偏微分方程的有限元方法67页PPT
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《偏微分方程》课件
非线性偏微 分方程：方 程中含有偏 导数，且偏 导数项的系 数不是常数
椭圆型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数
抛物型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 不是常数
双曲型偏微 分方程：方 程中只含有 二阶偏导数， 且二阶偏导 数项的系数 是常数，但 方程的解不 是实数
边界条件：确定求解区域和边界条件，如Dirichlet边界条件、 Neumann边界条件等
初值条件：确定求解区域的初值条件，如Cauchy问题、初边值问题等
稳定性和收敛性：分析求解方法的稳定性和收敛性，确保解的准确性和 可靠性
应用实例：通过具体实例，展示求解方法的应用和效果
课件结构
课件目录
偏微分方程的应用
物理领域：描述 流体力学、热力 学、电磁学等现 象
工程领域：解决 结构力学、材料 力学、电子工程 等问题
生物领域：模拟 生物系统的生长、 扩散、反应等过 程
经济领域：用于 金融、经济模型、 风险管理等方面
偏微分方程的求解方法
分析法：通过分析方程的性质，寻找解的性质和形式
数值法：通过数值计算，求解偏微分方程的数值解
偏微分方程的求解方法：展示偏微分方程的求解方法，如分离变量法、积分因子法等
公式素材
偏微分方程的 定义和性质
偏微分方程的 应用实例
偏微分方程的 求解方法
偏微分方程的 扩展和研究进
展
动画素材
动画类型：2D动画、3D动画、Flash动画等 动画内容：偏微分方程的求解过程、应用实例等 动画风格：简洁明了、生动有趣、易于理解 动画时长：根据课件内容需要，控制在5-10分钟以内
偏微分方程PPT课件
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
第五章 偏微分方程的有限元法 ppt课件
Harbin Institute of Technology Yangkun
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5.1 泛函与变分原理
例5.1.1 质点在重力作用下，沿一条光滑的从A点到B
计 点的曲线运动，如图所示。求下落时间最短的曲线。
算
物 理
O
x0
A
x1 x
捷线问题
学
B
y
曲线上任一小段线元长度为：
d2sd2xd2 y(1dy2)d2x dx
n1
n
aii aii
Harbin Inis1titute of Tecihn1ology Yangkun
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5.1 泛函与变分原理
例5.1.2 求下列泛函的极值函数。 计
算 物
Jy 1(y2 y2 4xy)dx 0
理
y(0) y(1) 0
学
解：为了满足边界条件，取基函数为
i xi(1x)
近似函数为
n
y aixi 1 x i1
Harbin Institute of Technology Yangkun
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5.1 泛函与变分原理
计 当n=1时 算
ya1x1x
物 代入泛函 理
Jy1(y2y24xy)dx 0
学
Jy0 1a 1 2 a 1 x2 a 1 x1 x 2 4 a 1 x21 xd x
算
泛函通常是指一种定义域为函数，而值域为实数的
物 “函数”。
理
设C是函数的集合，B是实数集合。如果对C中的任
学 一元素y(x)，在B中都有一个元素J与之对应，则称J为
y(x)的泛函，记为J[y(x)]。
数学上，通常自变量与因变量间的关系称为函数，
有限元法PPT课件
和时间。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
如何克服局限性
改进模型
通过更精确地描述实际 结构，减少模型简化带
来的误差。
优化网格生成
采用先进的网格生成技 术，提高网格质量，降
低计算误差。
采用高效算法
采用并行计算、稀疏矩 阵技术等高效算法，提
高计算效率。
误差分析和验证
对有限元法的结果进行误 差分析和验证，确保结果
的准确性和可靠性。
05 有限元法的应用实例
有限元法ppt课件
目 录
