第3讲_光线传输矩阵
传输矩阵计算电场分布
传输矩阵计算电场分布
要计算电场分布，可以使用传输矩阵方法。
传输矩阵是一种用于描述光束在光学系统中传输过程的数学工具，它可以应用于电磁波的传输。
传输矩阵描述了光束经过一个光学元件（如透镜、衍射光栅等）后的变换关系。
对于电场分布来说，传输矩阵可以将初始的电场分布与光学元件之间的相互作用联系起来。
传输矩阵通常用一个2x2矩阵表示，记作M。
对于一个光学元件，其传输矩阵可以通过其折射率、厚度、曲率等参数进行计算。
如果有多个光学元件组成一个系统，可以将各个元件的传输矩阵相乘得到整个系统的传输矩阵。
对于一个初始的电场分布矢量E_in，通过与传输矩阵相乘，可以得到出射电场分布矢量E_out = M * E_in。
这样就可以计算出电场在光学系统中的传输和变换过程。
需要注意的是，传输矩阵方法是基于一些假设和近似条件的，例如，它适用于高频或平面波近似下的电磁波传输。
此外，在应用传输矩阵计算电场分布时，还需要考虑光学元件的非线性效应、衍射等其他影响因素。
综上所述，通过使用传输矩阵方法，可以计算电场在光学系统中的传输和变换过程，以获得电场分布信息。
1。
传输线矩阵解.
输线方程 一次特征参数
L，C
通解 二次特征参数
W LC ,
L Z0 C
边界条件 确定A１ ，A2
工作参数
, Z,
传输线一般解法
一、传输线段的矩阵解
在上面讨论中已给我们一个重要启示：传输线的 各种应用都可以归结为一段长度？为l的传输线段， 不管是短路、开路或任意负载。
传输线段起到变换的作用，而矩阵理论恰恰是表 征这种变换的最好数学工具。因此，产生了传输线 段的矩阵解思想。
C
U (l)
I
(l )
j
cos 1 sin Z0
jZ0 sin
cos
U (0)
I
(0)
(5-8)
方程(5-8)称为传输线段矩阵。可以说，只需记住这一
矩阵，即可给出大部分传输线公式。我们再一次注意
到推导矩阵(5-8)过程中没有利用任何边界条件。正因
(5-3)
L
dI dz
sJ(s)
I (0)
一、传输线段的矩阵解
I(l)
I(0)
U (l)
U (0)
zl
0
图5-1 传输线段坐标
代入式(5-2)，有
sV (s) jLI(s) U(0) jCV (s) sJ(s) I(0)
(5-4)
一、传输线段的矩阵解
jZ0
Xl
Z0
1
Xl Z0
tan tan
令，tanl
Xl Z0
即可导出
Z(z) jZ0 tan( l )
(5-12)
激光束传输与变换 第三讲
2
z const .
(1.4.29)
2 R( z )
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
对于一个点波源(0,0,a)所发出的球 面波,其相位因子为
exp( ikR) exp{ik [( z a) ]
2 2 1/ 2
}
(1.4.30)
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
式中p和q是光束的两个复参数，它们都是 z的函数。p表示复相移，q表示复曲率半 径。
1. 波动方程的基模解
将(1.4.4)式代入方程（1.4.3），可获得
z p i ln 1 q0
(1.4.10) (1.4.11) (1.4.12)
q z q0
q0 i
2 2
x
2 2
y
i 2k
z
0
(1.4.3)
1. Hermit－Gauss光束
• 利用
• 可获得
F
2
dq
i 1 1 1, , i 2 dz dz q q R dp
(1.5.2)
x
2
F
2
y
2
ik F ik F F 1 1 4 2 4 2 i 2k 0 x y 2 R x 2 R y z
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
波面的曲率中心到束腰的距离是
R( z ) z z0 z
2
(1.4.33)
因此,Gauss光束等相位面的曲率中心并 不是一个固定点,它随着光束的传播而移 动.
2. 基模Gauss光束的场分布及传输特点
(整理)传输矩阵法.
