数学一年级第五章第一节三角函数角的概念推
数学人教A版(2019)必修第一册5-2-1 三角函数的概念
11
3
sin
71
6
tan
19
3
cos
4
3
sin
12
6
tan
6
3
cos sin tan
36 3
1 1 3 1 3 22
1. 内容总结： ①三角函数的概念. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ③诱导公式一.
2 .方法总结： 运用了定义法、公式法、数形结合法解题.
cosα 1
tanα 0
30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o
6 4 32
3 2
2
0 1 1 1
2
3
2
2
2
0
0 3
21
2
2
2
1 0 1
31
3
3 不存在 0 不存在 0
问题2 三角函数符号与公式
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
探
（弧度制）
三角函数
定义域
究
sin
3
的终边与单位圆的交点坐标为
(1 , 3) 22
，
所以 sin 5 3 cos5 1 tan 5 3
y
，
32
32
3
思考：若把角 5 改为 7 呢?
5
3
7
1
6
3
o
﹒
A
x
﹒B
sin ,
6
2
cos 7 3 ,
6
2
tan 7 3
63
【例2】如图，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)
sin 2 2 5 ,cos 1 5 , tan 2 2
小学数学重点认识三角函数和三角关系的概念
小学数学重点认识三角函数和三角关系的概念在小学数学学习中，三角函数和三角关系是重要的概念。
通过学习这些概念，学生可以更好地理解和解决与角度、边长以及图形相关的问题。
本文将详细介绍小学数学中三角函数和三角关系的定义和应用。
一、认识三角函数三角函数是描述角度与边长之间关系的一类函数。
在小学数学中，最常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，用于描述角度与三角形的对边与斜边之间的比值关系。
在一个直角三角形中，角A的正弦值等于对边a与斜边h之间的比值，表示为sinA=a/h。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，用于描述角度与三角形的邻边与斜边之间的比值关系。
在同一个直角三角形中，角A的余弦值等于邻边b与斜边h之间的比值，表示为cosA=b/h。
3. 正切函数（tan）正切函数同样是一个周期函数，用于描述角度与三角形的对边与邻边之间的比值关系。
在直角三角形中，角A的正切值等于对边a与邻边b之间的比值，表示为tanA=a/b。
二、认识三角关系三角关系是指角度和线段之间的数学关系。
在小学数学中，最常见的三角关系有勾股定理和正弦定理、余弦定理。
1. 勾股定理勾股定理用于描述直角三角形中的线段关系。
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，则有勾股定理成立，即a² + b² = c²。
2. 正弦定理正弦定理用于描述任意三角形中的线段关系。
假设三角形的三个内角为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有正弦定理成立，即a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 余弦定理余弦定理也用于描述任意三角形中的线段关系。
设三角形的三个内角为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c，则有余弦定理成立，即c² = a² + b² - 2ab*cosC。
三、三角函数和三角关系的应用三角函数和三角关系在实际生活及其他学科中有着广泛的应用。
《三角函数的概念》PPT教学课件(第1课时三角函数的概念)
象限．
(2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最
后判断乘积的符号．
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25
(1)C
[因为点P在第四象限，所以有tan cos
α>0， α<0，
由此可判断角α终边
在第三象限．]
(2)[解] ①∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
终边关于
x
轴对称，若
sin
α＝15，则
交于点P(x，y)， 则角β的终边与单位圆相交于点
sin β＝________.
Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝15，所以sin β
＝－y＝－15.]
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4．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos253π＋tan－154π. [解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos253π＋tan－154π ＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4 ＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.
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24
三角函数值符号的运用
【例 2】 (1)已知点 P(tan α，cos α)在第四象限，则角 α 终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)判断下列各式的符号：
①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.
[思路点拨] (1)先判断 tan α，cos α 的符号，再判断角 α 终边在第几
5．公式一
sin α cos α tan α
8
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1．sin(－315°)的值是( )
第5章+第1讲+任意角和弧度制及任意角的三角函数2024高考数学一轮复习+PPT(新教材)
2．(多选)(2021·武汉调研)关于角度，下列说法正确的是( ) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是 60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 D．若 α 是第二象限角，则α2是第一或第三象限角
答案
解析 对于 A，时钟经过两个小时，时针转过的角度是－60°，故错误； 对于 B，钝角大于锐角，显然正确；对于 C，若三角形的内角为 90°，是终 边在 y 轴正半轴上的角，故错误；对于 D，因为 α 是第二象限角，所以 2kπ ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z，所以 kπ＋π4<α2<kπ＋π2，k∈Z，α2是第一或第三象限角， 故正确．故选 BD.
