弧弦圆周角关系
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解(基础)
弧、弦、圆心角、圆周角--知识讲解（基础）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】要点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.要点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。
*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。
圆周角定理
学科教师辅导讲义学员编号：年级：初三课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T(同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．基本方法归纳：正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．注意问题归纳：这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．基本方法归纳：在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．注意问题归纳：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”---圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．圆周角的概念：【例1】如图，∠BAC是圆周角的是（）变式：1、如图，图中哪些角是圆周角，哪些不是圆周角？请说明理由。
圆周角定理：【例2-1】如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=110°，则∠D等于（）【例2-2】已知圆中一条弦的长度等于它的半径，求此弦所对圆周角的度数。
人教版数学九年级上册教案-24.1.3弧、弦、圆心角
课堂上的实践活动，我发现学生们积极参与，热烈讨论。但在小组讨论环节，有些小组的讨论似乎偏离了主题。我及时进行了引导，让他们回到弧、弦、圆心角的应用上来。这也提醒了我，在今后的教学中，要更加注意引导学生关注讨论的主题。
1.培养学生运用几何图形语言描述和表达弧、弦、圆心角等概念，提高空间想象能力和几何直观能力。
2.通过探索弧、弦、圆心角之间的关系，培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。
3.结合实际操作，使学生能够运用圆周角定理解决实际问题，提高问题解决能力和创新意识。
4.培养学生合作交流、分享探究过程和结果的习惯，提高团队协作能力和口头表达能力。
5.引导学生从数学角度观察和分析现实问题，体会数学在生活中的应用，培养数学应用意识和数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-弧、弦、圆心角的定义及其分类：这是本节课的基础，要求学生能够准确理解和区分这些基本概念。
-弧、弦、圆心角之间的关系：强调圆心角所对的弧和弦的性质，以及圆周角定理的应用。
-实际问题中的运用：通过解决实际问题，让学生掌握如何将弧、弦、圆心角的理论知识应用于实际情境。
举例解释：
-弧的定义：圆上任意两点间的部分，如点A到点B的弧AB。分类为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆。
-弦的定义：圆上任意两点的连线，如点A和点B之间的线段AB。分类为直径（通过圆心的弦）和普通弦。
-圆心角的定义：以圆心为顶点的角，如角AOB，其中O为圆心。
-圆周角一半。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如通过折叠和切割圆纸片来观察圆心角和弧和弦的关系。
人教版初三数学上册 弧、弦、圆心角、圆周角 讲义
弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系解题技巧：1、顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等（知道一组相等，就可以推出其它三组相等）3、圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半4、直径所对圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径例1、下列说法正确的是_________________①相等的圆周角所对的弧相等②相等的弦所对的弧相等③等弦对等弧④等弧对等弦例2、如图，点A、B、C在⊙O上，OC、OB是半径，∠COB=100°，则∠A的度数等于（）A、20°B、40°C、50°D、100°例3、如图所示，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A、30°B、45°C、60°D、75°例4、如图，AB是⊙O的直径，BD=BC，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）A、12.5°B、30°C、40°D、50°例5、如图所示，AB是⊙的直径，AC=CD=BD，E是⊙O上一点，连接CE、DE，则∠CED的度数为（）A、25°B、30°C、40°D、60°例6、如图，⊙O的直径是AB，∠C=35°，则∠DAB的度数是（）A、60°B、55°C、50°D、45°例7、如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0）、B（0,4）两点，点C是OB上一点，且BC=2，则AC=____1、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=52°，则∠C的度数是（）A、22°B、26°C、38°D、48°2、如图，AB为⊙O直径，∠ABC=25°，则∠D的度数为（）A、70°B、75°C、60°D、65°3、如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=30°，则∠AOC的度数为（）A、80°B、100°C、120°D、无法确定4、如图，⊙O中弦AB等于半径OA，点C在优弧AB上运动，则∠ACB的度数是（）A、30°B、45°C、60°D、无法确定5、如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）A、60°B、45°C、30°D、22.5°6、如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D=35°，则∠OAB的度数是（）A、35°B、55°C、65°D、70°7、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦。
圆周角的性质
圆周角的性质圆周角是指以圆心为顶点的角。
在研究圆周角的性质之前，我们先来了解一下什么是圆上的弧。
一、圆上的弧和弦在圆上任意取两点，这两点所对应的弧，称为圆上的弧。
连接圆上任意两点的线段，称为圆上的弦。
二、圆周角的定义圆周角是由圆上的两条弧所夹的角。
圆周角通常用大写字母表示，且常以所对应的弧的两个端点字母的顺序排列。
例如∠ABC表示由弧AC和弧BC所夹的圆周角。
三、圆周角的性质1.弧所对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两条弧所对应的圆周角相等，则这两条弧相等。
即如果∠ABC = ∠ADC，则弧AC = 弧CD。
2.圆周角的度数与所对应的弧的度数相等一个圆的度数为360°，所以一个圆周角的度数不会超过360°。
如果一个圆周角的度数为x°，则它所对应的弧的度数也为x°。
3.同弧对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弧，则这两个圆周角相等。
即如果∠ABC = ∠DBC，则∠ACB = ∠DCB。
4.圆周角的补角相等若一个圆周角的度数为x°，则它的补角的度数为(360 - x)°。
即∠ABC + ∠DBE = 360°，其中∠ABC和∠DBE是互为补角的两个圆周角。
5.同弦对应的圆周角相等在同一个圆内，若有两个圆周角分别对应于同一条弦，则这两个圆周角相等。
即如果∠ABC = ∠DEB，则∠ACB = ∠DEB。
综上所述，圆周角具有相等的补角、相等的度数、相等的弧以及相等的圆周角所对应的弦等性质。
在解题时，我们可以根据这些性质进行角度的计算和推导。
圆周角,弦,弧的关系
圆周角,弦,弧的关系嘿，朋友们！今天咱们来聊聊圆里那超级有趣的圆周角、弦和弧的关系，就像是在探索一个神秘的圆之王国里的奇妙故事。
你看那圆周角啊，就像是圆这个大舞台上的小演员。
它站在圆周上，那角度的大小可是有着严格的规定，就像演员要遵循剧本的台词一样。
而且圆周角特别“爱凑热闹”，只要弦和弧一出现，它就立马跟它们产生联系。
弦呢，就像是圆里的一座桥梁。
它把圆上的两个点紧紧地连接在一起，仿佛是两个好朋友之间牵起的手。
这弦的长度不同，就好像是桥梁有长有短。
而弦越长，感觉就像造桥的时候用了更多的材料，它所对的弧也越大，就像长桥对应的路程更远一样。
弧就像是圆上的一段旅程。
有的弧长，就像长途旅行；有的弧短，那就是短途漫步啦。
弧和圆周角的关系可有趣了。
同一个弧所对的圆周角就像一群有着共同目标的小伙伴，它们的大小总是相等的。
这就好比是同一条路上的行者，不管他们站在路的哪一段，看到的风景有相似之处，这里的风景就是角度啦。
如果把圆比作一个大披萨（哎呀，突然有点饿了呢），弦就是切披萨的一刀，把披萨分成了两部分，这两部分对应的弧就像是被分开的两块披萨。
而圆周角呢，就像是坐在披萨边缘，看着被弦分割的这两块披萨的小食客，角度大小取决于这两块披萨的比例关系呢。
再夸张一点说，圆周角就像是圆这个大宇宙里的小星球，弦是连接星球的神秘轨道，弧则是小星球沿着轨道运行的轨迹。
它们三个相互影响，谁也离不开谁。
要是弦动了，就像是桥梁发生了摇晃，那它所对的弧和圆周角都要跟着改变。
就像在一个连锁反应里，一个环节出了问题，整个系统都要调整。
有时候我感觉圆周角、弦和弧就像一个魔法三角。
它们之间的关系是一种神秘的魔法力量。
当你掌握了这个魔法，就能在圆的世界里自由穿梭，轻松解答那些看似复杂的几何问题。
不管怎么说，圆周角、弦和弧的关系就是这么奇妙又有趣。
就像一场精彩的魔术表演，每次研究它们之间的关系，都像是在揭开一个新的魔术秘密，充满了惊喜和欢乐。
希望你们也能感受到这圆中三角关系的独特魅力呀！。
圆周角与圆心角、弧的关系
圆周角与圆心角、弧的关系
(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。
5．圆的内接四边形对角之和是180度。
6．弧的度数确实是圆心角的度数。
解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。
注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。
二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。
利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。
新人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系-知识点归纳及中考典型题解析
