4.2多自由度系统的固有频率与主振型
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法.doc
第六章 多自由度系统固有频率和主振型的两种近似解法从多自由度问题的精确解的求解过程可知，求振系的固有频率及主振型是一项必不可少的过程，当自由度较少时，可直接求固有频率及主振型，但当自由度较多时，关于固有频率的求解就很复杂，如一个16自由度的振动问题，仅为展开频率方程的行列式，就需要进行720次计算，当然这些计算可借助计算机解决，但关于固有频率的近似计算及其计算思想，在实际应用及理论研究中仍具有一定的意义。
本章主要介绍求固有频率的两种方法：矩阵迭代法及传递矩阵法。
6-1矩阵迭代法矩阵迭代法适合于自由度较多的复杂系统，该法可以同时计算出系统的固有频率和相应的主振型，当自由度很多，但只要计算出低阶的几个频率时，矩阵迭代法很为适用，其大量的计算可由计算机完成。
在第五章已经介绍过，多自由度无阻尼系统的振动微分方程有两种形式，一种是用刚度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求，[]{}[]{}{}02=-A M p A K或写成[]{}[]{}A M p A K 2= （6-1）另一种是用柔度矩阵建立的，其固有频率和主振型可由下式求出{}[][]{}{}012=-A M R A p 或写成{}[][]{}A M R A p=21（6-2） 用[]1-M 前乘（6-1）式，得[]1-M []{}{}A p A K 2= （6-3）方程（6-2）（6-3）可写成如下统一的形式[]{}{}A A D λ= (6-4)（6-4）式称为特征值问题的标准形式，即矩阵迭代法的基本迭代公式。
式中[]D 称为动力矩阵，λ则是矩阵[]D 的特征值，当[]D 是按刚度矩阵形成时，即[][][]K M D 1-=，则λ表示固有频率的平方，λ＝p 2，而当[]D 是按柔度矩阵形成时，即[][][]K R D =，则λ表示固有频率的平方的倒数，λ＝1/p 2。
显然，任一阶固有频率和主振型都是（6-4）式的精确解。
下面介绍从（6-4）式出发进行迭代的基本过程：1) 某个经过基准化了的初始迭代向量{}1A （所谓基准化就是选取迭代向量的某个分量为基准值1），现选取{}1A ，使其第一个元素A 1，1为基准值1，并作[]{}1AD =运算，运算得到一个新的列阵{}1B ，再将{}1B 基准化，即将新的列阵{}1B 中的各元素均除以B 1，1，可得[]{}{}{}21,111A B B A D ==2) 与{}2A ，如果{}1A ≠{}2A ，则重复上述步骤，以[]D 乘{}2A ，得[]{}{}{}32,122A B B A D ==3) 比{}2A 与{}3A ，如果{}3A ≠{}2A ，则继续重复上述步骤，以[]D 乘{}3A ，…，直到第k 次迭代[]{}{}{}1,1+==k k k k A B B A D ，当式中{}k A ＝{}1+k A 时停止，这时，特征值1λ＝B 1，k ，而相应的特征向量就等于{}k A 。
振动力学［PDF］
第四章多自由度系统的振动4.1多自由度系统运动方程的建立4.2 耦合与坐标变换4.3 固有频率和主振型4.4振型矩阵、主坐标和正则坐标4.5 固有频率相等的情况4.6 固有频率为零的情况4.7 无阻尼系统对初始条件的响应4.8 无阻尼系统对任意激励的响应4.9 多自由度系统的阻尼4.10 有阻尼系统的响应4.11 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应i nj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i Q q k q c q m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}Q q k q c q m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211nn n n n n 212222111211212222111211••••••n 11•••n 11n 11n 11inj nj j j i j j i nj j j i ==•=••111i n j n j j j i j j i n j j j i P x k x c x m =++∑∑∑==•=••111•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••n 2121•i ••i1m 12m 23m 3ii •i i Q q Dq T =∂∂+∂∂•1m 12m 23m 32222)2221k +2222•2221⎟⎠⎞+•x c jjj j q W δδ11x δ11P 111x P δ1x δ22P 33P 2⎟⎠⎞21221212212111••••122121221211123323212332321222•••••2332321233232122233323332333••••33323332333•••••••••321333322221321321321333322221321321000000003213213333222213213213333222210•1•1θv ••2θv •1•=1θ•2•=2θ22θ−+mg l 22θl +k Oθ222yk+=•••[][]{}[]{}{}P x k x c x m =++⎭⎬⎫⎩⎨⎧•••••••••n n i j j i i 1111•••nn i j j i i 1111in n i j j i i 1111i j刚度影响系数k i j 若系统各自由度的广义速度和广义加速度为零，除j i i j i 。
多自由度系统的振动模态分析
多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。
在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。
本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。