解
弧长和扇形面积的计算方法 (1)在弧度制下，记住下列公式 ①弧长公式：l＝|α|r；②扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，α 是扇形的圆心角，r 是扇形的半径)． (2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任 意两个量．
3.(多选)(2021·青岛模拟)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列说法正确的有( )
答案 2 解析 由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为 2r，故弧长为 2 r 的弧所对的圆心角为 2.
解析 答案
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 角的概念及表示
例 1 (1)(2021·赤峰模拟)若角 α 的终边与 240°角的终边相同，则α2的终
边所在象限是( )
A．第二或第四象限
B．第二或第三象限
半轴重合，终边经过点 P(－1，2)，则 sinα－cosα＋tanα＝________.
3 5－10
答案
5
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高一数学三角函数知识点讲解
高一数学三角函数知识点讲解在高一数学的学习中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅在数学领域中有着广泛的应用，还为后续学习物理等学科打下了坚实的基础。
下面，我们就来详细地讲解一下高一数学中三角函数的相关知识。
一、角的概念的推广在初中，我们对角的认识主要局限在 0°到 360°之间。
但在高中，为了更全面地研究角，我们将角的概念进行了推广。
正角：按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。
角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限就称这个角是第几象限角。
如果终边落在坐标轴上，就称这个角不属于任何象限。
二、弧度制角度制是用度（°）作为度量单位来度量角的大小。
而弧度制则是以“弧度”为单位来度量角的大小。
如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l，那么角α的弧度数的绝对值是｜α| ＝ l ／ r 。
弧度与角度的换算：180°＝π 弧度，1°＝π ／ 180 弧度，1 弧度＝（180 ／π）°。
在弧度制下，扇形的弧长公式为 l ＝｜α| r ，扇形的面积公式为 S ＝ 1/2 ｜α| r² 。
三、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上任意一点 P（x，y），r ＝√（x²＋y²) ，那么正弦函数：sinα ＝ y ／ r余弦函数：cosα ＝ x ／ r正切函数：tanα ＝ y ／ x （x ≠ 0）三角函数值在各象限的符号：第一象限：正弦、余弦、正切都是正的；第二象限：正弦是正的，余弦、正切是负的；第三象限：正切是正的，正弦、余弦是负的；第四象限：余弦是正的，正弦、正切是负的。
四、同角三角函数的基本关系平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 1商数关系：tanα ＝sinα ／cosα （cosα ≠ 0）五、诱导公式诱导公式是指三角函数中，利用周期性将角度比较大的三角函数，转换为角度比较小的三角函数的公式。
高一数学人必修件第五章三角函数的概念
利用诱导公式可以简化三角函数的计算和证明过程，例如求$sin 15^circ$的值，可以利用诱导公式将其转化为 $sin(45^circ - 30^circ)$，然后利用两角差的正弦公式进行计算。
03
三角函数的图像与性质
正弦函数、余弦函数的图像与性质
正弦函数y=sinx的图像
是一个周期函数，周期为2π，图像呈现波浪形，振幅为1，在y轴上方和下方各有一个最 高点和一个最低点。
$1 + tan^2alpha = sec^2alpha$
商数关系
01
02
03
$tanalpha = frac{sinalpha}{cosalpha}$
$cotalpha = frac{cosalpha}{sinalpha}$
$secalpha = frac{1}{cosalpha}$
04
$cscalpha = frac{1}{sinalpha}$
除了正弦、余弦、正切函数外，还有余切函数cot(x)、正割函数sec(x)和余割函数csc(x)等其 他的三角函数。
三角函数在各象限的性质
第一象限内，正弦、余弦、正切函数的值均为正；第 二象限内，正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负 ；第三象限内，正弦、余弦函数值为负，正切函数值 为正；第四象限内，余弦函数值为正，正弦、正切函 数值为负。
三角函数在平面几何中的应用
在平面几何中，三角函数可以用来求解角度、边 长等问题，如利用正弦定理、余弦定理等。
3
三角函数在立体几何中的应用
在立体几何中，三角函数可以用来求解空间角、 二面角等问题，以及计算一些特殊几何体的表面 积和体积。
三角函数在物理中的应用
三角函数在力学中的应用
角的概念的推广及其度量课件(共28张PPT)
30°的几何意义. 利用转角，可以给出角的加减运算的一个几何意义，
例如，对于60°+90°来说，如图5-4（1）所示：