人教版初中数学——圆的性质及与圆有关的位置关系知识点归纳及中考典型例题解析一、圆的有关概念1．与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．（6）弦心距：圆心到弦的距离．2．注意（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．二、垂径定理及其推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．2．推论（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．三、圆心角、弧、弦的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．2．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．四、圆周角定理及其推论1．定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．2．推论（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．（2）直径所对的圆周角是直角．圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．五、与圆有关的位置关系1．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d．(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d=r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．2．直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交图形公共点个数0个1个2个数量关系d>r d=r d<r由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．六、切线的性质与判定1．切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点．（2）切线到圆心的距离等于圆的半径．（3）切线垂直于经过切点的半径．利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．2．切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．七、三角形与圆1．三角形的外接圆相关概念经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形．外心是三角形三条垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等．2．三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形的三条边的距离相等．考向一圆的基本认识1．在一个圆中可以画出无数条弦和直径．2．直径是弦，但弦不一定是直径．3．在同一个圆中，直径是最长的弦．4．半圆是弧，但弧不一定是半圆．弧有长度和度数，规定半圆的度数为180°，劣弧的度数小于180°，优弧的度数大于180°．5．在同圆或等圆中能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧．典例1下列命题中正确的有①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】①弦是圆上任意两点之间所连线段，所以①错误；②半径不是弦，所以②错误；③直径是最长的弦，正确；④只有180°的弧才是半圆，所以④错误，故选A．1．把圆的半径缩小到原来的14，那么圆的面积缩小到原来的A．12B．14C．18D．1162．半径为5的圆的一条弦长不可能是A．3 B．5 C．10 D．12考向二垂径定理1．垂径定理中的“弦”为直径时，结论仍然成立．2．垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据，同时也为圆的计算和作图问题提供了理论依据．典例2如图，已知⊙O的半径为6 cm，两弦AB与CD垂直相交于点E，若CE=3 cm，DE=9 cm，则AB=A3cm B．3cm C．3D．3【答案】D【解析】如图，连接OA，∵⊙O的半径为6 cm，CE+DE=12 cm，∴CD是⊙O的直径，∵CD⊥AB，∴AE=BE，OE=3，OA=6，∴AE=2233OA OE-=，∴AB=2AE=63，故选D．典例3如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为A．2 cm B．3cmC．23cm D．25cm【答案】C【解析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得OD=12OA=1cm，再根据勾股定理得：AD3，根据垂径定理得AB3．故选C．3．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为4，则弦AB的长是A．3 B．6 C．4 D．84．如图，某菜农在蔬菜基地搭建了一个横截面为圆弧形的蔬菜大棚，大棚的跨度弦AB的长为8515米，大棚顶点C离地面的高度为2.3米．（1）求该圆弧形所在圆的半径；（2）若该菜农的身高为1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有几米？考向三弧、弦、圆心角、圆周角1．圆心角的度数等于它所对弧的度数，把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份的圆心角是1°的角，1°的圆心角对着1°的弧．2．圆周角要具备两个特征：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可．典例4如图，在⊙O中∠O=50°，则∠A的度数为A．50°B．20°C．30°D．25°【答案】D【解析】∠A=12BOC=12×50°=25°．故选D．典例5如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，延长AB，CD相交于点E，若∠CAD=35°，∠CDA=40°，则∠E的度数是A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】B【解析】如图，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，由三角形内角和定理得，∠ACD=180°﹣∠CAD﹣∠CDA=105°，∴∠ABD=180°﹣∠ACD=75°，∴∠BAD=90°﹣∠ABD=15°，∴∠E=∠CDA﹣∠DAB=25°，故选B．5．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为A．103πB．109πC．59πD．518π6．如图，AB是⊙O的直径，=BC CD DE，∠COD=38°，则∠AEO的度数是A．52°B．57°C．66°D．78°考向四点、直线与圆的位置关系1．点和圆的位置关系：①在圆上；②在圆内；③在圆外．2．直线和圆的位置关系：相交、相切、相离．典例6已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位置关系是A．点A在⊙O上B．点A在⊙O内C．点A在⊙O外D．点A与圆心O重合【答案】C【解析】∵O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故选C．【点睛】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．典例7在△ABC中，AB=AC=2，∠A=150°，那么半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．无法确定【答案】B【解析】过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，∵∠BAC=150，∴∠DAB=30°，∴BD=11222AB=⨯=1，即B到直线AC的距离等于⊙B的半径，∴半径长为1的⊙B和直线AC的位置关系是相切，故选B．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，过B作BD⊥AC交CA的延长线于D，求出BD和⊙B的半径比较即可，主要考查学生的推理能力．7．如图，⊙O的半径为5cm，直线l到点O的距离OM=3cm，点A在l上，AM=3．8cm，则点A与⊙O的位置关系是A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．以上都有可能8．如图，⊙O的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A、B两点，AB=8cm，则l沿OC 所在直线向下平移__________cm时与⊙O相切．考向五切线的性质与判定有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径，这是圆中作辅助线的一种方法．典例8如图，⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，近接AP，交⊙O于C，若∠PBC=50°，∠ABC=A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解析】∵⊙O以AB为直径，PB切⊙O于B，∴∠PBA=90°，∵∠PBC=50°，∴∠ABC=40°．故选B．典例9如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，点E在中线AD上，以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，则⊙E的半径为A．78B．67C．56D．1【答案】B【解析】作EH⊥AC于H，EF⊥BC于F，EG⊥AB于G，连接EB，EC，设⊙E的半径为r，如图，∵∠C=90°，AB=5，AC=3，∴BC22AB AC-，而AD为中线，∴DC=2，∵以E为圆心的⊙E分别与AB、BC相切，∴EG=EF=r，∴HC=r，AH=3–r，∵EH∥BC，∴△AEH∽△ADC，∴EH∶CD=AH∶AC，即EH=233r-（），∵S △ABE +S △BCE +S △ACE =S △ABC ， ∴()1112154333422232r r r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯，∴67r =．故选B ．9．已知四边形ABCD 是梯形，且AD ∥BC ，AD <BC ，又⊙O 与AB 、AD 、CD 分别相切于点E 、F 、G ，圆心O 在BC 上，则AB +CD 与BC 的大小关系是 A ．大于 B ．等于C ．小于D ．不能确定10．如图，以等腰△ABC 的腰AB 为⊙O 的直径交底边BC 于D ，DE AC ⊥于E ．求证：（1）DB DC =； （2）DE 为⊙O 的切线．1．下列关于圆的叙述正确的有①圆内接四边形的对角互补； ②相等的圆周角所对的弧相等；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等； ④同圆中的平行弦所夹的弧相等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A 、B 除外），∠AOD =136°，则∠C 的度数是A ．44°B ．22°C ．46°D ．36°3．如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE =6，∠BAC ＋∠EAD =180°，则弦BC 的长等于A ．41B ．34C ．8D ．64．如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，则圆心坐标是A ．点（1，0）B ．点（2，1）C ．点（2，0）D ．点(2．5，1)5．如图，O 的直径8AB =，30CBD ∠=︒，则CD 的长为A ．2B ．3C ．4D ．36．如图，一圆内切四边形ABCD ，且BC =10，AD =7，则四边形的周长为A ．32B ．34C ．36D ．387．已知在⊙O 中，AB =BC ，且34AB AMC =∶∶，则∠AOC =__________．8．如图，A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，∠B =130°，则∠AOC 的度数是__________．9．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，并与圆O 的切线DC 分别相交于D 、C ．已知△PCD 的周长等于14 cm ，则PA =__________cm ．10．如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB AD =，120C ∠=︒，点E 在弧AD 上．若AE 恰好为⊙O的内接正十边形的一边，DE 的度数为__________．11．如图，半圆O 的直径是AB ，弦AC 与弦BD 交于点E ，且OD ⊥AC ，若∠DEF =60°，则tan ∠ABD =__________．12．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF 的延长线于点E，交AB的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如果半径的长为3，tan D=34，求AE的长．13．如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．14．如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA=∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD⊥CD，CD=2，AD=4，求直径AB的长；（3）如图2，当∠DAB=45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．1．