一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。
每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。
多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。
二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。
每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。
振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。
三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。
常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。
有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。
模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。
2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。
模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。
实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。
数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。
四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。
首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。
其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。
此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。
机械振动运动学第四章 多自由度系统振动(改)
或简写成
上式还可以简写成：
（4.21）
(4.20)
上式表明，在动力作用下系统产生的位移等于系统的柔 度矩阵与作用力的乘积。它也可写成：
（4.22） 柔度矩阵与刚度矩阵之间转换关系为：
（4.23）
上式说明，对于同一个机械振动系统，若选取相同的广 义坐标，则机械振动系统的刚度矩阵和柔度矩阵互为逆矩矩 阵。
可用矩阵形式表达为：
（4.48）
（4.49）
（4.50） （4.51） 将式（4.50）和式（4.51）代入式（4.48）和式（4.49） 中，得到机械系统的动能T和势能V的表达式分别为：
（4.52）
故得
（4.53） （4.54）
（4.55）
单自由度无阻尼系统在作自由振动时，其动能T和势能V （4.57） （4.58）
现在选取以下三组不同的广义坐标来分别写出振动系统 的运动作用力方程。
①取C点的垂直位移 yc和刚杆绕C点的转角c为广义坐标。 如图4.6（b）所示。
图4.6（b） 刚体振动系统广义坐标示意图 应用达朗伯原理，得出振动系统的运动方程式：
(4.62)
将上式写成矩阵形式：
（4.63）
上式中，刚度矩阵是非对角线矩阵，反映在方程组中，即 为两个方程通过弹性力项互相耦合，故称为弹性耦合。
为使系统的第 j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移 为零时，在第i 坐标上所需加的作用力大小。
现以图4.1所示的三自由度系统为例，说明确定影响系数和 系数矩阵的方法。
1、确定 及[k] 设 x₁ 1， x₂ 0，x₃ 0 则得到系统的刚度矩阵
2、确定 及[C] 设 设 设
得 C₁₁ C₁ C₂， C₂₁ C₂， C₃₁ ； 得 C₂₂ C₂ C₃;C₁₂ C₂;C₃₂ C₃ 得C₃₃ = C₃; C₂₃ = C₃; C₁₃ = 0
第4章多自由度系统的振动题解
习 题4-1 在题3-10中，设m 1=m 2=m ，l 1=l 2=l ，k 1=k 2=0，求系统的固有频率和主振型。
解：由题3-10的结果22121111)(l g m l g m m k k +++=，2221l gm k -=，2212l g m k -=，22222l gm k k += 代入m m m ==21，021==k k ，l l l ==21 可求出刚度矩阵K 和质量矩阵M⎥⎦⎤⎢⎣⎡=m m M 00；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=l mg lmg l mg l mg K 3 由频率方程02=-M p K ，得0322=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=mp l mgl mg lmgmp lmg B 0242222242=+-∴l g m p l g m p m l g p )22(1-=∴ ，lgp )22(2+= 为求系统主振型，先求出adjB 的第一列⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=l mg mp lmg adjB 2分别将频率值21p p 和代入，得系统的主振型矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=112)1(A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=112)2(A题4-1图4-2 题4-2图所示的均匀刚性杆质量为m 1，求系统的频率方程。
解：设杆的转角θ和物块位移x 为广义坐标。
利用刚度影响系数法求刚度矩阵k 。
