＝2×8＝16；故答案为：16．28．（2020•甘孜州）如图，在▱ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，若∠EAD ＝40°，则∠BCE的度数为50°．【分析】由平行四边形的性质得出∠B＝∠EAD＝40°，由角的互余关系得出∠BCE ＝90°﹣∠B＝50°即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝40°，∵CE⊥AB，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝50°；故答案为：50°．29．（2020•黔东南州）以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A点坐标为（﹣2，1），则C点坐标为（2，﹣1）．【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD对角线的交点O为原点和点A的坐标，即可得到点C的坐标．【解析】∵▱ABCD对角线的交点O为原点，A点坐标为（﹣2，1），∴点C的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．30．（2020•金华）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是30°．【分析】根据平行四边形的性质解答即可．【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D +∠C ＝180°，∴∠α＝180°﹣（540°﹣70°﹣140°﹣180°）＝30°，故答案为：30．三．解答题（共13小题）31．（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．【分析】只要证明△AOD ≌△EOC （ASA ）即可解决问题；【解答】证明：∵O 是CD 的中点，∴OD ＝CO ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠D ＝∠OCE ，在△ADO 和△ECO 中，{∠D =∠OCEOD =OC ∠AOD =∠EOC， ∴△AOD ≌△EOC （ASA ），32．（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．求证：EG＝FH．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠FDH，在△BEG与△DFH中，{∠E=∠FBE=DF∠EBG=∠FDH，∴△BEG≌△DFH（ASA），∴EG＝FH．33．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．（1）求证：△AMB≌△CND；（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．【分析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，又∵点M，N分别为OA、OC的中点，∴AM＝CN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAM＝∠DCN，∴△AMB≌△CND（SAS）；（2）∵△AMB≌△CND，∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，又∵BM＝EM，∴DN＝EM，∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∴∠MBO＝∠NDO，∴ME∥DN∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD＝2AB，BD＝2BO，∴AB＝OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN＝90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AB＝5，DN＝BM＝4，∴AM＝3＝MO，∴MN＝6，∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．34．（2020•扬州）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．（1）若OE=32，求EF的长；（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．【分析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF=32，进而得出EF的长；（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF 是菱形．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AO＝CO，∴∠FCO＝∠EAO，又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF=3 2，∴EF＝2OE＝3；（2）四边形AECF是菱形，理由：∵△AOE≌△COF，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，又∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．35．（2020•广元）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；（2）由于AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据△AOE的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∵O是AC的中点，∴OA＝OC，在△AOE和△COF中，{∠EAO=∠FCO OA=OC∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，∴AO：AC＝1：2，∵∠EAO＝∠DAC，∴△AEO∽△ADC，∵△AOE 的面积为2，∴△ADC 的面积为8，∴平行四边形ABCD 的面积为16．36．（2020•青岛）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别在BD 和DB 的延长线上，且DE ＝BF ，连接AE ，CF ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）连接AF ，CE ．