如图，在O 中，AB 所对的圆周角50ACB ∠=︒，若P 为AB 上一点，55AOP ∠=︒，则POB ∠的度数为A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°2．如图，AD 是O 的直径，AB CD =，若40AOB ∠=︒，则圆周角BPC ∠的度数是A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为A ．25B ．4C ．213D ．4.84．如图，PA 、PB 为圆O 的切线，切点分别为A 、B ，PO 交AB 于点C ，PO 的延长线交圆O 于点D ，下列结论不一定成立的是A ．PA =PB B ．∠BPD =∠APDC ．AB ⊥PDD ．AB 平分PD5．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB =55°，则∠APB 等于A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°6．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若∠C =40°，则∠B 的度数为A ．60°B ．50°C ．40°D ．30°7．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 是圆上两点，且∠AOC =126°，则∠CDB =A ．54°B ．64°C ．27°D ．37°8．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD △∽△；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，C 、D 两点在以AB 为直径的圆上，2AB =，30ACD ∠=︒，则AD =__________．10．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠CAB =30°，∠CBA =45°，CD ⊥AB 于点D ，若⊙O 的半径为2，则CD 的长为__________．11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC=2∠CAD；（2）若AF=10，BC=45，求tan∠BAD的值．12．如图，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是BD上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．（1）求证：△ADF≌△BDG；（2）填空：①若AB=4，且点E是BD的中点，则DF的长为__________；②取AE的中点H，当∠EAB的度数为__________时，四边形OBEH为菱形．1．【答案】D【解析】设原来的圆的半径为r ，则面积S 1=πr 2， ∴半径缩小到原来的14后所得新圆的面积22211π()π416S r r ==， ∴22211π116π16rS S r ==，故选D ． 2．【答案】D【解析】∵圆的半径为5，∴圆的直径为10，又∵直径是圆中最长的弦，∴圆中任意一条弦的长度10l ≤，故选D ． 3．【答案】B【解析】如图，连接OA ，∵O 的直径为10，5OA ∴=，∵圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为4， 由垂径定理知，点M 是AB 的中点，12AM AB =， 由勾股定理可得，3AM =，所以6AB =．故选B ．4．【解析】（1）如图所示：CO ⊥AB 于点D ，设圆弧形所在圆的半径为xm ，根据题意可得：DO 2+BD 2=BO 2， 则（x –2．3）2+851×12）2=x 2，解得x =3． 变式训练答：圆弧形所在圆的半径为3米；（2）如图所示：当MN =1.7米，则过点N 作NF ⊥CO 于点F ，可得：DF =1.7米，则FO =2.4米，NO =3米，故FN =223 2.4-=1.8（米）， 故该菜农身高1.70米，则他在不弯腰的情况下，横向活动的范围有3．6米． 5．【答案】B【解析】根据题意可知：∠OAC =∠OCA =50°，则∠BOC =2∠OAC =100°，则弧BC 的长度为：100π210π1809⨯=，故选B ．6．【答案】B【解析】∵=BC CD DE =，∴∠BOC =∠DOE =∠COD =38°， ∴∠BOE =∠BOC +∠DOE +∠COD =114°，∴∠AOE =180°–∠BOE =66°， ∵OA =OE ，∴∠AEO =（180°–∠AOE ）÷2=57°，故选B ． 7．【答案】A【解析】如图，连接OA ，则在直角△OMA 中，根据勾股定理得到OA =223 3.823.445+=<． ∴点A 与⊙O 的位置关系是：点A 在⊙O 内．故选A ．8．【答案】2【解析】连接OA ．∵直线和圆相切时，OH =5，又∵在直角三角形OHA 中，HA =AB ÷2=4，OA =5，∴OH =3． ∴需要平移5–3=2（cm ）．故答案为：2．【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，应满足d =R ． 9．【答案】B【解析】如图，连接OF ，OA ，OE ，作AH ⊥BC 于H ．∵AD 是切线，∴OF ⊥AD ，易证四边形AHOF 是矩形，∴AH =OF =OE ， ∵S △AOB =12•OB •AH =12•AB •OE ，∴OB =AB ，同理可证：CD =CO ， ∴AB +CD =BC ，故选B ．【点睛】本题考查了切线的性质，切线垂直于过切点的半径，正确作出辅助线是关键． 10．【解析】（1）如图，连AD ，∵AB 是直径，∴90ADB ∠=︒，AD BC ⊥， 又AB AC =，∴D 为BC 中点，DB DC =； （2）连OD ，∵D 为BC 中点，OA OB =， ∴OD 为ABC △中位线，OD AC ∥， 又DE AC ⊥于,E ∴90ODE DEC ∠=∠=︒， ∴DE 为⊙O 的切线．1．【答案】B【解析】①圆内接四边形的对角互补；正确；②相等的圆周角所对的弧相等；错误；③正多边形内切圆的半径与正多边形的半径相等；错误；④同圆中的平行弦所夹的弧相等；正确； 正确的有2个，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵∠AOD =136°，∴∠BOD =44°，∴∠C =22°，故选B ． 3．【答案】C【解析】如图，延长CA ，交⊙A 于点F ，考点冲关∵∠BAC+∠BAF=180°，∠BAC+∠EAD=180°，∴∠BAF=∠DAE，∴BF=DE=6，∵CF是直径，∴∠ABF=90°，CF=2×5=10，∴BC=228CF BF-=．故选C．4．【答案】C【解析】根据勾股定理可知A、B、C点到（2，0）的距离均为5，然后可知圆心为（2，0）或者通过AB、BC的垂直平分线求解也可以．故选C．5．【答案】C【解析】如图，作直径DE，连接CE，则∠DCE=90°，∵∠DBC=30°，∴∠DEC=∠DBC=30°，∵DE=AB=8，∴12DC DE==4，故选C．6．【答案】B【解析】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．故选B．7．【答案】144°【解析】根据AB=BC可得：弧AB的度数和弧BC的度数相等，则弧AMC的度数为：(360°÷10)×4=144°，则∠AOC =144°． 8．【答案】100°【解析】∵∠B =130°，∴∠D =180°－130°=50°，∴∠AOC =2∠D =100°．故答案为100°． 9．【答案】7【解析】如图，设DC 与⊙O 的切点为E ；∵PA 、PB 分别是⊙O 的切线，且切点为A 、B ，∴PA =PB ； 同理，可得：DE =DA ，CE =CB ；则△PCD 的周长=PD +DE +CE +PC =PD +DA +PC +CB =PA +PB =14（cm ）； ∴PA =PB =7cm ，故答案是：7． 10．【答案】84︒【解析】如图，连接BD ，OA ，OE ，OD ，∵四边形ABCD 是圆的内接四边形，∴180BAD C ∠+∠=︒， ∵120C ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∵AB AD =，∴ABD △是正三角形，∴60ABD ∠=︒，2120AOD ABD ∠=∠=︒， ∵AE 恰好是⊙的内接正十边形的一边，∴3603610AOE ︒∠==︒， ∴1203684DOE ∠=︒-︒=︒，∴DE 的度数为84°．故答案为：84°．113【解析】∵OD ⊥AC ，∠DEF =60°， ∴∠D =30°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠D=30°，∴tan∠ABD=33，故答案为：33．12．【解析】（1）连接OC，如图．∵点C为弧BF的中点，∴弧BC=弧CF，∴∠BAC=∠FAC．∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OCA=∠FAC，∴OC∥AE．∵AE⊥DE，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△OCD中，∵tan D=34OCCD=，OC=3，∴CD=4，∴OD=22OC CD+=5，∴AD=OD+AO=8．在Rt△ADE中，∵sin D=35OC AEOD AD==，∴AE=245．13．【解析】（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：如图，连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°–90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8–x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8–x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．14．【解析】（1）如图1，连接OC．∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∵∠DCA=∠B，∴∠DCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=90°，即∠DCO=90°，∴CD是⊙O的切线．（2）∵AD⊥CD，CD=2，AD=4．∴222425AC=+=由（1）可知∠DCA=∠B，∠D=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD ACAC AB=2525=，∴AB=5．（3）2AC BC EC=+，如图2，连接BE，在AC上截取AF=BC，连接EF．∵AB 是直径，∠DAB =45°， ∴∠AEB =90°，∴△AEB 是等腰直角三角形， ∴AE =BE ，又∵∠EAC =∠EBC ，∴△ECB ≌△EFA ，∴EF =EC ， ∵∠ACE =∠ABE =45°， ∴△FEC 是等腰直角三角形， ∴2FC EC =，∴2AC AF FC BC EC =+=．1．【答案】B【解析】∵∠ACB =50°，∴∠AOB =2∠ACB =100°，∵∠AOP =55°，∴∠POB =45°，故选B ． 2．【答案】B【解析】∵AB CD =，40AOB ∠=︒，∴40COD AOB ∠=∠=︒， ∵180AOB BOC COD ∠+∠+∠=︒，∴100BOC ∠=︒， ∴1502BPC BOC ∠=∠=︒，故选B ． 3．【答案】C【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴22221086BC AB AC =--=，∵OD AC ⊥，∴142CD AD AC ===， 直通中考在Rt CBD △中，2246213BD =+=．故选C ．4．【答案】D【解析】∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA =PB ，所以A 成立；∠BPD =∠APD ，所以B 成立； ∴AB ⊥PD ，所以C 成立；∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥PD ，且AC =BC ，只有当AD ∥PB ，BD ∥PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立，故选D ． 5．【答案】B【解析】如图，连接OA ，OB ，∵PA ，PB 是⊙O 的切线，∴PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，∵∠ACB =55°，∴∠AOB =110°， ∴∠APB =360°-90°-90°-110°=70°．故选B ．6．