第四版微分几何期末复习总结

(

)2

211

22222222221212u u 2222221u u 1.I I du sinh udv ,u=v u=v I du sinh udu =+sinh u du =cos h udu ,u=v A(u ),B(u )u

求弧长和交角.(1)求的弧长.解：（1）设曲线上两点则弧长为求与

的交角.

解：由题2222222E=1,F=0,G=(u +a )u+v=0u-v=0E=1,F=0,G=a u+v=0u-v=0du/dv=-1=x,u /v 1cos [E F G]/[1a ]/[1a ]arc cos[1a ]/[1a ].

y xy xy δδϕθ==⇒=++=-++⇒=-++意得；由与得交点（0,0）处；由与得{}123112123

1233121212312222113232..r a cosh t,asinh t,at r r r r r r r r (r r r )=a k r r /[r ]1/[2a cosh t]=(r r r )r r k;"cosh sinh 1,cosh sinh,sinh cosh".r {a(3t-t ),3at ,a(3t+t )},(a 0τ⇒⨯⨯⇒⇒=⨯=⨯=-===>求曲率和挠率.（1）题1=解:求，，，，，，，，，/()（2）题2

={}{

}{

}1212223123322112212222

).r ),r r (1+t ),r 6a 0,6a ,(r r r )=216a k 1/[3a(1+t )],=k;(3).r a cos ,asin ,b k,;,,.r r r absin ,ab cos ,a ,r r k a /(a b ),

=b /(a τθθθταβγθθτ⇒=⨯==-⇒=⇒=⨯=-⨯=⇒=++解：...，，，题3求圆柱螺线=的解：...{

}{

}{}1

2

1

1

12121

112121112b );=r /r -asin ,a cos ,b ,=(r r )/r r bsin ,b cos ,a =[(r r )r -(r r )r ]/[r r r ]cos ,-sin ,0.

αθθγαβ

θθβθθ=⨯⨯=⨯=-⋅⋅⋅⨯=-切向量,

主法u 222u u u uu u u uu u 3.(1) 1.r {(u)cos ,(u)sin ,(u)},(u)0,r ,r E=r r ='+',F=r r =0,G=r r r ,r ,r n [r r ]/L=n r =-[''''M=n r 0,N=n r [']/θθθθθθθθθθθϕθϕθψϕϕψϕϕψϕψϕψ

=>⇒⋅

⋅⋅==

⇒=⨯

⋅-⋅=⋅=题求的高斯曲率和平均曲率.解：求求23/2121222212xOz x=(z)z (u)u L=-M 0,N=F=M 0k L/E ''/[(1')],k N/G 1/[k k k -''/[(1')];H k +k '''(ϕψϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==⇒

====-+==⇒==+-取平面上最初的曲线为得因为，所以旋转面的坐标曲线为曲率线，并且主曲率为高斯曲率平均曲率为=[1/2]()=[1+]/[223/222N T N N N N 222222*********')(2).r ucosv usinv bv k ,K,H.E=1,F=0,G=u +b ;L=0,L k E,M k F;M k F,N k G]0K b /[u +b ],K b /[u +b ];K K K b /[(u +b )],H [1/2](K +K )0..ϕ+----===

-==-

==].

题2

求正螺面={,,}的解:由题意得代入主曲率公式[解得（3）题3确定抛222200000T N N 12z a x +y .p ax q ay,r a,s 0,t a p q ,r a,s 0,t a E=1+p =1,F=pq=0,G=1+q 1,L=r /a M=s /N=t /a a-k ,0;0,a-k ]0K K ======⇒=====物面=()在（0,0）的主曲率解:由题意得=2,=222在(0,0)处=0,=022；2，，2代入主曲率公式得[22解得2a.“求主曲率，高斯曲率和平均曲率”

4.k 0k r 0,r =0r =a(),r a b,b =0r =0,r =a()s ττγαγγγ⋅⋅

⋅⋅

⋅

⋅

≡≡=≡+≡⋅⋅⋅证明的曲线是直线;0的曲线是平面曲线.证：已知因而，由此得到常向量再积分=其中也是常向量，即得证;若0,则是固定向量,但是我们已知，因而有积分后得常数，所以曲线在一个平面上。