设0,1==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2111,k k ，由平衡条件得到，222111a k b k k +=， a k k 221-=设1,0==x θ，画出受力图，并施加物体力偶与力2212,k k ，由平衡条件得到， 12k a k 2-=， a k k 222= 得作用力方程为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡0000312222221221x a k a k a k a k b k x m a m θθ由频率方程02=-M K p ，得031222222212221=----+p m a k ak a k p a m a k b k4-3 题4-3图所示的系统中，两根长度为l 的均匀刚性杆的质量为m 1及m 2，求系统的刚度矩阵和柔度矩阵，并求出当m 1=m 2=m 和k 1=k 2=k 时系统的固有频率。
机械振动学中的固有频率与振型分析
机械振动学中的固有频率与振型分析机械振动学是研究机械系统在受到外界激励作用下产生振动现象的一门学科。
在机械系统中，固有频率与振型分析是非常重要的内容，可以用来描述系统的动态特性和振动行为。
本文将介绍机械振动学中固有频率与振型分析的基本概念和应用。
一、固有频率固有频率是指机械系统在没有外界激励下自由振动的频率。
对于一个简单的振动系统，其固有频率可以通过运动方程的解析解求得。
固有频率是系统的固有特性之一，可以用来描述系统的动态响应特性和结构的刚度、质量、阻尼等参数。
在实际工程应用中，固有频率的计算对于系统结构设计和振动控制至关重要。
通过对系统的固有频率进行分析，可以避免共振现象的发生，减小系统动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。
二、振型分析振型分析是指对机械系统的振动模式和振动幅值进行分析和描述。
振型是指系统在特定频率下的振动模式，可以通过振动实验和有限元分析等方法得到。
振型分析可以提供系统的模态形式和振动幅值信息，有助于分析系统的受力情况和结构设计。
振型分析在工程实践中具有广泛的应用，可以用于评估系统的结构健康状况、辅助设计优化和振动控制。
通过对系统的振型进行分析，可以找到系统的薄弱环节和潜在问题，及时进行改进和优化，提高系统的性能和可靠性。
三、结语固有频率与振型分析是机械振动学中重要的内容，对于机械系统的设计和性能评估具有重要意义。
通过对系统的固有频率和振型进行分析，可以优化系统的结构设计，降低系统的动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解机械振动学中固有频率与振型分析的相关知识。
第2章——多自由度系统的振动——多自由度方程的建立
船体振动基础1第2章多自由度系统的振动第章多自由度系统的振一、引言二、两自由度系统的振动2上节课内容的回顾1.几个重要概念主振型第阶主振型第二阶主振型多自由度系统主振型，第一阶主振型，第二阶主振型基频，第一阶固有频率，第二阶固有频率,……主振动，模态个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P37)⎬⎫=++−=−++00)(2212111x k k x k xm x k x k k xm &&&&⎭)(2321222个自度系自上节课内容的回顾2.两个自由度系统的自由振动(P41-43)m &&⎭⎬⎫=++−=−++0)(0)(23212222212111x k k x k xm x k x k k x&&①假设简谐形式的解振动时，两个质量按相同频率和相位角作简谐振动。
()()⎭⎬⎫+=+=θωθωt A x t A x n n sin sin 2211上节课内容的回顾将简谐振动解代入运动方程式上节课内容的回顾解特征方程式的根，可以得到：上节课内容的回顾将特征值代入②的振幅A1和振幅A2，得到对应于和的振幅A1和振幅A2之间的两个确定的比值：21ω上节课内容的回顾⑥主振动的确定。
z 系统以某一阶固有频率按其相应的主振型作振动，z 称为系统的主振动(1)(1)⎫第一阶主振动为：()1111(1)(1)(1)22111111sin()sin()sin x A t xA t A t ωθωθβωθ=+⎪⎬=+=+⎪⎭第二阶主振动为：(2)(2)1122sin()x A t ωθ⎫=+⎪()(2)(2)(2)22222122sin()sin x A t A t ωθβωθ⎬=+=+⎪⎭z 系统作主振动时，各点同时经过静平衡位置和到达最大偏离位置，z 以确定的频率和振型作简谐振动。
上节课内容的回顾⑦一般情况下自由振动的通解。
并非在任何情况下系统都会作主振动形式的运动，一般情况下系统运动方程的通解为上述两种主振动的叠加：o在一般情况下，系统的自由振动是两种不同频率的主振动的线性组合，其结果不一定是简谐振动。
多自由度系统振动理论及应用
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
上一页
4多自由度系统的振动解析
A(i)为对应于 pi的特征矢量。它表示系统在以 pi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第 i 阶主振型， 也称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904
(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i )
(i ) A2
1
T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为 1，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
Mechanical and Structural Vibration
4.1 固有频率 主振型
4.1.2主振型
sin( pt )
i 1,2,3,n
p 2 MA A 0
LM
( M 1 I)A 0 2 p
1 I 2 p
特征矩阵Biblioteka 频率方程M1 I 0 2 p
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将pi值代入而求出.
