机器人数学基础
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机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换及逆变换 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: A P [ px p y p z ]T 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述.
B B A T A T A p A0 B R p B 0 A 1 B AR BR BT AT 1 0 1 0 B A B A B ( p B 0 ) A R p B 0 p A0 0
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 0 4 1 0 1
1 0 0 0
4 0 0 1
1 0 0 1 4 1 4 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 0 2 1 1 4 0 1 1 4 0 1
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
B
A B
R
A
p B0
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
1.
平移坐标变换 坐标系 {A} 和 {B} 具有相同的方位 , 但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
为什么采用齐次变换矩阵，且采用 方阵？
首先，如后面看到的，计算方形矩阵的逆 要比计算长方形矩阵的逆容易得多。 其次，为使两矩阵相乘，它们的维数必须 匹配，即第一矩阵的列数必须与第二矩阵 的行数相同。如果两矩阵是方阵则无上述 要求。 由于要以不同顺序将许多矩阵乘在一起得 到机器人运动方程，因此，应采用方阵进 行计算。
0 Trans(a, b, c) 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 1 0 0 4 2 6 矢量. 0 0 1 0 3 3
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s 0 0 s c 0 0 1 0 0 R ( z , ) 0 0 1 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 1
A A P B RB P A PB 0
(2-13)
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B} 相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位, 并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵 AR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在 B 坐标系{A}中的位置.
0.866 0.5 0 12 0.5 ; A p 6 A 0 R R ( z , 30 ) 0 . 866 0 B B0 0 1 0 0 0.902 12 11.908 6 13.562 A A B p B R p A p B 0 7 . 562 0 0 0
旋转矩阵间次序不可以交换。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans( 4,0,0) Rot ( y,90) Rot ( z ,90) 0 1 0 0
B T
T T T T
B S S G G T
Robotics 数学基础
习题: P43, 题2.3 P44, 题2.9
Robotics 数学基础
A B p B0 C R 1 0 A B B
pC 0 1
A B B RC R 0
R B pC 0 A p B0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
3.齐次坐标的逆变换 {B}相对于{A}: ABT; {A}相对于{B}: BAT; 两者互为逆矩阵.求逆的办法: 1.直接求ABT-1 2.简化方法
0 0 0 0 1 0 9 7 2 1 1 1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
A
P P PB 0
B A
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
2.旋转变换 坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
B A
A P B RB P
R R R
A B A B
1
T
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
3.复合变换 一般情况原点既 不重和,方位也不同. 这时有:
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
r 11 r A R B 21 r3 1 r 12 r2 2 r3 2 r 13 r2 3 r3 3
上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 A 1 A T A R B B B BB 1 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获 得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为
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2.3 齐次坐标变换
由矩阵乘法没有交 换性，可知变换次序对 结果影响很大。
Trans(4,3,7) Rot ( y,90) Rot ( z,90) 0 1 0 0 4 0 0 3 1 0 7 0 0 1 0 1
4.3 齐次坐标变换 复合齐次变换 绝对变换 当活动坐标系O'UVW绕固定坐标系OXYZ各坐标轴 顺序有限次转动时，其复合齐次旋转矩阵为各基本 旋转矩阵依旋转顺序左乘。 相对变换 如果活动坐标系O'UVW相对于自身坐标系的当前 坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为 相对变换。
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义: A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标 系的姿态矩阵. A 2) B R 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的 B 坐标 p 变换成{A}中点的坐标 A p . A 3) B R 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
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2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 (2-13)式可以写为:
A A P B R 1 0 A
PB 0 B P 1 1
(2-14)
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P xBaidu Nhomakorabea
A
A B B
A
y
A
z 1 , P x
例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕 Z轴转90度后，再绕Y 轴转90度。 例2-5：在上述基础上再 平移（4，-3，7）。
1 0 Trans(4,3,7) 0 0 4 1 0 3 ; ; ; 0 1 7 0 0 1 0 0
0 1 0 3 2 7 7 1 0 0 ; ; ; ; ; ; 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后， 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式。计 算简化。
0 1 1 0 R( z,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 0 7 3 3 7 0 0 ; ; ; ; ; ; 1 0 2 2 0 1 1 1
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2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导 A x p B x p cos B y p sin
A A
y p B x p sin B y p cos z p Bz p
A x p cos sin 0 B x p A B y p sin cos 0 y p B Azp 0 0 1 z p 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
则
p px p y pz , n nx ny nz , o ox oy oz , a ax a y az
T
T
T
T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系 或工件坐标系 满足方程
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
2.齐次坐标的复合变换 {B}相对于{A}: ABT; {C}相对于{B}: BCT; A B T 则{C}相对于{A}: A C BT C T
A BT 0
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
px n o a p y y y T y nz oz a z p z 0 0 1 0 nx n y nz p n o o o p o y z T 1 x a x a y a z p a 0 0 0 1 ax
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
B
A
T B
B
y
B
z 1
T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A
P T P,
A A BR BT 0
PB 0 1
(2-15,16)
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2.3 齐次坐标变换(Homogeneous Coordinates)
2.平移齐次坐标变换 {A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离 的平移齐次变换矩阵写为： 1 0 0 a
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2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换及逆变换 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: A P [ px p y p z ]T 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述.