• 引言 • 有限元法的基本原理 • 有限元法的实现过程 • 有限元法的优势与局限性 • 有限元法的应用实例 • 有限元法的前沿技术与发展趋势 • 结论
01 引言
有限元法的定义
01
有限元法是一种数值分析方法， 通过将复杂的结构或系统离散化 为有限个简单元（或称为元素） 的组合，来模拟和分析其行为。
有限元法在流体动力学分析中能够处理复杂的流体流动和 压力分布。
详细描述
通过将流体域离散化为有限个小的单元，有限元法能够模 拟流体的流动、压力、速度等状态，广泛应用于航空、航 天、船舶等领域。
实例
分析飞机机翼在不同飞行状态下的气动性能，优化机翼设 计。
热传导分析
总结词
有限元法在热传导分析中能够处理复杂的热传递过程。
实例
分析复杂电磁设备的电磁干扰问题，优化设备性能。
06 有限元法的前沿技术与发 展趋势
多物理场耦合的有限元法
总结词
多物理场耦合的有限元法是当前有限元法的重要发展方向， 它能够模拟多个物理场之间的相互作用，为复杂工程问题提 供更精确的解决方案。
详细描述
多物理场耦合的有限元法涉及到流体力学、热力学、电磁学 等多个物理场的耦合，通过建立统一的数学模型，能够更准 确地模拟多物理场之间的相互作用。这种方法在航空航天、 能源、环境等领域具有广泛的应用前景。
偏微分方程的有限元法求解
16.901讲义笔记一维有限％首先，我们考虑•个比上一节稍微复杂点的问题; 豎二f(X),卫冲，V(O) = O.V(L)=O在这里，f(X)是)C的般函数，我们来看•个特别的情形：f(x)=x(L-x),此时，方程的梏确解如F：有限元方法利用加权残差的方法■其中:(1)设va)=£«Ma), v()()是我们对v(x)的近似，省为未知常数9 V|(x)是用户选择的歯数，即形状朗数：(2)定义N个加权残差LRj = p^(x)R(V)dx • j = l-> N to其中，RV)二器・f为绒差凹⑴足“用户”选择的加权函数，即权函数:(3)令加权残并为冬•町以确定⑷的值，即求耳使得对所fi 1=I->N, Rj=Oe令限元方法( )是加权残若法的一种，下血看看我们是如何用它来解决问题的。
一维有限元方法有限元方法（〉扌野个连续区域离散化-系列小单尤，这些单元与有限差分法（）或有限体积法（）产牛的网格完全相同，而佼之前两者主耍的优点在于：能够容易地把握单元的变化范囤。
对于我们讨论的一维问题,可以将区域（数轴〉离散化为如下图所示:这里，叫三单•元的个数。
我们还会用別下血i些定义：个三角划分；尽管令限元法对于一维，二维，三维甚至高细问题都是仃效的，们我们还是要谈及区域离散化的一种方浓，即三角划分。
4 T定义为第I个单元所在的区域。
对于_维问题,这表明，TS-个满足片心的X的集合。
接卜来耍确定的是毎个单兀该用什么样的函数，典型的函数形式就是用从一个单元到卜一个单兀保持解连续的多项式。
例如：一个线性有限元如卜團;i示:在毎个单元内的函数是线形的，在毎两个单元的交点处足连续的。
对于专门诜择的满足线件变化的形状函数,右估计残差时有一个很明显的问题：回忆前曲的内容，RV)二器一f,它在一个单冗里等于什么呢?因为函数是线性的,所以器=0,则有:R(V)=f ,即R(V)与无关。
冋时，满足线性变化的形状函数似乎也是一个好的近似，我们举-个例子来说明。
第六章 第一讲 偏微分方程的有限元法
5.1 泛函与变分原理
数 学 物 理 方 法
5.1.2 变分法
研究泛函极值问题的方法可以归为两类：一类叫直接法，
即直接分析所提出的问题；另一类叫间接法，即把问题 转化为求解微分方程．为讨论间接方法，先介绍变分和 泛函的变分．
Beijing Institute of Technology Deng, Junjun
5.1 泛函与变分原理
数 学 物 理 方 法
类似的例子还可以举出很多，例如，闭合曲线围成的
面积，平面曲线绕固定轴而生成的旋转体积或表面积，
等等，它们也都确定了各自的泛函关系。
这里的函数集合，即泛函的定义域，通常包含要求
y(x)满足一定的边界条件，并且具有连续的二阶导数， 这样的y(x)称为可取函数。
极小值充分条件： J y0 变分： j
j 0 0
0
0
j 0 0
0 是 J 在 y0 处的变分，记为
J
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dengjunjun@
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5.1 泛函与变分原理
数 学 物 理 方 法
泛函极值问题转化为一般函数的 j() 极值问题，即：
j J y min!
