机器人数学基础
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第1章机器人数学基础资料
y2 y0
O2 x2
z1
O1
z2
x0
x1
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 0 1 10
T20
1 0
0 1
0 0
20
0
0 0 0
1
y1
z0
O0
y2 y0
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 1 0 30
T10T2
0 1
0 0
1 0
0 0
T20
0 0
0
0
0 0 1 10
T2 T10
1 0
y0
z1
y2 O1
z2 O2
x0
x1
当S2是沿动系运动时用T2右乘 T10
第二种情况：沿基系S0运动
y1
z0
S2与S1完全重合 再绕z0旋转90°再沿x0移动10
y2
O0
y0
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0 y1 0
0
1
y2
z0
O0
y0
z1 z2 O1
O2
x2
x0
x1
y1
z0
O0
齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3）
w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标没 有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行性和 方便性。 坐标轴的方向表示： i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的 单位矢量，用齐次坐标表示之，则有
第三章机器人技术数学基础
A
P P PB0
B A
2.旋转变换 • 二维的启示
坐标旋转 坐标系{B}是坐标系{A}绕原点旋转得到的，
y1
p
y0
x1
x0
X1=x0/cosα+y1.tg α Y0=y1/ cosα+x0. tg α 解得 X0=x1. cosα-y1.sin α Y0=x1. sin α+y1 cosα
x0
3.3 齐次坐标变换
1.齐次坐标
(1)定义 • 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量 T P= x y z 来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)， 它们的关系为: a= x b= y c= z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)旋转变换的齐次坐标形式
0 1 0 c 0 s c s 0 R ( x, ) 0 c s R ( y, ) 0 1 0 R ( z, ) s c 0 0 s c s 0 c 0 0 1
基本旋转矩阵可由下面公式求得：
1 0 R ( x, ) 0 c 0 s
0 c s R ( y, ) 0 s c
0 s c 1 0 R ( z , ) s 0 0 c
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O • 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B B R A
pB0
3.2 坐标变换
1. 平移坐标变换 坐标系{A}和{B} 具有相同的方位,但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
工业机器人运动学-1数学基础
则可得到如图1.8所示的点向量n.变换过程如下
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans <4, －3, 7> w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图1.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
〔1.1〕
向量的点积是标量.用" ·"来定义向量点积,即
a ·b = ax bx + ay by + az bz
〔1.2 〕
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量.用"×" 表示叉积,即
1.2.1 点向量〔Point vectors〕 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
置.同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同.如图 1.1中,点p在E坐标系上表示为 Ev,在H坐标系上表示为 Hu,且v ≠ u.一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个〔n + 1〕维列矩阵表示,即除 x、y、 z 三个方向上的分量外,再加一个比例因子 w ,即
01
0 001
1
0
0
1
如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90°,然后再绕z轴旋转90°,其结果为
第二章 机器人的数学基础
a
x
b
y
c
z
pBO B p 1 1
A
A
p
B
p
14
p AT B p B
第二节 坐标变换
A BR A BT 0 0 0 A
pBO 1
称为齐次变换矩阵
A A I3 pBO B R A BT 0 0 0 1 0 0 0
A
yB
A
zB
称为旋转矩阵，也可表示成：
r11 r12 r13 A R r21 r22 r23 B r r r 31 32 33
旋转矩阵是正交的。
6
第一节 位置和方位的表示
按照上述定义，绕 x 轴旋转了θ 角的旋转矩阵，为
0 0 1 R ( x, ) 0 cos sin 0 sin cos
称为坐标旋转方程
3、一般变换
坐标系｛B｝与｛A｝既不共原点，方位亦不同，此时，
A A p B R B p A pBO
11
例题：已知坐标系 B 的初始位姿与 A 重合，首 先 B 相对于坐标系 A 的 z A 轴转30度，再沿 A 的 xA 轴移动12个单位，并沿 A 的 yA 轴移动6 A A 个单位。求位置矢量 pB 和旋转矩阵 B R 。假设 点p在坐标系 B 中的描述为 B p 5,9, 0T ，求它在 坐标系 A 中的描述 A p 。