当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，可以得到AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，从而可以得到∠ADE ＝∠CBF ，然后根据SAS 即可证明结论成立；（2）根据BD 平分∠ABC 和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD 是菱形，从而可以得到AC ⊥BD ，然后即可得到AC ⊥EF ，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE 是平行四边形，然后根据AC ⊥EF ，即可得到四边形AFCE 是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，∠ADC ＝∠CBA ，∴∠ADE ＝∠CBF ，在△ADE 和△CBF 中，{AD =CB ∠ADE =∠CBF DE =BF，∴△ADE ≌△CBF （SAS ）；（2）当BD 平分∠ABC 时，四边形AFCE 是菱形，理由：∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠CBD ，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE＝BF，∴OE＝OF，又∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．37．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．AC平分∠DAE．（1）若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；（2）求证：AE＝CF．【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠EAO，利用角平分线的定义求出∠DAC，再利用平行线的性质解决问题即可．（2）证明△AEO≌△CFO（AAS）可得结论．【解答】（1）解：∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，∵∠AOE＝50°，∴∠EAO＝40°，∵CA平分∠DAE，∴∠DAC＝∠EAO＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ACB＝∠DAC＝40°，（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴AE＝CF．38．（2020•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E，F．（1）若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；（2）求证：BE＝DF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线的定义得到∠BCD＝2∠BCF，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，求得∠ABE ＝∠CDF，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠DCE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CF平分∠DCB，∴∠BCD＝2∠BCF，∵∠BCF＝60°，∴∠BCD＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，∴∠BAE=12∠BAD，∠DCF=12∠BCD，∴∠BAE＝∠DCE，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝CF．39．（2020•绍兴）如图，点E是▱ABCD的边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F．（1）若AD的长为2，求CF的长．（2）若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥CF，则∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，由点E是CD的中点，得出DE＝CE，由AAS证得△ADE≌△FCE，即可得出结果；（2）添加一个条件当∠B＝60°时，由直角三角形的性质即可得出结果（答案不唯一）．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE 和△FCE 中，{∠DAE =∠CFE∠ADE =∠FCE DE =CE，∴△ADE ≌△FCE （AAS ），∴CF ＝AD ＝2；（2）∵∠BAF ＝90°，添加一个条件：当∠B ＝60°时，∠F ＝90°﹣60°＝30°（答案不唯一）．40．（2020•新疆）如图，四边形ABCD 是平行四边形，DE ∥BF ，且分别交对角线AC 于点E ，F ，连接BE ，DF ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）若BE ＝DE ，求证：四边形EBFD 为菱形．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD ＝CB ，AD ∥CB ，从而可以得到∠DAE ＝∠BCF ，再根据DE ∥BF 和等角的补角相等，从而可以得到∠AED ＝∠CFB ，然后即可证明△ADE 和△CBF 全等，从而可以得到AE ＝CF ；（2）根据（1）中的△ADE 和△CBF 全等，可以得到DE ＝BF ，再根据DE ∥BF ，即可得到四边形EBFD 是平行四边形，再根据BE ＝DE ，即可得到四边形EBFD 为菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝CB ，AD ∥CB ，∴∠DAE ＝∠BCF ，∵DE ∥BF ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠AED ＝∠CFB ，在△ADE 和△CBF 中，{∠DAE =∠BCF∠AED =∠CFB AD =CB，∴△ADE ≌△CBF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）证明：由（1）知△ADE ≌△CBF ，则DE＝BF，又∵DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形，∵BE＝DE，∴四边形EBFD为菱形．