B B A T A T A p A0 B R p B 0 A 1 B AR BR BT AT 1 0 1 0 B A B A B ( p B 0 ) A R p B 0 p A0 0
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2.4 物体的变换及逆变换
0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 0 4 1 0 1
1 0 0 0
4 0 0 1
1 0 0 1 4 1 4 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 0 2 1 1 4 0 1 1 4 0 1
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2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
B
A B
R
A
p B0
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2.2 坐标变换
1.
平移坐标变换 坐标系 {A} 和 {B} 具有相同的方位 , 但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
为什么采用齐次变换矩阵，且采用 方阵？
首先，如后面看到的，计算方形矩阵的逆 要比计算长方形矩阵的逆容易得多。 其次，为使两矩阵相乘，它们的维数必须 匹配，即第一矩阵的列数必须与第二矩阵 的行数相同。如果两矩阵是方阵则无上述 要求。 由于要以不同顺序将许多矩阵乘在一起得 到机器人运动方程，因此，应采用方阵进 行计算。
0 Trans(a, b, c) 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 1 0 0 4 2 6 矢量. 0 0 1 0 3 3
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s 0 0 s c 0 0 1 0 0 R ( z , ) 0 0 1 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 1
A A P B RB P A PB 0
(2-13)
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2.2 坐标变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B} 相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位, 并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵 AR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在 B 坐标系{A}中的位置.
0.866 0.5 0 12 0.5 ; A p 6 A 0 R R ( z , 30 ) 0 . 866 0 B B0 0 1 0 0 0.902 12 11.908 6 13.562 A A B p B R p A p B 0 7 . 562 0 0 0
旋转矩阵间次序不可以交换。
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2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans( 4,0,0) Rot ( y,90) Rot ( z ,90) 0 1 0 0
B T
T T T T
B S S G G T
Robotics 数学基础
习题: P43, 题2.3 P44, 题2.9
Robotics 数学基础
A B p B0 C R 1 0 A B B
pC 0 1
A B B RC R 0
R B pC 0 A p B0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
3.齐次坐标的逆变换 {B}相对于{A}: ABT; {A}相对于{B}: BAT; 两者互为逆矩阵.求逆的办法: 1.直接求ABT-1 2.简化方法
0 0 0 0 1 0 9 7 2 1 1 1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
A
P P PB 0
B A
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2.2 坐标变换
2.旋转变换 坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
B A
A P B RB P
R R R
A B A B
1
T
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2.2 坐标变换
3.复合变换 一般情况原点既 不重和,方位也不同. 这时有:
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
r 11 r A R B 21 r3 1 r 12 r2 2 r3 2 r 13 r2 3 r3 3
上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的.即 A 1 A T A R B B B BB 1 若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获 得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
由矩阵乘法没有交 换性，可知变换次序对 结果影响很大。
Trans(4,3,7) Rot ( y,90) Rot ( z,90) 0 1 0 0 4 0 0 3 1 0 7 0 0 1 0 1
4.3 齐次坐标变换 复合齐次变换 绝对变换 当活动坐标系O'UVW绕固定坐标系OXYZ各坐标轴 顺序有限次转动时，其复合齐次旋转矩阵为各基本 旋转矩阵依旋转顺序左乘。 相对变换 如果活动坐标系O'UVW相对于自身坐标系的当前 坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为 相对变换。
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义: A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标 系的姿态矩阵. A 2) B R 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的 B 坐标 p 变换成{A}中点的坐标 A p . A 3) B R 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
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2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 (2-13)式可以写为:
A A P B R 1 0 A
PB 0 B P 1 1
(2-14)
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P xBaidu Nhomakorabea
A
A B B
A
y
A
z 1 , P x
例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕 Z轴转90度后，再绕Y 轴转90度。 例2-5：在上述基础上再 平移（4，-3，7）。
1 0 Trans(4,3,7) 0 0 4 1 0 3 ; ; ; 0 1 7 0 0 1 0 0
0 1 0 3 2 7 7 1 0 0 ; ; ; ; ; ; 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后， 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式。计 算简化。
0 1 1 0 R( z,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 0 7 3 3 7 0 0 ; ; ; ; ; ; 1 0 2 2 0 1 1 1
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导 A x p B x p cos B y p sin
A A
y p B x p sin B y p cos z p Bz p
A x p cos sin 0 B x p A B y p sin cos 0 y p B Azp 0 0 1 z p 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
则
p px p y pz , n nx ny nz , o ox oy oz , a ax a y az
T
T
T
T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系 或工件坐标系 满足方程
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
2.齐次坐标的复合变换 {B}相对于{A}: ABT; {C}相对于{B}: BCT; A B T 则{C}相对于{A}: A C BT C T
A BT 0
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
px n o a p y y y T y nz oz a z p z 0 0 1 0 nx n y nz p n o o o p o y z T 1 x a x a y a z p a 0 0 0 1 ax
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
B
A
T B
B
y
B
z 1
T
而齐次变换公式和变换矩阵变为:
A
P T P,
A A BR BT 0
PB 0 1
(2-15,16)
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换(Homogeneous Coordinates)
2.平移齐次坐标变换 {A}分别沿{B}的X、Y、Z坐标轴平移a、b、c距离 的平移齐次变换矩阵写为： 1 0 0 a