13
第二节 坐标变换
4、齐次坐标变换
用4×1列向量表示三维空间坐标系中的点：
称为齐次坐标，齐次坐标具有不唯一性。引入齐次坐标后，一般变换变为：
A A p B R 1 0 0 0 A
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础
机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数、微积分等数学知识。
首先，向量是机器人机构学中必须掌握的概念，因为机器人的运动轨迹可以表示为一系列向量。
向量的长度和方向可以描述机器人的位置和姿态，因此对于机器人的运动规划和控制非常重要。
其次，矩阵是机器人机构学中不可或缺的数学工具，因为机器人的运动学和动力学问题可以表示为矩阵方程。
例如，通过矩阵变换可以将机器人末端执行器的位姿转换为关节角度，或者将关节力矩转换为末端执行器的力和力矩。
第三，三角函数也是机器人机构学中常用的数学工具，因为机器人的运动通常涉及到角度的变化。
例如，关节角度可以用正弦和余弦函数来表示，而逆解问题中也需要使用反三角函数求解。
最后，微积分是机器人机构学中的重要数学基础，因为机器人的运动学和动力学问题往往涉及到速度、加速度和力矩等概念。
例如，求解机器人的运动学和动力学模型时需要使用微积分知识，同时在机器人控制问题中也需要使用微积分来设计控制算法。
总之，机器人机构学的数学基础包括向量、矩阵、三角函数和微积分等数学知识。
掌握这些数学知识对于理解机器人的运动规划、控制和仿真非常重要。
第2章 机器人运动学—数学基础[可打印版,含习题]
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式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是 一致的。因此我们有如下的结论：
动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：
定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋 转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。
H
=
Trans
(a
b
c)
=
⎢⎢0 ⎢0
1 0
0 1
b⎥⎥ c⎥
⎢⎣0 0 0 1⎥⎦
w′
o′ v′
u′
b
a
注意：平移矩阵间可以交换，
x
平移和旋转矩阵间不可以交换
z c
oy
2.2.4 相对变换
举例说明：
例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系 ∑0′做如下运动：①R(Z,90º) ②R（y,90º） ③Trans(4，-3, 7) ，求合成矩阵
反过来： Puvw = R −1 Pxyz
R−1 = R* det R
R∗为R的伴随矩阵，det R为R的行列式，由于R是正交矩阵，
因此R −1 = R T
2.2.2 旋转齐次变换
用齐次坐标变换来表示式（2-7）
⎡Px ⎤ ⎡
0⎤⎡Pu ⎤
⎢⎢Py
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
R
0⎥⎥⎢⎢
Pv
⎥ ⎥
⎢ ⎢ ⎣
Pz 1
• 机器人可以用一个开环关节链来建模
• 由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成
• 一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具，用以 操纵物体
• 人们感兴趣的是操作机末端执行
n
器相对于固定参考坐标数的空间 几何描述，也就是机器人的运动 学问题
• 机器人的运动学即是研究机器人
第二章 机器人数学基础
R3×3 T = O1×3
P3×1 旋转矩阵3×3 = I1×1 O1×3
位置矢量3 ×1 1
若三维空间的位置矢量P表示成齐次坐标，即P＝(px py pz 1) T， 那么利用变换矩阵的概念，对纯转动，3 × 3旋转矩阵可扩展成4 × 4 齐次变换矩阵
齐次变换 规定两矢量的点积为一标量
可以类似用 A R 描述{A} 相对于{B}的方位。 A B R 和 B R 都是正交矩阵，两者互逆。根据正交 A 矩阵的性质有：
B A A A R = B R 1 = B RT
B
xA
xB
§ 2.2
三、复合变换
坐标变换
yC yB yA
Ap Ap
Bp
xB xC
坐标系{B} 的原点与{A}的原点既 不重合，两者的方位又不同时，用位 置矢量ApB。描述{B}的坐标原点相对 B 于{A} 的位置，用旋转矩阵 A R 描述 {B}相对于{A} 的方位，则任一点p在 坐标系{A} 和{B}的描述Ap和Bp具有如 和 下变换关系
物体的变换及逆变换
我们可以用描述空间一点的变换方法来描述物体在 空间的位置和方向。例如，图2.8(a)所示物体可由固定该 物体的坐标系内的六个点来表示。我们可对上述楔形物 体的六个点变换如下：
0 1 0 0 0 1 4 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 4 4 6 0 4 4 1 1 1 = 2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 6 4 4 1 1 1 0 4 4 1 1 1
坐标变换
设坐标系{A} 与{B}具有相同的坐标原点，但 两者的方位不同。 A 用旋转矩阵 描述{B}相对于{A} 的方位。同一点p在两个坐标系{A} BR 和{B}中的描述Ap和Bp具有如下变换关系： 和
第三章工业机器人机器人技术数学基础PPT课件
•方向余弦阵的几个性质
1)方向余弦阵是正交矩 阵，因此，矩阵中每 行和每列中元素的平 方和为1
2)方向余弦阵中两个不 同列或不同行中对应 元素的乘积之和为O
• 3)因为方向余弦阵又 是正交变换矩阵，因 此
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
A B
R
可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的
坐标 B p 变换成{A}中点的坐标 A p .
