第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

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第五届数学竞赛决赛试题及答案

第五届数学竞赛决赛试题及答案第五届数学竞赛决赛试题及答案一、计算下面各题，并写出简要的运算过程（共15分，每小题5分）二、填空题（共40分，每小题5分）1.在下面的“□”中填上合适的运算符号，使等式成立：（1□9□9□2）×（1□9□9□2）×（19□9□2）=19922.一个等腰梯形有三条边的长分别是55厘米、25厘米、15厘米，并且它的下底是最长的一条边。

那么，这个等腰梯形的周长是__厘米。

3.一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。

这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。

原来至少有__人已经就座。

4.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r。

a=__，r=__。

5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。

他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。

其中年龄最大的老人今年____岁。

6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。

那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。

7.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分。

那么得分最少的选手至少得____分，至多得____分。

（每位选手的得分都是整数）8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。

那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。

三、解答下面的应用题（要写出列式解答过程。

列式时，可以分步列式，可以列综合算式，也可以列方程）（共20分，每小题5分）1.甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。

现由甲工程队先修3天。

余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。

问：甲、乙两个工程队每天各修路多少米？2.一个人从县城骑车去乡办厂。

全国大学生数学竞赛试题及答案

河北省大学生数学竞赛试题及答案一、(本题满分10 分) 求极限))1(21(1lim222222--++-+-∞→n n n n nn 。

【解】 ))1(21(1222222--++-+-=n n n n nS n因21x -在]1,0[上连续，故dx x ⎰102-1存在，且dx x ⎰12-1=∑-=∞→-121.)(1lim n i n n n i ，所以，=∞→n n S limn dx x n 1lim-112∞→-⎰4-1102π==⎰dx x 。

二、(本题满分10 分) 请问c b a ,,为何值时下式成立.1sin 1lim 220c tdt t ax x x b x =+-⎰→【解】注意到左边得极限中，无论a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有0=b，当0=b 时使用洛必达法则得到2202201)(cos lim1sin 1lim xa x x t dt t ax x x x x +-=+-→→⎰，由上式可知：当0→x 时，若1≠a ，则此极限存在，且其值为0；若1=a ，则21)1(cos lim 1sin 1lim 22220-=+-=+-→→⎰xx x t dt t ax x x x b x ，综上所述，得到如下结论：;0,0,1==≠c b a 或2,0,1-===c b a 。

三、(本题满分10 分) 计算定积分⎰+=22010tan 1πxdxI 。

【解】作变换t x -=2π，则=I2220ππ=⎰dt ，所以，4π=I 。

四、(本题满分10 分) 求数列}{1nn-中的最小项。

【解】因为所给数列是函数xxy 1-=当x 分别取 ,,,3,2,1n 时的数列。

又)1(ln 21-=--x xy x且令e x y =⇒='0，容易看出：当e x <<0时，0<'y ；当e x >时，0>'y 。

第五届数学竞赛试题题库

第五届数学竞赛试题题库第五届数学竞赛试题题库包含了各种难度的数学题目，旨在测试学生的数学知识和解决问题的能力。

以下是一些精选的题目，涵盖了代数、几何、数论和组合等多个领域。

一、代数部分1. 解方程：\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]2. 化简表达式：\[ \frac{2x^3 - 3x^2 + x}{x - 1} \]3. 求多项式\[ P(x) = x^3 - 4x^2 + x - 6 \]的根。

二、几何部分1. 在直角三角形ABC中，∠A是直角，AB = 5，AC = 12，求BC的长度。

2. 圆的半径为7，求圆的面积。

3. 已知三角形ABC的周长为36，且AB = 12，AC = 14，求BC的长度。

三、数论部分1. 找出所有小于100的质数。

2. 计算\[ 2023! \]的末尾零的个数。

3. 证明：如果\( n \)是正整数，那么\( n^2 + 3n + 4 \)不能是质数。

四、组合部分1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，求将所有球放入盒子中的不同方法数。

2. 一个班级有15个学生，需要选出一个5人的委员会，求不同的委员会组合数。

3. 从8个不同的数字中选择3个数字组成一个不重复的三位数，求可能的组合数。

五、逻辑推理1. 一个班级有5个学生，A、B、C、D和E，他们中只有一个人是数学竞赛的冠军。

A说：“我不是冠军。

”B说：“C是冠军。

”C说：“D 是冠军。

”D说：“E是冠军。

”E说：“B是冠军。

”如果只有一个人说真话，谁是冠军？2. 一个岛上有红眼睛和蓝眼睛的人，他们不知道自己的眼睛颜色。

如果一个人知道了自己的眼睛颜色，他必须在第二天离开岛屿。

一天，一个旅行者告诉岛上的人，至少有一个红眼睛的人。

旅行者离开后的第二天，发生了什么？六、应用题1. 一个农场主有一块长方形的土地，长是宽的两倍。

如果这块土地的面积是800平方米，求这块土地的长和宽。

2. 一个水箱开始时有20升水，每小时流入5升水，同时每小时流出3升水。

全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)