41．（2020•岳阳）如图，点E，F在▱ABCD的边BC，AD上，BE=13BC，FD=13AD，连接BF，DE．求证：四边形BEDF是平行四边形．【分析】根据平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，进而得出DF＝BE，利用平行四边形的判定解答即可．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE=13BC，FD=13AD，∴BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．42．（2020•淮安）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AC与EF相交于点O，且AO＝CO．（1）求证：△AOF≌△COE；（2）连接AE、CF，则四边形AECF是（填“是”或“不是”）平行四边形．【分析】（1）由ASA证明△AOF≌△COE即可；（2）由全等三角形的性质得出FO＝EO，再由AO＝CO，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，在△AOF和△COE中，{∠OAF=∠OCE AO=CO∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA）（2）解：四边形AECF是平行四边形，理由如下：由（1）得：△AOF≌△COE，∴FO＝EO，又∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形；故答案为：是．43．（2020•陕西）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．【分析】根据等边对等角的性质求出∠DEC＝∠C，在由∠B＝∠C得∠DEC＝∠B，所以AB∥DE，得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出结论．【解答】证明：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C．∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形．∴AD＝BE．。

2020年中考数学三轮知识点提分一遍过(24)平行四边形(含答案)

2020年中考数学三轮知识点提分一遍过（24）平行四边形1.下列说法错误的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形2.[2018·玉林]在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC.从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有()A.3种B.4种C.5种D.6种3.如图K24-1,在▱ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是()图K24-1A.45°B.55°C.65°D.75°4.[2019·广州]如图K24-2,▱ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是()图K24-2A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.△ABO的面积是△EFO的面积的2倍5.[2019·海南]如图K24-3,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处,若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为 ()图K24-3A.12B.15C.18D.216.[2019·盐城建湖县二模]如图K24-4,平行四边形ABCD的周长为22 cm,对角线AC,BD交于点O,过点O与AC垂直的直线交边AD于点E,则△CDE的周长为()图K24-4A.8 cmB.9 cmC.10 cmD.11 cm7.[2019·武汉]如图K24-5,在▱ABCD中,E,F是对角线AC上两点,AE=EF=CD,∠ADF=90°,∠BCD=63°,则∠ADE的大小为.图K24-58.[2019·云南]在平行四边形ABCD中,∠A=30°,AD=4√3,BD=4,则平行四边形ABCD的面积等于.9.[2017·南充]如图K24-6,在▱ABCD中,过对角线BD上一点P作EF∥BC,GH∥AB,且CG=2BG,S△BPG=1,则S▱AEPH=.图K24-610.如图K24-7,▱ABCD与▱DCFE的周长相等,且∠BAD=60°,∠F=110°,则∠DAE的度数为.11.[2018·陕西]如图K24-8,点O 是▱ABCD 的对称中心,AD>AB ,E ,F 是AB 边上的点,且EF=12AB ,G ,H 是BC 边上的点,且GH=13BC.若S 1,S 2分别表示△EOF 和△GOH 的面积,则S 1与S 2之间的等量关系是 .图K24-812.[2017·宁夏]如图K24-9,将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠,使点A 落在点A'处.若∠1=∠2=50°,则∠A'为 .图K24-913.[2019·盐城射阳县一模]如图K24-10,在平行四边形ABCD 中,O 是其对角线AC 的中点,EF 过点O ,求证:BE=DF .图K24-1014.[2019·扬州]如图K24-11,在平行四边形ABCD 中,AE 平分∠DAB ,已知CE=6,BE=8,DE=10. (1)求证:∠BEC=90°; (2)求cos ∠DAE.15.[2017·镇江]如图K24-12,点B,E分别在AC,DF上,AF分别交BD,CE于点M,N,∠A=∠F,∠1=∠2.(1)求证:四边形BCED是平行四边形;(2)已知DE=2,连接BN.若BN平分∠DBC,求CN的长.图K24-1216.[2018·长春]如图K24-13,在▱ABCD中,AD=7,AB=2√3,∠B=60°.E是边BC上任意一点,沿AE剪开,将△ABE沿BC方向平移到△DCF的位置,得到四边形AEFD,则四边形AEFD周长的最小值为.17.[2016·无锡]如图K24-14,已知▱OABC的顶点A,C分别在直线x=1和x=4上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为.