传输矩阵法一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。
如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。
传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。
(a)(b)图1 传输矩阵模型及电路模拟模型如图1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E 1。
M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。
图2 多层周期性交替排列介质传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用j M 表示第j 层的特征矩阵，则有：1 2 3 4 …… j …… N（1）其中， （2）j δ为相位厚度，有 （3）如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。
2. 传输矩阵法在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。
从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。
传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。
二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。
而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。
第3讲 典型激光器介绍及光线传输矩阵
能级
图
封离式CO2激 光器结构示意 图
12
3.1 典型激光器介绍
13
3.1 典型激光器介绍
▪ Ar+离子激光器
➢ Ar＋激光器一般由放电管、谐振腔、轴向磁场和回气管等几部分组 成。如下图所示为石墨放电管的分段结构 。
分段石墨结构Ar+激光器示意图
14
3.1 典型激光器介绍
15
3.1 典型激光器介绍
3、不同介质介面（平面）
ro ri 0
ro
0
1 2
ri
1
ro ro
0
0
1 2
ri ri
Байду номын сангаас
由近轴近似，折射定律可以写成
1 sin ri 2 sin ro 1 ri 2 ro
辐射不是基于原子分子或离子的束缚电子能级间的跃磁韧致辐射带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用会作加速运动从而产生辐射当速度接近光速的电子作圆周运动时将会辐射出光子由于这种辐射1947年在同步加速器上被发现的因而被命名为同步辐射synchrotronradiation切伦科夫辐射当电子在介质中运动时如果它们的速度比光在介质中的相速度大电子也会产生光辐射其波长随着电子速度而变化虽然光很弱但却是单色性很好的辐射光
➢ 谱线范围宽 ---目前有数百种气体和蒸气可以产生激光，已经观测到 的激光谱线近万余条，谱线覆盖范围从亚毫米波到真空紫外波段， 甚至 X射线、射线波段。
➢ 光束质量优---工作物质均匀一致保证了气体激光束的优良光束质量， 在光束的相干性、单色性方面优于固体、半导体激光器，如He-Ne 激光的单色性很高，Δλ很容易达到10-9～10-11nm，其发散角只有l～ 2毫弧度。
矩阵光学简介
0⎤ ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
M矩阵中只含有光学系统的参数，称为光学系统的特 性矩阵。
a K ' = Ma1
矩阵光学简介
n ' u '− nu =
n '− n h r
近轴光线的列向量表示
含光轴的平面内，任一近轴光 线可用该光线在参考面上的投 射高度h，以及它与光轴的夹 角u（即孔径角）来表示。为 了表明该光线所在的媒质折射 率n，将n与u的乘积作为一个 参数，称为光学方向余弦。 光线可用列向量a表示： a = ⎢
⎡ 1 ⎡ hK ' ⎤ ⎢ = ⎢ n ' u '⎥ ⎢ nK '− nK ⎣ K K ⎦ ⎢ r K ⎣
⎡ 1 M = ⎢ nK '− nK ⎢ ⎢ ⎣ rK
0⎤ ⎡ d K −1 ⎤ d1 ⎤ ⎡ 1 ⎡ ⎥ ⎢1 − n ' ⎥ ...... ⎢1 − n ' ⎥ ⎢ n '− n K −1 1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ 1 1 1⎥ ⎢ 1 ⎦ 1 ⎦ ⎥⎣ ⎢0 ⎥ ⎢0 ⎥⎢ ⎦ ⎣ ⎣ r1
⎡ 1 ⎡ h' ⎤ ⎢ ⎢ n ' u '⎥ = ⎢ n '− n ⎣ ⎦ ⎣ r