3)
A B
R
可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
在坐标系的旋转变换中，有一些特殊情况，即绕单 个轴的旋转，相应的旋转矩阵称为基本旋转矩阵． 当{A}仅绕z轴旋转角时，基本旋转矩阵记为
12
B ARR(z,30 0) 0.5 0.866 0 ;ApB0 6
0 0 1
0
0.90212 11.908 ApB ARBpApB07.562613.562
0 0 0
3.3 齐次坐标变换
(1)定义
1.齐次坐标
• 将非零常数作为第四个元素，用由四个数所组成 的列向量
P= x y z T
来表示前述三维空间的直角坐标的点(a，b，c)，
它们的关系为:
a= x
b= y
c=
z
(x，y，z， )称为三维空间点(a，b，c)的齐 次坐标
(2)齐次坐标不是单值确定的
• 比如(x，y，z， )是某点的齐次坐标，则(mx，
my，mz，m )也是该点的次坐标（m为任一 非零常数）。
• M=1 时,很容易给出一个点(a，b，c)的齐次坐 标为(a，b，c，1)
• 显然齐次坐标(0，O，O，1)表示坐标原点
机器人学第二章(数学基础)
微分的几何意义：切线的 纵坐标。
ABCD
计算方法：通过微分公式 或链式法则求得微分。
微分的运算性质：包括线 性性质、乘积性质、商的 微分性质等。
积分
定义
积分是微分的逆运算，即求函数与坐 标轴所夹的面积。
计算方法
通过不定积分和定积分的计算公式求 得积分。
定积分的几何意义
曲线与坐标轴所夹的面积。
定积分的性质
正运动学
正运动学是根据已知的关节参数，计算出机器人末端执行器的位置和 姿态。
逆运动学
逆运动学则是根据目标的位置和姿态，反推出机器人各关节的参数。
雅可比矩阵
雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的微小位移与关节角度的微小变 化之间的关系。
动力学
动力学定义
动力学主要研究机器人在运动过程中受 到的力与力矩，以及这些力与力矩如何
随机变量
离散随机变量
随机变量可以取有限或可数无 穷多的值，这种情况下我们称
随机变量为离散随机变量。
连续随机变量
如果随机变量可以取任何实数 值，则称为连续随机变量。
期望值
对于离散随机变量，期望值定 义为E(X)=∑XP(X)，对于连续
随机变量，期望值定义为 E(X)=∫XP(X)dX。
统计推断
参数估计04 优化理论 Nhomakorabea线性规划
线性规划是一种数学优化技术，用于找到一组变量的最优值，这些变量受到一组线性等式或不等式的 约束。
线性规划的数学模型通常由目标函数和约束条件组成，目标函数是要求最大或最小的线性函数，约束条 件也是线性等式或不等式。
线性规划问题可以通过使用单纯形法、内点法等算法求解，这些算法可以在有限步内找到最优解或近似 最优解。
机器人学的数学基础
第3章机器人学的数学基础在机器人操作手工作时，我们需要在其特定三维工作空间中掌握各个物体之间的几何关系，这些物体包括操作手组成自身的各个活动杆件、底座、末端执行器、抓持工具、待抓取物体、障碍物等，它们之间的三维空间几何关系可用两个非常重要的特性来描述：位置和姿态。
3.1 位置和姿态表示为了精确描述各个连杆或物体之间的位置和姿态关系，我们首先定义一个固定的坐标系，并以它作为参考坐标系，所有静止或运动的物体就可以统一在同一个参考坐标系中进行比较。
该坐标系统通常被称为世界坐标系。
基于此共同的坐标系描述机器人自身及其周围物体，是机器人在三维空间中工作的基础。
通常，我们对每个物体或连杆都定义一个本体坐标系，又称局部坐标系，每个物体与附着在该物体上本体坐标系是相对静止的,即其相对位置和姿态是固定的。
