人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形习题(含答案) (24)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形

练习题（含答案)

已知：如图所示，

ABC ∆中，,90,4,AC BC C AB D =∠==是AB 的中点，,E F 分别是,AC BC 上的动点，且DE DF ⊥．试问：四边形DECF 的面积是否为定值？若为定值，请求出此值；若不为定值，请说明理由．

【答案】四边形DECF 的面积为定值2，理由详见解析.

【解析】

【分析】

连结CD ，易证CDE BDF ∆∆≌，由割补法可知四边形DECF 的面积保持不变，利用三角形的面积公式求出答案．

【详解】

解：四边形DECF 的面积为定值2．

理由：连结CD ，

∵,90,4,AC BC C AB D =∠==是AB 的中点，

∴CD=BD=2，45ECD FBD ∠=∠=︒ ，CD ⊥BD ，

又∵DE DF ⊥

∴CDE BDF ∆∆≌，

∴四边形DECF 的面积12222

BCD S ∆==⨯⨯=.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是连结CD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD 的长.

32．如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，对角线BD 平分ABC ∠，求证：AD CD =.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

如图，过点D 作EF BD ⊥，交BA 的延长线于E ，交BC 的延长线于F ，证明EBF ∆为等腰直角三角形，继而证明ABD CFD ∆∆≌，即可得结论.

【详解】

如图，过点D 作EF BD ⊥，交BA 的延长线于E ，交BC 的延长线于F ，

则90EDB FDB ∠=∠=︒，

对角线BD 平分ABC ∠，

45EBD FBD ∴∠=∠=︒，

又BD BD =，

BDE BDF ∴∆∆≌，

BE BF ∴=，

EBF ∴∆为等腰直角三角形，

BD FD ∴=，45ABD F ∠=∠=︒，

90ADC ∠=︒，

90ADB BDC CDF BDC ∠+∠=∠+∠=︒，

ADB CDF ∴∠=∠，

ABD CFD ∠∆∆≌，

AD CD ∴=.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键.

33．已知等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 为斜边AB 的中点，45MON ∠=︒.

（1）如图，点M 在BC 边上，ON 与AC 的延长线交于点N ，探索BM 、

MN 、CN 的数量关系并证明你的结论.

（2）如图，点M 在BC 边上，ON 与AC 交于点N ，探索BM 、MN 、CN 的数量关系并证明你的结论.

【答案】（1）BM CN MN +=，证明详见解析；（2）BM CN MN -=，证明详见解析.

【解析】

【分析】

(1)BM CN MN +=，连结OC ，过点O 作OH ON ⊥，交CB 的延长线于点

H ，证明BOH CON ∠∆≌，HOM NOM ∆∆≌，继而根据线段的和差即可证得结论；

(2)如图，BM CN MN -=，连结OC ，过点O 作OH ON ⊥，同理可证，BOH CON ∆∆≌，MOH MON ∆∆≌，继而根据线段的和差进行推导即可.

【详解】

(1)BM CN MN +=，证明如下：

连结OC ，过点O 作OH ON ⊥，交CB 的延长线于点H ，则

90BOH BON ∠+∠=︒，

90ACB ∠=︒，AC BC =，点O 为斜边AB 的中点，

OB OC ∴=，45OBC ACO ∠=∠=︒，90CON BON ∠+∠=︒，

135OBH OCN ∴∠=∠=︒，BOH CON ∠=∠，

BOH CON ∴∠∆≌，

OH ON ∴=，BH CN =，

45MON ∠=︒，45HOM MON ∴∠=∠=︒，

又OM OM =，HOM NOM ∴∆∆≌，

HM MN ∴=，

HM HB BM BM CN =+=+，

BM CN MN ∴+=；

(2)如图，BM CN MN -=，证明如下：

连结OC ，过点O 作OH ON ⊥，

同理可证，BOH CON ∆∆≌，MOH MON ∆∆≌，

BH CN ∴=，MH MN =，

BM CN BM BH MH MN ∴-=-==.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

34．如图，已知等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点O 为斜边AB 的中点，E 、F 分别为AC 、BC 上一点，且CE CF AC +=，点P 为CEF ∆的内角平分线的交点，求证：OE OP OF ==.

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

连结FP ，如图，先证明BOF COE ∆∆≌，继而可得OF=OE ，再证明PFO FPO ∠=∠，继而得OF=OP ，由此问题得以证明.

【详解】

连结FP ，如图，

90ACB ∠=︒，AC BC =，点O 为斜边AB 的中点，

45B OCE OCF ∴∠=∠=∠=︒，OB OC =，90BOC ∠=°，

CE CF AC +=，CF BF AC +=，BF CE ∴=，

又90FBO BCO BCO ECO ∠+∠=∠+∠=︒，

FBO ECO ∴∠=∠，

BOF COE ∴∆∆≌，

OF OE ∴=，BOF COE ∠=∠，

BOF COF COE COF ∴∠+∠=∠+∠，即90BOC FOE ∠=∠=︒，

45EFO FEO ∴∠=∠=︒，

点P 为CEF ∆的内角平分线的交点，

CFP EFP ∴∠=∠，

PFO EFP EFO ∠=∠+∠，FPO OCF CFP ∠=∠+∠，45OCF EFO ∠=∠=︒， PFO FPO ∴∠=∠，OF OP ∴=，