h = h'
n ' u '− nu =
0⎤ ⎥⎡ h ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎣ nu ⎦ ⎦
⎡ 1 ⎡ h' ⎤ ⎢ ⎢ n ' u '⎥ = ⎢ n '− n ⎣ ⎦ ⎣ r
0⎤ ⎥⎡ h ⎤ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎣ nu ⎦ ⎦
近轴光线的转面关系式， 2×2方阵只含有近轴球面的参 量，称其为近轴光线的转面矩阵，用T简记之。
d ⎤ ⎡ 1 − 1⎥ n1 ' T=⎢ ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣0 ⎦
传输线矩阵解
四、应用举例
［解］采用矩阵来求解
1 A 1 R 1 0 0 1 j 1 R j 1 0 2 1 j 1 0 R 1 1 2 R1 R2 1 1 R2 1 1 1 1 R1 R2 R1 1 1 R1
(5-11)
即全驻波任意状态，有
令，tan l
Xl Z0
即可导出
Z ( z) jZ0 tan( l )
(5-12)
这也体现了等效相位的思想。
一、传输线段的矩阵解
3. 式(5-8)是输入端用负载端表示。如果逆过来：负 载端用输入端表示，又有
cos U (l ) I (l ) j 1 sin Z0 jZ0 sin cos
则可知
U1 U 3 I [ AⅠ ][ AⅡ ] I 1 3
(5-15)
二、传输矩阵的普遍理论
推广到N个网络级联，则总的［A］矩阵等于各 ［A］矩阵依次乘积即
U1 I 1
I 1 U 1 N e t
U N [ Ai ] i1 I N 64 4.28442 1| | 7.35561 1| |
四、应用举例
［例2］如图电路表示双管电调pin管衰减器。求输入 驻波比为1时，R1和R2两只管子电阻的约束条件。
Zin=1
R1
Z0=1
R2
Zl=1
l/4
图 5-5
双管PIN电调衰减器
标准状态 短路或小电阻 Rl＜ Z 0
等效长度 z 附加相位 e
j 1 l 2
任意状态
Matrix Process Analysis
一、传输线段的矩阵解
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
第3讲_光线传输矩阵
一个曲率半径为R的球面反射 一个曲率半径为 的球面反射 镜对光线的作用相当于一个焦 距f=R/2的薄透镜 的薄透镜
3.2 复杂光学系统光线传输矩阵
• 例：求解通过长度为d的均匀介质后， 求解通过长度为d的均匀介质后， 再透过一个薄透镜的光线传输情况。 再透过一个薄透镜的光线传输情况。
1
rt,rt' ro,ro' ri,ri'
rt = ri + dri ' r ' = r ' i t
ro = rt ro ' = − rt + rt ' f
ro = ri + dri ' r ' = − ri + (− d + 1)r ' 1 i o f f
d 1 = 1 d − + 1 − f f
A = n D sin ϕ − sin( n − 1)ϕ C
B sin ϕ
n
Bn n D
从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间 从推导过程可以看出， 传输的传输矩阵与光线的初始位置无关， 传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可 以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。 以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为 由前述可知一个半径为R F=R/2的透镜 F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个 的透镜, 焦距分别为R /2和 /2，距离为L 焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透 镜波导， 镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反 射镜系统的稳定条件： 射镜系统的稳定条件：
第三章 高斯光束的光学变换
, ,
, ,
1 , 0 ,
Ln1 1 , n2 M7 n1 0 , n3 特例：当 n1 n3 1, n2 n时
1 , 0 1 , L x2 x2 0 , n2 0 , 1 2 2 n3 0 1 , 0 1 , L x1 n2 0 , n1 0 , 1 n3 n2 1 Ln1 1 , L 1 , 0 n2 x1 x1 n2 n1 0 , n1 1 n3 n2 2 0 , n3
