主析取范式的求法共39页

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定义 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式 仅由小项的析取所组成，则该等价式称为原式的主析 取范式。
小项
定义 n个命题变元的合取式，称为布尔合 取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时 存在，但两者必须出现且仅出现一次。
每个小项可用n位二进制编码表示。以变元自身出现 的用1 表示，以其否定出现的用0表示：
(1)每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为0， 其余的2n－1种赋值均为1;
(2)任意两个不同大项的析取式永真：M iM j 1 (ij)
(3)全体大项的合取式必为假，记为：
2n- 1
M i M 0M 1M 2n-1 0
i0
定义1- 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式仅由极大 项的合取所组成，则该等价式称为原式的主合取范式。
(2)主合取范式的合取项为大项,用大M加下标表示,如 M010,其中0表示对应的命题变元出现在合取项中,1表 示对应命题变元的否定出现在合取项中。
(3)在真值表中,一个公式的主析取范式由其真值为1的 真值指派所在对应的小项的析取组成。
(4)在真值表中,一个公式的主合取范式由其真值为0的 真值指派所对应的大项的合取所组成。
极小项
公式
成真
赋值
p q r 0 0 0
p q r 0 0 1
p q r 0 1 0
p q r 0 1 1
p q r 1 0 0
p q r 1 0 1
p q r 1 1 0
p q r 1 1 1
名称
m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7
极大项
公式
pqr p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r
只有B才能昨天要火腿，今天要猪排。
1．5．4 主合取范式
定义1- n个命题变元的析取式，称为布尔析取 或极大项，其中每个变元与它的否定不能同时 存在，但两者必须出现且仅出现一次。
例如，2个命题变元p和Q 的大项为：p q ， p q ， p q ， p q 3个命题变元p、Q、R的大项为：
若n= 2，则有
M 0 0p qM 0 M 1 0 p qM 2
M 0 1p qM 2 M 1 1 p qM 3
若n= 3，则有:
M000 pqrM0 M001pqrM1 M010 pqrM2 M011 pqrM3
大项的性质如下：
M100pqrM4 M101pqrM5 M110 pqrM6 M111pqr M7
P→Q
1 1 1 1 0 0 1 1
¬R (p→Q)→¬R
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
所以公式 (p q) r 的主合取范式为:
( p q ) r M 0 0 M 1 0 1 M 1 111
( p q r ) ( p q r ) ( p q r )
用等值演算方法构成主合取范式的主要步骤如下： （1）将原命题公式化归为合取范式； （2）除去合取范式中所有永真的合取项； （3）合并相同的析取项和相同的变元； （4）对合取项补入没有出现的命题变元，即添加
极小项与极大项
由p, q两个命题变项形成的极小项与极大项
极小项 公式 成真赋值 名称
极大项 公式 成假赋值 名称
p q 0 0 m0 p q
0 0 M0
p q
0 1 m1 p q 0 1 M1
p q 1 0 m2 p q
1 0 M2
pq
1 1 m3 p q 1 1 M3
由p, q, r三个命题变项形成的极小项与极大项
成假 赋值
000 001 010 011 100 101 110 111
名称
M0 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7
p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r ， p q r
n个命题变元共有2n个大项，每个大项可表示为n
位二进制编码，以变元自身出现的用0表示，以变元的否 定出现的用1表示；且对应十进制编码。这一点与小项的 表示刚好相反。
2n-1
mi m0m1m2n-1 1
i0
(ij)
主析取范式的求法
• 真值表法 • 等值演算法
趣味推理题
• A、B、C三人去餐馆吃饭，他们每人要的不是火 腿就是猪排。 （1）如果A要的是火腿，那么B要的就是猪排。 （2）A或C要的是火腿，但是不会两人都要火腿。 （3）B和C不会两人都要猪排。 谁昨天要的是火腿，今天要的是猪排？
如(p∧┐p) 的式子，再按分配律进行演算； （5）将大项按下标由小到大的顺序排列。
例1- 用等值演算方法求(p q) r的主合取范式。 解：
(p q) r ( pq) r ( pq) r (p q) r (p r) ( q r) ( p ( q q ) r ) ( p ( p ) q r )
m000pqr , m100pqr,
m001pqr , m101pqr ,
源自文库
m010pqr , m110pqr,
m011pqr , m111pqr .
小项的性质如下：
（1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为1， 其余的2n－1种均为0;
（2）任意两个不同小项的合取式永假：mimj 0 （3）全体小项的析取式永为真，记为：
定理1- （主合取范式存在惟一定理） 任何命题公式的主合 取范式一定存在，并且惟一。
由真值表方法可知：一个公式的真值为0的真值指派所 对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。
例1- 用真值表方法求 (p q) r的主合取范式 解: 公式的真值表如下
PQ R
00 0 00 1 01 0 01 1 10 0 10 1 11 0 11 1
( p q r ) ( p q r ) ( p q r ) ( p q r )
( p q r ) ( p q r ) ( p q r )
M 0 0M 10 1M 1111
【说明】
(1)主析取范式的析取项为小项，用小m加下标表示。 如m010，其中0表示对应的命题变元的否定出现在析 取项中,1表示对应的命题变元出现在析取项中。