【答案】B【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，且∠C =40°，∴∠ABC =50°，故选B ． 7．【答案】C【解析】∵∠AOC =126°，∴∠BOC =180°-∠AOC =54°，∵∠CDB =12∠BOC =27°．故选C ． 8．【答案】A【解析】如图，连接DO ．∵AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，∴90CBO ∠=︒，∵AD OC ∥，∴DAO COB ∠=∠，ADO COD ∠=∠． 又∵OA OD =，∴DAO ADO ∠=∠，∴COD COB ∠=∠．在COD △和COB △中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴COD COB △≌△，∴90CDO CBO ∠=∠=︒．又∵点D 在O 上，∴CD 是O 的切线，故①正确，∵COD COB △≌△，∴CD CB =，∵OD OB =，∴CO 垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； ∵AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，∴90EDO ADB ∠=∠=︒，∴90EDA ADO BDO ADO ∠+∠=∠+∠=︒，∴ADE BDO ∠=∠， ∵OD OB =，∴ODB OBD ∠=∠，∴EDA DBE ∠=∠， ∵E E ∠=∠，∴EDA EBD △∽△，故③正确；∵90EDO EBC ∠=∠=︒，E E ∠=∠，∴EOD ECB △∽△， ∴ED ODBE BC=，∵OD OB =， ∴ED BC BO BE ⋅=⋅，故④正确，故选A ． 9．【答案】1【解析】∵AB 为直径，∴90ADB ∠=︒，∵30B ACD ∠=∠=︒，∴112122AD AB ==⨯=． 故答案为：1． 10．【答案】2【解析】如图，连接CO 并延长交⊙O 于E ，连接BE ，则∠E =∠A =30°，∠EBC =90°，∵⊙O 的半径为2，∴CE =4，∴BC =12CE =2， ∵CD ⊥AB ，∠CBA =45°，∴CD =22BC =2，故答案为：2． 11．【解析】（1）∵AB =AC ，∴AB AC =，∠ABC =∠ACB ，∴∠ABC =∠ADB ，∠ABC =（180°-∠BAC ）=90°-∠BAC ，∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°-∠CAD，∴12∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=2∠CAD．（2）∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCF，∴∠BDC=2∠DFC，∴∠BFC=12∠BDC=12∠BAC=∠FBC，∴CB=CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB=AF=10，AC=10．又BC=45，设AE=x，CE=10-x，由AB2-AE2=BC2-CE2，得100-x2=80-（10-x）2，解得x=6，∴AE=6，BE=8，CE=4，∴DE=648AE CEBE⋅⨯==3，∴BD=BE+DE=3+8=11，如图，作DH⊥AB，垂足为H，∵12AB·DH=12BD·AE，∴DH=11633105 BD AEAB⋅⨯==，∴BH2244 5BD DH-=，∴AH=AB-BH=10-446 55=，∴tan∠BAD=331162 DHAH==．12．【解析】（1）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∴∠DAF+∠BGD=∠DBG+∠BGD=90°，∴∠DAF=∠DBG，∵∠ABD+∠BAC=90°，∴∠ABD=∠BAC=45°，∴AD=BD，∴△ADF≌△BDG．（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是BD的中点，∴∠BAE=∠DAE，∵FD⊥AD，FH⊥AB，∴FH=FD，∵FHBF=sin∠ABD=sin45°2，∴22FDBF=BF2FD，∵AB=4，∴BD=4cos45°2，即BF+FD22+1）FD2，∴FD=2221=4-22，故答案为：4-22．②连接OH，EH，∵点H是AE的中点，∴OH⊥AE，∵∠AEB=90°，∴BE⊥AE，∴BE∥OH，∵四边形OBEH为菱形，∴BE=OH=OB=12 AB，∴sin∠EAB=BEAB=12，∴∠EAB=30°．故答案为：30°．31。
圆周角定理及推论证明
圆周角定理及推论证明圆周角定理是指圆内对同一弧所对的两个角的和等于180°。
圆周角的定义是指，在圆上的两条弦所对的角。
在证明圆周角定理之前，我们先来看一些基本概念和性质。
首先，我们知道在同一圆中，两条弦所对的弧度是相等的。
这是因为圆周角的定义指的是在圆上的两条弦所对的角，而弧度是与弦对应的部分。
因此，由于两条弦所对的弧度相等，所以它们所对的圆周角也相等。
其次，我们需要了解乘法原理。
乘法原理指的是，如果一件事情可以分成n个相同的步骤进行，而每个步骤都可以选择m种不同的方式进行，那么这件事情一共有n*m种不同的方式。
根据乘法原理，如果在同一圆周上选取两个点，那么连接这两个点的弦的数目就是这两个点所决定的，即两个点决定的弦的数目是唯一确定的。
现在，我们开始证明圆周角定理。
为了方便理解，我们可以将圆周上的两个点分别命名为A和B，且连接这两个点的弦为AC和BC。
我们需要证明的是∠ACB+∠AOB=180°，其中O为圆心。
首先，我们将圆弧AC和BC分别延长，分别与OB和OA相交于D和E。
连接OC、OD和OE，并假设∠ACB=x°，∠AOB=y°，∠COD=z°，∠EOC=w°。
根据基本性质1，我们知道两条弦所对的弧度是相等的，即弧AC与弧BC的弧度相等。
那么，根据基本性质2，我们可以得出两个结论：1）弧AD与弧BE的弧度也相等；2）弧AC与弧AD所对的角度相等，弧BC与弧BE所对的角度相等。
接下来，我们观察△COD和△EOC。
由于∠COD和∠EOC的两边OC相等，所以根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出z°>w°（1）。
同时，由于∠COD和∠EOC是邻补角，所以z°+w°=180°。
再来看△AOD和△BOC。
由于OA=OC，同样根据三角形中两边夹角的大小关系，我们可以得出∠OAD>∠OBC（2）。
垂径定理-弦-弧-圆心角-圆周角-
圆的对称性，圆周角1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
3. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论: 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆周角和圆心角的关系:1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.2. 圆周角定理； 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等； 推论2: 半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；1、如图，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，•错误的是（A 、CE=DEB 、BC BD = C 、∠BAC=∠BAD D 、AC >AD2、如图，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB 的长是（A 、4 B 、6 C 、7 D 、83、某居民小区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图所示，污水水面宽度为60cm ，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备_________cm 内径的管道（内径指内部直径）． 4、如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心，•其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．5、如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 为弦，D 是AC 的中点，6BC cm =，求OD 的长.7. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？第4题CE O A D B 8. 等腰三角形ABC 中，B 、C 为定点，且AC=AB ，D 为BC 中点，以BC 为直径作圆D 。
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版知识精讲
九年级数学第二十四章弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系人教实验版【本讲教育信息】一、教学内容：弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系 1. 圆心角、圆周角的概念. 2. 弧、弦、圆心角之间的关系. 3. 圆周角定理及推论.二、知识要点：1. 弧、弦、圆心角（1）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. （2）弧、弦、圆心角之间的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等.如图所示，（1）若∠AOB ＝∠COD ，则︵AB ＝︵CD ，AB ＝CD ；（2）若︵AB ＝︵CD ，则∠AOB ＝∠COD ，AB ＝CD ；（3）若AB ＝CD ，则∠AOB ＝∠COD ，︵AB ＝︵CD.OABCD2. 圆周角（1）顶点在圆上，并且两边与圆都相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.③②①（3）推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.三、重点难点：本节重点是圆心角、弦、弧之间的相等关系及圆周角定理. 难点是从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧之间的相等关系以及圆周角定理的证明.【典型例题】例1. 在⊙O 中，如图所示，∠AOB ＝∠DOC ，试说明：（1）︵DB ＝︵AC ； （2）BD ＝AC.B分析：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，∴︵BD ＝︵AC. （2）∵在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，∴BD ＝AC.解：（1）∵∠DOC ＝∠AOB ，∴︵DC ＝︵AB ， ∴︵DC ＋︵BC ＝︵AB ＋︵BC ，即︵BD ＝︵AC.（2）由（1）得︵BD ＝︵AC ，∴BD ＝AC.例2. 如图所示，C 是︵AB 的中点，与∠ADC 相等的角的个数是（ ） A. 7个 B. 3个 C. 2个 D. 1个分析：由同弧或等弧所对的圆周角相等知，∠ADC ＝∠ABC ＝∠CAB ＝∠CDB ，故与∠ADC 相等的角共有3个.解：B评析：同弧或等弧所对的圆周角相等常用来证明两角相等；或进行角的转换，将一个圆周角转换为同弧所对的其他圆周角，从而达到题目中的要求.例3. 如图所示，BC 为半圆O 的直径，G 是半圆上异于B 、C 的点，A 是︵BG 的中点，AD ⊥BC 于点D ，BG 交AD 于点E ，请说明AE ＝BE.分析：在圆中，有关直径的问题常常需要添加辅助线，以便利用直径所对的圆周角是直角的性质，因此，欲说明AE 与BE 相等，可转化为说明∠BAD ＝∠ABE ，圆周角∠ABE 所对的弧为︵AG ，连结AB 、AC 即可解决问题.C解：连结AB 、AC. ∵︵AB ＝︵AG ，∴∠ABE ＝∠ACB. 又∵AD ⊥BC ，∴∠ABD ＋∠BAE ＝90°.∵BC 为直径，∴∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BCA ＝90°， ∴∠BCA ＝∠BAE. ∴∠BAE ＝∠ABG ， ∴AE ＝BE.例4. 如图所示，在⊙O 中，∠AOC ＝150°，求∠ABC 、∠ADC 、∠EBC 的度数，并判断∠ABC 和∠ADC 、∠EBC 和∠ADC 的度数关系.分析：解题的关键是分清同弧所对的圆心角和圆周角，如劣弧AC 所对的圆心角是∠AOC ，所对的圆周角是∠ABC ，优弧ABC 所对的圆心角是大于平角的∠α，所对的圆周角是∠ADC.