材料力学课件(哈工大)5章轴向拉压1

v ε y = εz = − x = − σx νε E
第5章 轴向拉伸与压缩 章
5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ） 2）横向变形 ） 3）变形能 ） 单向应力状态的应变能密度 2 1 σx e = σxε x = 2 2E dx 微段的变形能
2 FN de = eAdx = Adx = dx 2E 2EA 整个杆件的变形能 2 σx
FNAB = −2.62 kN FNBC = −1.32 kN
解： 2. 分段求正应力
σx =
AB
FNAB AAB
=
4FNAB πd 2
4 ×(−2.62) ×103 = = −33.3MPa −3 2 π(10 ×10 )
σx =
BC
FNBC ABC
=
4FNBC π(D2 − d1 )
2
4 ×(−1.32 ×103) = = −22.4MPa π(102 − 52 ) ×10−6
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5-3 圣维南原理 应力集中 2）应力集中（stress concentration） ）应力集中（ ）
σx k= σx
max
理论应力集中系数
截面尺寸改变得Baidu Nhomakorabea急剧， 截面尺寸改变得越急剧， 角越尖，孔越小， 角越尖，孔越小，应力集 中的程度就越严重。 中的程度就越严重。
m
∫
FN ∫0 EAdx
l
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ）
FN ∆l = ∫ dx 0 EA
l
FN、 A 为常数时
FNl ∆l = EA
EA为杆的抗拉刚度 抗拉刚度 当轴力为负值时，计 算得到的∆l为负值，表示为 缩短变形。
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ） 2）横向变形 ）
5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 ２） 横截面上应力公式
FN σx = A
轴力为正值时，正应力得正值，为拉应力。反之， 轴力为正值时，正应力得正值，为拉应力。反之，正 应力得负值，为压应力。 应力得负值，为压应力。
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5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ 例5-1 图a为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力 分别简化为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图b 所示。AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径 d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。 解：1. 分段求轴力
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5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ 例5-2 直径为 d 长为 l 的圆截面直杆，铅垂放置，上端固定， 如下图所示。若材料单位体积质量为 ρ ，试求因自重引起的杆的 轴力和最大正应力。 解： 2
πd FN (x) = qx = ρg x 4
轴力方程
作轴力图 最大轴力
最大应力
πd 2 FNmax = ρg l 4 FNmax σxmax = = ρgl A
F Eε = ∫ de = ∫ dx 0 0 2EA
l l
2 N
2 FNl Eε = 2EA
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 例5-3 在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA =10kN, FB=20kN, l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2 ， ABC=200mm2 ，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变 形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。 段与BC 段的轴力 解：AB 段与
以轴向拉伸杆为例，用截面法求得任一横截面 上内力量 以轴向拉伸杆为例，用截面法求得任一横截面n-n上内力量 轴力(normal force)的正负号 轴力 的正负号 只有 轴力 一个 内力 分量
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5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 plane assumption
假设：变形前的横截面（为平面）变形后仍为平面 假设：变形前的横截面（为平面）变形后仍为平面, 只是两截面的距离发生了改变。 只是两截面的距离发生了改变。
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5-3 圣维南原理 应力集中 1）圣维南原理（Saint-Venant principle） ）圣维南原理（ ） 根据圣维南原理， 根据圣维南原理 ， 对弹性 体某一局部区域的外力系，若 体某一局部区域的外力系， 用静力等效的力系来代替；则 用静力等效的力系来代替 ； 力的作用点附近区域的应力分 布将有显著改变， 布将有显著改变 ， 而对略远处 其影响可忽略不计。 其影响可忽略不计。 理论分析与实验证明， 理论分析与实验证明 ， 影 响区的轴向范围约为杆件一个 横向尺寸的大小。 横向尺寸的大小。
FNBC = FA − FB = −10kN
3）变形能 Eε
Eε = Eε AB + EεBC =
2 FNAB l
FNAB = FA = 10kN
2EAAB
+
2 FNBC 2l
2EA BC
(10 ×103)2 ×100 ×10−3 (−10 ×10−3)2 × 2 ×100 ×10−3 = 2 × 200 ×109 ×100 ×10−6 + 2 × 200 ×109 × 200 ×10−6 J = 0.5 J
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 1）轴向变形 ） 轴向变形
∆l = l1 −l
FN σx = A
σx
横截面应力
FN = x方向线应变 εx = E EA 取dx微段，其轴向变形为
FN d(∆l) = εxdx = dx EA
l 整个杆件的 轴向变形为 ∆l = 0 d(∆l) =
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5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 简述平面假设的正确性
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5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ １）平面假设 ２） 横截面上的应力公式
∆u εx = ∆x
线应变在横截 面上均匀分布
单向应 单向应力状态 力状态 的胡克定律
σx = Eε x
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FNAB = FA = 10kN
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 例5-3 在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA =10kN, FB=20kN, l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2 ， ABC=200mm2 ，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变 形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。 段与BC 段的轴力 解：AB 段与
FNBC = FA − FB = −10kN
2）端面A与D-D截面间的相对位移uAD 端面 与 截面间的相对位移 FNAB l FNBC l + uAD = ∆lAD = EAAB EA BC
10×103 ×100 ×10−3 −10 ×10−3 ×100×10−3 m = 2.5×10−5 m = + 200 ×109 ×100 ×10−6 200 ×109 × 200×10−6
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5-4 轴向拉压杆的变形 变形能 例5-3 在图所示的阶梯形杆中，右端固定。已知：FA =10kN, FB=20kN, l=100mm,AB段与BC段横截面面积分别为AAB=100mm2 ， ABC=200mm2 ，材料的弹性模量E=200GPa。试求：1）杆的轴向变 形；2）端面A与D-D截面间的相对位移；3）杆的变形能。 段与BC 段的轴力 解：AB 段与
∑Fx = 0
F + FNAB = 0 1
FNAB = −F = −2.62 kN 1
∑Fx = 0 F − F2 + FNBC = 0 1
FNBC = F2 − F = −1.32 kN 1
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5-２ 轴向拉压杆的应力 ２ 例5-1 图a为一双压手铆机的示意图。作用于活塞杆上的力 分别简化为F1=2.62kN，F2=1.3kN，F3=1.32kN，计算简图如图b 所示。AB段为直径d=10mm的实心杆，BC段是外径D=10mm,内径 d1=5mm的空心杆。求活塞杆各段横截面上的正应力。
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5-1 轴向拉压杆的内力 轴向拉伸与压缩变形 tension compression
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5-1 轴向拉压杆的内力 受力特点： 受力特点： 直杆， 直杆，所受外力或其合力与杆轴线重合 。 变形特点： 沿轴线方向将发生伸长或缩短变形。 变形特点： 沿轴线方向将发生伸长或缩短变形。
FNAB = FA = 10kN
FNBC = FA − FB = −10kN
1）杆的轴向变形 FNAB l FNBC 2l ∆l = ∆lAB + ∆lBC = + EAAB EA BC
10 ×103 ×100 ×10−3 −10×10−3 × 2 ×100×10−3 = 200 ×109 ×100×10−6 + 200×109 × 200 ×10−6 m = 0m