Mechanical and Structural Vibration
于是，得到
第四章固有特性近似计算
kk k k
1
2
3
m mm m
1
2
3
解：在例4.1中已经求出：
m 0 0
M
0
m0
0 0 m
1 1 1
d
1 k
1 1
2 2
2 3
1 1 1
则：d
Байду номын сангаас
M
m k
1 1
2 2
2 3
其迹为： trdM6m
k
矩阵迹 的表示
符号
故：w12 trδ1M0.16m k7
实际
w2 1
0.198k m
例4.式3 中已E知J为一梁均的匀抗悬弯臂刚梁度的，第M一为阶梁固的有质频量率，lW为1梁长3。.515
4.1 瑞利（Rayleigh）能量法
结论：若假设的{A}接近于第一阶主振型{A(1)}，由瑞利能量法
计算出来的w2确实接近于第一阶固有频率的平方值w12，而且比 实际值大（此即所谓的上限估值）。 证明如下：
对于n自由度系统存在n个特征值 wi2， 对应有n个特征矢量 {AN (i)}(设已经正则化），它们是相互线性独立的，可以构成n维
w2 RA0.21k4 w2 RA0.20k0
I
m
II
m
第三个假设振型{A}=[3 5 6]T ：相当在各质量上沿坐
标方向同时作用一单位力时三个质量的静态位移的相对
值。
w2 RA0.20k0 w2 RA0.19k8
I
m
II
m
实际振型{A(1)}=[0.455 0.801 1.000]T
实际 w2 0.198k 第三种假设振型与实际最接近，其第二瑞
1
理论力学实验报告指导答案
理论力学实验报告指导答案实验一振动测试系统组成及基本仪器使用方法1—底座； 2—支座； 3—二（三）自由度系统； 4—薄壁圆板支承螺杆；5—固定铰；6—非接触式激振器；7—薄壁圆板；8—电动式激振器；9—电机压板；10—偏心电机；11—加速度传感器；12—简支梁；13—活动铰；14—悬臂梁；15—圆支柱；16—质量；17—调压器； 18—电动式激振器支座； 19—ZK-4JCZ型激振测振仪；20—信号源； 21—计算机及虚拟仪器库； 22—打印机图1 实验装置与结构框图传感器1输入传感器2输入一道振动幅值二道振动幅值频率/功率显示值频率，周期，灵敏度调节一道，二道增益及测试方式状态设置选择及参数选择旋扫频选择方式选择灵敏度选择显示选择功率输出选择功率幅度调节信号源调节功率输出B 道功率输出A 道信号源波形输出ZK —4JCZ 型激振测振仪功能分布图ZK-4JCZ 型激振测振仪是一种多功能测量仪器。
它包括信号源、功率放大器及两个配接加速度计的测量通道，可对振动的加速度、加速度或位移进行测量。
实验二简谐振动幅值测量一、实验目的1. 了解振动信号位移、速度、加速度的关系。
2. 学会用压电式加速度传感器测量简谐振动的位移、速度、加速度幅度。
二、实验装置与仪器框图实验装置与仪器框图见图（1）图（1）实验装置与仪器框图四、实验方法1. 激振信号源输出端接电动式激振器，用电动式激振器对简支梁激振。
2. 用加速度传感器拾振，加速度传感器的输出接测振仪。
3. 开启激振信号源的电源开关，对系统施加交变正弦激振力，使系统产生振动，调整信号源的输出调节开关便可改变振幅大小。
调整信号源的输出调节开关时注意不要过载。
4. 分别用测振仪的位移X、速度V、加速度A各档进行测量和读数。
五、实验报告1. 实验数据表12. 根据位移X，按公式（2）计算速度V、加速度A。
3. 根据速度V，按公式（2）计算位移X、加速度A。
4. 根据加速度A，按公式（2）计算位移X、速度V。
基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算
基于Matlab的多自由度系统固有频率及振型计算阅读：25212010-04-13 21:38标签：杂谈可参考文涛，基于Matlab语言的多自由度振动系统的固有频率及主振型计算分析，2007对于无阻尼系统[VEC,VAL]=eig(inv(A)*K)对于有阻尼系统，参考振动论坛计算程序输入M，D，Kfunction [v,w,zeta]=vbr_sf(m,d,k)%vbr_sf vbr_sf(m,d,k)% [v,w,zeta]=vbr4(m,d,k)% function vbr_sf finds the mode shapes and natural frequencies of% a linear second order matrix equation. 有阻尼二阶矩阵方程% [v,w]=vbr_sf(m,k) finds the mode shapes and natural frequencies % for the undamped case.if nargin==2k=d;[v,w]=eig(m\k);w=sqrt(w);endif nargin==3if norm(d/m*k-k/m*d) < 1e-8*norm(k/m*d)%disp('Damping is proportional, eigenvectors are real.')[v,w]=eig(m\k);w=sqrt(w);zeta=(v'*m*v)\(v'*d*v)/2/w;else%disp('Damping is non-proportional, eigenvectors are complex.') a=[0*k eye(length(k));-m\k -m\d];[v,w1]=eig(a);w=abs(w1);zeta=-real(w1)/w;endendw=diag(w);zeta=diag(zeta);振动系统的特性包括固有特性，固有特性一般指的是没有激励对应数学齐次方程的特征，也就是特征解，包括特征值（物理上常称固有频率）和特征向量（物理上常称振型）。
多自由度体系的固有频率与主振型-7
11 16 11
7 1 11 9
2
1
1
2
1
1
1
ΦΦ12 Φ3
0 0 0
令 1 m 2
9
11
7
22
32
22
7 11
ΦΦ12
0 0
9
Φ3
0
由特征矩阵行列式为零，得特征方程
3 50 2 124 56 0
1 47.4094 2 2 3 0.5906
(i)
i 2n n
k m Φ k m Φ k m Φ n11
2
(i
i n1n1 n-1
n11n
2
(i)