解：∵∠AOC ＝150°，∴∠ABC ＝12∠AOC ＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC ＝360°－150°＝210°，∴∠ADC ＝12∠α＝105°，∠EBC ＝180°－∠ABC ＝180°－75°＝105°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝75°＋105°＝180°，∠EBC ＝∠ADC ＝105°， ∴∠ABC 和∠ADC 互补，∠EBC 和∠ADC 相等. 评析：理解圆周角的概念，分清同弧所对的圆心角和圆周角是熟练运用圆周角性质解题的前提.例5. 如图所示，AB 、CD 是⊙O 的弦，∠A ＝∠C. 求证：AB ＝CD.分析：此题的证明方法很多，由于AB 和CD 在圆中，且为弦，可证明AB 和CD 所对的圆心角相等或弧相等，也可直接或间接利用全等证明AB 和CD 相等. 等等.解法一：如图（1）所示，过点O 作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F.∴AB ＝2AE ，CD ＝2CF ，∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 又∵∠A ＝∠C ，OA ＝OC ， ∴△AOE ≌△COF ，∴AE ＝CF. ∴AB ＝CD.(1)解法二：如图（2）所示，连结OB 、OD.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D. ∵∠A ＝∠C ，∴∠B ＝∠D. ∴△OAB ≌△OCD ，∴AB ＝CD.(2)(3)解法三：如图（3）所示，连结AC. ∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠3.又∵∠BAO ＝∠DCO ，∴∠2＝∠4. ∴︵BC ＝︵AD.∴︵BC ＋︵BD ＝︵AD ＋︵BD ，即︵AB ＝︵CD ， ∴AB ＝CD.例6. AB 、BC 、CA 是⊙O 的三条弦，O 到AB 的距离OE 等于12AB ，求∠C 的度数.分析：∠C 可能为一个钝角，也可能为一个锐角，要分类画图、分析和解答.BB m解：如图（1）所示，连结AO 、BO.因为OE ⊥AB ，所以EB ＝AE ＝12AB.又OE ＝12AB ，所以EB ＝OE ＝AE.所以∠EBO ＝∠EOB ＝∠EOA ＝∠EAO ＝45°.所以∠C ＝12∠AOB ＝12（∠AOE ＋∠EOB ）＝12×90°＝45°.如图（2）所示，由（1）得∠AOB ＝90°，所以优弧A m B 所对的圆心角是270°，所以∠C ＝135°.即∠C 的度数为45°或135°.评析：图（1）中，△ABC 为锐角三角形，圆心在△ABC 内部；图（2）中，△ABC 为钝角三角形，圆心O 在△ABC 外部，两种情形都符合题意，所以本题应有两解.【方法总结】1. 圆不仅是轴对称图形和中心对称图形，实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合，这样就把圆和其他的中心对称图形区别开来，即圆不仅是中心对称图形，而且还突破了中心对称图形旋转180°后才能与原来图形重合的局限性，得出圆所特有的性质：圆绕圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，这叫做圆的旋转不变性. 利用这一性质可以推出圆的一些其他性质.2. 在利用圆心角、弧、弦的关系定理解题时，我们应注意：①作圆心到弦的垂线是圆中一种常见的作辅助线的方法；②由圆心到弦的垂线、弧、圆心角的相等来证明弦相等是证明线段相等的一条重要途径.3. 圆周角定理及其推论在证明和计算中应用非常广泛，它是证明角相等、线（弦）相等、弧相等的重要依据，尤其是其推论为在圆中确定直角、构成垂直关系创造了条件，它是圆中的一个很重要的性质，要熟练掌握. 同时它也是证明弦为直径的常用方法，若图中有直径，往往构造直径所对的圆周角形成直角，这也是圆中重要的辅助线.【预习导学案】（点和圆的位置关系）一、预习前知1. 圆可以看作是到__________的距离等于__________的点的集合，也就是说圆上的点到圆心的距离都等于__________.2. 圆的内部可以看作是到__________的距离小于半径的点的集合.3. 圆的外部可以看作是到__________的距离大于半径的点的集合.二、预习导学1. ⊙O 的半径r ＝5cm ，圆心O 到直线的距离OD ＝3cm . 点A 、B 、C 在直线l 上，若AD ＝23cm ，BD ＝4cm ，CD ＝5cm . 则点A 在⊙O__________，点B 在⊙O__________，点C 在⊙O__________.2. 下列条件中，可以画一个圆，并且只可以画一个圆的条件是（ ） A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知三点 D. 过直线上两点和直线外一点3. 三角形外接圆的圆心是（ ） A. 三内角平分线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三中线的交点 D. 三高线的交点4. 用反证法证明：“在△ABC 中，至少有两个内角是锐角”时，第一步假设__________成立.反思：（1）点和圆有哪些位置关系？（2）经过不在同一直线上的三点画圆的时候，如何确定圆心？（3）反证法的基本思路和一般步骤是怎样的？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、选择题1. 一条弦分圆周为5∶7，这条弦所对的两个圆周角分别为（ ）A. 150°，210°B. 75°，105°C. 60°，120°D. 120°，240°2. 已知AC 为⊙O 的直径，弦AB ＝10cm ，∠BAC ＝30°，那么⊙O 的半径为（ ）A. 5cmB. 52cmC. 1033cmD. 2033cm3. 如图所示，⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，已知∠ECB ＝60°，∠AED ＝65°，那么，ADE的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 55°D. 65°*4. 如图所示，劣弧︵AE 所对的圆心角为40°，则∠B ＋∠D 等于（ ） A. 320° B. 160° C. 300° D. 260°D5. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，∠ACD ＝15°，则∠BAD 的度数为（ ） A. 75° B. 72° C. 70° D. 65°6. 如图所示，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数为（ ） A. 80° B. 100° C. 120°D. 130°**7. 已知⊙O 的半径为6cm ，⊙O 的一条弦AB 的长为63cm ，则弦AB 所对的圆周角是（ ） A. 30° B. 60° C. 30°或150° D. 60°或120°二、填空题1. 如图所示，D 、E 分别是⊙O 的半径OA 、OB 上的点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，CD ＝CE ，则AC 与CB 弧长的大小关系是__________.2. 如图所示，点A 、B 、C 、E 都在圆周上，AE 平分∠BAC 交BC 于点D ，则图中相等的圆周角是__________.3. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，︵BC ＝︵BD ，∠A ＝30°，则∠BOD ＝__________.AB4. 如图所示，已知⊙O 的半径为2，圆周角∠ABC ＝30°，则弦AC 的长是__________.5. 如图所示，AB 是半圆O 的直径，∠BAC ＝40°，D 是︵AC 上任意一点，那么∠D 的度数是__________.A**6. 如图所示，A 、B 、C 、D 、E 是⊙O 上顺次五点，且AB ＝BC ＝CD ，如果∠BAD ＝50°，那么∠AED ＝__________.B三、解答题1. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E 、F. （1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？（2）如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？︵AB 与︵CD 的大小关系？为什么？∠AOB 与∠COD 呢？BD2. 如图所示，AB 、DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且AD ＝CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？*3. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且AC ＝PC. PB 的延长线交⊙O 于D. 求证：AC ＝DC.P*4. 如图所示，已知A 、B 、C 、F 、G 是⊙O 上的五点，AF 交BC 于点D ，AG 交BC 于点E ，且BD ＝CE ，∠1＝∠2. 求证：AB ＝AC.试题答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A6. D7. D二、填空题 1. 相等2. ∠ABC ＝∠AEC ，∠ACB ＝∠AEB ，∠BAE ＝∠CAE ＝∠BCE ＝∠CBE3. 60°4. 25. 130°6. 75°三、解答题1.（1）如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE ＝OF ，理由是：因为∠AOB ＝∠COD ，所以AB ＝CD. 因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，所以AE ＝CF. 又因为OA ＝OC ，所以R t △OAE≌R t △OCF. 所以OE ＝OF. （2）如果OE ＝OF ，那么AB ＝CD ，︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD ，理由是：因为OA ＝OC ，OE ＝OF ，所以R t △OAE ≌R t △OCF. 所以AE ＝CF ，又因为OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，所以AE ＝12AB ，CF ＝12CD. 所以AB ＝2AE ，CD ＝2CF. 所以AB ＝CD. 所以︵AB ＝︵CD ，∠AOB ＝∠COD.2. BE ＝CE. 理由：∵AB 、DE 为⊙O 的两条相交的直径，∴∠AOD ＝∠BOE ，∴BE ＝AD ，又∵AD ＝CE ，∴BE ＝CE.3. 连结AD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADP ＝90°，∵AC ＝CP ，∴CD ＝12AP. ∴CD ＝AC ＝12AP.∴AC ＝DC.4.∵∠1＝∠2，∴⌒BF ＝⌒CG ，∴BF ＝CG ，⌒BG ＝⌒CF ，∴∠FBC ＝∠GCE. 又BD ＝CE ，∴△BFD ≌△CGE （SAS ），∴∠F ＝∠G. ∴⌒AB ＝⌒AC ，∴AB ＝AC.。
圆心角、弦、弧、圆周角之间的推导
圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系是几何学中常见的概念。
在此文档中，我们将推导这些概念之间的关系，并解释它们在圆的几何中的重要性。
首先，让我们定义这些概念：•圆心角：圆心角指的是以圆心为顶点的角。
•弦：弦是连接圆上两点的线段。
•弧：弧是圆上两点之间的曲线部分。
•圆周角：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
接下来，我们将探讨这些概念之间的关系。
1.弧和圆心角的关系：当我们考虑一个圆上的弧时，圆心角是与该弧相对应的角度，两者是一一对应关系。
换句话说，一个弧唯一对应一个圆心角，一个圆心角也唯一对应一个弧。
例如，如果给定一个半径为r的圆，圆心角为θ度，那么对应的弧长可以通过以下公式计算：弧长= (θ/360) × 2πr。
2.弦、弧和圆心角的关系：在圆上，如果一个弦和圆心角相等，那么它所对应的弧的长度也是相等的。
这表明弦、弧和圆心角之间存在着等量关系。
换句话说，如果两个弦所对应的圆心角相等，那么它们所对应的弧的长度也是相等的。
这个关系可以通过圆心角的定义进行证明。
由于圆心角是以圆心为顶点的角，所以它们的两条边与圆上的两条弦相等，因此对应的弧长也相等。
3.圆周角和圆心角的关系：圆周角是以圆上两条弧为两边的角。
当一个圆周角的两个角点分别在圆上的两条弧的端点时，这两条弧所对应的圆心角恰好等于圆周角的大小。
这个关系可以通过对圆心角和圆周角的定义进行证明。
圆周角的两个角点分别位于圆上的两条弧的端点，因此对应的圆周角的大小就等于这两个圆心角之和。