图K24-1418.[2019·盐城亭湖区二模]如图K24-15,已知点E,F分别是平行四边形ABCD的边BC,AD的中点.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若BC=10,∠BAC=90°,求平行四边形AECF的周长.图K24-15【参考答案】1.D [解析]一组对边相等,另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形,例如:等腰梯形,所以D 选项说法错误.故选D .2.B [解析]平行四边形判定一:两组对边分别平行的四边形是平行四边形:①②;平行四边形判定二:两组对边分别相等的四边形是平行四边形:③④;平行四边形判定三:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形:①③或②④.共有4种选法,故选B .3.A [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠A =∠BCD =135°,∴∠MCD =180°-∠BCD =180°-135°=45°.故选A .4.B [解析]∵E ,F ,G ,H 分别是AO ,BO ,CO ,DO 的中点,在▱ABCD 中,AB =2,AD =4,∴EH =12AD =2,HG =12CD =12AB =1,∴EH ≠HG ,故选项A 错误;∵EH =12AD =12BC =FG ,EF =12AB =12CD =HG ,∴四边形EFGH 是平行四边形,故选项B 正确;由题目中的条件,无法判断AC 和BD 是否垂直,故选项C 错误;∵点E ,F 分别为OA ,OB 的中点,∴EF =12AB ,EF ∥AB ,∴△OEF ∽△OAB ,∴S △OEF S △OAB=EF AB2=14,即△ABO 的面积是△EFO 的面积的4倍,故选项D 错误,故选B .5.C [解析]∵折叠后点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处,∴AC ⊥DE ,EC =CD =AB =3,∴ED =6,∵∠B =60°,∴∠D =60°,∴AD =2CD =6,∴AE =6,∴△ADE 的周长=AE +AD +ED =18,故选C .6.D [解析]∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB =CD ,AD =BC ,AO =CO , 又∵EO ⊥AC ,则EO 垂直平分AC , ∴AE =CE ,∵▱ABCD 的周长为22 cm, ∴2(AD +CD )=22 cm . ∴AD +CD =11 cm .∴△CDE 的周长=CE +DE +CD =AE +DE +CD =AD +CD =11 cm . 故选D .7.21° [解析]如图,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD ∥BC ,∴∠1=∠5.∵∠ADF =90°,AE =EF ,∴DE =12AF =AE ,∴∠1=∠2.∴∠5=∠2.∵AE =CD ,DE =AE ,∴DE =CD.∴∠3=∠4.∵∠3=∠1+∠2=2∠2,∴∠4=2∠2.∵∠BCD =63°,∴∠5+∠4=63°,即3∠2=63°,∴∠2=21°.即∠ADE =21°.8.16√3或8√3 [解析]过D 作DE ⊥AB 于E , 在Rt △ADE 中,∵∠A =30°,AD =4√3, ∴DE =12AD =2√3,AE =√32AD =6,在Rt △BDE 中,∵BD =4,∴BE =√BD 2-DE 2=√42-(2√3)2=2. 如图①,AB =8,∴平行四边形ABCD 的面积=AB ·DE =8×2√3=16√3; 如图②,AB =4,∴平行四边形ABCD 的面积=AB ·DE =4×2√3=8√3. 故答案为:16√3或8√3.9.4 [解析]由“平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形”可推出▱AEPH 的面积等于▱PGCF 的面积.∵CG =2BG ,∴BG ∶BC =1∶3,BG ∶PF =1∶2.∵△BPG ∽△BDC ,且相似比为1∶3,∴S △BDC =9S △BPG =9.∵△BPG ∽△PDF ,且相似比为1∶2, ∴S △PDF =4S △BPG =4.∴S ▱AEPH =S ▱PGCF =9-1-4=4.10.25° [解析]∵▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等,且有公共边CD ,∴AD =DE , ∵∠ADE =∠BCF =60°+(180°-110°)=130°, ∴∠DAE =12(180°-∠ADE )=12×50°=25°.11.2S 1=3S 2S 1=32S 2,S 2=23S 1均正确 [解析]连接AC ,BD.∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AO =OC. ∴S △AOB =S △BOC . ∵EF =12AB ,∴S 1=12S △AOB .∴S △AOB =2S 1. ∵GH =13BC ,∴S 2=13S △BOC .∴S △BOC =3S 2.∴2S 1=3S 2.12.105° [解析]在平行四边形ABCD 中,由AD ∥BC ,得∠3=∠5.又由折叠得:∠A =∠A',∠4=∠5,所以∠3=∠4.根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和,以及∠1=50°,可得∠3=25°,则∠ABC =∠2+∠3=75°.因为AD ∥BC ,根据两直线平行,同旁内角互补得∠A =105°, ∴∠A'=105°.13.证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴CD =AB ,CD ∥AB , ∴∠DCA =∠BAC , ∵OA =OC ,∠COF =∠AOE , ∴△COF ≌△AOE (ASA), ∴CF =AE ,∵CD =AB ,∴CD -CF =AB -AE , ∴BE =DF .14.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴DC =AB =DE +CE =16,AD =BC ,DC ∥AB , ∴∠DEA =∠EAB , ∵AE 平分∠DAB ,∴∠DAE=∠EAB,∴∠DAE=∠DEA,∴AD=DE=10,∴BC=10.