当 =0时泛函取得极小值J(y0)，根据微积分学可知，
泛函在 y0 取得极值的必要条件是
J y0 0 0
变分运算的几条简单法则：
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dengjunjun@
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5.1 泛函与变分原理
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偏微分方程ห้องสมุดไป่ตู้有限元方法
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
偏微分方程的有限元法
求解方法
利用有限元法求解弹性力学问题的基本步骤包括建立离散化的数学模型、选择合适的有 限元空间、求解离散化的线性方程组等。
传热学问题
传热学中的偏微分方程
描述热传导、对流、辐射等过程的偏微分方程包括热传导 方程、对流方程等，这些方程描述了温度场的变化规律。
有限元法在传热学中的应用
通过将连续的温度场离散化为有限个单元，有限元法能够 求解复杂的传热学问题，如热传导、对流换热、辐射换热 等。
区域离散
将连续的求解区域离散化为有限 个小的子区域，每个子区域称为
一个有限元。
函数近似
在每个有限元上选择适当的基函数 来近似未知函数，基函数的选择取 决于问题的性质和求解精度要求。
离散化方程
根据微分方程和边界条件，建立离 散化的代数方程组，表示为矩阵形 式。
有限元法的求解过程
线性化
将非线性微分方程转化为线性方程组，以便于求 解。
描述流体运动的偏微分方程包括Navier-Stokes方程、Euler方 程等，这些方程描述了流体的速度、压力、密度等物理量的变
化规律。
有限元法在流体动力学中的应用
通过将连续的流体域离散化为有限个单元，有限元法能够 求解复杂的流体动力学问题，如湍流、非牛顿流体等。
求解方法
利用有限元法求解流体动力学问题的基本步骤包括建立离散化 的数学模型、选择合适的有限元空间、求解离散化的线性方程
组等。
弹性力学问题
弹性力学中的偏微分方程
描述弹性物体变形的偏微分方程包括弹性力学的基本方程、Mindlin-Reissner方程等， 这些方程描述了弹性体的应力、应变等物理量的变化规律。
有限元法在弹性力学中的应用
通过将连续的弹性体离散化为有限个单元，有限元法能够求解复杂的弹性力学问题，如 非线性弹性、复合材料等。
利用有限元法求解弹性力学问题的基本步骤包括建立离散化的数学模型、选择合适的有 限元空间、求解离散化的线性方程组等。
传热学问题
传热学中的偏微分方程
描述热传导、对流、辐射等过程的偏微分方程包括热传导 方程、对流方程等，这些方程描述了温度场的变化规律。
有限元法在传热学中的应用
通过将连续的温度场离散化为有限个单元，有限元法能够 求解复杂的传热学问题，如热传导、对流换热、辐射换热 等。
区域离散
将连续的求解区域离散化为有限 个小的子区域，每个子区域称为
一个有限元。
函数近似
在每个有限元上选择适当的基函数 来近似未知函数，基函数的选择取 决于问题的性质和求解精度要求。
离散化方程
根据微分方程和边界条件，建立离 散化的代数方程组，表示为矩阵形 式。
有限元法的求解过程
线性化
将非线性微分方程转化为线性方程组，以便于求 解。
描述流体运动的偏微分方程包括Navier-Stokes方程、Euler方 程等，这些方程描述了流体的速度、压力、密度等物理量的变
化规律。
有限元法在流体动力学中的应用
通过将连续的流体域离散化为有限个单元，有限元法能够 求解复杂的流体动力学问题，如湍流、非牛顿流体等。
求解方法