因此，每个物体之间位置和姿态的关系就可以用它们自身的本体坐标系之间的位姿关系来确定了，本体坐标系原点之间的关系代表了它们的位置关系，本体坐标系各个坐标轴方向之间的关系代表了方位关系。
图3-1表示了机器人手臂及其周围物体在世界坐标系∑w中及各自本体坐标系中的位置和姿态。
zyxz∑W y z xx zzzzzz x yyx p z zy\图 3-1 机器人手臂及其周围物体的位置和姿态3.1.1 位置描述建立坐标系之后，三维空间中的任何一点都可以用一个具有三个分量的位置矢量来进行定位。
例如， 图3-1中立方体的质心p 在世界坐标系中的表示是：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=wz wy wx w p p p p下标w 代表了世界坐标系，因为位置矢量p 在不同坐标系中数值表示不同。
以上就是典型的基于笛卡尔坐标系的三维空间位置矢量的描述方法。
当采用不同的坐标系表示时，会有不同的位置描述方法。
例如 基于圆柱坐标系的空间矢量表示方法，基于球坐标系的空间矢量表示方法等。
3.1.2 方位描述机器人手臂工作时，不但要考虑所抓取的物体的质心的位置，还要考虑空间中该物体的姿态，既方位。
机器人学基础第2章
刚体上的任何一点可以通过与其固连的坐标系描述, 因 此通过与刚体固连的坐标系可以完整地描述刚体的空间 状态, 如图所示。图中的四面体可以通过与之固连的坐 标系{B} 描述。
2.1 刚体的位姿描述
根据前述的坐标系的四个元素, 坐标系{B} 的原点 在坐标系{A} 中的描述即为坐标系{B} 在坐标系{A} 中的位置。在本课程中位置用矢量表示, 点在坐标系 {A} 的位置矢量 可以表示为其在坐标系{A} 三个坐 标轴上的投影矢量和。
2.1 刚体的位姿描述
思考：如图所示, 当坐标系{B} 与坐标系{A} 的原点 不重合时, 坐标系{B} 在坐标系{A}下如何表示?
2.1 刚体的位姿描述
根据坐标系的4 个元素基本元 素, 即原点位置和三个相互垂直 的单位矢量, 如果可以将坐标系 的4个元素表示出, 就可以实现 坐标系{B} 在坐标系{A} 下描 述。 坐标系{B} 原点在坐标系{A} 中的位置为一个三维矢量, 记为
下的位置矢量, 根据公式(2 - 9),
可以得到P 点在坐标系{B} 下的位
置矢量在坐标系{A} 下的位置矢
量表示
, 则P点在坐标系{A}
下的位置为
2.1 刚体的位姿描述
将 补一行, 写为 可以得到
由上式可知，通过齐次变换矩阵, 可以方便地计算得到一 点在不同坐标系下的位置变换关系。
2.1 刚体的位姿描述
2.2 坐标系的齐次变换
同理可得到动坐标系O′UVW 绕定坐 标系OXYZ 的Y 轴旋转β的姿态矩阵 R(Y, β), 和绕Z 轴旋转γ 的姿态矩阵 R(Z, γ) 等三个基本旋转矩阵
2.2 坐标系的齐次变换
2. 2. 2 坐标系的相对变换和绝对变换
如图所示, 空间有三个坐标系{1} 到{3}, 已知坐标系 {2} 在坐标系{1} 下的旋转矩阵为 , 坐标系{3} 在 坐标系{2} 下的旋转矩阵为 。根据式(2 -5), 可知
2.1 刚体的位姿描述
根据前述的坐标系的四个元素, 坐标系{B} 的原点 在坐标系{A} 中的描述即为坐标系{B} 在坐标系{A} 中的位置。在本课程中位置用矢量表示, 点在坐标系 {A} 的位置矢量 可以表示为其在坐标系{A} 三个坐 标轴上的投影矢量和。
2.1 刚体的位姿描述
思考：如图所示, 当坐标系{B} 与坐标系{A} 的原点 不重合时, 坐标系{B} 在坐标系{A}下如何表示?