i n1n n
解方程
Φ(i 1
)
(Φn(i
)
)、Φ ( i 2
)
(Φn(i
)
)、Φn(i )1
(Φn(i
)
)
对应固有频率ω i
1
1
举例 三自由度梁弯曲的固有频率与主振型
1
1
1
1.43
1
0.7
1
1
Φ(1) Φ(2) Φ(3)
系统的质量矩阵与柔度矩阵
m
M
2m
m
振动方程
δMx x 0
9 11 7
δ 11
16
11
7 11 9
令主振动为
x Φsin(t )
l3
768EJ
9 mδ 11
x3
m 2k
1
1
1
2
1
Φ(1)
1
Φ(2)
1
Φ(3)
1
系统的质量矩阵和刚度矩阵
4.2多自由度系统的固有频率与主振型
同样的，将 代入式（4-23），可得
将 代入式（4-23），可得
矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式：
（4-24）
其中， 是实数方阵， 是特征矢量， 是特征值。在大多数算法中还假设 是对称阵。
显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是 还是 一般都不是对称阵。为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
（4-36）
例4-7设图4-1所示三自由度系统中有 ， ， 。试将系统矩阵化为对称阵。
解：系统的柔度矩阵与质量矩阵分别为
，
故系统矩阵 为非对称阵：
因为这时 为对角阵，所以有
按式（4-36）进行变换，有
所得 已是对称阵。
矩阵特征值问题属于线性代数的一个专题。已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著及手册。
（4-18）
它有非零解的条件为
（4-19）
（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于 的 次代数方程：
（4-20）
它的 个根 成为系统的特征根，亦称矩阵 的特征值。特征值 与系统固有频率 之间有如下关系：
（4-21）
一般说来， 次代数方程的 个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的 ，有
4.2 多自由度系统的固有频率与主振型
一、固有频率和主振型
上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程：
多自由度体系的固有频率与主振型-6
2-2多自由度体系的固有频率与主振型主要问题2-2-1多自由度系统的固有频率与主振型2-2-3主坐标与正则坐标2-2-4固有频率相等的情形2-2-5固有频率为零的情形2-2-2主振型的正交性2-2-1多自由度系统的固有频率与主振型主振动n 个自由度系统的自由振动方程0x K xM =+ 设系统存在某种同步运动)(t f Φx =⇩各广义坐标的运动幅值不同⇩各广义坐标随时间变化规律相同[]Tn ΦΦΦ 21=Φ为常向量0ΦK ΦΦM Φ=+)()(t f t f T Tλ==-ΦM ΦΦK ΦT T t f t f )()( λ为常量≥>ΦK ΦΦM ΦTT非负数，令2ωλ=正定系统0>ω半正定系统=ω)()(2=+t f t f ω 解方程⎪⎩⎪⎨⎧=+>+=00)sin()(ωωϕωbt a t a t f a 、b 、φ——积分常数)sin(ϕω+=t Φx )(b t a +=Φx 半正定系统的同步运动形式正定系统的同步运动形式以上同步运动均称为主振动固有频率与主振型0x K xM =+ 假设方程的通解为)sin(ϕω+=t Φx 假设系统偏离平衡位置作自由振动时，各广义坐标x i 均按同频率和同相位作简谐振动M ΦΦK =-2ω0M K =-2ω0ΦM K =-)(2ω齐次方程组存在非零解Φ的充要条件=---------nnnn n n n n nn nn m k m k m k m k m k m k m k m k m k 222212122222222212211211221211211ωωωωωωωωω特征行列式展开行列式为一个关于ω2 的n 次多项式，称之为特征方程222210nωωω≤≤≤< 2i ω为特征根（特征值）仅取决于系统本身的质量和刚度i ω称为系统的第i 阶固有频率半正定系统（K 为半正定矩阵）正定系统（K 、M 均为正定矩阵）系统的全部固有频率均为正实数系统存在零值固有频率0ΦM K =-)(2ω0ΦM K =-)(2)(i iωiω特征向量（满足齐次方程组的非零向量）单根方程组中有且只有一个方程不独立()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++-+-=-++-+-=-++-+-=-++-+-------00)(n2)(2222)(1121)(n 1211)(212212)(111211)(n222)(222222)(121221)(n 121)(212212)(111211i nn inn i n i n i n in i n n i n n i n i n i n i n i n in i ii ii n i n i i i i Φm k Φm k Φm kΦm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k ωωωωωωωωωωωω()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-++---=-++---=-++-------------)(n 1211)(1-n 11211)(111211)(n 222)(1-n 12212)(121221)(n121)(1-n 11211)(111211i n n i n n i n n i n n i n i n i n i n i n i n i i i n in i n in i iΦm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k Φm k ωωωωωωωωω )(、)(、)()()(1)()(2)()(1i n i n i n i i n i ΦΦΦΦΦΦ- 