一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；（2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1Λ=+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++L 其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

全国大学生数学竞赛第五届试题

专业：考生座位号：线所在院校：封密准考证号：姓名：第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2013）考试形式：闭卷考试时间： 150 分钟满分： 100 分.注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 一、（本题共4小题，每小题各6分，共24分）解答下列各题. (1) 求极限 (lim 1sin n n →∞+. (2) 证明广义积分sin 0x dx x +∞⎰不是绝对收敛的. (3) 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定, 求()y x 的极值. (4) 过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线, 使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：二、（本题12分）计算定积分2sin arctan d 1cos x x x e I x x ππ-⋅=+⎰.三、（本题12分）设()f x 在0x =处存在二阶导数，且0()lim 0.x f x x →= 证明：级数11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛.四、（本题10分）设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明 2sin ()d b a f x x m ≤⎰.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：五、（本题14分）设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型曲面积分 ()()()33323I x x dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰. 试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值.六、（本题14分）设22()()a a C ydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.专业：考生编号：线所在院校：封密准考证号：姓名：七、（本题14分）判断级数∑∞=+ ++++1)2)(1(1211nnnn的敛散性, 若收敛，求其和.。

第五届全国大学生数学竞赛非数学类决赛试题及答案详解

T 1 T T T T T T T 1 T
（2 分）
所以 ( P ) ABP PQ QP (QP ) (QP ) ，即 ( P ) ABP 是正定矩阵. （2 分）所以矩阵 ( P ) ABP 的特征值全为正实数，而 AB 相似于 ( P ) ABP ，所以 AB 的特征值全为正实数。所以 AB 为正定矩阵.
2
当
1 2 时，有 f (4) ( ) f (4) ( ) 3 3
令 h 0 ，注意到 x, x ，有 f (4) ( x) 0 ，从而 f 是不超过三次的多项式. （3 分）三、（ 12
1 时 , 分）设当 x
可微函数
fx () 满足条件
0
1 1 2 1 2 sin 2 x xf ( x)dx x 2 f ( x) x 2 f '( x)dx x 2 2 dx 2 2 0 2 0 x 0
（3 分）
1 2 2 sin xdx . 2 0 2
（2 分）
2 设 f (x) 是 [0,1] 上的连续函数，且满足
0 1 1
1
f ( x, y ) dx . x
（3 分）
调换积分次序后可得 I (1 x)dx
0

f ( x, y ) dy . x 0
y 1
（2 分）
f ( x, 0) f ( x, y ) 0 , 从而 (1 y ) 因为 f ( x,0) 0 所以 x x
明I
A . 4
证 . I dy f ( x, y )dx dy f ( x, y )d (1 x) . 对固定 y , (1 x) f ( x, y) x 0 0 ，由分