2.1 刚体的位姿描述
根据坐标系的4 个元素基本元 素, 即原点位置和三个相互垂直 的单位矢量, 如果可以将坐标系 的4个元素表示出, 就可以实现 坐标系{B} 在坐标系{A} 下描 述。 坐标系{B} 原点在坐标系{A} 中的位置为一个三维矢量, 记为
下的位置矢量, 根据公式(2 - 9),
可以得到P 点在坐标系{B} 下的位
置矢量在坐标系{A} 下的位置矢
量表示
, 则P点在坐标系{A}
下的位置为
2.1 刚体的位姿描述
将 补一行, 写为 可以得到
由上式可知，通过齐次变换矩阵, 可以方便地计算得到一 点在不同坐标系下的位置变换关系。
2.1 刚体的位姿描述
2.2 坐标系的齐次变换
同理可得到动坐标系O′UVW 绕定坐 标系OXYZ 的Y 轴旋转β的姿态矩阵 R(Y, β), 和绕Z 轴旋转γ 的姿态矩阵 R(Z, γ) 等三个基本旋转矩阵
2.2 坐标系的齐次变换
2. 2. 2 坐标系的相对变换和绝对变换
如图所示, 空间有三个坐标系{1} 到{3}, 已知坐标系 {2} 在坐标系{1} 下的旋转矩阵为 , 坐标系{3} 在 坐标系{2} 下的旋转矩阵为 。根据式(2 -5), 可知
机器人 第2章 数学基础
T = CS
(2.41)
S = C −1T
T
的轴旋转： 绕f旋转等价于 S 绕坐标系 {C} 的轴旋转： 旋转等价于
Rot ( f ,θ )T = CRot ( z ,θ )S
Rot( f ,θ )T = CRot( z ,θ )C −1T
(2.42)
第二章 数学基础
32
2.5 通用旋转变换 通用旋转变换公式 可得
0 0 0 1
(2.46)
第二章 数学基础
34
2.5 通用旋转变换 等效转角与转轴 令
nx ox a x n o a y y y nz oz a z 0 0 0
R = Rot( f ,θ )
0 f x f x versθ + cθ 0 f x f y versθ + f z sθ = 0 f x f z versθ − f y sθ 0 1
xA
O
yA
A B
R=
[
A
xB
A
yB
A
zB
]
r11 r12 r13 = r21 r22 r23 r31 r32 r33
图2.1 位置表示
(2.2)
机器人技术概论
3
2.1 位置和姿态的表示
方位描述
1 0 R( x,θ ) = 0 cθ 0 sθ
0 − sθ cθ
(2.20)
第二章 数学基础
17
2.3 齐次坐标变换
旋转齐次坐标变换
0 1 0 0 cθ − sθ Rot ( x,θ ) = 0 sθ cθ 0 0 0
0 0 0 1
(2.22)
cθ 0 Rot ( y,θ ) = − sθ 0
(2.41)
S = C −1T
T
的轴旋转： 绕f旋转等价于 S 绕坐标系 {C} 的轴旋转： 旋转等价于
Rot ( f ,θ )T = CRot ( z ,θ )S
Rot( f ,θ )T = CRot( z ,θ )C −1T
(2.42)
第二章 数学基础
32
2.5 通用旋转变换 通用旋转变换公式 可得
0 0 0 1
(2.46)
第二章 数学基础
34
2.5 通用旋转变换 等效转角与转轴 令
nx ox a x n o a y y y nz oz a z 0 0 0
R = Rot( f ,θ )
0 f x f x versθ + cθ 0 f x f y versθ + f z sθ = 0 f x f z versθ − f y sθ 0 1
xA
O
yA
A B
R=
[
A
xB
A
yB
A
zB
]
r11 r12 r13 = r21 r22 r23 r31 r32 r33
图2.1 位置表示
(2.2)
机器人技术概论
3
2.1 位置和姿态的表示
方位描述
1 0 R( x,θ ) = 0 cθ 0 sθ
0 − sθ cθ
(2.20)
第二章 数学基础
17
2.3 齐次坐标变换
旋转齐次坐标变换
0 1 0 0 cθ − sθ Rot ( x,θ ) = 0 sθ cθ 0 0 0
0 0 0 1
(2.22)
cθ 0 Rot ( y,θ ) = − sθ 0
《机器人技术基础》第二章 数学基础
yA
一旦建立了坐标系，我们就能用一 个3×1位置矢量对世界坐标系中的 任何点进行定位。
xA
图 位置表示
6
2.1.1 位置描述
注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐标系被定
义的；这个前置的上标A标明此位置矢量AP 在坐标系{A}中定
义的。
zA { A }
p
pz
Ap
oA
px
py
yA
xA
2.1.2 方位描述
R为正交矩阵。
18
2.1.3 位姿描述
相对参考系{A}，坐标系{B}
的原点位置和坐标轴的方位，
分别由位置矢量(Position
A
Vector)
pBo和旋转矩阵
A B
R
(Rotation Matrix) 描述。这样，
刚体的位姿（位置和姿态）可
由坐标系{B}来描述，即
{B}
A B
R
A pBo
旋转矩阵 位置矢量
的描述Ap。
yB
yC
解：
BAR
R
z,
30yA
c30 s30
s30 0{B } 0.866
c30
Ap
0
0.5
0.5 B0p .866
00xB
0
0 1 0
0 1xC
oB
{A}
ApBo
oA
xA
zC zB
zA
25
2.2 Coordinate Transformation
25
2.2 坐标变换
• 例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合，首先{B}相对于
xB xC
oA
xA
【最全】机器人的数学基础及模型建立.优质PPT
A2
A4
第二章 机器人的数学基础及模型建立
9
二、位置和姿态描述
1 位置描述
刚体的位置可以用它在某个参考坐标系中的坐
标向量来描述。
Appx
py
T
pz
其中 px , py是, p点z P在坐标系
A 中 的三个坐标分量， A 也p 称
zA Ap
pz
OA
py
yA
px
为位置矢量。
xA
第二章 机器人的数学基础及模型建立
上式就是两关节机械手的运动学方程，它表明了机械手的末端手爪在空间的位置和姿态与各关节位移
其中惯性张量I由下面矩阵表示：
再根据齐次变换矩阵的乘法规则可得
O
再根据齐次变换矩阵的乘法规则可得
第二章 机器人的数学基础及模型建立
平移坐标变换特点： 2 机械手运动学方程的建立
四、机械手的运动学方程 1 机械手相关参数定义
复合变换特点：两坐标 系坐标原点不同，坐标 轴方向也不同。
复合变换
第二章 机器人的数学基础及模型建立
15
三、坐标变换
4 齐次坐标变换
用4×1的列向量来表示三维坐标系内的点的