0G

G

000G

5..2.-Kd 22,Kd 0.P K 0,K(P )>0,P K>P Kd 0K 0,s πσππσσ+==≠>≡⎰⎰⎰（1）题1证若曲面上有两族测地线的夹角为定角，则曲面是可展曲面.证:在每族测地线任取两条，围成曲面上的曲边四边形.根据已知条件，曲边四边形的外角和为由高斯波涅公式得若在曲面的某点处，不妨设

则在邻近0,从而对于围绕点的充分小的曲边四边形有得出矛盾，

即曲面为可展曲面.(2)若曲面的高斯k

g

i i 1

G

G

G

...C G -Kd k ds ()2.

K 0,Kd 0,0σπαπσ=∂+

+-=<<∑⎰⎰⎰⎰⎰

曲率处处小于零，闭测地线.证:若存在所述闭测地线,它所围成的曲面部分为,由高斯波涅公式得因为则又后两项均为，得出矛盾，所以不存在所述闭测地线.

{}{}()2221231126.x 13t 3t ,y 22t 5t ,z 1t r,r r r =0=0t=0r=121r =3-20R-r,r r +y z k 0τ=++=-+=-⇒⇒⇒=⇒证明曲线为平面曲线，并求出所在平面方程.证：因为，，平面曲线；令，，，，，,因为平面曲线平面方程即密切平面，=0，所以方程为2x 3+19-27=0直线.

()

**

*

**7.:r=r(s),R :r(s)R -ds r =R -ds s (ds /ds)=,=;P :P=c=P=P=c=k /t R αβαβαβααααααα∙

ΓΓΓΓ=⇒

±Γ⋅⇒

⋅±⋅±Γ=⇒⎰⎰证明如果曲线为一般螺线,为的切线向量和主法向量，为的曲率半径,证明也是一般螺线.证：将两边对求微商，所以因为是一般螺线，所以存在向量常数常数.即得证也是一般螺线.常数一般螺线{}{}z z 3u v u v 3

3

323238.r R cos ,R sin ,z .r ,r (R r,r ,r )0X cos Ysin R=0;(2)r=u,,a /(uv)r ,r (R r,r ,r )0a /(u v)X a /(u v)Y Z 3a /(uv)=0V=(1/3)(1/2)3u 3v (3a /uv)=(9/2)a v c

θθθθθθ⇒-=+-⇒-=++-⇒⋅⋅⋅=求切平面:(1)圆柱面=解:求即证明曲面体积为常数.证:求即()()()112121000000000112112

000000009.R r r 0R r r r =0;R r r r r =0R r =r ;R r =r r r ;R r =(r r ).

λλλ⋅=⨯⎡⎤⨯⨯⨯⎣⎦三线三面：法平面（-）；密切-，，从切-，,；

切线-(0)主法线-（）副法线-{}{}{}{}{}{}{}22

10.r cos ,sin ,-,-,

20.r cos ,sin ,;r cos ,sin ,0;r sin ,cos ,;r 0,0,0;r sin ,cos ,0;r cos ,sin ,0;

1,0,.1/sin ,u v uu uv vv u v u v bv u v EN FM GL u v u v bv v v u v u v b v v u v u v E F G u b n v =∞<<+∞∞<<+∞-+====-==-=--===+=

证明对于正螺面，处处有证：由于所以cos ,.0,,0.20.

b v u L M b N EN FM GL -==-=-+=故{}222200*********.1/2()r ,,1/2(),,.,0,.=00,,0,,1,0,1,,0,.,,n z ax by x y ax by p ax q by r a s t b q r a s t b E F G L a M N b I dx dy II adx bdy k =+=+================+=+

求出抛物面在（0,0）点,方向（dx ，dy ）的法曲率。

解：因为所以在（0,0）点有p ，故在（0,0）点沿方向（dx ：dy ）的法曲率为：（d 222222/[]/[][()]/[()1]dx dx

II I adx bdy dx dy a b dy dy

==++=++x ：dy ）