解方程⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=Φ-)()()(1)()(2)()(1)()()()(i n i n i n i n i i n i i ΦΦΦΦΦΦΦ 对应固有频率ωi 的振幅间的比例关系——振幅比⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=Φ-1)(1)(2)(1)(i n i i i ΦΦΦ 取1)(=i n Φ归一化)sin()(i i i i t a ϕω+=Φx n 个自由度系统的第i 阶主振动系统各广义坐标以第i 阶固有频率ωi作简谐振动，即同时通过静平衡位置，同时到达各自的最大偏移位置)()(22)(11i nn i i Φx Φx Φx ==特征向量Φ(i )中的各元素为系统作第i 阶主振动时各广义坐标上振幅的相对比值系统作第i 阶主振动时具有一定的振动形态特征向量Φ(i )振动问题中，特征向量Φ(i )称为第i 阶主振型(固有振型、主模态)⇩确定系统的振动形态⇩未确定系统各坐标的振幅绝对值⇩仅取决于系统的物理参数（质量、刚度）n 个自由度系统具有n 阶主振型！n 阶主振动！系统振动方程的通解为)sin()sin()sin()()(222)2(111)1(n n n n t a t a t a t ϕωϕωϕω++++++=ΦΦΦx ∑=+=ni i i i i t a 1)()sin(ϕωΦ其中的2n个积分常数有初始条件确定对于位移振动方程0x xM δ=+ )sin(ϕω+=t Φx 主振动()0ΦI M δ=-λ21ωλ=0I M δ=-λ021>≥≥≥n λλλ 固有频率ii λω1=特征方程特征根讨论多自由度系统选择不同的广义坐标质量矩阵M 、刚度矩阵K(或δ)不同特征方程相同特征行列式的形式不同多自由度系统的固有频率是反映系统在平衡位置附近微振动时固有的物理性质系统的固有频率与主振型完全决定于系统本身的固有物理性质固有频率相同主振型的值不同对应不同的广义坐标！差异！不同坐标确定的系统各质点在同一阶主振动时具有相同的运动形态举例双自由度系统的固有频率与主振型x 1x 2kk2km2m系统振动方程⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡00322002121x x k k k k xx m m设主振动)sin(2121ϕω+⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧t ΦΦx x ①②①②1112⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002322122ΦΦm k kk m k ωω057-2231122=+=----αααα2ωαkm =)1(Φ)2(Φ特征根11=α 2.52=αmk =1ωmk 581.12=ω⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡--001111)1(2)1(1ΦΦ11=α令1)1(2=Φ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=11)1(Φ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002110.5)2(2)2(1ΦΦ5.22=α令1)2(2=Φ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=12)2(Φ举例三自由度系统的固有频率与主振型kk2kmm2kmx 2x 1x 321①②③11①②③11①②③11)1(Φ)2(Φ)3(Φ系统的质量矩阵和刚度矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m M ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k kk k k kk30203K 特征矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=m k k k m k k k m k 22230203ωωωH 2ωαkm =令=-------ααα310121013()()()0413=---ααα特征根11=α32=α43=αmk =1ωmk 732.12=ωmk 23=ω由特征矩阵的伴随矩阵求主振型()()()()()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------1323133313132311210132ααααααααααααadj ()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----13132ααα11=α32α43=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=121)1(Φ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=101)2(Φ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=111)3(Φ1.431①②③11①②③0.7①②③1)1(Φ)2(Φ)3(Φ11举例三自由度梁弯曲的固有频率与主振型系统的质量矩阵与柔度矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=δδδδδδδδδ91171116117119δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=m m m 2M EJl 7683=δ振动方程0x xM δ=+ 令主振动为)sin(ϕω+=t Φx ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0001111121911711161171193212ΦΦΦm δω令21ωδαm =⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---00092271132117229321ΦΦΦααα由特征矩阵行列式为零，得特征方程561245023=-+-ααα4094.471=α22=α0.59063=α318402.4mlEJ =ω325959.19mlEJ =ω330607.36mlEJ =ω()[]{}()()()()1132724291177242932⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-------=αααααH adj ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=11.42771)1(Φ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=101)2(Φ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=10.70041)3(Φ主振型关于质量矩阵和刚度矩阵具有正交性2-2-2主振型的正交性证明设系统固有频率ω 1和ω 2对应的主振型为Φ(1) 和Φ(2)()02=-ΦM K ω)(2)(i i i ΦM ΦK ω=)(2)(j j j ΦM ΦK ω=i ωj ω()()M ΦK ΦT)(2T)(i ii ω=)()(j j ΦΦ)(2)(j jj ΦM ΦK ω=()()T )(T )(i i ΦΦ()()0)(T)(22=-j i jiΦM Φωω()022=-ji ωωji ≠ji ωω≠ji =ji ωω=()0)(T)(=j i ΦM Φ()jp j i M =)(T)(ΦM Φ()0)(T)(=i i ΦK Φ()jp i i K =)(T)(ΦK Φ()0)(T )(=j i ΦM Φ()0)(T)(=i i ΦK Φ对应于不同固有频率的主振型之间，关于质量矩阵和刚度矩阵加权正交()jp j j M =)(T)(ΦM Φ()jp j j K =)(T)(ΦK Φ第j 阶主质量第j 阶主刚度jp j p i M K =2ω()()⎪⎩⎪⎨⎧===nj i K M j i j p j i j i j p j i ,,2,1,)(T )()(T )( δδΦK ΦΦM Φ)(i Φ[]=1Φ对于主振型)(j Φ)(i Φ)(j Φ[])()(T )(T )(1T 1j i j i ΦΦM ΦΦΦM Φ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(T )()(T )()(T)()(T )(j j i j j i i i ΦM ΦΦM ΦΦM ΦΦM Φ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=j p ip M M 00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=j p ip K K 001T1ΦK Φ对角矩阵！！！同理主振型正交性的物理意义设系统同时存在主振动)sin(i i i i t a q ϕω+=)sin(j j j j t a q ϕω+=系统的位移j j i i q q )()(ΦΦx +=[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=j i j i q q )()(ΦΦ系统的动能x M xT T 21=[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=j i T j i q q q q 1121ΦM Φ222121j j p i i p q M q M +=j i T T +=同理x K x T V 21=222121j j p i i p q K q K +=ji V V +=系统的动能（或势能）等于各阶主振动单独存在时系统的动能（或势能）之和T i 、V i 分别是仅存在第i 阶主振动时系统动能和势能ji V V V +=j i T T T +=另外222121i i p i i p i i q K q M V T +=+ [][]22)sin(21)cos(21i i i i p i i i i i p t a K t a M ϕωϕωω+++=)(sin 21)(cos 212222i i i i p i i i i p t a K t a K ϕωϕω+++=221i i p a K =对于保守系统的每一阶主振动，虽然其动能和势能在相互转换，但总和为常数。
第2章——多自由度系统的振动——固有振型
−μk (1+ μ)k
⎤ ⎥ ⎦
⎧⎩⎨uu12
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧0⎫ ⎩⎨0⎭⎬
k1 m1
k2
k3
m2
Mu&& + Ku = 0
(K −ω2M)ϕ = 0
有非零ϕ
ϕ1
=
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦
,
ϕ2
=
⎡−1⎤
⎢ ⎣
1
⎥ ⎦
det(K −ω2M) = 0
ω1 =
k, m
ω2 =
(1+ 2μ)k
m
u1
u2
k1
k2
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡1⎤
ϕr* = ⎢⎢−1／2⎥⎥
⎢⎣ 3／2 ⎥⎦
理解固有振型
② 按自由度中最大幅值归一化：
⎡2⎤
ϕr = ⎢⎢−1⎥⎥
⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡ 0.66 ⎤
ϕr* = ⎢⎢−0.33⎥⎥
⎢⎣ 1 ⎥⎦
特点：一眼可以看出某阶固有振动振动最大的部位
③ 按模态质量归一化
ϕr
ϕ
* r
=
ϕr
=
ϕ
T r
船体振动基础
1
第2章 多自由度系统的振动
一、引言 二、两自由度系统的振动
2
第三章：多自由度系统的振动分析
第6周 (2)：
1.理解固有振型
2.固有振型的正交性
3. 多自由度系统的自由振动 (P45) ¾ 多自由度系统的固有频率和振型
1、多自由度系统无阻尼自由振动方程式的一般形式： Mq&& + Kq = 0
M
21
A( i ) 1
+
多自由度系统各阶固有频率及其主振型的测定试.