坐标，称为点的齐次坐标。把式
ApB ARBpApBO
写成等价形式
A 1 p B A RBp 1ApB O B A o RAp 1B O B 1 p
10
二、位置和姿态描述
2 方向描述
为了描述刚体的方向，需要建立一个
与刚体固联在一起的坐标系 B ,刚体相对
于坐标系 A 的 方位可以用旋转矩阵（方向
余弦矩阵）表示，即
r1 1 r1 2 r1 3
A B
R
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0 0 0 0 1 0 9 7 2 1 1 1
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
A A P B RB P A PB 0
(2-13)
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B} 相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位, 并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵 AR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在 B 坐标系{A}中的位置.
A
P P PB 0
B A
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
2.旋转变换 坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
B A
A P B RB P
R R R
A B A B
1
T
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2.2 坐标变换
3.复合变换 一般情况原点既 不重和,方位也不同. 这时有:
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
0.866 0.5 0 12 0.5 ; A p 6 A 0 R R ( z , 30 ) 0 . 866 0 B B0 0 1 0 0 0.902 12 11.908 6 13.562 A A B p B R p A p B 0 7 . 562 0 0 0
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2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
B
A B
R
A
p B0
Robotics 数学基础
2.2 坐标变换
1.
平移坐标变换 坐标系 {A} 和 {B} 具有相同的方位 , 但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
由矩阵乘法没有交 换性，可知变换次序对 结果影响很大。
Trans(4,3,7) Rot ( y,90) Rot ( z,90) 0 1 0 0 4 0 0 3 1 0 7 0 0 1 0 1
4.3 齐次坐标变换 复合齐次变换 绝对变换 当活动坐标系O'UVW绕固定坐标系OXYZ各坐标轴 顺序有限次转动时，其复合齐次旋转矩阵为各基本 旋转矩阵依旋转顺序左乘。 相对变换 如果活动坐标系O'UVW相对于自身坐标系的当前 坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为 相对变换。
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s 0 0 s c 0 0 1 0 0 R ( z , ) 0 0 1 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 1
旋转矩阵间次序不可以交换。
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2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans( 4,0,0) Rot ( y,90) Rot ( z ,90) 0 1 0 0
Robotics 数学基础
2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后， 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式。计 算简化。
0 1 1 0 R( z,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 0 7 3 3 7 0 0 ; ; ; ; ; ; 1 0 2 2 0 1 1 1
0 Trans(a, b, c) 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 1 0 0 4 2 6 矢量. 0 0 1 0 3 3
例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕 Z轴转90度后，再绕Y 轴转90度。 例2-5：在上述基础上再 平移（4，-3，7）。
1 0 Trans(4,3,7) 0 0 4 1 0 3 ; ; ; 0 1 7 0 0 1 0 0
0 1 0 3 2 7 7 1 0 0 ; ; ; ; ; ; 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
px n o a p y y y T y nz oz a z p z 0 0 1 0 nx n y nz p n o o o p o y z T 1 x a x a y a z p a 0 0 0 1 ax
为什么采用齐次变换矩阵，且采用 方阵？
首先，如后面看到的，计算方形矩阵的逆 要比计算长方形矩阵的逆容易得多。 其次，为使两矩阵相乘，它们的维数必须 匹配，即第一矩阵的列数必须与第二矩阵 的行数相同。如果两矩阵是方阵则无上述 要求。 由于要以不同顺序将许多矩阵乘在一起得 到机器人运动方程，因此，应采用方阵进 行计算。
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换及逆变换 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: A P [ px p y p z ]T 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述.