通过上述推导，我们可以看出圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系密切相关。
它们在圆的几何中起到重要的作用，帮助我们研究和解决各种与圆相关的问题。
这些概念的理解不仅对于数学学习具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，例如建筑、工程和物理学等领域。
总结起来，圆心角、弦、弧和圆周角之间的关系可以通过定义和几何推导来解释。
这些概念在圆的几何中相互关联，为我们理解和研究圆提供了重要的工具和观点。
四周量的关系
如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂 足，E是弧BC的中点， 求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
如图，△ABC是圆O的内接三角形，且AB≠AC，∠ABC和∠ACB 的平分线，分别交圆O于点D，E，且BD=CE，则∠A等于（ ）
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=36°，以C为圆心， CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E．求弧AD、DE的度 数．
如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=2 3 cm． （1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O的周长
已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1， 以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点 A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则 AE的长为（ ）
如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC=30°，过圆心 O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为 （ ）度．
四组量的关系
1、四组量关系
2、圆周角定理及推论
四组量关系：
在同圆或等圆中，在圆心角、圆周角、弦、弧这四组量中，如 果其中有一组量相等，那么其余三组量也相等（知一推三） 注意：其中“等弦对等圆周角”，需是弦的同侧的圆周角
圆周角定理： （1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角 （2）90°圆周角所对的弦是直径 确定圆心的方法： (1)弦的垂直平分线过圆心 (2)90°圆周角所对的弦过圆心
如图，圆O的半径OD⊥AB于点C，连接AO并延长交圆O 于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长________
如图，⊙O中的弦AB=CD，求证：AD=BC
如图所示，以平行边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作 圆，作AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：GE＝EF
最新中考数学：圆周角弧弦的关系
圆周角、弧、弦的关系例1.如图，过⊙O的直径AB上两点M，N，分别作弦CD，EF，若CD∥EF，AC=BF．求证：（1）弧BEC=弧ADF；（2）AM=BN．例2.已知：如图，在⊙O中，弦AB的长是半径OA的3倍，C为弧AB的中点．AB、OC相交于P点，求证：四边形OACB是菱形．例3.如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B 重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．例4.已知：如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB=CD．求证：∠OBA=∠ODC．演练方阵A档（巩固专练）1．（2011•巴中）下列说法中，正确的有（）①两边及一内角相等的两个三角形全等；②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线；③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等；2．（2013•厦门）如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（）A．150°B．75°C．60°D．15°3．（2008•庆阳）如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．C E=DE C．O E=BE D．4．（2005•茂名）下列三个命题：①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分这条弦；③相等圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③5．（2013•奉贤区一模）在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（）A．这两条弦所对的弦心距相等B．这两条弦所对的圆心角相等C．这两条弦所对的弧相等D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分6．如图，⊙O中，如果=2，那么（）A．A B=AC B．A B=AC C．A B＜2AC D．A B＞2AC7．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．（2013•太仓市二模）如图，直尺ABCD的一边与量角器的零刻度线重合，若从量角器的中心O引射线OF经过刻度120°，交AD交于点E，则∠DEF=_________°．9．（2013•南京二模）如图，点A1、A2、A3、A4、A5在⊙O上，且====，B、C分别是A1A2、A2A3上两点，A1B=A2C，A5B 与A1C相交于点D，则∠A5DC的度数为_________．10．如图，AC是⊙O的直径，AB=AC，AB交⊙O于E，BC交⊙O于D，∠A=44°，则的度数是_________度．B档（提升精练）11．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，=2，则∠ABC=_________度．12．如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为_________．13．已知半径为5的⊙O中，弦AB=5，弦AC=5，则∠BAC的度数是_________．14．如图，⊙O上B、D两点位于弦AC的两侧，，若∠D=62°，则∠AOB=_________．15．如图，PO是直径所在的直线，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则：①AB=CD；②弧AB等于弧CD；③PO=PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB=PD；其中结论正确的是_________（填序号）16．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB=24，则图中阴影部分的面积是_________．17．如图，CD是半圆的直径，O为圆心，E是半圆上一点，且∠EOD=93°，A是DC延长线上一点，AE与半圆相交于点B，如果AB=OC，则∠EAD=_________°，∠EOB=_________°，∠ODE=_________．18．（2010•潍坊）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC=CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．19．（2008•天津）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．（Ⅰ）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2；（思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．）（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．20．（2004•泉州）如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AD：BC=5：3，试求⊙O的半径．C档（跨越导练）21．（2001•宁夏）用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．22．（2007•天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上．（1）若，求∠DAB和∠ABC的大小；（2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小．23．如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD．（1）求证：AC=BD（2）若OF⊥CD于F，OG⊥AB于G，问：四边形OFEG是何特殊四边形？并说明理由．24．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙0中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB 组成⊙0的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，PA．PB组成⊙0的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．25．已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB=弧CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．求证：DE=BF．26．如图，已知⊙O的两条半径OA与OB互相垂直，C为上的一点，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度数．27．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=DB=p，BC=q．求对角线AC的长．28．如图，已知圆内接△ABC中，AB＞AC，D为的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2﹣AD2=AB•AC．29．如图，在☉O中，AB是直径，C、D是圆上两点，使得AD=BC．求证：AC=BD．30．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB的延长线交于点P，且DP=OB，若∠P=29°，求弧AC的度数．圆周角弧弦的关系参考答案典题探究例1.证明：（1）连接OC、OF，∴OC=OF，OA=OB．∵AC=BF，∴△COA≌△FOB．∴∠CAO=∠OBF，∠ACO=∠BFO．∴AC∥BF．连接CF，则∠BFC=∠ACF，∴弧BEC=弧ADF．（2）∵AC∥BF，∴∠BFC=∠ACF．∵CD∥EF，∴∠EFC=∠DCF．∴∠ACM=∠BFN．又CD∥EF，∴∠CMA=∠BNF．∵AC=BF，∴△ACM≌△BFN．∴AM=BN．例2.例3.例4.证明：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F．∵AB=CD，∴OE=OF．又∵BO=DO，∴Rt△BOE≌Rt△DOF（HL），∴∠OBA=∠ODC．演练方阵1．解：①因为SSA不能判定三角形全等，故本项错误；②角是轴对称图形，对称轴是这个角的平分线所在的直线，故本项错误；③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，故本项正确；④无限不循环小数是无理数．此说法遗漏了不循环这个条件，故本项错误．故选A．2．解：∵在⊙O中，，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C；又∠A=30°，∴∠B==75°（三角形内角和定理）．故选B．3．解：由垂径定理可知B、D均成立；由圆心角、弧之间的关系可得A也成立．不一定成立的是OE=BE．故选C．4．解：正确的是①②．必须是同圆或等圆中，相等圆心角所对的弧相等，因而③是错误的．故选A．5．