实验四多自由度系统各阶固有频率及其主振型的测定试一、实验目的实际工程中的许多振动都可以简化抽象为由两个及两个以上的独立坐标来描述的振动模型。
这就是多自由度系统振动问题。
本实验对两个和三个自由度系统振动问题进行测试分析，主要目的：1、学会用共振法测定多自由度系统各阶固有频率的基本技术与方法。
2、了解和熟悉多自由度系统振动的各阶振型。
3、初步学会分析和处理理论解与实验结果之间误差的方法。
二、基本原理实验模型是将两个或三个集中质量钢块固定在钢丝绳上，用不同的重量的质量块G来调整钢丝绳的张力（见图4-1（a）所示），固定在钢丝绳上的集中质量钢块在铅垂平面内沿垂直方向运动时，钢丝绳的张力相当于一个弹簧，忽略钢丝绳的质量，则整个系统就可以简化为多自由度系统振动的力学模型（如图4-1（b）所示）。
( b)图4-1 多自由度系统振动及其简化力学模型振动系统有多少个自由度，从理论上讲就应当有同样多的固有频率。
如果振动系统受到简谐力的激励，系统发生振动，则振动响应是其主振型的叠加。
当激振力的频率与系统的某一阶固有频率相同时，系统就发生共振响应，这时候系统的振动响应就是这阶固有频率的主振型，而其它振型的影响可忽略不计。
因此，可以利用这种共振现象来判定多自由度系统的固有频率。
在测定系统振动的固有频率时，从低频到高频连续调整激振频率，当系统出现某阶振型且振幅最大时，此时的激振频率即为该阶固有频率，这样依此可找到系统的各阶固有频率。
n个自由度系统振动微分方程为（4-1）++FKXM =XCX式中：M为质量矩阵、C为阻尼矩阵、K为刚度矩阵、X为位移列向量、F为激振力列向量。
为了讨论n个自由度系统振动的固有频率和主振型，不考虑阻尼和外力，则其振动微分方程为（4-2）M =+XKX根据微分方程组和模态分析理论，假定系统的自由振动响应为),,2,1()sin(x i n i t i =+=θωφ （4-3）将（4-3）式代入（4-2）式得[]{}{}0 K M =+-φλ （4-4）式中：λ=2ω。
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4.2 多自由度系统的固有频率与主振型自由振动微分方程：
设它为：
可得如下主振型方程
（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以，可得
可化为
）可化为
）就有着相同的形式。
柔度矩阵之间存在着互逆关系，即有
或
两种系统矩阵之间有着互逆关系：
、柔度矩阵以及质量矩阵一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵和一般已不再是对称矩阵。
振型问题。
鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。
征方程。
对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程：
（4-20）的特征根，亦称矩阵的特征值。
特征值与系统固有频率之间有如下关系：
可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。
但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的，有
上述结论。
半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。
所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征
18），可求得各个相应的，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵的特征矢量。
这样，对于任何一个自由度系征矢量）。
统的特征矢量也可以从的伴随矩阵得出。
事实上，按逆阵的表示，有
中各列与充其量只相差一个常数乘子。
统中，有，。
求系统的主振型。
（4-23）中第三列正是取为基准的主振型：
23），可得
得
形式：
，是特征值。
在大多数算法中还假设是对称阵。
17）都具有（4-24）式的形式。
不过无论是还是一般都不是对称阵。
为了将它们化为对称阵，可进行如下坐标变换。
的实对称阵，它总可以分解为
转置阵。
）与（4-17），得
是对称阵，并且与系统矩阵有着相同的特征值。
事实上，是由对称阵经变换（4-27）得来的，按矩阵乘积的的转置规则，
（4-30）
阵经变换（4-30）得来的。
因为
有着相同的特征值。
不过，这时的特征矢量已不同于特征矢量，但如果求出后，就不难通过逆变换：
，对式（4-25）求逆，有
，式（4-32）可改写为
系统矩阵已是对称阵，且有
着相同得特征值。
换将大为简化。
这时有
为中对应元素的平方根；的元素分别为中对应元素的倒数。
从而有
统中有，，。
试将系统矩阵化为对称阵。
为
，
数的一个专题。
已经发展了许多有效的算法来求解各种形式的矩阵的特征值问题。
关于这一问题的详细论述，请读者参阅有关专著
交性。
这种正交性表现为关于质量矩阵与刚度矩阵的加权正交性，即当时，有
，
个与第个主振型，因而有
，
二式前乘以，然后两者相减，可得
）中的第一式得证；同理可证明其第二式。
取何有限值，式（4-38）恒成立，因而可取
，
，
包含一个任意常数乘子，因而可以选取归一化振型，使式（4-39）中各个都等于1，这时各个就等于。
/jp2009/04/wlkc2/dd04/4-2.htm。