1, x2 即 n2 n1 2 n R , 2
1, 即M 5 n2 n1 , n2 R
0 n1 n2
0 n1 n2
x1 1
（3 8）
（六）光线通过不同介质的平面折射 作为球面的特例，令式（3-8）中R→∝
（4）由公式：
（3 15 ）
求通过透镜变换后的高斯光束的W0和束腰位置d2。 （5）令 z dc d2 ，由步骤（1）
求dc处高斯束的参数WC和RC
第二种方法：高斯光束的q参数变换法
图3-12
方法一 步骤：
1．求输入高斯光束束腰的q参数： q(0) q0 i W02 /
则 2 ( 1 ) 2 1 x1 以 代入上式得： 2x R 2 1 1 R
x2 x1 则有 2 x1 2 R 1
1, x2 2 , 2 R
精简版---激光原理知识点+复习90题
T
A C
1 2L
B D
2 R1
R2
2 R2
1
2L R1
2 L1
L R2
2L R1
1
2L R1
1
2L R2
把条件 R1 R2 R L 带入到转换矩阵 T，得到：
T
A C
B D
1 0
0 1
共轴球面腔的稳定判别式子 1 1 A D 1
2
如果 1 A D 1 或者 1 A D 1 ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中 ，
(1)判断腔的稳定性; (2)求输出端光斑大小； (3)若输出端刚好位于焦距 f=0.1m 的薄透镜焦平面上，求经透镜聚焦后的光腰大小和位置。
解: (1)如图所示，等效腔长
L
'
a
b
0.44
m
0.1 m 1.7
0.5m
由等效腔长可得
：
g1 g 2
1
L' R1
1
L' R2
1
0.5 1
1
0.5
2
1
1.52 1
1.52
要达到稳定腔的条件，必须是 1 1 A D 1，按照这个条件，得到腔的几何长度为：
2
1.17 L1 2.17 ，单位是米。（作图）
11
4.4（夏珉习题 2.19 数据有改变）如图 2.8 所示，波长 1.06m的钕玻璃激光器,全反射镜的曲率半径
R=1m，距离全反射镜 0.44m 处放置长为 b=0.1m 的钕玻璃棒，其折射率为 n=1.7。棒的右端直接 镀上半反射膜作为腔的输出端。
第三章
光学谐振腔
光线传输矩阵学习笔记
ro’ ro
1 2
简单光学元件光线传输矩阵
4.不同介质介面(球面)
ro ri
ri R
ri '
'
ri R
ro '
2 ' 1
ro'
2 1 2R
ri
1 2
ri'
ro ro'
1
2 1 2R
0
1 2
ri ri'
ri’
ri
R
1
'
ro’ ro
2
简单光学元件光线传输矩阵
5.球面反射镜
1
rt,rt' ro,ro'
ri,ri'
rrtt
'
ri ri
'
dri'
ro ro'
rt
rt f
rt'
ro ro'
ri
dri' ri ( f
d f
1)ri'
1
d
2f 3
CA
B D
1 1
f
d d
1
1 1
f f
10
1 0
d 1
ri ri'
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
ri,ri’
ro,ro’ fri’
f 焦平面
简单光学元件光线传输矩阵
3.不同介质介面（平面）
1 sin ri' 2 sin ro'
1ri' 2ro'
ro ri
ro'
1 2
ri'
ro ro'
几何光学中的光线传输矩阵
0
1
1
0
1
L
1
2 R2
0
1
1
0
L
1
r1
1
A C
B D
r1
1
T
r1
1
傍轴光线在腔内完成一次往返总的变换矩阵为
T
A C
B D
1 2
R1
0 1
1 0
L
1
1 2
R2
0 1
1 0
L
1
TR1TLTR 2TL
A 1 2L R2
B 2L(1
L)
The sign of R is the same as that of the
一 光线传输矩阵
• 腔内任一傍轴光线在某一给定的横截面内都 可以由两个坐标参数来表征：光线离轴线的
距离r、光线与轴线的夹角。规定：光线出 射方向在腔轴线的上方时， 为正；反之，
为负。
• 光线在自由空间行进距离L时所引起的坐标
变换为
1 L
TL 0
1
球面镜对傍轴光线的 变换矩阵为（R为球 面镜的曲率半径）
otherwise.
三 共轴球面腔的稳定性条件
(mode stability criteria)
• 傍轴光线能在腔内往返任意多次而不横向逸 出腔外，要求n次往返变换矩阵Tn的各个元
素An、Bn、Cn、Dn对任意n值均保持有限
1 1 ( A D) 1 简单共轴
2
球面腔
0 (1 L )(1 L ) 1
二 腔内光线往返传播的矩阵表示
• 由曲率半径为R1和R2的两个球面镜M1和M2组 成的共轴球面腔，腔长为L，开始时光线从M1 面上出发，向M2方向行进
