泰勒公式的研究

1引言
泰勒公式[1]是微积分学中一个非常重要内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，通过阅读大量的参考文献，作为初学者，为了更好的理解和掌握泰勒公式，于是第一章首先便从多项式逼近函数的角度引出泰勒公式及其余项．循序渐进分别用逼近函数的一次、二次多项式，并分析了它们的误差、性质和几何意义．类似逼近函数的低次多项式，利用递推公式构造了逼近函数的 n 次多项式，并引出了泰勒定理．然后对泰勒定理做了详细的介绍，并给出了基本的常见的函数泰勒展开式。在第二章中对泰勒公式的余项做了详细的分类，并且对他们做了简单的比较。由于泰勒公式在高等数学的学习中具有广泛的应用性，于是第三章主要介绍泰勒公式的应用，我搜集了大量具有针对性的习题，仔细认真演算，习题比较难的解来自参考文献，还使用大量的例题解释说明，并对相应的解法做了系统的归纳总结。
1.1泰勒公式的研究背景与研究状态
在数学史上，泰勒公式起源于牛顿插值[2]的有限差分法。1715年泰勒出版了一本书叫《增量法及其逆》，本书中记载有现在微积分中以他名字命名的一元函数幂级数展开公式，他当时是通过对格雷戈里——牛顿插值公式求极限而得到。百年以后，柯西[5]对无穷级数收敛性给出了严格的证明。1755年，欧拉把泰勒级数用在他的“微分学”时才意识到其价值，再后来拉格朗日[5]用带余项的级数作为其函数理论基础，进一步确认泰勒级数的重要地位。泰勒也以函数的泰勒展开而闻名于后世。
通过阅读大量的参考文献，发现在2001年，费德霖[6]在皖西学院学报上发表的泰勒公式的应用及技巧一文中，阐述了泰勒公式在研究方程根的唯一存在性、判别级数敛散性和定积分不等式、等式的证明方面的应用及技巧；在2003年，冯平、石永廷[7]在新疆大学学报上发表的泰勒公式在求解高等数学问题中的应用一文中，通过典型例题给出了泰勒公式在求解高等数学问题的具体应用；在2008年，余家骅[9]在科技风中，在理解泰勒公式基本的形式及内容的基础上，更进一步意义的推理泰勒公式的证明及其在解决实际数学问题上的应用，探究一个定理的辩证思维方式，知识更加深化，形成发散性思维；在2015年，王万禹[12]在成都师范学院学报上发表的文章中，对各高校数学专业历年考研试卷的分析，给出了一类考研试题的万能解法：泰勒公式求解法。
1.2 泰勒公式的研究意义
泰勒公式是微积分中的一个基本理念，不但在理论上占重要地位，同时泰勒公

式在极限计算、近似计算、级数及积分敛散性的判断、证明等式不等式等方面也有重要应用，并且还是研究分析数学的不可或缺的工具。我们必须掌握它，以便更方便更好的解决数学实际问题、研究一些复杂的函数。
泰勒公式是一个应用价值非常大的数学公式。将此公式作进一步剖析，归纳总结它的各类余项，将会有更多收获。这个公式结构对称和谐，无论是在代数，还是几何中都可以应用，它在解决一些实际问题或推导一些数学结论上非常有用，在初等数学和高等数学中应用都比较广泛。因此，对泰勒公式的探究是有益的。近年来，以泰勒公式为背景的试题已悄然在考研试卷和国内外的数学竞赛题中出现。在解题过程中，灵活巧妙地应用泰勒公式，从不同角度考虑问题，有助于拓宽解题思路，提升解题技巧，并可以使一些比的各种变形使得较困难的问题得以比较简捷地解决，说明泰勒公式与它的推广的使用方法和技巧，从而揭示了泰勒公式在数学领域中的广泛应用。
本文基于前人的研究基础，对泰勒公式及余项类型的证明方面进行归纳，详细分泰勒公式的应用，例如，在求极限、进行近似计算、判别级数及积分的敛散性、一些证明题等方面的应用，如果能将泰勒公式应用到其它领域，这样就能解决很多难题从而节省时间达到事半功倍的效果。
2 泰勒公式
本章较为详细地引出了泰勒公式，并介绍了他的的基本概念，相关定理及余项表达式，并给出常见函数的泰勒展开式。在此基础上对相关定理都给出相应的证明过程 。最后对泰勒公式进行一个总的说明，即泰勒公式的意义，这样以便于读者更好地去理解泰勒公式。
2.1从多项式逼近函数引出泰勒公式
本节从切线近似代替曲线引出逼近函数的一次多项式，并给出了一次多项式的性质及误差．为提高多项式逼近函数的精度，从降低多项式的误差出发，引出了逼近函数的二次多项式，从几何意义可以看出，二次多项式近似函数的效果更好．以此类推，引出了逼近函数的 n 次多项式，并最终引出泰勒定理．
2.1.1一次多项式逼近函数
由微分在近似计算中的应用可知，当函数由在点处可导时,有,误差是，若记,
,则有
不难发现，一次多项式在点处与函数有相同的函数值和一阶导数值，即
一次多项式之所以能逼近函数，正是因为满足了这样的性质。以指数函数为例,为例。一次多项式逼近函数的几何意义就是用切线近似代替曲线．由图 1可以看出，一次多项式近似函数的效果并不理想．为此，需要提高近似的精度，减小近似的误差．为提高精度，可以选择更高次的多项式逼近函数；为减小误差，