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：相传，我们在初中已经学过平面内的角，在平面 内，角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 （图5-1).当时，不考虑旋转方向，不论从射线OA旋转到OB， 还是从射线OB旋转到OA，它们的旋转量都是一样的，而且 旋转量不超过一个周角，在现实生活中， 有很多角的大小超过这个范围，例如，运 动员掷链球时旋转过的角．
在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反 的转向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上，如图5-2 所示，
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
值得注意的是，上述角的定义中，当射线绕其端点按 逆时针方向或按顺时针方向旋转时，旋转量可以是任意的. 因此，角的概念经过以上的推广以后，就包括正角、负角、 零角.也就是说，角的大小是任意的.由此，我们把角的概 念推广到了任意角．
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
第五章：三角函数知识点
第五章：三角函数知识点一、三角函数的概念及定义 1.正角、负角、零角2.与角α终边相同的所有角组成的集合：{β|β=α+k ²360º，k ∈Z}={β|β=α+2k π，k ∈Z} 能把任意角β写成以下形式：β=α+2k π 3.讨论各象限角α的范围及2α的范围。
（设角α为任意角，k ∈Z ）α是第一象限角：k ³360°＜α＜90°+k ³360°，2k π＜α＜2π+2k π，2α是第一、三象限角；α是第二象限角：90°+k ³360°＜α＜180°+k ³360°，2π+2k π＜α＜π+2k π，2α是第一、三象限角；α是第三象限角：180°+k ³360°＜α＜270°+k ³360°，π+2k π＜α＜23π+2k π，2α是第二、四象限角； α是第四象限角：270°+k ³360°＜α＜360°+k ³360°，23π+2k π＜α＜2π+2k π，2α是第二、四象限角；4.讨论终边在坐标轴上的角（界限角）。
角的终边（除顶点外）在x 轴的正半轴上：{2k π|k ∈Z} 角的终边（除顶点外）在x 轴的负半轴上：{π+2k π|k ∈Z} 角的终边（除顶点外）在y 轴的正半轴上：{ 2π+2k π|k ∈Z} 角的终边（除顶点外）在y 轴的负半轴上：{23π+2k π|k ∈Z}角的终边在x 轴的负半轴上：{ k π|k ∈Z} 角的终边在y 轴的负半轴上：{ 2π+k π|k ∈Z}角的终边在坐标轴上：{2πk |k ∈Z}5.注意：锐角： 0°<α<90°第一象限角： k ²360°<α<90°+k ²360° 小于90º的角： α<90°6.弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1。
中职数学基础板块上册《角的概念推广》教案
“神州数码杯”2012年全国中等职业学校信息化教学设计大赛《5．1 角的概念推广》教案一、教学对象中职幼师专业一年级学生，授课班级共30人。
二、教材分析1．教材说明本节课选自中等职业教育课程改革规划新教材数学（基础模块）上册第五章第一节《角的概念推广》。
2．教学内容分析本节内容是三角函数这一章的第一节，是在学了集合和函数之后的又一重要章节，是对初中锐角三角函数的一个延伸和推广，主要是推广到任意角三角函数，也是对集合与函数的知识的又一渗透。
所以本节课《角的概念的推广》就起到了一个铺垫和承上启下的作用。
为今后学习任意角的三角函数提供了有力的依据。
此外，角的知识与我们的日常生活、学习有着紧密的联系，尤其对幼师班学习美术，舞蹈有很大帮助，因此学习本节知识非常必要。
三．教学目标知识目标：⑴了解角的概念推广的实际背景意义；⑵理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念；⑶会判断角所在的象限；⑷会求指定范围内与已知角终边相同的角；能力目标：⑴培养观察能力和计算技能．；⑵培养学生探究、归纳、分析问题的能力；⑶体会数形结合的思想，增强学生识图用图的能力。
情感目标⑴培养学生积极参与的主体意识，发挥他们主体作用；⑵让学生合在作交流中，增进感情，共同进步；共同发展；⑶让学生在解决问题中体验自我成功的喜悦，提高自信心。
四．教学重点、难点教学重点：终边相同角的概念．教学难点：终边相同角的表示和确定．突出重点、突破难点的途径：1.创设意境：充分利用信息技术创设生动形象的动画演示，理解知识点，感悟、强化知识点。
2.导、学、问、练相结合:图片、视频、动画资料为背景导入，教师设问,学生讨论归纳,进行练习，环环相扣，从而突出教学重点、化解难点。
五．教学方法1.学情分析：⑴学生通过初中阶段的学习已知道了角、旋转、平面直角坐标系等基本知识，能够对接下来的内容展开思考，展现她们的能力。
⑵学生虽然数学基础比较差，学生之间程度参差不齐。
但她们心中充满了对新知识的渴求，有主动参与的意识；她们的动手能力较强，有不服输的精神。
新高考数学复习基础知识专题讲义05 三角函数定义及同角三角函数(解析版)