利用有限元法求解流体动力学问题的基本步骤包括建立离散化 的数学模型、选择合适的有限元空间、求解离散化的线性方程
组等。
弹性力学问题
弹性力学中的偏微分方程
描述弹性物体变形的偏微分方程包括弹性力学的基本方程、Mindlin-Reissner方程等， 这些方程描述了弹性体的应力、应变等物理量的变化规律。
有限元法在弹性力学中的应用
通过将连续的弹性体离散化为有限个单元，有限元法能够求解复杂的弹性力学问题，如 非线性弹性、复合材料等。
有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
第五章偏微分方程的有限元法
有限元空间与基函数
针对椭圆型方程的特点，构造适当的有限元空间及 基函数，使得近似解能够较好地逼近真实解。
刚度矩阵与载荷向量
利用有限元基函数对椭圆型方程进行离散化 ，得到以刚度矩阵和载荷向量为未知量的线 性方程组。
抛物型偏微分方程的有限元法
时间离散与空间离散
抛物型偏微分方程涉及时间变量，需要采用合适的时间离散方案， 并结合空间有限元离散进行求解。
刚度矩阵反映了单元内部节点间的相 互作用力，需要根据形函数和单元刚 度矩阵进行组装得到整体刚度矩阵。
载荷向量组装
载荷向量反映了作用在节点上的外力 ，需要根据形函数和节点载荷进行组 装得到整体载荷向量。
边界条件处理与方程求解
边界条件处理
对于给定的边界条件，需要在整体刚度矩阵 和载荷向量中进行相应的处理，以保证求解 的正确性。常见的边界条件有Dirichlet边界 条件和Neumann边界条件。
分片插值
在每个单元内，选择基函数，用 单元基函数的线形组合来逼近单 元中的真解。
求解线性方程组
将问题的控制方程转化为等效的 线性方程组进行求解，得到每个 节点的待求量。
有限元法的发展历程
起源
有限元法最初被称为矩阵近似方法，应用于航空器的结构强度计算，并由于其 方便性、实用性和有效性而引起从事力学研究的科学家的浓厚兴趣。
素。
有限元法的实现过
04
程
网格划分与单元构造
网格划分
将求解区域划分为有限个互不重叠的子 区域，即单元。常见的网格划分方法有 结构化网格和非结构化网格。
VS
单元构造
对于每个单元，需要确定其形状、大小、 节点数及节点坐标等信息。常见的单元类 型有三角形、四边形、四面体等。
有限元法
称为有限元刚度矩阵，但 不能直接求解，需要消去
1行、1列。
2. 一维有限元法
由边界条件对整个问题的代数方程组消元：
由问题的边界条件，第5 个节点电位为0.5V，已知，故消去该节点的方程：5 行5列。必有这一步，实际上原K矩阵行列式的值为0，本质上是找参考电位
5 5
1 0.1
1. 有限元法
上一讲，利用加权余数法和变分法将偏微分方程转化为代数方程组求解
KC f b
kij k ji j i d
f
＝
j
jq
d
bj
2
jh
d
通过尝试函数的 选取，近似解满 足1类边界条件，
该矩阵方程包括系数矩阵、激励源矩阵和边界矩阵，而计算这些矩阵的元素 时，常常用到分部积分法。如果为了计算精度而选取很多个尝试函数，那么 计算这些为数众多的分部积分既十分复杂又很费时间，并且很难用计算机进 行数值计算。
2. 一维有限元法
局部系数矩阵的计算
k
e ij
kkieie,1i,i
ke i ,i 1
ke i 1,i 1
f
e i
f
e i
f
e i 1
bie
bbieie1
kiej e j i de
2. 一维有限元法
本例，场域分割成4个单元，5个节点， 求场域内电势分布，转化为求5个节点的 电位即可。 场域内其它点（各单元内）的电位，由5 个节点电位来插值表示。(一阶插值、高 阶插值)
对一 维场域来说，单元就是一个线段； 对二维场域，有限元单元形状可为二角 形、矩形等，单元形状对有限元的简化 有影响，通常为三角形
有限元方法（课件）