2013年全国大学生数学竞赛河南赛区复赛(数学类)参考答案与评分标准

第五届全国大学生数学竞赛河南赛区复赛试卷（数学类，2013）参考答案与评分标准一、填空题（每小题5分，共25分） 1、()0,0,0；解：设12,l l 公垂线l 的方向数为(),,αβγ=τ，则由题意可得：()1,1,00-⋅=τ，即0αβ-=和()1,1,00⋅=τ，即0.αβ+=由上述两个方程可得0.αβ==故l 的方向数为()0,0,γ=τ，其中γ为非零常数. 由此可知，12,l l 的公垂线l 就是z 轴，因此它在xoy 平面的投影为()0,0,0. 2、449e -；解：当 0x →时，有()()()()()()()()()()()()()11123455223442233345322455ee e1111e 112!13!14!15!11e 11121111111624120e x xxf x x x x x x o x x x x x x x x x x x o x x x x x o x x x x o x x x o x x o o x -++==⋅⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+-+-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡=--+-+++-+-+⎣⎤--+++-+-++⎦=()()5555111216120499e ,120x o x x o x ⎡⎤⎛⎫+----++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以 ()()549905!499e.120f ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭3、a ；解：由 ()lim x f x a →∞=知，0,0X ε∀>∃>，当x X >，有().2f x a ε-<而()()()()()()()()()()110001d d d 11d d .nX nXf nx x a f nx a x f x a xn f x a x f x a x n X n n -=-=-=-+->⎰⎰⎰⎰⎰注意到()f x 在[]0,X 上有界，设为()f x M ≤，则()()()()()1011d d d 12.2X nX f nx x a f x a x f x a xn n X X M a n n X M a n εε-≤-+-⎛⎫≤++-⋅ ⎪⎝⎭≤++⎰⎰⎰ 固定X ，对上述0ε>，0N ∃>，当n N >时，有()2X M a n ε+<，所以 0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，有()10d .f nx x a ε-<⎰4、1；解：一方面，()()135213521112462242222n n n x n n n n⋅⋅--==⋅⋅⋅⋅>⋅⋅-. 另一方面，135212462246235721n n nx n n -=⋅⋅⋅⋅<⋅⋅⋅⋅+，所以 21352124621.24623572121n n n x n n n -⎛⎫⎛⎫<⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 综上，有12n x n <<，即<< 从而 1.n =5、11a n=. 解：由*T A A =和1*1A A A-=可得：1*111T T I AA A A A A AA A A A-==⋅=⋅=，其中A 是A 的行列式，I 是n 阶单位阵.比较上式两端左上角的元素，并注意到已知条件，得：11a =又由1*n T A A A A-===，可得1A =，故11a n=. 二、解：第一方程与a 的数量积减去第二方程与b 的数量积得：()()()(),,,,,,0-=+=a c b d a b y b a y ；第一方程与b 的数量积加上第二方程与a 的数量积得:()()()(),,,,,,0,+=+=b c a d b a x a b x其中(),表示两向量的内积，(),,表示三个向量的混合积. 上面两个等式给出了方程组有解的必要条件，即()(),,0-=a c b d ，()(),,0.+=b c a d ---------------------------（1）（5分）下面证明条件（1）也是方程组有解的充分条件，并来解这个方程组.以a 左乘第一方程的向量积与以左b 乘第二方程的向量积相加得：()()()()()22,,,,-++⋅+⋅+⋅-⋅=⨯+⨯x a b a a x b a x b a y a b y a c b d .令()()()()()()222212,,,,,,C C +=-+=+a b a x b y a b b x a y 得1222;C C ⨯+⨯=-+++a c b dx a b a b ---------------------------（2）再以b 左乘第一方程的向量积与以a 左乘第二方程的向量积相减得：()()()()()22,,,,,-++-+-=⨯-⨯y a b b b y a a y a b x b a x b c a d由此得：2122.C C ⨯-⨯=-+-+a d b cy a b a b --------------------------（3）（8分）把（2）、（3）两式代入原方程组，并利用（1）式可知，对任意的12,C C ，由（2）、（3）两式所给出的解就是方程组的通解.这说明了（1）也是方程组有解的充分条件. （10分）三、解（1）用[]n P x 表示次数不超过n 的多项式全体.对任意()[]n f x P x ∈，令()()()D f x f x '=，则D 的值域为[]1n P x -，而D 的核为域F .由此可见，两者的交为F 而非{}0，所以它们的直和不等于整个空间[]n P x .（5分）证明（2）先证明：(){}100.W A -⋂=事实上，任取()10x W A -∈⋂，有0Ax =，且 1.si i i x b λ==∑ 两边作用A 可得：1.si i i Ax a λ==∑由于12,,,s a a a 线性无关，所以()01,2,,i i s λ==，即0.x =再证：对任意n y V ∈，必有12y y y =+，且()112,0.y W y A -∈∈事实上，当n Ay z AV =∈，则1.si i i z a β==∑ 令11si i i y b W β==∈∑，则1Ay z =.