可以要求误差是当x时是更高阶的无穷小量。
2.1.2二次多项式逼近函数
逼近函数的二次多项式首先应保证一次多项式的精度，即满足一次多项式的性质, 其次，它的误差应该至少是。记, 则，这说明是二次多项式的二重零点，即。进而有+
由= 可知故，因此，逼近函数的二次多项式为。不难发现，二次多项式在点处与函数有相同的函数值、一阶导数值及二阶导数值，即、、。这就是二次多项式逼近函数的性质．仍以指数函数为例，当，，二次多项式逼近函数的几何意义就是用有相同斜率和曲率的二次曲线近似代替曲线．由图 2 可以看出，二次多项式近似函数的效果比一次多项式要好但仍不理想．为此，还要考虑更一般的 n 次多项式．
2.1.3 n 次多项式逼近函数
类似二次多项式的构造，逼近函数的次多项式，……,且其误差应为,记,因为与在点处有相同的函数值和直到阶的导数值，所以.这说明是n次多项式的n重零点，即，故，递推可得
由可知，故有因此，逼近函数的n次多项式为
不难验证，n次多项式在点处与函数有相同的函数值和直到n阶的导数值,就是 n 次多项式逼近函数的性质
2.2泰勒公式的介绍
定理（泰勒定理） 若函数在存在阶导数，则任意，有：
（1）
其中：
（2）
（3）
即是比的高阶无穷小，（1）式称为函数在（展开）的泰勒（Taylor）公式。
证法：由高阶无穷小的定义，只需证明下式，这是的特定型，应用次洛必达法则。
证明：
（对不能再求导数）
当时，显然，，，，以及都是无穷小，于是，由洛必达法则，有：


2.3 泰勒公式余项的类型
泰勒公式余项的几种常见类型有带拉格朗日（Lagrange）余项的泰勒公式、带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式、带积分型余项的泰勒公式、带柯西型余项的泰勒公式。下面将对这几种类型一一进行介绍。
1．带拉格朗日（Lagrange）余项的泰勒公式
若函数在上有直到阶的连续导数，在内有阶导数，则，对任意给定的，, 至少存在,使得：
（10）
其中：
（在与之间） （11）
式（11）为Lagrange余项。
证明：可以运用柯西微分中值定理证明该结果，为此，引入辅助函数
，
显然，与在内有阶导数，并且
，
设，则与在中重复次，用柯西微分中值定理，得
其中属于，因为
，
所以就有：
2．带佩亚诺（Peano）余项的泰勒公式
若函数在上有阶导数，有：
（12）
其中：
为佩亚诺（Peano）余项。
证明：要证明这个结论就是要证明
当时，是的高阶无穷小，其中：
且是包括的小的邻域中阶可微，阶可导，并且在点处有：