∵CE2+BE2=62+82=102=BC2,∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°. (2)∵AB∥CD,∴∠ABE=∠BEC=90°, ∴AE=√AB2+BE2=√162+82=8√5,∴cos∠DAE=cos∠EAB=ABAE =8√5=2√55.15.解:(1)证明:∵∠A=∠F,∴DF∥AC.又∵∠1=∠2,∠1=∠DMN,∴∠DMN=∠2.∴DB∥EC.∵DB∥EC,DE∥BC,∴四边形BCED为平行四边形.(2)∵BN平分∠DBC,∴∠DBN=∠NBC,∵DB∥EC,∴∠DBN=∠BNC,∴∠NBC=∠BNC,∴BC=CN.∵四边形BCED为平行四边形,∴BC=DE=2.∴CN=2.16.20[解析]如图,当AE⊥BC时,四边形AEFD的周长最小.在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=2√3,∠B=60°,∴AE=AB·sin60°=2√3×√32=3,由平移性质可知,四边形AEFD是平行四边形,∴四边形AEFD周长的最小值为2(AD+AE)=2×(7+3)=20.17.5[解析]当点B在x轴上时,对角线OB的长最小,如图所示,设直线x=1与x轴交于点D,直线x=4与x轴交于点E,根据题意得∠ADO =∠CEB =90°,OD =1,OE =4, ∵四边形ABCO 是平行四边形, ∴OA ∥BC ,OA =BC , ∴∠AOD =∠CBE. 在△AOD 和△CBE 中,{∠ADO =∠CEB ,∠AOD =∠CBE ,OA =BC ,∴△AOD ≌△CBE ,∴OD =BE =1, ∴OB =OE +BE =5.18.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD =BC ,∵点E ,F 分别是平行四边形ABCD 的边BC ,AD 的中点, ∴AF =12AD ,CE =12BC ,∴AF =CE ,∴四边形AECF 是平行四边形. (2)∵BC =10,∠BAC =90°,E 是BC 的中点, ∴AE =CE =12BC =5,∴四边形AECF 是菱形,∴平行四边形AECF 的周长=4×5=20.。

2023年中考数学一轮复习讲义——多边形与平行四边形

数学学生讲义学生姓名：年级：九年级科目：数学学科教师：课题《多边形与平行四边形》授课类型基础知识回顾经典例题再现巩固提升教学目标 1.能理解平行四边形的概念；2.能掌握平行四边形的判定及其性质；教学重难点 1.平行四边形和三角形等图形的结合；2.全等、相似、面积公式的灵活运用。

授课日期及时段教学内容一、多边形1．多边形的相关概念（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n–3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2)个三角形；n边形对角线条数为()32n n-．2．多边形的内角和、外角和（1）内角和：n边形内角和公式为(n–2)·180°；（2）外角和：任意多边形的外角和为360°. 3．正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n边形的每个内角为()2180nn-⋅，每一个外角为360n︒．（3）正n边形有n条对称轴。

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．二、平行四边形的性质1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“”表示.基础知识回顾2．平行四边形的性质：（1）边：两组对边分别平行且相等．（2）角：对角相等，邻角互补．（3）对角线：互相平分．（4）对称性：中心对称但不是轴对称．3．注意：利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：（1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半．（2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题．（3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长．三、平行四边形的判定（1）（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形.（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．经典例题再现考点一多边形例1：一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形例2：如果一个多边形的每一个外角都是60°，那么这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形变式：1．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）A．17 B．16 C．15 D．16或15或172．如图，正五边形的一个顶点正好是正六边形的中心，则∠1的度数为（）A．22°B．18°C．15°D．12°考点二平行四边形的性质例3：在ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可能是（）A．3∶4∶3∶4 B．5∶2∶2∶5C．2∶3∶4∶5 D．3∶3∶4∶4例4：如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABE＝S△CEF其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④变式：1.如图，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，若AE、BE分别是∠DAB、∠CBA的角平分线，且AB=4，则▱ABCD的周长为（）A．10B．82C．55D．122．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于G，BG＝，则梯形AECD的周长为（）A．22 B．23 C．24 D．25考点三平行四边形的判定例5：如图，点E，F是ABCD对角线上两点，在条件①DE=BF；②∠ADE=∠CBF；③AF=CE；④∠AEB=∠CFD 中，添加一个条件，使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④例6：已知：如图，在▱ABCD中，延长AB到E，使得BE＝AB，连接BD、CE．（1）求证：BD∥CE；（2）请在所给的图中，用直尺和圆规作点F（不同于图中已给的任何点），使对F、B、E、C为顶点的四边形是平行四边形（只作一个，保留痕迹，不写作法）．