再令21y y y =-，则显然有12y y y =+，而且210Ay Ay Ay z z =-=-=，即()120.y A -∈（10分）四、证明：令 ()2211sin f x x x =-，则 ()3322cos .sin xf x x x'=- 于是 ()331cos 00,0,.sin 2x f x x x x x π⎛⎫'>⇔>⇔->∈ ⎪⎝⎭（5分）令 (),g x x =- 则 ()242331cos sin cos 1,3g x x x x -'=+- ()7334sin cos 0,0,.92g x x x x π-⎛⎫''=>∈ ⎪⎝⎭由此知()g x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故()()00.g x g ''>=于是知()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()()00g x g >=，从而()0f x '>.这样就有： ()()204l i m 1.2x fx f x f ππ→⎛⎫≤<=- ⎪⎝⎭（8分）注意到()()()22342240002244401113!lim lim limsin 113lim.3x x x x x x x o x f x x x x x x x o x x →→→→⎛⎫--+ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭== （10分）综上就完成了不等式的证明.五、证明：用数学归纳法证明之.当1n =时命题为真，事实上，由题设，总能找到[]1,a a b ∈，使得()10.f a ≠假设当n k =时命题为真，即[]()()()1,,,,..det 0,1,.k i j a a a b s t f a i j k ∃∈≠≤≤L （3分）当1n k =+时，考察矩阵()()()()()()()()()111111111,k k k k k k k k k f a f a f x f a f a f x f a f a f x +++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L L L记该矩阵为(),F x 将()det F x 按最后一列展开，注意到()()det 0,i j f a ≠可得形如 ()()1111k k f x f x λλ++++L 的展开式，其中()1,2,,i i n λ=是()()1,2,,i f x i n =L 相应的k 阶代数余子式.由归纳假设，10k λ+≠.注意到，()()()121,,,k f x f x f x +线性无关，因此，上面的展开式在[],a b 上不恒为零.（10分）六、证明：若0c =，则由条件（1）可知()0,0.f x x '=∀>进而有，().f x K ≡再由条件（2）知，0.K =此时结论成立.（2分）设0.c >对00x >及0x x ≥，由微积分基本定理，有()()()()()00000d d d ,xxx x xx f x f x f t t f t tc ct x x t x ''-=≤≤≤-⎰⎰⎰即()()()()0000,,.cf x f x x x x x x x ≥--∀∈（i ）下面证明：0X ∃>，当x X >时，成立().f x c < （ii ）用反证法.假设使得（ii ）的X 不存在，则对n ∀∈+N ，n x n ∃>，使得().n f x c ≥由（i ）知，()()()()()11,,n n nn n n n cf x f x x x x f x x x x x T ≥--⎧⎫=--∀≥⎨⎬⎩⎭其中().n n nn x f x T x c ≥ 于是，有()()()()()0221112d d 1d 20.888nn n n n x x x n x x n nnnn n n n n x f x x f x x f x x xx x x x f x f x x cx ⎧⎫⎛⎫≥≥--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭=⋅=≥>⎰⎰⎰这与()01limd 0nx n nf x x x →∞=⎰矛盾.因此，使得（ii ）成立的X 的确存在. （7分）现在对0,x X ∀>由（ii ）知，()0f x c <，此时()000.x f x T x c<于是，由（i ），有()()()()()()()()000020000200002000d d d 122,22x x Tx Tx x cf x x f x x f x x x x x c cT T f x T T f x x x x f x Tf x c++⎛⎫≥≥-- ⎪⎝⎭⎛⎫≥-⋅=- ⎪⎝⎭==⎰⎰⎰即()()0220004d ,.2x c f x f x x x X x ≤∀>⎰或改写成()()122040d t,.2xc fx f t x X x ⎛⎫≤≤∀>⎪⎝⎭⎰ 由条件（2），利用两边夹定理可得结论.（10分）七、证明：（1）设()0A B X +=的解空间为W ,由已知条件知：(),R A n l =-()R B n m =-，则()()()(),R A B R A R B n l n m n l m n n +≤+=-+-=-+-<即 d i m()0W n R A B =-+>所以()0A B X +=必有非零解. (5分) （2）设0AX =，0BX =的解空间分别为12,W W ，由已知条件知，12dim , dim W l W m ==，显然有：12.n W W P +⊆ （i ）12,W W α∀∈由于0AX =与0BX =无公共非零解向量，则0α=，所以 1212W W W W +=⊕，故1212dim()dim dim .W W W W l m n +=+=+= （ii ）由（i ）、（ii ）知，12n W W P ⊕= ，即n P 中任一向量α可唯一地表示为αβγ=+，其中,βγ分别是0AX =和0BX =的解向量。

