整式的乘除与因式分解知识结构图
八年级 数学 整式的乘除与因式分解 第六讲 整式乘除知识大归纳(上)
讲师：杨老师
知识思维导图
m、n为正整数， a、b可以为一个 单项式或一个多 项式
m(a+b+c)=ma+mb+mc
a2-b2 a2±2ab+b2
高频考点讲解
高频考点一：幂的运算综合考点
例1. 已知a x=2，a y=3，求下列各式的值：
（1）a2x+y；（2）a3x - 2y. 【点拨】把所求式子化为关于ax，ay的形式，再代入求解.
【点评】此题属于规律性、阅读性题目．此题难度较大，由特殊到一般的归纳方法的应用是解此题的关键．
x3
x3 x2
-1
x2 x2 - x x -1 x -1 0
典型考题 3：认真阅读材料，然后回答问题： 我 们 初 中 学 习 了 多 项 式 的 运 算 法 则 ， 相 应 的 ， 我 们 可 以 计 算 出 多 项 式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的 展 开 式 ， 如 ： (a b)1 a b ， (a b)2 a 2 2ab b2 ， (a b)3 (a b)2 (a b) a 3 3a 2b 3ab2 b3 ，… 下面我们依次对 (a b)n 展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数是可以单独列成表中的形式：
考场实战演练
典型考题 1：阅读理解题： 定义：如果一个数的平方等于 1 ，记为 i 2 1 ，这个数 i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实 数对应起来就叫做复数，表示为 a bi （a，b 为实数） ，a 叫做这个复数的实部，b 叫做这个这 个复数的虚部，它的加、减乘法运算都与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： (2 i ) (3 4i ) 5 3i ．
初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介
新课标人教版初中数学八年级上册第十五章《整式的乘除与因式分解》简介人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识.本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15.1 整式的乘法4课时15.2 乘法公式2课时15.3 整式的除法2课时15.4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15.1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。
本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。
首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。
在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15.2乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。
《因式分解》整式的乘除与因式分解PPT 图文
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1) x 2 x x(x1)
( 2 ) x 2 1 (x1)(x1)
把一个多项式化成几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解（或 分解因式）.
想一想：因式分解与整式乘法有何关系?
因式分解
x2－y2
(x+y)(x－y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习
1.下列多项式能否用平方差公式来分 解因式?为什么?
(1) x2+y2 ;
(2) x2－y2;
(3) －x2+y2;
(4) －x2－y2.
2.分解因式: (1)a2－215 b2; (3) x2y－4y ;
(2)9a2－4b2; (4) －a4 +16.
思维延伸
1. 观察下列各式: 32－12=8=8×1; 52－32=16=8×2; 72－52=24=8×3;
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.
例3 分解因式:
(1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –3 2，即可用平方差公式分解因式.
在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体，设 x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2.
整式乘法
(6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解
(7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
怎样分解因式: m am bm.c
公因式：多项式中各项都有的因式， 叫做这个多项式的公因式；
《整式的除法》整式的乘除与因式分解PPT课件三
同底数幂的除法
复习巩固
三种幂的运算
1、同底数幂的乘法：am · an=am+n (m、n都是正整数） 即：同底幂相乘，底数不变，指数相加。
2、幂的乘方：（am）n=amn(m、n都是正整数） 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘方：（ab）n=anbn(n是正整数） 即：积的乘方，等于积中各个因式分别乘方的积。
(3)若10m=16，10n=20，求10m-n的值.
解：∵ 10m =16，10n=20， ∴ 10m-n = 10m ÷ 10n = 16 ÷20=0.8
你什么时候放下，什么时候就没有烦恼。 活在忙与闲的两种境界里，才能够俯仰自得，享受生活的乐趣，成就人生的意义。 林宥嘉《拥有》：快乐时你不必分心想起我，难过时一定记得联络我。让我分享你的苦，带走你的优愁，我只求这样把你拥有。 强烈的信仰会赢取坚强的人，然后又使他们更坚强。 上天不会亏待努力的人，也不会同情假勤奋的人，你有多努力时光它知道。 能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。 只会在水泥地上走路的人，永远不会留下深深的脚印。 生命的目的是享受生命。
❖思维延伸
则am-n=am÷an
已知:xa=4，xb=9，求(1)x a-b；(2)x 3a-2b
解(1)xa-b=xa÷xb=4÷9= 4
9
这种思维
(2)x3a-2b=x3a÷x2b=(xa)3÷(xb)2
叫做逆向
=43÷92= 64
思维！
81
谈谈你今天这节课
的收获
同底数幂相除法则：同底数幂相除， 底数不变，指数相减。
a0=1(a≠0) 即am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正
整数，且m＞n））
第十五章 整式的乘除与因式分解 知识导引PPT教学课件
幂的运算
单项式乘单项式
单项式乘多项式
多项式乘多项式
乘法公式
互
逆
提公因式法
变
公式珐
形
2
主要内容