测量光学传输矩阵的方法
测量光学传输矩阵的方法说实话测量光学传输矩阵这事，我一开始也是瞎摸索。
我试过好多种方法，走了不少弯路才渐渐有点明白。
我最开始的时候，完全不知道从哪里入手。
就像在黑暗里找东西，到处乱撞。
我查了好多资料，按照一些书上说的老方法来做。
那方法看着很简单，就是调节一些光学仪器，然后记录数据，再计算。
可是我发现我做得一塌糊涂。
后来我才明白，是我对仪器的细节设置理解错了。
比如说那个调节光强的旋钮，我以为转一点点没什么差别，结果这一点点就导致数据完全不对。
这就好比你做菜的时候，盐放得稍微不对，整个菜的味道就不对了。
这算是我第一个失败的教训。
后来我又换了一种比较新的设置方法。
这个方法里要用好多个镜子和透镜来调整光路。
说实话，刚开始的时候那些镜子和透镜的位置可把我折腾死了。
光线一会儿强一会儿弱，而且方向也不对。
我就跟个无头苍蝇一样，不断调整镜子的角度。
我记得有一次因为一个镜子稍微歪了一点，整个光路就乱套了。
我当时就特沮丧，但是我也知道，做这个就得多尝试。
再之后，我开始注重每次调整后的数据记录。
光靠估计是不行的，一定要精确。
比如说光强的数值，以前我就大概写个数字，现在就得用精度高的仪器准确测量。
我发现只要这些基础数据准确了，后面计算光学传输矩阵就顺利很多。
不过我还得说，我现在对一些复杂的光路计算还是有点不确定。
但我目前的经验是，如果遇到光路交叉或者多次反射折射的情况，就把它拆分开来，一段光路一段光路地去分析。
这样虽然速度慢一点，但是不容易出错。
还有就是在参考别人的实验方法的时候，不能完全照搬。
因为每个实验室的仪器啊环境啊都有差别。
比在我之前参考一个国外的实验流程，他们那仪器的精度和我这的不一样，所以按照他们的方法做出来的数据不对。
后来我根据自己这儿仪器的具体情况，调整了一下参数，才慢慢有了正确的结果。
在这个不断尝试的过程中，我渐渐发现，测量光学传输矩阵没有一个一劳永逸的完美方法，很多时候就是要不断从错误中学习，从失败里去找可能成功的路。
3.1光学变换矩阵
1. 光学变换矩阵光学变换矩阵是指傍袖光线通过光学元件后，描述其传播特 性的参数发生变化的矩阵表达方法。
任何一条傍轴光线在某一给定横截面内都可以用两个坐标参数来表征，一个是光线离轴线的距离r,另一个是光线与轴线之间的夹角θ我们规定如下的符号规则：光线位置在轴线上方时r 取正,否则取负；光线的出射方向向上时θ取正，否则取负。
将两个坐标值组成的列向量称为光线在某一截面处的坐标向量。
通过光学元件后，坐标向量的变化可用下边的矩阵形式表示为式中， 为光学元件的出射截面处的光线坐标向量； 为光学元件的入射截面处的光线坐标向量；T 为该光学元件的光学变换矩阵，T = 是个2×2阶矩阵。
下边我们来讨论几种光学元件系统的光学变化矩阵。
1) 自由空间传播L 距离设光线出发时坐标为()11,θr ，传播L 距离后变为()22,θr 。
由图5.1.1容易得到:(3.1.1) 2θ对傍轴光线来说，1θ很小，有≈θtan 1θ。
故有:(3.1.2) 写成矩阵表达形式为:2121r r T θθ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡22θr 11r θ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A ⎩⎨⎧=+=12112tan θθθL r r ⎩⎨⎧=+=12112θθθL rr 图3.1.1 传播L 距离的光学变换矩阵(3.1.3) 因此，自由空间传播L 距离的光学变换矩阵为:(3.1.4) 2) 球面反射镜以凹面反射镜为例，设入射光线在镜面上的坐标为()11,θr ，出射光线在镜面上的坐标为()22,θr 。
如图3-1-2所示，O 为反射镜面曲率中心，A 为光线入射点，0A 为曲率半径，用R 表示，B 为镜面中心，OB 为镜面轴线，α为入射或反射线与A 点处镜面法线间夹角，β为 AB 所对圆心角。
由图可写出：(3.1.5) 式中， 和 为A 点到轴线的距离；1θ和2θ只代表大小，未考虑符号。
傍轴近似条件下，β为(3.1.6)将式（5.1.8）与式（5.1.7）中，考虑到图示情况下1θ取正、2θ取负，将2θ变号后可以得到：(3.1.7) 把式（5-1-6）与式（5-1-10）合在一起，得到球面反射镜的光学变换矩阵为： (3.1.8) 可以证明，此变换矩阵不仅适用于图5.1.2所示的入射光线 的情况，也适用于任何一种情况的入射光线。
2.0 ABCD光学矩阵
l1
环形腔
• 共轴球面镜腔 两反射镜为球面镜, 有共同光轴
凹面镜 R > 0; 凸面镜 R < 0; 平面镜 R＝∞
• 稳定条件: 几何偏折损耗
稳定腔 任何傍轴光线可以在腔内往返无限多次不会 逸出腔外 几何偏折损耗小 (低损耗腔)
