高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必修5

3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）

[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

知识点一基本不等式求最值

1．理论依据：

(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值

为s2 4 .

(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.

2．基本不等式求最值的条件：

(1)x，y必须是正数；

(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．

(3)等号成立的条件是否满足．

3．利用基本不等式求最值需注意的问题：

(1)各数(或式)均为正．

(2)和或积为定值．

(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．

(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．

知识点二基本不等式在实际中的应用

基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；

(4)作出结论．

题型一 利用基本不等式求最值

例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2

－4x ＋5

2x －4有( )

A ．最大值54

B ．最小值5

4

C ．最大值1

D ．最小值1

(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1

t

的最小值为____．

(3)已知x ，y ∈R ＋

，且满足x 3＋y

4＝1，则xy 的最大值为____．

答案 (1)D (2)－2 (3)3

解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋1

2（x －2）

＝12⎣⎢⎡

⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.

当且仅当x －2＝

1

x －2

，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t

－4≥2－4＝－2，

当且仅当t ＝1

t

，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，

∴y 的最小值为－2.

(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭

⎪⎪⎫x 3＋y 422

＝12·⎝ ⎛⎭

⎪⎫122

＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝3

2

，y ＝2时，等号成立，

∴xy 的最大值为3.

反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．

跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2

＋1ab ＋1

a （a －

b ）

的最小值是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1

y

的最小值为________．

答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2

＋1

ab

＋

1a （a －b ）＝a 2

－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）

＋ab ＋

1

ab

≥2＋2＝4.

当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝

2

2

时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y

y

＝3＋y x

＋2x

y ≥3＋2 y x ·2x

y

＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x

y

，

即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．

题型二 基本不等式的综合应用

例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，1

4，ln y 成等比数列，则xy ( )

A ．有最大值e

B ．有最大值 e

C ．有最小值e

D ．有最小值 e 答案 C

解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142

＝1

4

ln x ln y ，

∴ln x ln y ＝1

4

，

∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，

即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，x

x 2

＋3x ＋1

≤a 恒成立，求a 的取值范围．

解 设f (x )＝

x x 2＋3x ＋1＝1

x ＋1

x ＋3，

∵x ＞0，∴x ＋1

x

≥2， ∴f (x )≤15，即f (x )max ＝1

5，

∴a ≥1

5.

反思与感悟

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .

跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b

的等比中项，则1a ＋1b

的最小值为( )

A ．2

B ．4

C ．1 D.1

2

(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)1

8

解析 (1)由题意得，3a

·3b

＝(3)2

，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b

≥2＋2

b a ·a

b ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1

2

时，等号成立．

(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，