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2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导 A x p B x p cos B y p sin
A A
y p B x p sin B y p cos z p Bz p
A x p cos sin 0 B x p A B y p sin cos 0 y p B Azp 0 0 1 z p 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
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2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 (2-13)式可以写为:
A A P B R 1 0 A
PB 0 B P 1 1
(2-14)
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
A
A B B
A
y
A
z 1 , P x
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2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义: A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标 系的姿态矩阵. A 2) B R 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的 B 坐标 p 变换成{A}中点的坐标 A p . A 3) B R 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 0 4 1 0 1
1 0 0 0
4 0 0 1
1 0 0 1 4 1 4 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 0 2 1 1 4 0 1 1 4 0 1
则
p px p y pz , n nx ny nz , o ox oy oz , a ax a y az
T
T
T
T
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2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系 或工件坐标系 满足方程
A B p 1
A B B RC R 0
R B pC 0 A p B0 1
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2.4 物体的变换及逆变换
3.齐次坐标的逆变换 {B}相对于{A}: ABT; {A}相对于{B}: BAT; 两者互为逆矩阵.求逆的办法: 1.直接求ABT-1 2.简化方法
B B A T A T A p A0 B R p B 0 A 1 B AR BR BT AT 1 0 1 0 B A B A B ( p B 0 ) A R p B 0 p A0 0
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2.4 物体的变换及逆变换
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
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2.3 齐次坐标变换
3.旋转齐次坐标变换
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
A A P B RB P A PB 0
(2-13)
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2.2 坐标变换
例2.1 已知坐标系{B}的初始位姿与{A}重合,首先{B} 相对于{A}的ZA轴转30°,再沿{A}的XA轴移动12单位, 并沿{A}的YA轴移动6单位.求位置矢量APB0和旋转矩阵 AR.设点p在{B}坐标系中的位置为BP=[3,7,0],求它在 B 坐标系{A}中的位置.
A
P P PB 0
B A
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2.2 坐标变换
2.旋转变换 坐标系{A}和{B}有 相同的原点但方位不同, 则点P的在两个坐标系 中的位置矢量有如下关 系:
A
B A
A P B RB P
R R R
A B A B
1
T
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2.2 坐标变换
3.复合变换 一般情况原点既 不重和,方位也不同. 这时有:
0 1 0 c 0 s c s 0 R( y, ) 0 1 0 R( z, ) s c 0 R ( x, ) 0 c s 0 1 0 s c s 0 c 0
0.866 0.5 0 12 0.5 ; A p 6 A 0 R R ( z , 30 ) 0 . 866 0 B B0 0 1 0 0 0.902 12 11.908 6 13.562 A A B p B R p A p B 0 7 . 562 0 0 0
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2.1 位置和姿态的表示
3.位姿描述 刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和 方位参考坐标的原点位置矢量表示，即
B
A B
R
A
p B0
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2.2 坐标变换
1.