第五届全国大学生数学竞赛

n
2n 1 4n2
exp lim n ln 1 sin
n
2n 1 4n2
(2 分)
exp lim nsin
n
2n
1 4n2
exp lim
n
1 e4
n 2n 1 4n2
(2 分)
2 证明广义积分 sin x dx 不是绝对收敛的. 0x
证.
记 an
设 A f (a) ， B f (b) ，是 f 的反函数，则
(2 分)
0 ( y) 1 1 ， f (x) m
又 | f (x) | ，则 A B ，所以
(3 分)
bxBiblioteka ( y) Ba sin f (x)d x A ( y)sin y d y
(3 分)
1 sin y d y 2
Q C1 Q
,
n = (sin θ, cos θ). , P
P

Q
P = P (θ) . ,
−−→ −→ −−→ −→ −→ OP = OP + P P = OP − 2(QP · n)n.
(5 )
P
(
)
P (θ) = P = (2r(1 − cos θ) sin θ, r + 2r(1 − cos θ) cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2π.
x˜2
+
(r
−
R2 ).
4r
(15 )
:
:
:

1
5
( 10 ) n
B(t) n × 1
b(t)
=
b1(t) ...
,
bij(t), bi(t)
t
b(t)

第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案

第五届全国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案（非数学类， 2014 ）一、解答下列各题（本题共 28 分，每小题 7 分） 1. 计算积分22220sin xtxdx dt tππ⎰⎰解：交换积分次序得22220sin xt xdx dt t ππ⎰⎰22222000sin 1sin 2t t dt xdx tdt t ππ==⎰⎰⎰22014sin 2tdt π=⋅⎰12222ππ=⋅⋅=２、设f(x)是区间[0,1]上的连续函数，且满足1()1,f x dx =⎰求一个这样的函数f(x)使得积分1220(1)()x f x dx +⎰取得最小值。

解：101()f x dx =⎰1(f x dx =⎰ ()11211222201(1)()1x f x dxdx x ⎛⎫≤+ ⎪+⎝⎭⎰⎰ ()11212220(1)()4x f x dxπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰()1122204(1)()x f x dxπ⇒+≥⎰，取24()(1)f x x π=+即可。

３、设F(x,y,z)和G(x,y,z)有连续偏导数，雅可比行列式(,)0(,)F G x z ∂≠∂，曲线(,,)0:(,,)0F x y z G x y z =⎧Γ⎨=⎩过点0000(,,).P x y z 记Γ在xoy 平面上的投影曲线为Ｓ，求Ｓ上过点00(,)x y 的切线方程。

解：由两方程定义的曲面在0000(,,)P x y z 的切面分别为 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 000000()()()()()()0x y z G P x x G P y y G P z z -+-+-=上述两切面的交线就是Γ在P 0点的切线，该切线在xoy 面上的投影就是Ｓ过00(,)x y 的切线。

消去z-z 0,可得0000()()()()0x z x z P y z y z P F G G F x x F G G F y y --+--= 这里0x x -的系数是(,)0(,)F G x z ∂≠∂，故上式是一条直线的方程，就是所要求的切线。

2015年第五届大学生数学竞赛试卷 - 答案

第1页共5页2015年大学生数学竞赛试卷答案___________专业________班级学号________________ 姓名___________一、解答下列各题（本题满分共20分）1. （10分,每5分）()332300tan 13lim lim s in 3(1)x x x x x xx x x x x ο→→++--== （2）求极限21/sin 02cos lim 3x x x →+⎛⎫ ⎪⎝⎭222221/sin 1/sin 001(cos 1)/3(/2)/362cos cos 1lim lim 133lim lim x x x x x x xx x x x x e e e→→---→→+-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===2. （10分）设函数3222, 1(), 1157, 1x x f x Ax Bx Cx D x x x -<-⎧⎪=+++-≤≤⎨⎪+>⎩试确定常数A,B,C,D 的值，使()f x 处处可导。

第2页共5页此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写此处不能书写……………………………………………装………………………………订…………………………线……………………………………………………1321121(10)lim(22)4(1).(1)(22)|2(1)()|(32)|32.(10)(10)12,(1)32(1) 5.x x x x f x f A B C D f x f Ax Bx Cx D Ax Bx C A B C f A B C D f f A B C f →--=-+=-=--+---=-=-=-+-+''''-=-==-=+++=++=-+-=+++=+=''=++==解:=43221232 5.{ -9/4, 3/4, 41/4, 13/4}.A B C D A B C A B C D A B C A B C D -+-+=-⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++=⎩====二、解答下列各题（本题满分共30分，每题10分）3.确定常数,a b R ∈，使2001lim2sin x x ax x →=-⎰。

最近五届全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)

目录第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 1 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ........................................................................................... 7 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 11 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷 ......................................................................................... 18 第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷 .. (23)（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=， v u uvu u u y x yx x yy x DDd d 1ln ln d d 1)1ln()(⎰⎰⎰⎰--=--++⎰⎰⎰⎰----=---=1021000d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u uu u u u u u u u v v uuv u u u u u ⎰-=12d 1u uu （*）令u t -=1，则21t u -=dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，⎰+--=0142d )21(2(*)tt t⎰+-=1042d )21(2t t t 1516513221053=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=2022d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=20d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A 。