同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 单项式乘单项式 单项式乘多项式 多项式乘多项式 乘法公式 单项式除以
单项式 多项式除以
单项式 因式分解．
2020/12/09
课标要求
①掌握同底数幂的乘法法则并灵活 应用；
行，则应考虑先展开再分解的步骤进行，另
外2还020/1要2/09注意分解必须彻底．
14
例10 (1)(2008年江苏扬州)已知 x+y=6，
xy=-3．则 x2y+xy2=________． (2)(2008年江苏连云港)当s=t+0.5
时，代数式s2-2st+t2的值为____
因式分解的应用非常广泛，其思路是：
重 难 关键 点点
掌握 各种 ⑤ 运算 法则 ⑥ ⑥ 并灵 活应 ⑦ 用．
⑧
3
知识点1 幂的运算
相关知识：同底数幂的乘法、除法、
幂的乘方、积的乘方、零指数。常见
题型有填空题、选择题等低档题，多
与合并同类项、乘法公式等结合在一
起．
复习对策：熟练掌握幂的四种运算性
质、零指数的性质和条件，特别是要
从底数和指数两个方面弄清幂的四种
因此对乘法公式的考查一般与
整式的化简和因式分解等结合
在一起． 2020/12/09
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例8 (2008年广东)
下列式子中是完全平方式的是( )
A．a2+ab+b2 B．a2+2a+2 C．a2-2b+b2 D．a2+2a+1 判断一个多项式是否是完全平方
整式知识结构图
代数式的定义：用运算符号把数字和表示数字整的字母连结起来的式子叫做代数式。
式整式定义：单项式和多项式统称为整式整同类项：所含字母同样，而且同样字母的指数也同样式单项式：数字与字母的积的代数式叫做单项式单独的一个数字和字母也是单项式多项式：几个单项式的和〔省略加号的和的形式〕叫做多项式系数：数字因数次数：全部字母指数的和项数：每一个单项式就是此中一项。
单项式的次数为几就称为几次项，不含字母的项叫做常数项。
次数：次数最高的项的次数为多项式次数。
基幂的相关运算：本1、同底数幂相乘：a m·a n=a m+nam概2、同底数幂相除：a m a n=a m–n念3、幂的乘方：〔a m〕n=a mn零指数：非零数的零指数幂为1：a0=1a n==a m–n负指数：非零数的负整数指数幂等于它正整数指数幂的倒数：a-p=整式4、积的乘方: =a m·b m5、商的乘方：=整式加减：归并同类项：系数相加减，字母和字母的指数不变。
去括号法例：括号前是“+〞，把括号和“+〞去掉，括号内各项不变号；括号前是“-〞，把括号和“-〞去掉，括号内各项变号。
整式运算整式乘法：1、单项式相乘：单项式与单项式相乘，把他们的系数，同样字母分别相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
m(a b c) ma mb mc3、多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
m+n〕(a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc乘法公式：平方差公式：(ab)(ab)a2b2完整平方公式：(ab)2a22ab2整式除法：同分式运算整式乘方：幂的相关运算。
《整式的除法》整式的乘除与因式分解PPT课件三
练习
1.填空:
(1)a5•( a2)=a7;
(2) m3•( m5) =m8;
(3) x3•x5•( x4) =x12 ;
(4) (-6)3((-6)2 ) = (-6)5.
2.计算:
(1) x7÷x5; x2
(2) m8÷m8; 1
(3) (-a)10÷(-a)7; -a3 (4) (xy)5÷(xy)3. x2y2
3.下面的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?
(1) x6÷x2=x3; x4 (2) 64÷64=6; 1
(3)a3÷a=a3; a2 (4)(-c)4÷(-c)2=-c2. (-c)2=c2
（1）311÷ 27； （2）516 ÷ 125.
a0=1(a≠0) 即am÷an=am－n（a≠0，m，n都是正
整数，且m＞n））
布置作业
思考题(课后合作交流，不需交) (1)若10m=20，10n= ，求9m÷32n 的值
1 5
(2)如果x2m-1 ÷ x2 =xm+1，求m的值.
解：∵ x2m-1 ÷ x2 =xm+1 ， ∴2m-1-2=m+1， 解得：m=4.
在幸运时不与人同享的，在灾难中不会是忠实的友人。——伊索 有时候我们要冷静问问自已，我们在追求什么？我们活着为了什么？
人生就像骑单车，想保持平衡就得往前走。
(3)若10m=16，10n=20，求10m-n的值.
解：∵ 10m =16，10n=20， ∴ 10m-n = 10m ÷ 10n = 16 ÷20=0.8
普通人只想到如何度过时间，有才能的人设法利用时间。——叔本华 一个常常看别人缺点的人，自己本身就不够好，因为他没有时间检讨他自己。
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同底数幂的乘法：m n a a •= 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方：()n m a = 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方：a n n
b = 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相
乘
同底数幂的除法：
a m n a ÷= （a 0≠,m,n 都是
正整数，并且m>n ）
同底数幂相除，底数不变，指数相减
0a = a 0≠（）
任何不等于0的数的0次幂都等于
整式的乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积
的 。
如：52
ac bc =g
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘
多项式的 ，再把所的积
如：22132(2)ab ab ab -=g
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加
如：(8)()x y x y --= 乘法 公式
平方差公式：
(a+b)(a-b)=
两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的
完全平方公式：
2
a+b =（） 2a b -=（）
添括号的法则：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。
如：a b c ++=
a b c --=
单项式相除，把系数与同底数幂 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 。
如：42328x y 7x y ÷=
整式 的除法
多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 如：3212a 63)3a a a -+÷=（
把一个多项式化成几个整式的 ，这样的式子的变形叫做把这个多项式 。
也叫做把这个多项式 。
因式分 解
整式乘除
与 因式分解
提公因式法：
2a()3()b c b c +-+=
公式法：
22a b -=
22
a +2ab+
b = 22a -2ab+b =
22()()x p x q +-+=。