有限元⽅法（课件）第⼀章有限元概貌与发展有限元⽅法是近似求解数理边值问题的⼀种数值技术。
这种⽅法⼤约有60年的历史。
它⾸先在本世纪40年代被提出，在50年代开始⽤于飞机设计。
后来，该⽅法得到了发展并被⾮常⼴泛地⽤于结构分析问题中。
⽬前，作为⼴泛应⽤于⼯程和数学问题的⼀种通⽤⽅法，有限元已相当著名。
有限元法应⽤于电磁场中，最先是⽤结点上的插值基函数来表征该结点上的⽮量电场或磁场分量的，称为结点有限元。
但是，在使⽤结点有限元进⾏电磁仿真时，会有⼏个严重的问题。
⾸先，⾮物理的或所谓伪解可能会出现。
其次，在材料界⾯和导体表⾯强加边界条件很不⽅便。
再次，处理导体和介质边缘及⾓也很困难，这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。
在这些问题中，最后⼀个问题⽐其它两个问题更严重，因为它缺少通⽤的处理⽅法。
即使对前两个问题，⽬前的处理状况也不能完全令⼈满意。
因此，有必要探讨其它的可能性或其它⽅法，⽽不仅仅是改进，从⽽将电磁场有限元分析引⼊⼀个新的时代。
幸运的是，⼀种崭新的⽅法已经被发现。
这种⽅法使⽤所谓⽮量基或⽮量元，它将⾃由度（未知量）赋予棱边⽽不是单元结点。
因为这个原因，它也叫棱边元（edge element ）。
虽然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应⽤及其重要性直到前⼏年才被认识到。
在80年代初，Nedelec 讨论了四⾯体和矩形块棱边元的构造。
Bossavit 和Verite 将四⾯体棱边元应⽤于三维涡流问题。
Hano 独⽴地导出了矩形棱边元，并⽤于介质加载波导的分析。
Mur 和de Hoop 考虑了⾮均匀媒质中的电磁场问题。
Van Welij 和Kameari 应⽤六⾯体棱边元进⼀步考虑了棱边元在涡流计算中的应⽤。
Barton 和Cendes 将四⾯体棱边元应⽤于三维磁场计算，同时，Crowley 提出了⼀种更复杂的单元类型，即所谓的协变（covariant ）投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。
偏微分方程的有限元方法市公开课一等奖省赛课获奖PPT课件
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展开J
(Ju(nu)n
)
1 2
(un , un
)
(
f
,
un
)
1 2
n i 1
n
(i , j )cic j
j 1
n
( f , j )c j
j 1
令
J (un ) 0 j 1, 2, , n
c j
则c1, c2 ,, cn满足
n
(i , j )ci ( f , j ) j 1, 2, , n
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偏微分方程有限元方法
一 边值问题变分原理
1 引论 （1）等周问题
在长度一定全部平面封闭曲线中，求所 围面积为最大曲线。
模型：在条件
s2
dx
2
dy
2
ds
l
下
s1 ds ds
求使得泛函 s(x, y) 1 s2 x dy y dx ds
2 s1 ds ds
到达最大函数 x(s), y(s。)
x (a,b)
J (u) 1 (Lu,u) ( f ,u)
2
1
b d p du udx
b
qu
2
dx
b
fudx
2 a dx dx
a
a
1 b ( pu2 qu2 2 fu)dx
2a
引入泛函算子
(u, v)
b
[
p
du
dv
quv]dx
a dx dx
则 J (u) 1 (u,u) ( f ,u)
x2
,,x
n
)T
ann
b (b1, b2 ,,bn )T
则J(x)可表示为：