解：A、这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；B、这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；C、这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；D、这两条弦都被垂直于弦的半径平分（垂径定理），原说法正确，故本选项正确；故选D．6．解：取弧AB的中等D，连接AD，DB，∵=2，∴AD=BD=AC，在△ADB中由三角形的三边关系可知AD+BD＞AB，∴2AC＞AB，即AB＜2AC，故选C．7．解：∵∠A=50°，OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=50°，∴∠AOB=180°﹣50°﹣50°=80°，∵点C是的中点，OC过O，∴AD=BD，∵OA=OB，∴∠BOC=∠AOB=40°，故选B．8．解：由已知量角器的一条刻度线OF的读数为120°，即∠BOF=120°，∴∠COF=180°﹣∠BOF=60°，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠COF=60°，故答案为：60．9．解：∵====，∴每段弧的度数是：=72°，则的度数是：3×72=216°，∴∠A5A1A2=108°．∵在△A1A5B和△A2A1C中，，∴△A1A5B≌△A2A1C（SAS），∴∠A1A5B=∠A2A1C，∴∠A5DC=∠A1A5D+∠A5A1D=∠A5A1D+∠A2A1C=∠A5A1A2=108°．故答案是：108°．10．解：∵AB=AC，∠A=44°∴∠ABC=（180°﹣44°）÷2=68°又∵AC是⊙O的直径∴∠AEC=90°∴∠ECD=90°﹣68°=22°∴的度数为44°．故填44°．B档（提升精练）11．解：∵AB是半圆的直径，O是圆心，∴∠AOB=180°；又∵=2，∴2∠AOC=∠BOC，∴∠BOC=120°；∵OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）；∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠ABC+∠COB=180°（三角形内角和定理），∴∠ABC=30°．故答案是：30°．12．解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．14．解：连接OC．∵∠D=∠AOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵（已知），∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）；∴∠AOB=∠D=62°．故答案是：62°．15．解：PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE=OF，即弦AB，CD的弦心距相等，因而AB=CD，弧AB等于弧CD，则弧EG等于弧DG，则弧BG等于弧DG；故①、②、④正确；易证△PEO≌△PFO，则PE=PF，根据AB=CD，得到BE=DF，则PB=PD，故⑤正确．16．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分=S大半圆﹣S小半圆=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=πBC2=72π．故答案为72π．17．解：设∠A=x，∵AB=OC，∴∠BOA=x，∴∠EBO=2x，（Ⅱ）解：关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，∴△GCM≌△ACM．（8分）∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM，又∵CA=CB，得CG=CB．∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°∴∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM得∠GCN=∠BCN．（8分）又∵CN=CN，∴△CGN≌△CBN．∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°，∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°，∴在Rt△MGN中，由勾股定理，∴MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2．（9分）20．（1）证明：∵OC∥AB∴∠OCA=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=∠BAC即AC平分∠DAB；（2）解：∵AC平分∠DAB，∴弧CD=弧BC∴CD=BC又AD：BC=5：3∴AD：CD=5：3∵AD是圆的直径，∴∠ACD=90°根据勾股定理，得AD：CD：AC=5：3：4所以AD=10，即圆的半径是5．11．解：∵AB是半圆的直径，O是圆心，∴∠AOB=180°；又∵=2，∴2∠AOC=∠BOC，∴∠BOC=120°；∵OB=OC（⊙O的半径），∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）；∴∠BOC+∠OBC+∠OCB=2∠ABC+∠COB=180°（三角形内角和定理），∴∠ABC=30°．故答案是：30°．12．解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．解：如图，连接OC，OA，OB．∵OC=OA=AC=5，∴△OAC是等边三角形，∴CAO=60°，∵OA=OB=5，AB=5，∴OA2+OB2=50=AB2，∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB=45°，点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC=∠CAO+∠OAB=60°+45°=105°；如右图时，∠BAC=∠CAO﹣∠OAB=60°﹣45°=15°．14．解：连接OC．∵∠D=∠AOC（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；又∵（已知），∴∠AOB=∠BOC（等弧所对的圆心角相等）；∴∠AOB=∠D=62°．故答案是：62°．15．解：PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，则OE=OF，即弦AB，CD的弦心距相等，因而AB=CD，弧AB等于弧CD，则弧EG等于弧DG，则弧BG等于弧DG；故①、②、④正确；易证△PEO≌△PFO，则PE=PF，根据AB=CD，得到BE=DF，则PB=PD，故⑤正确．16．解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC=BC=12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分=S大半圆﹣S小半圆=π•OB2﹣π•OC2=π（OB2﹣OC2）=πBC2=72π．故答案为72π．17．解：设∠A=x，∵AB=OC，∴∠BOA=x，∴∠EBO=2x，而OB=OE，∴∠AEO=2x，∴∠EOD=∠A+∠AEO，而∠EOD=93°，∴x+2x=93°，∴x=31°，∴∠EOB=180°﹣4x=180°﹣124°=56°，∴∠ODE=（180°﹣93°）÷2=43.5°．故答案为31°，56°，43.5°．18．（1）证明：∵AC=CD，∴弧AC与弧CD相等，∴∠ABC=∠CBD，又∵OC=OB（⊙O的半径），∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥BD；（2）解：∵OC∥BD，不妨设平行线OC与BD间的距离为h，又S△OBC=OC×h，S△DBC=BD×h，因为BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，即S△OBC=S△DBC，∴OC=BD，∴四边形OBDC为平行四边形，又∵OC=OB，∴四边形OBDC为菱形．19．（Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，∴△DCM≌△ACM（1分）∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A又∵CA=CB，∴CD=CB（2分），∴∠DCN=∠ECF﹣∠DCM=45°﹣∠DCM∠BCN=∠ACB﹣∠ECF﹣∠ACM=90°﹣45°﹣∠ACM=45°﹣∠ACM∴∠DCN=∠BCN （3分）又∵CN=CN，∴△CDN≌△CBN．（4分）∴DN=BN，∠CDN=∠B．∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分）∴在Rt△MDN中，由勾股定理∴MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2．（6分）（Ⅱ）解：关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，∴△GCM≌△ACM．（8分）∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM，又∵CA=CB，得CG=CB．∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°∴∠BCN=∠ACB﹣∠ACN=90°﹣（∠ECF﹣∠ACM）=45°+∠ACM得∠GCN=∠BCN．（8分）又∵CN=CN，∴△CGN≌△CBN．∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°﹣∠CAB=135°，∴∠MGN=∠CGM﹣∠CGN=135°﹣45°=90°，∴在Rt△MGN中，由勾股定理，∴MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2．（9分）20．（1）证明：∵OC∥AB∴∠OCA=∠BAC∵OA=OC∴∠OAC=∠OCA∴∠OAC=∠BACC档（跨越导练）22．解：（1）∵∴∠BOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD（2分）∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°∴∠AOD=30°，∠BOC=90°，∠COD=60°（4分）∴∠DAB=∠BOD=（∠BOC+∠COD）=75°（5分）∠ABC=∠AOC=（∠AOD+∠COD）=45°（6分）（2）①若，则∠DAB＞∠ABC；（8分）②若，则∠DAB=∠ABC；（10分）③若，则∠DAB＜∠ABC（12分）23．（1）证明：∵AB=CD，∴=∴﹣=﹣，即=∴AC=BD（2）四边形OFEG是正方形．理由：连接OA、OD．∵AB⊥CD，OF⊥CD，OG⊥AB，∴四边形OFEG是矩形；∵OF⊥CD，OG⊥AB，∴DF=CD，AG=AB，∵AB=CD，∴DF=AG；∵OD=OA，∴Rt△OFD≌Rt△OGA （HL）∴OF=OG，∴矩形OFEG是正方形．24．证明：（1）如图1，连接AD，BD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA=∠CDB，∴△ADB为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴AE=BE；（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，∵ADBP是圆内接四边形，∴∠PBF=∠PAD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA=∠CDF，∵CD⊥PA，∴△AFD为等腰三角形，∴∠F=∠A，AE=EF，∴∠PBF=∠F，∴PB=PF，∴AE=PE+PB（3）AE=PE﹣PB．连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，∵弧AC=弧BC，∴∠ADC=∠BDC，∵CD⊥AP，∴∠DEA=∠DEF，∠ADE=∠FDE，∵DE=DE，∴△DAE≌△DFE，∴AD=DF，AE=EF，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DFA=∠PFB，∠PBD=∠DAP，∴∠PFB=∠PBF，∴PF=PB，∴AE=PE﹣PB；25．证明：∵弧CB=弧CD，∴CB=CD，∠CAE=∠CAB，又∵CF⊥AB，CE⊥AD，∴CE=CF，∴Rt△CED≌Rt△CFB，∴DE=BF．26．解：如图，设圆的半径是r，则AO=r，BO=r，作直径BD，作BC⊙O的弦BC，使∠DBC=30°，作BC关于直径BD的对称线段BE，连接EC，BE，ED，AC，在直角△BED中，可以得∠EBD=30°，因为线段BE与线段BC关于直线BD对称，所以BC=BE，所以BD垂直平分线段CE，所以=，所以∠CBD=30°而∠BCA=∠AOB=45°．在三角形ABC中，∠OAC=180°﹣∠ABO﹣∠CBD﹣∠ACB﹣∠BAO=15°．同理，当E为C时，∠OAC=75°．故答案为：15°或75°．27．解：延长CD交半径为p的⊙D于E点，连接AE．显然A、B、C在⊙D上．∵AB∥CD∴．∴BC=AE=q．在△ACE中，∠CAE=90°，CE=2p，AE=q，故AC==．故答案为：．28．证明：在BA上截取BF=CA，连DF，DC，如图，∵D为的中点，∴DB=DC，又∵∠DBF=∠ACD，∴△DBF≌△DCA，∴DF=DA，而DE⊥AB，∴AE=EF，∴BF=BE﹣EF=BE﹣AE=CA，又∵BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，∴BD2﹣AD2=BE2﹣AE2=（BE+AE）（BE﹣AE）=AB•AC，即证．29．证明：∵AD=BC，∴=，∴=，∴AC=BD．30．解：作直径DE．∵OB=OD，OB=PD，∴DO=DP，∵∠P=29°，∴∠DOP=∠DOP=29°=∠AOE，∴弧AE的度数是29°，∠CDE=∠P+∠DOP=58°，∴弧CAE的度数是2×58°=116°，∴弧AC的度数是116°﹣29°=87°．。