全国大学生数学竞赛第五届答案

第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷评分细则一、(共4小题,每小题6分,共24分) 解答下列各题 .1. 求极限(lim 1sin nn π→∞+.解(()sin 1sin 2sinnπππ== (2分)原式lim1sin nn →∞⎛⎫=+ ⎝exp lim ln 1n n →∞⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎢⎥⎝⎣⎦(2分) explim n n →∞⎛⎫= ⎝ 14exp n e ⎛⎫== ⎝(2分)2 证明广义积分sin 0xdx x+∞⎰不是绝对收敛的. 证. 记()|sin |1n n n x a dx x ππ+=⎰, 只要证明0∞=∑n n a 发散. (2分) 因为 ()|sin |sin ()()()10112111n n n a x dx xdx n n n ππππππ+≥==+++⎰⎰. (3分) 而02(1)π∞=+∑n n 发散, 故0∞=∑n n a 发散. (1分)3. 设函数()y y x =由323322x x y y +-=所确定. 求()y x 的极值.解方程两边对x 求导，得222363'6'0x xy x y y y ++-= (1分) 故 22(2)'2x x y y y x +=-，令'0y =，得(2)0x x y +=0x ⇒=或2x y =-.将0x =和2x y =-代入所给方程，得211x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩和. (2分) 又22222201'0(2)(22'2)(2)(4'2)10(2)x y y y x x xy y x xy yy x y y x ==-=-++++-''==-<-，21'010x y y y =-==''=>. 故(0)1y =-为极大值，(2)1y -=为极小值. (3分)4．过曲线0)=≥y x 上的点A 作切线,使该切线与曲线及x 轴所围成的平面图形的面积为34, 求点A 的坐标. 解A t A 设切点的坐标为(曲线过点的切线方程为)y x t - (2分)00,2y x x t ==-令由上式可得切线与轴交点的横坐标 0S Ax t otA ∴=∆-平面图形的面积的面积曲边梯形的面积333144S t x t -=⇒=⎰，(1,1).A ∴的坐标为 (4分)二、 (12分) 计算定积分2sin arctan d 1cos xx x e I x xππ-⋅=+⎰.解 0220sin arctan sin arctan d d 1cos 1cos xxx x e x x e I x x x xππ-⋅⋅=+++⎰⎰2200sin arctan sin arctan d d 1cos 1cos xx x x e x x e x x x x ππ-⋅⋅=+++⎰⎰ (4分) 20sin (arctan arctan )d 1cos x x x x e e x xπ-=++⎰ 2sin d 21cos x xx xππ=+⎰ (2分) 220sin 21cos xdx xππ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰(4分)23arctan(cos )28x πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(2分)三、(12分)设()f x 在0x =处存在二阶导数(0)f ''，且0()lim0.x f x x→=证明：级数11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. 证由于()f x 在0x =处连续，且0()lim0x f x x→=，则 00()(0)lim ()lim0x x f x f f x x x→→==⋅=， (２分)0()(0)(0)lim 00x f x f f x →-'==-. (２分)应用罗比达法则，20()limx f x x →=0()lim 2x f x x →'=0()(0)1lim (0).2(0)2x f x f f x →''-''=- (３分) 所以0211lim(0)2n f n f n→⎛⎫⎪⎝⎭''=. (２分) 由于级数211n n∞=∑收敛，从而11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛. (3分)四、(10分) 设|()|,()0()f x f x m a x b π'≤≥>≤≤，证明2sin ()d baf x x m≤⎰. 