新高考数学复习基础知识专题讲义 知识点05 三角函数定义及同角三角函数知识理解 一．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z)． (3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝180π度． 二．任意角的三角函数1.定义：在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)．则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (x ≠0)．2.三角函数在每个象限的正负如下表：三．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 四．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式：sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α； (2)tan α＝sin αcos α的变形公式：sin α＝cos_αtan_α；cos α＝sin αtan α.考向一 角度制与弧度制的转换【例1-1】（2020·全国课时练习）填表（弧度数用含π的代数式表示），并在平面直角坐标系中作出角的终边.【答案】填表见解析，作图见解析 【解析】如表，如图：考向分析对应的角的终边分别为图中的射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，OG ，OH ，OI. 【例1-2】（2020·全国课时练习）把下列各弧度化为角度. （1）12π；（2）53π；（3）310π；（4）8π；（5）32π-；（6）56π-. 【答案】（1）15︒；（2）300︒；（3）54︒；（4）22.5︒；（5）270︒-；（6）150︒-.【解析】（1）1801512ππ︒︒⨯=；（2）51803003ππ︒︒⨯=；（3）18054310ππ︒︒⨯=；（4）28180 2.5ππ︒︒⨯=；（5）31802702ππ︒︒-⨯=-；（6）51801506ππ︒︒-⨯=-.【例1-3】（2019·全国高三专题练习）将－1485°改写成2k π＋α(0≤α<π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－8π＋4πB ．－10π－4πC ．－8π＋74πD ．－10π＋74π 【答案】D【解析】﹣1485°＝﹣1800°+315°＝﹣10π+74π．故选D【举一反三】1．（2020·全国课时练习）把下列角度化成弧度：（1）36︒； （2）150︒-； （3）1095︒； （4）1440︒. 【答案】（1）5π（2）56π-（3）7312π（4）8π 【解析】（1）361805ππ︒⨯=； （2）51501806ππ-︒⨯=-； （3）73109518012ππ︒⨯=； （4）14408180ππ︒⨯=． 2．（2020·全国课时练习）将下列角度与弧度进行互化. （1）20°；（2）－15°；（3）712π（4）－115π. 【答案】（1）20°＝9π；（2）－15°＝－12π；（3）712π＝105°；（4）－115π＝－396°.【解析】（1）20°＝20180π＝9π. （2）－15°＝－15180π＝－12π.（3）712π＝712×180°＝105°. (4)－115π＝－115×180°＝－396°.3．（2020·全国高三专题练习）把−1125°化成α+2k π(0≤α<2π,k ∈Z)的形式是（ ） A ．−π4−6πB ．7π4−6πC ．−π4−8πD ．7π4−8π【答案】D【解析】−1125°=−1440°+315°=−8π+7π4，故选D.4．（2019·全国高三专题练习）将－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是( ) A ．－4π－8πB ．74π－8πC ．4π－10πD ．74π－10π【答案】D【解析】由题意，可知－1485°＝－5×360°＋315°，又π＝180°，则315°＝74π， 故－1485°化成α＋2k π(0≤α<2π，k ∈Z)的形式是74π－10π． 考向二 三角函数定义【例2】（1）（2020·云南）已知角α的终边经过点34(,)55P -，则sin α等于（ ） A ．45B ．35C ．43-D ．34- （2）（2020·广东）已知角θ的终边上一点(4,3)(0)P a a a ≠，则sin θ=（ ） A ．45B ．35C ．45±D ．35± 【答案】（1）A （2）D【解析】（1）因为角α的终边经过点34(,)55P -，所以x 34,,155y r =-==，所以4sin 5y r α==，故选：A（2）5OP a == 由三角函数的定义可得333sin 55a a OP a θ===±故选：D 【举一反三】1．（2020·北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(3,4)P ，那么sin α的值是（ ） A ．35B ．34C ．45D ．43 【答案】C【解析】由已知5OP ==，所以4sin 5α．故选：C ． 15．（2020·商南县高级中学）角α的终边过点()3,4P a ，若3cos 5α=-，则a 的值为（ ） A ．1B ．1-C ．±1D ．5± 【答案】B【解析】由条件可知r OP ==， 由三角函数的定义可知3cos 5x r α===-，0a <，解得：1a =-.故选：B 3．（2019·吉林高三月考（文））若点cos ,sin36ππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则tan α的值是（ ）A ．-1B ．1C ．【答案】B【解析】据题意，得1sin62tan 11cos32παπ===.故选：B.考向三 三角函数正负判断【例3】（1）（2020·山东高三专题练习）已知cos tan 0θθ⋅>，那么θ是（ ） A ．第一、二象限角B ．第二、三象限角C ．第三、四象限角D ．第一、四象限角（2）（2020·山东高三专题练习）若α是第二象限角，则点()sin ,cos P αα在 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】（1）A （2）D【解析】（1）由cos tan 0θθ⋅>可知cos ,tan θθ同号，即cos tan =sin 0θθθ⋅>，从而θ为第一、二象限角，故选：A（2）因为α是第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以点()sin ,cos P αα在第四象限，故选D【举一反三】1．