变式：小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形巩固提升1．下面四个图形中，是多边形的是（）2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10C．35 D．703．n边形的边数增加一倍，它的内角和增加（）A．180°B．360°C．(n–2)·180°D．n180°4．七边形的外角和等于（）A．180ºB．360ºC．540ºD．720º5．如图，▱ABCD的边上一动点P从点C出发沿C–D–A运动至点A停止，运动的路程计为x，∠ABP与▱ABCD 重叠部分面积计为y，其函数关系式如图所示，则▱ABCD中，BC边上的高为（）A．2 B．3C．4 D．66．如图所示，在ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有_____个平行四边形．7．如图，在ABCD中，AC，BD相交于点O，AB=10cm，AD=8cm，AC⊥BC，则OB=_________cm．8．一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________．9．在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=8cm，BC=6cm．△AOB的周长是18cm，则△AOD的周长是__________．10．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点P，若∠BPC=110°，则∠A=__________°．11．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为__________．12．长度分别为3，4，5，7的四条线段首尾相接，相邻两线段的夹角可调整，则任意两端点的距离最大值为__________．13．在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，且CD与BE相交于点F，已知△BDF的面积为6，△BCF的面积为9，△CEF的面积为6，则四边形ADFE的面积为__________．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，–2），点B（3m，2m+1），点C（6，2），点D．（1）线段AC的中点E的坐标为__________；（2）ABCD的对角线BD长的最小值为__________．15．在ABCD中，AB=3，BC=4，当ABCD的面积最大时，下列结论：①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．其中正确的有__________．（填序号）16．如图，ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是__________．17．如图，在平行四边形ABCD中，若AB=6，AD=10，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，求DF的长．18．如图，在ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．19．如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．20．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．21．嘉琪同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的ABCD，并写出了如下尚不完整的已知和求证．已知：如图，在四边形ABCD中，BC=AD，AB=__________．求证：四边形ABCD是__________四边形．（1）补全已知和求证；（2）嘉琪同学想利用三角形全等，依据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来证明．请你按她的想法完成证明过程．22．已知：EF∥MN，直线AC交EF、MN于点A、C，作∠ACN的平分线于点B，作∠CAE的平分线交MN于点D．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若四边形ABCD为菱形，求∠ABC的度数．课后练习1．正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°2．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°3．用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形ABCDE，其中∠BAC=__________度．4．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．5．如图，在ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．6．如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．7．如图，△ABC中，D是AB的中点，E在AC上，且∠AED＝90°+∠C，则BC+2AE等于（）A．AB B．AC C．AB D．AC8．从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（）条．A．9条B．10条C．11条D．12条9．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角，若DF＝2cm．BC＝16cm，则AC的长为cm．10．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（，）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O 为顶点的四边形的面积的最大值．11。

中考数学总复习第五单元四边形第多边形与平行四边形数学课件

如图②,四边形 ABCD 中,AO=CO,AD=BC,但四边形 ABCD 不是平行四边形.
图 20-4
高频考向探究
[方法模型] 证明四边形是平行四边形时,常需找“边”相等或平行.找“边”相等或平行的常见方法如下:
(1)找边相等:①平行四边形的对边相等、对角线互相平分;②三角形全等;③线段和差(有公共部分).
长为 6 cm
.