证因为()0()f x m a x b '≥>≤≤，所以 ()f x 在[,]a b 上严格单增，从而有反函数. (2分)设 ()A f a =，()B f b =，ϕ是f 的反函数，则110()()y f x mϕ'<=≤'， (3分) 又|()|f x π≤，则A B ππ-≤<≤，所以()sin ()d ()sin d x y bB aAf x x y y y ϕϕ='===⎰⎰(3分)12sin d y y m mπ≤=⎰(2分)五、(１４分)设∑是一个光滑封闭曲面, 方向朝外. 给定第二型的曲面积分 ()()()33323I xx dydz y y dzdx z z dxdy ∑=-+-+-⎰⎰.试确定曲面∑, 使得积分I 的值最小, 并求该最小值. 解. 记∑围成的立体为V , 由高斯公式, ()()22222236933231VVI xy z dv x y z dxdydz =++-=++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰. (３分)为了使得I 达到最小, 就要求V 是使得2222310x y z ++-≤的最大空间区域, 即 {}222(,,)|231V x y z x y z =++≤. (３分) 所以V 是一个椭球, ∑是椭球V 的表面时, 积分I 最小.为求该最小值, 作变换//x u y v z w =⎧⎪=⎨⎪=⎩.则(,,)(,,)x y z u v w ∂=∂, 有()22222211v w I u v w dudvdw ++≤=++-⎰⎰⎰. (4分) 使用球坐标变换, 我们有()21221sin 15I d d r r dr ππϕθθπ=-=-⎰⎰⎰. (４分)六、(14分) 设22()()a a Cydx xdy I r x y -=+⎰, 其中a 为常数, 曲线C 为椭圆222x xy y r ++=, 取正向. 求极限lim ()a r I r →+∞.解.作变换()/()/x u v y u v ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩曲线C 变为uov 平面上的 22231:22u v r Γ+=, 也是取正向 (2分) 且有 2222x y u v +=+, ydx xdy vdu udv -=-, 22()()a a vdu udvI r u v Γ-=+⎰. (2分)作变换cos sin u v θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩,则有2vdu udv d θ-=22(1)2(1)220()(2cos /32sin )aa a a a d I r rJ πθθθ--==+⎰,其中2220(2cos /32sin )πθθθ=+⎰a ad J , 0a J <<+∞. (3分) 因此当1a >和1a <, 所求极限分别为0和-∞. (2分)而当1a =,2/212222t a n 442c o s /32s i n 2/32t a n 22d d d tJ t ππθθθθθ+∞====+++⎰⎰⎰. (3分) 故所求极限为0,1lim (),12,1a r a I r a a π→+∞>⎧⎪=-∞<⎨⎪-=⎩. (2分)七、(14分) 判断级数 ∑∞=+++++1)2)(1(1211n n n n 的敛散性, 若收敛，求其和. 解: (1) 记 1112n a n =+++，,,,,()()12312==++n n a u n n n .因为n 充分大时ln 111101112n n a dx n nx <=+++<+=+<⎰(3分)所以 3/21≤<n u n而 /3211∞=∑n n收敛，所以∑∞=1n nu 收敛. (2分)（2）(,,....)111122k a k k=+++= 1111112(1)(2)(1)(2)12n n nk k k n k k k a a a k S k k k k k k ===+++⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭∑∑∑1111222334112--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n aa a a a a a a nn n n (2分)()()()1213211111123412-=+-+-++--++n n n a a a a a a a a n n (2分) .()11111111122334122n n a a n n n n n ⎛⎫=++++-=-- ⎪⋅⋅⋅⋅-++⎝⎭ (2分) 因为ln 01n a n <<+ 所以2ln 120++<+<n n n a n 且 02ln 1lim=++∞→n nn . 所以02lim =+∞→n a n n . 于是 lim 1001n n S S →∞==--=. 证毕。