（2019·浙江高三专题练习）已知 sin 0θ>且cos 0θ<，则角的终边所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】依据题设及三角函数的定义可知角θ终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限，故选B.2．（2020·全国高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】 C【解析】2sin sin tan 0cos αααα=<，cos 0α∴<，又2cos cos 0tan sin αααα=<，则sin 0α<. 因此，角α为第三象限角.故选：C.3．（2020·全国高三专题练习）已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 【答案】D【解析】由cos cos θθ=，可知cos 0θ≥，结合sin cos 0θθ<，得sin 0,cos 0θθ<>， 所以角θ是第四象限角，故选:D4．（多选）（2020·全国高三专题练习）对于①sin 0θ>，②sin 0θ<，③cos 0θ>，④cos 0θ<，⑤tan 0θ>，⑥tan 0θ<，则θ为第二象限角的充要条件为（ ） A ．①③B ．①④C ．④⑥D ．②⑤ 【答案】BC【解析】若θ为第二象限角，则sin 0θ>，cos 0θ<，tan 0θ<.所以，θ为第二象限角sin 0cos 0θθ>⎧⇔⎨<⎩或sin 0tan 0θθ>⎧⎨<⎩或cos 0tan 0θθ<⎧⎨<⎩.故选：BC.考向四 同角三角公式【例4】（1）（2019·全国高三专题练习）已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于（ ） A ．513B ．－513 C ．512D ．－512（2）（2020·江西景德镇一中）已知2tan 3α=，且2απ<<π，则cos α=（ ）A ．13-B ．13．13-D ．13【答案】（1）B （2）A【解析】由条件知α是第四象限角，所以sin 0α<，即sin α＝＝＝513-. 故选：B ． （2）2tan 03α=>且2απ<<π，32ππα∴<<，cos 0α∴<， 由22sin 2tan cos 3sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩得：cos 13α=-故选：A .【举一反三】1．（2020·海拉尔市蒙古族中学高三学业考试）已知α为第四象限的角，且3cos 5α=，则tan α的值为（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】D【解析】α为第四象限的角，且3cos 5α=，4sin 5α∴===-.4sin 45tan 3cos 35ααα-∴===-.故选：D .2．（2019·北京海淀·101中学高三月考）已知3,22ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan α=那么sin α=（ ）A ．-．D【答案】B【解析】因为3(,)22ππα∈，sin tan 0cos ααα==>，故3(,)2παπ∈， sin αα=，又22sin cos 1αα+=，解得：sin α=故选：B 3.已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．【答案】见解析【解析】由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α①又sin 2α＋cos 2α＝1②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.考向五 弦的齐次【例5】（1）已知tan α＝2，则sin α＋cos αsin α－cos α的值为．（2）（2020·固原市五原中学高三）已知tan 2θ=，则2sin sin cos 2θθθ+-= 【答案】（1）3（2）45-（1）原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋12－1＝3. （2）因为22sin +cos 1θθ=，sin tan cos θθθ=所以222sin sin cos 2sin sin cos 2cos θθθθθθθ+-=-+-222222sin sin cos 2cos tan tan 2sin +cos tan +1θθθθθθθθθ-+--+-==42244+15-+-==-故选：D.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知1tan 3α=-，则2cos sin cos ααα-+的值为（ ） A ．3-B ．34-C ．43-D ．34【答案】A【解析】由1tan 3α=-，得2cos 2232sin cos 1tan 3αααα---===-++.故选：A.2．（2020·福建省武平县第一中学高三月考）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-等于（ ） A ．43-B ．54C ．34-D ．45【答案】D【解析】222222sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθθθθθ+-+-=+22tan tan 24224tan 1415θθθ+-+-===++. 故选：D3．（2020·西藏拉萨中学高三）1tan 2α=，则sin 2α=（ ） A ．