圆弧、弦、圆周角的关系
课题：弧、弦、圆心角【学习目标】1．能识别圆心角．2．探索并掌握弧、弦、圆心角的关系，了解圆的中心对称性和旋转不变性．3．能用弧、弦、圆心角的关系解决圆中的计算题、证明题．【学习重点】探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．【学习难点】圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．情景导入生成问题1．你能举出生活中的圆形商标的实例吗？(至少三个)宝马车商标：星巴克标志：曼秀雷敦标志：2．把这些圆形图案绕圆心旋转一定的角度，你有什么发现？旋转前后圆中的弧、弦会有变化吗？解：图案绕圆心旋转一定的角度后能与自身重合，旋转前后圆中的弧、弦不会有变化．自学互研生成能力知识模块一圆心角的定义【自主探究】阅读教材P83～P84思考，完成下面的内容：举例讲解：图中的∠AOB，∠COD，∠AOD，∠BOC这几个角的顶点有什么共同特点？顶点都在圆心上，两边都与圆相交．归纳：圆心角是指顶点在圆心，两边都与圆相交的角．圆心角的特征：①顶点是圆心；②角的两边与圆相交．范例：如图，下列各角是圆心角的是(B)A．∠ABC B．∠AOB C．∠OAB D．∠OBC知识模块二圆心角、弧、弦之间的关系定理【自主探究】阅读教材P 84思考及例3内容，完成下面的内容：如图，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ 根据旋转的性质，将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A′OB′的位置时，∠AOB ＝∠A′OB′，射线OA 与OA′重合，OB 与OB′重合．而同圆的半径相等，OA ＝OA′，OB ＝OB′，∴点A 与A′重合，B 与B′重合．AB 与A′B′重合.AB ︵与A ′B ′︵重合．∴AB ︵＝A ′B ′︵.归纳：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；(2)在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；(3)在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等．【合作探究】典例：判断题，下列说法正确吗？为什么？(1)如图所示：因为∠AOB ＝∠A′OB′，所以AB ︵＝A ′B ′︵.(2)在⊙O 和⊙O′中，如果弦AB ＝A′B′，那么AB ︵＝A ′B ′︵.解：(1)、(2)都是不对的．在图中，因为不在同圆或等圆中，不能用定理．对于(2)也缺少了等圆的条件．可让学生举反例说明．范例：已知：如图所示，AD ＝BC.求证：AB ＝CD.证明：∵AD ＝BC ，∴AD ︵＝BC ︵.∵AC ︵＝AC ︵，∴AC ︵＋AD ︵＝AC ︵＋BC ︵.∴DC ︵＝AB ︵.∴AB ＝CD.。
圆周角,弦,弧的关系
圆周角,弦,弧的关系稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊圆周角、弦、弧之间那有趣的关系。
你们知道吗，圆周角可神奇啦！它就像个小精灵，和弦、弧有着千丝万缕的联系。
比如说，如果同一条弧所对的圆周角，那它们可都是相等的哟！就好像一群小伙伴，因为共同喜欢一个玩具，所以都变得很亲密一样。
还有哦，如果一条弦对应的两个圆周角，它们可是互补的呢！这就像一对欢喜冤家，虽然有时候互相闹别扭，但合起来就是完美的一对。
再想想，如果圆周角相等，那么它们所对的弧也是相等的。
这就像是钥匙和锁，一个圆周角找到了它匹配的弧，就完美对上啦！圆周角、弦、弧，它们就像是一个小团队，互相协作，互相影响。
要是其中一个变了，其他的也会跟着有变化。
是不是很有意思呀？咱们在解题的时候，可一定要记住它们之间的这些关系，这样就能轻松搞定难题啦！好啦，今天关于它们的关系就聊到这儿，小伙伴们要好好记住哦！稿子二哈喽呀！今天咱们来唠唠圆周角、弦、弧的那些事儿。
你看哈，圆周角这小家伙，总是和弦、弧有着扯不断的关系。
比如说，在同一个圆里，要是有一条弧，那它所对的圆周角可有规律啦！不管这个角在圆的哪个位置，大小都是一样的。
这就像不管你从哪个角度看一颗星星，它的光芒都不变。
还有哦，弦的长度也会影响圆周角呢。
弦长一些，圆周角可能就大一点；弦短一些，圆周角可能就小一点。
这就好像一根绳子，拉得紧一点松一点，角度就不同啦。
反过来，圆周角也能决定弧的长度。
如果圆周角大，对应的弧就长；圆周角小，对应的弧就短。
是不是很神奇？而且哦，当两条弦相等的时候，它们所对的弧和圆周角也都是相等的。
这就好比两个一模一样的玩具，带来的快乐也是一样多的。
总之呀，圆周角、弦、弧，它们就像好朋友，你离不开我，我离不开你。
咱们在学习数学的时候，搞清楚它们的关系，就能在数学的海洋里畅游啦！。
弧与弦的关系
弧与弦的关系
在圆或圆弧中，弦与弧之间存在以下关系：
1.弦长小于或等于弧长：在一个圆中，任何弦的长度都小于或等于与它所对应
的弧的长度。
这是因为在圆中，弦是连接圆上两点的线段，而弧是这两点之间圆的部分。
2.弦长等于半弧长：在一个半圆中，弦长等于半圆的直径，也等于与它所对应
的弧的长度。
这是因为在半圆中，弦与直径重合，而弧与半圆的圆周重合。
3.弦长大于弧长：在一个小于半圆的圆弧中，弦长大于与它所对应的弧的长度。
这是因为在这种情况下，弦所连接的两点之间的距离大于弧所对应的圆周的部分。
以上关系在数学和几何学中是非常基础和重要的，它们被广泛应用于各种问题解决和计算中。
圆的确定圆心角圆周角弧弦弦心距之间的关系
儒洋教育学科教师辅导讲义(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形4、已知。
0的半径为4 cm, A为线段OP的中点，当0P=6 cm时，点A及。
0的位置关系是( )A、A在。
0内B、A在©0 上C、A在。
0外D、不能确定5、如图所示，有一个破残的圆片，现要制作一个及原圆片同样大小的圆形零件。
请你根据所学知识，设计两种不同的方案确定这个圆的圆心及半径。
第二部分：圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系一、知识点梳理1、及圆有关的角——圆心角、圆周角圆心角：顶点在圆心的角。
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。
(1)图中的圆心角__________ ；圆周角 _____________(2)____________________________________ 如图，已知ZA0B=50度，则ZACB= 度；2、及圆有关的边一一弦、直径、弦心距、弧(1)直径是一条特殊的弦，并且是圆中最大的弦。
(2)弦心距：从圆心到弦的距离。
(3)优弧、劣弧；同弧、等弧3、圆心角及圆周角的关系.2、在同圆中，弦长为a,b的两弦所对的劣弧长分别为c,d，如果c € d，那么（）A、a > bB、 a = bC、 a , bD、 a < b3•圆内接/ABC中，AB=AC，圆心到BC的距离为3cm,圆的半径为7cm，则腰长AB= ____________4、四边形ABCD内接于圆，AB，BC，CD，DA的弧长之比为5： 8： 3： 2则ZABC= __________5、如图，在中，ZB=10°,ZC=25°,则ZA二_______________6、如图，在中，AB为直径，ZACB的平分线交于D，则ZABD二______________ °（第5题）（第6题）（第7题）7、如图，已知AB为的直径，AC为弦，0D丄AC于D, OD = 2cm，求BC的长。
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同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
四、练习
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD ． AB CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________
（2）如果
AOB COD． AB=CD ， _____________ AB CD ，那么____________
E D C A
BC CD DE
BOC=COD=DOE=35
B
O
·
AOE 180 3 35
75
七、思考
如图，已知AB、CD为
O 的两条弦，
AD BC ，求证AB＝CD.
C B O D A
·
五、例题
例1 如图, 在⊙O中， AB＝AC ，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：
AB AC，
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA.
B
O
·
C
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
六、练习
如图，AB是⊙O 的直径， BC＝CD DE, ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 解：
AB=CD ． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ AB CD ，_________
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？ 为什么？ OE OF , E B A 证明： OE AB, OF CD 1 1 O D AE AB, CF CD 2 2 F 又 AB＝CD AE＝CF 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF C OE OF .
O
·
A
O
·
A
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位 置时， ∠AOB＝∠A′OB′，射线 OA与OA′重合，OB与OB′重 合．而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，∴点 A与 A′重 合，B与B′重合．
∴ AB与 A ' B ' 重合，AB与A′B′重合．
AB A ' B ',
C
O
AE BE CD AB AD BD AC BC
A
E D
B
在直径是20cm的 O 中，AB 的度数是
60 ，那么弦AB的弦心距是 5 3cm .
O D A B
弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则 这弓形所在的圆的半径为
C A D O B
13 cm 4
.
已知P为 O内一点，且OP＝2cm，如果
O 的半径是 3cm ，那么过P点的最短
的弦等于
2 5cm
.
B O E C A 做圆心角. A O· B
O
A
D
B
二、
探究
A′ B B′ B′
A′ B
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置， 你能发现哪些等量关系？为什么？
AB A ' B '.
三、定理
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等 ， 所对的弦________ 相等 ； _____
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角
相等 ，所对的弧_________ 相等 ______ ．