南昌大学第五届高数竞赛理工类试题及答案

南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题南昌大学第五届高等数学竞赛(理工类)试题答案一、1.12, 2. ()()0m n f x '+, 3. 2-, 4. 320x y z -++=,5. dx . 二、1、B 2、C 3、A 4、D 5、B三、由于()220,0lim0x y x y →→+=，sin1≤，因此()220,0lim0x y x y →→+==()0,0f ，所以()y x f ,在点()0,0连续. 2分()()()00,00,010,0lim lim sin 0x x x f x f f x x x→→-===， 3分同理()0,00y f =. 4分求得()222220;,0,0,x x x y f x y x y ⎧-+≠⎪=⎨⎪+=⎩5分当0,0x y →→时，(),x f x y 不存在，因此(),x f x y 在点()0,0不连续，同理(),y f x y 在点()0,0不连续. 6分0,0,00,0limx y z f x f y∆→∆→∆-∆-∆0,0limxy ∆→∆→=0于是()y x f ,在点()0,0是可微.8分四、原式=()440011sin cos 2sin x x dx dx x πππ+⎛⎫+ ⎪⎰ 3分=)1126分五、()()()()2222222111x yP yy y x y x y⎛⎫--∂∂==⎪⎪∂∂-+-+⎝⎭，()()()()()22222221111x x yQx y x y x y⎛⎫----∂∂==⎪⎪∂∂-+-+⎝⎭. 2分由格林公式得0L lPdx Qdy-++=⎰ ，于是L Pdx Qdy+=⎰ l Pdx Qdy+⎰ ，3分其中l为()2211x y-+=的正向，令1cosxθ-=，sinyθ=，则()222sin sin cos coscos sinI dπθθθθθθθ--=+⎰6分=22dπθπ-=-⎰7分六、设凸弧的方程为()y f x=，依题意得()()312x xx f t d t f x=-⎡+⎤⎣⎦⎰. 3分两边对x求导得261xy y x'-=--,即116y y xx x'-=--.通解为261y cx x=-+, 6分由()10y=得5c=.故所求曲线为2561y x x=-+. 7分七、)sinna n nππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=()1n-)sin n π =()1n-2, 3分当n 充分大时，级数1nn a∞=∑是交错级数.lim n→∞2sin=0，且当n 充分大时1n n a a +>，因此级数1nn a∞=∑收敛. 4分其次，考虑级数1nn a∞=∑，由于lim lim n n n a n n→∞→∞==22k π，因此级数1nn a∞=∑发散， 5分所以级数(1sin n ∞=∑条件收敛. 6分八、()()222F t z dv f x y dv ΩΩ=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ =()2222222220hhx y tx y t z dzdxdy dzf x y dxdy +≤+≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2分=()322203th t h d f r rdr ππθ+⎰⎰ 3分=()322023th t h f r rdr ππ+⎰, 5分()32223dF h t htf t dt ππ=+. 6分由罗毕达法则得()()()233200lim lim 20323t t tf t F t h h h hf t t ππππ→→=+=+. 7分九、令()2,u x y v xy ϕ=-=，122z xf y f xϕ∂'''=+∂, 2分 ()()()222211122222z xy f xf x y f xy f x yϕϕϕϕ∂''''''''''''=+-+-+∂∂. 7分十、因为2221i i i n n n i n nn n≤≤++ , 2分所以111121221i ii n n n n n n i i i i n n n n===≤≤++∑∑∑. 10111lim 22ln 2i nx n n i dx n →∞===∑⎰, 4分 11111lim 2lim lim 211ln 2i i nn n n n n n i i n n n n →∞→∞→∞====++∑∑, 6分由夹逼准得12222lim 1112n n n n n n n n n →∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭ =1ln 2. 7分十一、()()21112n n n n n ∞=--+∑=()0011122n n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑, 011212312n n ∞=⎛⎫-== ⎪⎝⎭+∑. 2分令()()22112nn n s x n n x ∞-=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑, 则 ()s x =()321422nn n x x ∞=''⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭∑， 4分 ()1s =()0141227nn n n ∞=⎛⎫--= ⎪⎝⎭∑， 6分 ()()20112nn n n n ∞=--+∑=242232727+= 7分十二、因为()f t 连续，()f t 也连续，所以由积分中值定理存在[]0,1ξ∈使()()10,01f t dt f ξξ=≤≤⎰. 2分又()()()x f x f f t dt ξξ'-=⎰，即()()()x f x f f t dt ξξ'=+⎰， 4分所以 ()()()()()x xf x f f t dt f f t dt ξξξξ''≤+≤+⎰⎰ 6分 ()()10f f t dt ξ'≤+⎰故()()()()10f x f t f t dt '≤+⎰.7分。

2013年第五届全国大学生数学竞赛试题(非数学)

得
分
评阅人封所在院校：
2 (1) 求极限 lim 1 sin 1 4n n

.
n

密
(2) 证明广义积分

0
sin x dx 不是绝对收敛的. x
(3) 设函数 y y( x) 由 x3 3x2 y 2 y3 2 所确定, 求 y( x) 的极值. 准考证号： (4) 过曲线 y 3 x ( x 0) 上的点 A 作切线, 使该切线与曲线及 x 轴所围成的平面图形的面积为
第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类，2013）
考试形式：专业：题满得号分分注意：1、所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 考生座位号： 2、密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记. 3、如当题空白不够，可写在当页背面，并标明题号. 线一、（本题共 4 小题，每小题各 6 分，共 24 分）解答下列各题. 一 24 二 12 闭卷三 12 考试时间： 150 四 10 五 14 分钟六 14 满分：七 14 100 总分 100 分.
得
分
三、（本题 12 分）设 f ( x) 在 x 0 处存在二阶导数，且
f ( x) 1 lim 0. 证明：级数 f 收敛. x 0 x n n 1
评阅人
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得
分
四、（本题 10 分）设 | f ( x) | , f ( x) m 0 (a x b) ，
r
lim I a (r ) .
考生编号：
所在院校：
姓名：
准考证号：
密
封