45-B ．35C ．45D ．35【答案】C【解析】1tan 2α=，2222122sin cos 2tan 42sin 21151()2sin cos tan ααααααα⨯∴====+++．故选：C 4．（2020·江苏南京田家炳高级中学）已知tan 2α=，求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-； （2）221sin sin cos 2cos αααα+-.【答案】（1） 4 （2）54【解析】（1）sin 2cos tan 2224sin cos tan 121αααααα+++===--- （2）2222221sin cos sin sin cos 2cos sin sin cos 2cos αααααααααα+=+-+-2222tan 1215tan tan 22224ααα++===+-+- 考向六 sin cos sin cos α±ααα与【例6】（1）（2020·永寿县中学高三开学考试）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ）． A ．79-B ．29-C ．29D ．79（2）（2020·广东华南师大附中高三月考）已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）A ．247B ．43-或34-C ．34-D ．43- 【答案】（1）A （2）D【解析】()2sin cos 17sin 22sin cos 19ααααα--===--.所以选A.（2）由1sin cos 5αα+=，平方可得112sin cos 25αα+=，解得242sin cos 25αα=-， 又由2249(sin cos )sin cos 2sin cos 25αααααα-=+-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得sin cos 0αα->，所以7sin cos 5αα-=，联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-.故选：D.【举一反三】1．（2020·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知7sin cos17αα+=，()0,απ∈，则tanα=________.【答案】158-【解析】依题意7sin cos17αα+=，两边平方得4924012sin cos,2sin cos0289289αααα+==-<，而()0,απ∈，所以sin0,cos0αα><，所以23sin cos17αα-====.由7sin cos1723sin cos17αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得158sin,cos1717αα==-，所以sin15tancos8ααα==-.故答案为：158-2．（2020·四川省南充高级中学高三月考（理））已知1sin cos5θθ+=，(0,)θπ∈，则tanθ=________. 【答案】43-【解析】已知1sin cos5θθ+=，平方得()2221sin cos sin cos2sin cos25θθθθθθ+=++=，得12sin cos25θθ=-，∴()222sin cos sin cos2sin cos125252449θθθθθθ-=+-=+=，(0,)θπ∈，sin0,cos0θθ><，7sin cos 5θθ∴-=，7ta sin cos 1sin cos n 571t n 51a θθθθθθ=-=-+=+，解得4tan 3θ=-. 故答案为：43-考向七 三角函数线运用【例7】（2020·全国高三专题练习）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[0,2]π内α的取值范围是（ ）．A ．35,,244ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．5,,424ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．353,,2442ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．3,,424ππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<． 02απ，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）已知点()cos ,tan P αα在第二象限，则角α在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【解析】点()cos ,tan P αα在第二象限，则cos 0tan 0αα<⎧⎨>⎩，所以角α在第三象限.故选：C2．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，则α的取值范围是（ ）． A ．()ππ2π,2π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()3π2π,2ππ4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．