图 20-10
当堂效果检测
5.如图 20-11,在▱ABCD 中,EF∥BC,GH∥AB,EF,GH 的交点 P 在对角线 BD 上,图中面积相等的平行四边形有(
图 20-11
A.0 对
B.1 对
C.2 对
D.3 对
)
当堂效果检测
[答案] D
[解析] ∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴S△ ABD=S△ CBD.
∠ = ∠,
∴CD+AD=9,∠OAE=∠OCF,在△ AEO 和△ CFO 中, = ,
∴△ AEO≌△CFO(ASA),
∠ = ∠,
∴OE=OF=1.5,AE=CF,
则四边形 EFCD 的周长=ED+CD+CF+EF=(DE+CF)+CD+EF=AD+CD+EF=9+3=12.
故选 C.
高频考向探究
探究三平行四边形的判定
例 3 如图 20-4,四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC 中任意选
取两个作为条件,以“四边形 ABCD 是平行四边形”作为结论构成命题.
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例.

2024年中考第一轮复习多边形与平行四边形课件

故答案为 6.
2 =2,
考向二
平行四边形的判定
例2 如图23-9,已知△ABC,分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三
角形:△ABE,△BCD,△ACF.求证:四边形DEAF是平行四边形.
图23-9
证明:∵△ ABE,△ BCD 都是等边三角形,
∴BE=AB,BD=BC,∠EBA=∠DBC=60°,
边作▱BCDE,则∠E的度数为( D )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
图23-2
6.[2020·潍坊]如图 23-3,点 E 是▱ ABCD 的边 AD 上的一点,且
=
1
,连结 BE
2
并延长交 CD 的延长线于点 F,若 DE=3,DF=4,则▱ ABCD 的周长为 ( C )
A.21
B.28
∵∠AFE+∠AFD=180°,∠AFE=∠B,∴∠AFD=∠C,
∴△ADF∽△DEC.
图23-7
例 1 如图 23-7,在平行四边形 ABCD 中,过点 A 作 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,F 为
线段 DE 上一点,且∠AFE=∠B.
(2)若 AB=8,AD=6 3,AF=4 3,求 AE 的长.
图23-11
AE 的长.
例 3 如图 23-11,在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB,CE 平分∠BCD,延长 CE,BA 交于
点 F,连结 AC,DF.
(1)如图①,求证:四边形 ACDF 是平行四边形;
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,∴∠DCF=∠BFC.
边形CDEF的面积是

【精品课件】2020(新增4页)教版中考数学复习解题指导：第25讲多边形与平行四边形_6-10

第25讲┃ 考点聚焦
考点2 平面图形的镶嵌
定义
用_形__状___、__大__小__完全相同的一种或几种__平__面__图__形__进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是
平面图形的__镶__嵌__
平面镶嵌的条件
在同一顶点的几个角的和等于360°
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1
第25讲┃ 考点聚焦
常见形式
式
因为m、n、k为整数，所以m＝___1__，n＝
__2___，k＝___1___，即用__两____块正方形，
___一___块正三角形和___一___块正六边形可以镶嵌
防错能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点
提醒
的几个角的和等于360°
精品课件
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第25讲┃ 考点聚焦
考点3 平行四边形的定义与性质
(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：
____六____个正三角形或____四____个正四边形或
___三_____个正六边形
(2)用两种正多边形镶嵌
①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和
____二____个正四边形；
②用正三角形和正六边形镶嵌：用___四_____个正
三角形和____一____个正六边形或者用___二_____个
网贷口子:https:/// 它把这条梭鱼也给哄弄过去了，它干脆没出洞。
夏天来了，梨树的花儿已经凋谢，可是果实却没有如期而至。，我从那里来，必须回到那里去
6
定义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
性质
(1)平行四边形的两组对边分别___平__行___；
(2)平行四边形的两组对边分别___相__等___； (3)平行四边形的两组对角分别___相__等___； (4)平行四边形的对角线互相___平__分___ ； (5)平行四边形___的四边形是平行四边形