非稳定腔 傍轴光线有限次反射后便逸出腔外 几何偏折损耗大(高损耗腔)
1
f R 2
薄透镜与球面反射镜等效
5.ABCD矩阵的应用－球面镜腔的往返矩阵 球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
r11 TLTR2TLTR1 r00
T
r00
A C
B D
r00
T
A C
B D
1 2
R1
10
1 0
0 L
1 2
R2
10
1 0
0 L
A 1 2L R2
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 R1
2 R2
2
2
2
适用任何形式的腔,只需列出往返矩阵就能判断其稳定性
稳定判据另一表达式
A 1 2L R2
D
2L R1
1
2L R1
1
2L R2
1 A D 1 2L 2L 2L2
2
R1 R2 R1R2
1< 1 A D<1
2
0
<
1
L R1
1
L R2
<1
g1 1 L R1 g2 1 L R2
0 < g1g2 < 1
0 < g1g2 < 1或g1 0, g2 0 稳定腔；
g1g2 > 1, g1g2 < 0 非稳腔； • 只适用于简单的共轴 g1g2 0，g1g2 1 临界腔 球面镜腔(直腔)
光线转换矩阵
物像矩阵： A = T S T
d e t A=1
x x xx x y ( S 21 S 22 S11 S12 )n11 ( S 22 S12 ) y n1 nm n1nm nm
在近轴条件时，y´与α1 应无关系，即自物 点发出的所有光线经系统成像后都会聚于对 应的像点上。
2 1 对于反射镜： n n 1, r f 1 1/ f R 0 1
二、过渡矩阵和系统矩阵
若一个光学系统由两个相邻的共轴单 球面组成，d21 为两单球面之间的距离。 入射光线 r1 出射光线 r 2 ´
P1 和 P2 的状态分别为 r1´和 r2
Q处的光线经过系统到 Q´时的矩阵转换， 只需按光线进行的前后将这两过渡矩阵依次 作用于系统矩阵，即
TQm ST1Q rQ rQ
m 1 0 S11 S12 1 0 n11 nm y y S S x / n 1 x / n 1 m 21 22 1 0 S11 ( x / n1 ) S12 S12 n11 1 y S ( x / n )S S x / n 1 m 1 22 22 21 S11 ( x / n1 ) S12 S12 n11 y S ( x / n ) S ( x / n ) S xx /( n n ) S S x / n S 1 22 m 11 1 m 12 22 m 12 21
S12
厚透镜：透镜的厚度 d21 不可忽略
S R2T21R1
0 1 1 1 2 1 0 1 0 1 d / n 1 21 1 1 2 1 0 1 d / n d / n 1 21 1 21 1 1d 21 / n 1 1 2 d 21 / n 2 d /n d / n 1 21 1 21
光子晶体传输矩阵PPT课件
end
figure(1) hold on plot(bo,Rfan,'k') box on
M=(M0)N
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2019/8/14
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%0一.3 维光子晶体特征矩阵特征矩阵
0.2
Rfan(j)=abs((M(1,1)*(yeta0)+M(1,2)*(yeta0)*(yeta0) …
-M(2,1)-M(2,2)*(yeta0)0).1./(M(1,1) …
*(yeta0)+M(1,2)*(yeta0)0*sqrt(yeta0) %…反射率
derta1=2*pi*na*ha./(bo*1e-9) %a介质中相位变化
derta2=2*pi*nb*hb./(bo*1e-9) %b介质中相位变化
num=length(bo);
for j=1:num
Ma=[cos(derta1(j)), -i*sin(derta1(j))./yeta1;-i.*yeta1.*sin(derta1(j)),cos(d
THANK YOU
2019/8/14
整个一维光子晶体的特征矩阵：
M=(M0)N
光子晶体周围材料的折射率设为n0 ，在这里我们只考虑 TE 波η0 = ncosθ
光在光子晶体中传播时的反射系数 反射率
光在光子晶体中传播时的透射系数 投射率
因此： 从以上方程可以看出，只要知道了一维光子晶体的特征矩阵中的每个元 素，就可以求出反射率和透射率。
光线转换矩阵
光线转换矩阵
一．光线的状态
光线的特征可以用其方向和线上一点的位置表示。
可用其相对于主光轴的角度表示其方向,
用线上一点到主光轴的距离表示该点的位置。