平移坐标变换 坐标系 {A} 和 {B} 具有相同的方位 , 但 原点不重合.则点P在 两个坐标系中的位置 矢 量 满 足 下 式 :
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2.3 齐次坐标变换
由矩阵乘法没有交 换性，可知变换次序对 结果影响很大。
Trans(4,3,7) Rot ( y,90) Rot ( z,90) 0 1 0 0 4 0 0 3 1 0 7 0 0 1 0 1
4.3 齐次坐标变换 复合齐次变换 绝对变换 当活动坐标系O'UVW绕固定坐标系OXYZ各坐标轴 顺序有限次转动时，其复合齐次旋转矩阵为各基本 旋转矩阵依旋转顺序左乘。 相对变换 如果活动坐标系O'UVW相对于自身坐标系的当前 坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为 相对变换。
将上式增广为齐次式：
1 0 R ( x, ) 0 0 0 c 0 c s 0 R ( y , ) s s c 0 0 0 1 0 0 0 0 s 0 c s 0 0 s c 0 0 1 0 0 R ( z , ) 0 0 1 0 0 c 0 0 0 1 0 0 0 1
旋转矩阵间次序不可以交换。
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2.4 物体的变换及 逆变换
1.物体位置描述 物体可以由固定于 其自身坐标系上的若干 特征点描述。物体的变 换也可通过这些特征点 的变换获得。
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2.4 物体的变换及逆变换
1.物体位置描述
T Trans( 4,0,0) Rot ( y,90) Rot ( z ,90) 0 1 0 0
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2.3 齐次坐标变换
引入齐次变换后， 连续的变换可以变成 矩阵的连乘形式。计 算简化。
0 1 1 0 R( z,90) 0 0 0 0 0 0 R( y,90) 1 0 0 0 7 3 3 7 0 0 ; ; ; ; ; ; 1 0 2 2 0 1 1 1
0 Trans(a, b, c) 0 0 1 0 0 0 1 0 b c 1
用非零常数乘以变换矩阵的每个元素，不改变特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j+7k平移得到的新 1 0 0 4 2 6 矢量. 0 0 1 0 3 3
例2-4 ：U=7i+3j+2k,绕 Z轴转90度后，再绕Y 轴转90度。 例2-5：在上述基础上再 平移（4，-3，7）。
1 0 Trans(4,3,7) 0 0 4 1 0 3 ; ; ; 0 1 7 0 0 1 0 0
0 1 0 3 2 7 7 1 0 0 ; ; ; ; ; ; 0 1 0 2 3 0 0 1 1 1
3.齐次坐标的逆变换 nx ox 一般,若
px n o a p y y y T y nz oz a z p z 0 0 1 0 nx n y nz p n o o o p o y z T 1 x a x a y a z p a 0 0 0 1 ax
为什么采用齐次变换矩阵，且采用 方阵？
首先，如后面看到的，计算方形矩阵的逆 要比计算长方形矩阵的逆容易得多。 其次，为使两矩阵相乘，它们的维数必须 匹配，即第一矩阵的列数必须与第二矩阵 的行数相同。如果两矩阵是方阵则无上述 要求。 由于要以不同顺序将许多矩阵乘在一起得 到机器人运动方程，因此，应采用方阵进 行计算。
机器人技术数学基础
Mathematic Preparation for Robotics
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 位置和姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 物体的变换及逆变换 通用旋转变换
Robotics 数学基础
2.1 位置和姿态的表示
1.位置描述 在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置 (Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: A P [ px p y p z ]T 2.方位描述 空间物体B的方位(Orientation) 可由某个固接于此物体的坐标系{B} 的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于 参考坐标系A的方向余弦组成的3x3 矩阵描述.
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2.1 位置和姿态的表示
这些旋转变换可以通过右图推导 A x p B x p cos B y p sin
A A
y p B x p sin B y p cos z p Bz p
A x p cos sin 0 B x p A B y p sin cos 0 y p B Azp 0 0 1 z p 这是绕Z轴的旋转. 其它两轴只要把坐标次序调换可得 上页结果.
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2.3 齐次坐标变换
1.齐次变换 (2-13)式可以写为:
A A P B R 1 0 A
PB 0 B P 1 1
(2-14)
P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:
A
P x
A
A B B
A
y
A
z 1 , P x
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2.1 位置和姿态的表示
旋转矩阵的几何意义: A 1) B R 可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标 系的姿态矩阵. A 2) B R 可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的 B 坐标 p 变换成{A}中点的坐标 A p . A 3) B R 可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.
0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
1 0 0 0 4 1 0 1
1 0 0 0
4 0 0 1
1 0 0 1 4 1 4 1 1 0 2 1 4 1 4 1 1 0 2 1 1 4 0 1 1 4 0 1
则
p px p y pz , n nx ny nz , o ox oy oz , a ax a y az
T
T
T
T
Robotics 数学基础
2.4 物体的变换 及逆变换
3.变换方程初步 {B}:基坐标系 {T}:工具坐标系 {S}:工作台坐标系 {G}:目标坐标系 或工件坐标系 满足方程
A B p 1
A B B RC R 0
R B pC 0 A p B0 1
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2.4 物体的变换及逆变换
3.齐次坐标的逆变换 {B}相对于{A}: ABT; {A}相对于{B}: BAT; 两者互为逆矩阵.求逆的办法: 1.直接求ABT-1 2.简化方法
B B A T A T A p A0 B R p B 0 A 1 B AR BR BT AT 1 0 1 0 B A B A B ( p B 0 ) A R p B 0 p A0 0
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2.4 物体的变换及逆变换
4 1 0 0 0 0 1 1 6 6 1 0 1 1 0 1
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