所以运用次罗必塔法则就可以得到
3．带积分型余项的泰勒公式
若函数在邻域中有连续阶导数，那么任意属于，就有：
（13）
其中：
是积分型余项，
且
证明此结论将多次用到分部积分法，此过程中运用牛顿—莱布尼茨公式就可得.最终，如果将变量代换：
就可以得到：
4．带柯西型余项的泰勒公式
若函数在点的领域中有连续阶导数，则任意属于，就有
（14）
其中：
如果，那么就有：
，此时称柯西型余项。
证明此结论将根据推广出的积分中值定理，再结合带积分型余项的泰勒公式，就容易的可得出。
5. 带有皮亚诺型余项的泰勒公式与带有拉格朗日型余项的泰勒公式的比较
带有皮亚诺型余项的泰勒公式对函数的假设条件较少，只需要在处n阶可导, 不需要n + 1 阶导数存在，也不需要在的邻域内存在 n 阶( 连续)导数，皮亚诺型余项只是定性地告诉我们: 当时，逼近误差是较高阶的无穷小量，而拉格朗日型余项则是一个定量形式的余项，是对逼近误差进行具体的计算或估算，因此，应用上述定理，可以视问题的具体需求，在附近将函数进行带不同余项的泰勒展开．
2.4常见函数的泰勒展开式
3 泰勒公式的应用
泰勒公式在在分析和研究数学问题方面，有着重要应用，本章节主要阐述了泰勒公式在函数,求极限、进行近似计算、判别级数及积分的敛散性、一些证明题等方面的应用及技巧。
3.1 用泰勒公式进行近似计算
在计算中算式得不出它的精确值的时候，就只能求出它的近似值，此时泰勒公式就是解决这些问题的好办法。
例1应用泰勒公式近似计算下列个数，并估计误差：
1）； 2）； 3）
解：1）因为
因此误差
2）因为
因此
3）因为
则
于是
必须要注意的是，泰勒公式是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，不能远离，否则效果会比较差。
3.2 泰勒公式在函数求极限中的应用
对于函数求极限问题，有少数简单的函数可用通常方法就很快能解决了，稍微有点复杂的可以考虑用无穷小量来等价代换的方法。但是对于那些复杂超越函数求极限问题就不可能是那么的简单了，用刚刚说的方法如洛比达法则、等价代换无穷小量这些方法来解就非常困难。前面学习了泰勒公式，也知道了几个常用函数的泰勒展开式，利用泰勒公式来求极限问题就变得较为简单了，即把超越函数当中的某个部分用泰勒展开式来代换。所以要掌握好常用函数的泰勒展开式，并且简单函数的泰勒展开式也要会求。下面用几个简单的例子说明
例2求极限。
解：因为
以及
于是
故
例3求极限。
分析：这是一个型的求极限问题，如果运用罗比达法则

解，分子和分母需要求4次导.但如果用泰勒公式解，则简单了很多。
解：
例4求极限。
分析：这是个-型的求极限问题，首先把其变为可以运用泰勒公式来求解的形式。
解：
令，
此时，原式
这又是个型的求极限问题，根据分母可以把分子运用泰勒公式分为两部分，
由于，
所以
即原式
例5求极限。
分析：如果所要展开的函数是两个以上的函数的代数之和，那就分别展到其系数消不去的次数为最低项为止，因为之后部分和此项比较为高阶无穷小。
解：此题分子
用公式可表示为：
为系数消不掉的最低项，所以分子
同理，分母
因此，原极限

经过了上面的几个例题，就可以看出运用泰勒公式来求解一些函数的极限就具有方便、简介的作用，从而能高效、准确的解决一些函数的求极限问题。
3.3 利用泰勒公式判断级数及积分的敛散性
在级数的敛散性理论中，要判别一个正项的级数是否收敛，通常找一个比较简单的级数，在用比较判别法来判别，在实际应用中存在的问题就是如何选取恰当的中的值。为了更有效的选取值，可以运用泰勒公式研究选项的阶，据此选取出恰当的值，再用比较判别法就可判别出级数的敛散性。
在判别广义积分敛散性时，通常选用广义积分来进行比较，在此通过探究无穷小量的阶有效的选取中值，从而更简便地判别积分的敛散性（注意到：若收敛，则收敛）。
例6判断级数的敛散性。
解：根据泰勒公式有
因此
所以
例7判别级数的敛散性。
解：因为
又因为，
例8讨论级数
分析：直接根据通项来判断这个级数是非正项级数还是正项级数有点困难，但注意到级数中有，如果将它泰勒展开为的幂的形式，在开二次方后刚好与相呼应，这使判断敛散性容易进行。
解：因为
所以
所以
即该级数为正项级数。
又因为
所以
因为根据正项级数比较判别法就可以知道原级数收敛。
例9广义积分是否收敛？
解：
由于
故是的一阶无穷大量，
然而发散，所以原级数也是发散的。
3.4 重要例题中泰勒公式的应用
在证明题中一般采用带拉格朗日余项的泰勒公式。在高等数学竞赛中经常会遇到一些微分的证明问题，如果能够恰当地使用泰勒公式，就可将一些复杂的问题化简单。下面我们就来看几个例题。
例10证明若函数在二次可微.设
则。（提示：任意，任意，将在展开成泰勒公式，移项整理，有：
于是令，可证。）
证明：，，将在展开成泰勒展式（到二阶导数），
即
或
从而
由题设条件，，有
从而
即 或
因为是任意的，所以由根与系数的关系知，。
例11证明：函数是次多项式，是方程的重根　
，