光线经过球面后,方向改变，上述角度和高度的数值
会发生改变。
二. 光线的矩阵表示
1.单球面的折射和反射
满足近轴条件，，，， ，
,注意，
，，为单球面的光焦度。
上述两式用矩阵表示,可写成
=。
其中=和=表示光线入射前后的状态，称为光线的
状态矩阵。
=表示折射球面的作用，称为折射矩阵。
对于反射球面，，
2.过渡矩阵
，
,为过渡空间的折射率；为过渡空间的长度。
=，=，称为过渡矩阵。
则, 。
为系统矩阵。
S为2×2矩阵，可表示为。
=
=
系统的光焦度
对于n个共轴球面系统，其系统矩阵一般可表示为。
三．成像矩阵的计算
=，=，
Q到P1处的过渡矩阵为
Pm到Q'处的过渡矩阵为
Q到Q'的光线的矩阵变换为
光线的变换用矩阵表示为
=
=
=
=
矩阵
=称为物像矩阵，
其行列式的值等于1。
近轴条件下,与无关，
（1）
物像矩阵化为
A=（2）
（3） 由（1）式可得
即 （4）
（4）式即为用物像矩阵元素表示的物像关系。
由（3）式可得系统的横向放大率为
（5）
由（2）可得，横向放大率亦可表示为
（6）
故系统的物像矩阵可记为
（7。
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– 程函(eikonal)方程：
– 光线的传播方向，就是程函 r 变化最快的方向 – 在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出光线的微分方程（光线方 程），其中 s 为光线上某点到另外一点的长度，而 r 是该点的位置矢量 ：
2 r x y z
1 d r rS 1 d N ' 1 1 r ' r S 1 f1 f1 N
4.1 透镜波导光线稳定条件
综合可得到从S面到S+1面的光线传播情况
1 0 1 d 1 0 1 d r rS 1 1 S A B rS 1 ' ' ' 1 1 r 0 1 0 1 r C D r S 1 f1 S S f2
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 双周期透镜波导的光线稳定条件 • 当θ 为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡； 即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生 溢出。 • θ 为实数等价于|b|≤1，即：
d d d2 1 1 1 f1 f 2 2 f1 f 2
• 将矩阵形式的传播方程写成方程组的形式
1 rs ' (rs 1 Ars ) B
• 可得到递推关系
1 rs ' B (rs 1 Ars ) 1 rs 1 ' (rs 2 ArS 1) B r ' Cr Dr ' S S 1 S
' o
ro’ ri’ ri ro
R
（1）R>0,凹反射镜 （2）R<0,凸反射镜 （3）R趋于无穷,平面镜
一个曲率半径为R的球面反射 镜对光线的作用相当于一个焦 距f=R/2的薄透镜
3.2 复杂光学系统光线传输矩阵
• 例：求解通过长度为d的均匀介质后， 再透过一个薄透镜的光线传输情况。
1
rt,rt' ro,ro' ri,ri'
L L 0 1 1 1 R1 R 2
F2
F1=R1/2
F2=R2/2
F1
4.2 类透镜介质
• 1. 薄透镜的聚焦机理
– 一单色平面波，经过薄透镜后，产生一个与离轴距离r2成正比的 相位超前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同 滞后量。到达焦点时间、相位相同，实现聚焦，此时的薄透镜相 当于一个平面的相位变换器。 x2 y 2 2 2 2 A AB AO BO f x y f f 1 f 2 B f
从推导过程可以看出，近轴光线在两个反射镜间 传输的传输矩阵与光线的初始位置无关，因此可 以用传输矩阵来描述任意近轴光线的传输特性。
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 由前述可知一个半径为R的球面反射镜等效于一个焦距为 F=R/2的透镜,则上述的两个球面反射镜可以等效为由两个 焦距分别为R1/2和R2/2，距离为L的透镜构成的双周期透 镜波导，由双周期透镜波导的光线稳定性条件可以得到反 射镜系统的稳定条件： R1 R2 L L 0 1 1 1 2 f 1 2 f 2 L L L
1 ro ' 2 1 ro R 2
0 ri 1 ' ri 2
R
1
2
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
5.球面反射镜
ro ri
2 r ri ri ' R 1 0 r r o i ' 2 ' ro R 1 ri
rs 2 2brs 1 rs 0 1 d d d2 b ( A D) 1 2 f1 f 2 2 f1 f 2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 2 2brs 1 rs 0 2 1 d d d b ( A D) 1 2 f1 f 2 2 f1 f 2
f>0，相对于凸透镜 f<0，相对于凹透镜
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
3.不同介质介面（平面） 1 sin ri' 2 sin ro' ' ' 1ri 2ro ri’ ro ri
1 ' ' ro ri 2
ro’ ri ro
1 0 ro ri 1 ' ' ro 0 ri 2
4.2 类透镜介质
• 2.类透镜介质
– – 其中η0为介质轴线上的折射率；k0是轴线上的波数；k2是与介质、工作 状态以及外界泵浦能量有关的常数。
k2 2 2 ( x y ) 的介质称为类透镜介质。 折射率满足 ( x, y ) 0 1 2k 0
– 在Nd：YAG固体激光器中，当激光其处于运行状态时，由于发热造成工 作物质内部沿径向产生温度分布：
d A 1 f2 d ) f2 1 1 d C [ (1 )] f1 f 2 f2 d d d D [ (1 )(1 )] f1 f1 f2 B d (2
4.1 透镜波导光线稳定条件
rs 1 Ars Brs' ' rs 1 ' Crs Drs
ri 0; ri ' 0
ro 0; ro ' 0
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
1.通过厚度为d的均匀介质
ro ri dri
r ri
' o '
'
ro' ri' ri d
Z1 Z2
ro
ro 1 d ri ' ' ro 0 1 ri
1 2
3.1 简单光学元件光线传输矩阵
4.不同介质介面(球面)
ro ri
ri ri ' R ' ri ro ' R
2 ' 1
'
ro’ ri’ ri ro
2 1 1 ' r ri ri 2 R 2
' o
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 在腔内经过N次往返之后的光线参数为：
rn n r0 T n 0
其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：
n A B 1 A sin sin(n 1) n T C sin C D sin 其中： arccos A D / 2 n n B sin A B n D sin sin(n 1) C Dn
d 2f 3
1 A B 1 C D f
0 1 d 1 0 1
习题
• 试推导厚透镜光线传输矩阵
激光原理与技术·原理部分
第4讲
光线稳定条件 类透镜介质中的光线方程与波动方程
4.1 透镜波导光线稳定条件
• 透镜波导:由焦距为f1和f2的透镜相互间隔d周 期性排列而成，称为双周期透镜波导。
1 x2 y 2 x2 y 2 f (1 ) f 2 f2 2f
r C f O
– 离轴距离为r的相位提前量为 2 x2 y 2 x2 y 2 r2 k k 0 2f 2f 2f – 经过透镜后的光场
Eout
x2 y 2 Ein exp(ik ) 2f
rt ri dri ' r ' r ' i t
ro rt ro ' rt rt ' f
ro ri dri ' ro' ri ( d 1)ri ' 1 f f
d 1 d 1 1 f f
S M N f1 S+1
d
f1 f2
4.1 透镜波导光线稳定条件
从S面到N面的光线传播情况
rM ' rM 1 d rs ' 1 d r 0 1 rs rN s 1 d ' ' 1 0 1 r r r rN N f2 M f 2 s ' 1 ' rN f 1 rM 2 同理，从N面到S面的光线传播情况
r 4, 4 r 5, 5
M1
r 2 , 2 M2
r 3, 3
r1, 1
1 0 1 L 1 0 1 L r1 r5 2 2 2d 0 1 0 1 1 1 1 A 1 5 R1 R2 R2
d d 0 (1 )(1 ) 1 2 f1 2 f2
• 由相同焦距的薄透镜构成的周期透镜波导称为相同周期透 镜波导，即f1=f2=f； • 相同周期透镜波导的稳定条件为：
0d 4f
4.1 球面反射镜腔光线稳定条件
• 光线在球面反射镜之间的传播 • 根据光线传播矩阵可以写出第2次 反射后的光线状态为：
T (r ) T 0
折射率随温度发生变化：
– 在实验上和理论上都证实了工作物质的
D 2 ( x y 2) 4K
n D 2 ( x, y ) 0(T 0) ( x y 2) T 4 K
– 可见工作状态下的Nd：YAG工作物质是一种二次折射率介质。