()3π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()5π7π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z【答案】D 【解析】()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧∴⎨-<⎩，2222sin cos sin 1sin sin 0sin 0αααααα⎧⎧>>-∴⇒⎨⎨<<⎩⎩，21sin 2sin 0αα⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，sin α∴<，()5π7π2π,2π44k k k α⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z．故选：D. 3．（2020·贵州高三其他模拟）已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限，则在[]0,2π内的α的取值范围是（ ）A ．35(,)(,)244ππππB ．5(,)(,)424ππππC ．353(,)(,)2442ππππD ．33(,)(,)244ππππ 【答案】B【解析】由已知点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限得：sin cos 0αα->，tan 0α>，即sin cos αα>，tan 0α>，当sin cos αα>，可得52244k k πππαπ+<<+，k Z ∈．当tan 0α>，可得222k k ππαπ<<+或3222k k πππαπ+<<+，k Z ∈． ∴2242k k πππαπ+<<+或5224k k πππαπ+<<+，k Z ∈． 当0k =时，42ππα<<或54ππα<<．02απ≤≤，∴42ππα<<或54ππα<<．故选：B ．1．（2020·重庆西南大学附中高三月考）下列转化结果正确的是（ ） A ．60化成弧度是rad 6πB ．rad 12π化成角度是30 C ．1化成弧度是180rad πD ．1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由180π=得，对于A 选项：60化成弧度是rad 3π，故A 不正确；对于B 选项：rad 12π化成角度是11801512⨯=，故B 不正确；对于C 选项：1化成弧度是180rad π，故C 错误；对于D 选项：1rad 化成角度是180π⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确，故选：D.2．（2020·天津市静海区大邱庄中学高三月考）下列转化结果错误的是（ ） A ．30化成弧度是6πB ．103π-化成度是600-︒ C ．6730'︒化成弧度是27πD ．85π化成度是288︒ 【答案】C【解析】30化成弧度是6π，A 正确；103π-化成度是600-︒，B 正确； 6730'︒是367.567.51808ππ︒=⨯=，C 错误；85π化成度是288︒，D 正确.故选：C. 3．（2020·江苏高三专题练习）225-化为弧度为()强化练习A ．34πB ．74π-C ．54π-D ．34π- 【答案】C【解析】225225356024ππ=-⋅-=-.故选C 4．（2019·全国高三专题练习）下列结论不正确的是( )A ．3πrad ＝60°B ．10°＝18πrad C ．36°＝5πradD ．58πrad ＝115°【答案】D 【解析】 ∵π＝180°，∴3πrad ＝60°正确，10°＝18πrad 正确，36°＝5πrad 正确，58πrad ＝＝112.5°≠115°，D 不正确．故选D ．5．（2020·浙江温州·高二期中）已知角α的终边上有一点()1,2P -，则tan α的值为（ ） A ．-2B ．12-C D ．【答案】A 【解析】角α的终边上有一点()1,2P -，2tan 21α-∴==-.故选：A. 6．（2020·江苏镇江·高三期中）已知点51,3tan6P π⎛⎫- ⎪⎝⎭是角θ终边上一点，则cosθ的值为（ ） A ．12B．12-D． 【答案】C【解析】因为53tan 36π⎛=⨯= ⎝⎭(1,P -，所以1cos 2θ==-，故选：C.7．（2020·河南高三月考（文））已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，终边与单位圆交于12P ⎛-⎝⎭，则sin α=（ ） A．B ．12-C．．2【答案】D【解析】由三角函数的定义，sin y α==.故选：D. 8．（2020·北京人大附中高三月考）已知点5π2cos,16P ⎛⎫⎪⎝⎭是角α终边上一点，则sin α=（ ） A ．12B．2C ．12-D．2- 【答案】A【解析】由5πcos62=-，可得点()P ， 根据三角函数的定义，可得1sin 2α==.故选：A.9．（2020·浙江高二开学考试）已知角α的终边经过点(2,1)P -，则（ ）A ．sin αB ．sin α=C ．cos α=D ．tan 2α【答案】A【解析】角α的终边经过点(2,1)P -,所以P根据三角函数定义得到：sin 55a α====-，1tan 2α=-；故选A. 10．（2020·开鲁县第一中学高三月考（文））已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin cos αα+的值等于( ) A ．25-B ．45C ．35D ．25【答案】A【解析】因为角α的终边过点()4,3,5P r OP -==，所以利用三角函数的定义， 求得34,cos 55sin αα=-=，3422cos 2555sin αα∴+=-⨯+=-，故选A. 11．（2020·宁夏银川二中高三其他模拟）如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C．D．-【答案】C【解析】由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离2r ==，由定义知sin 2y r α==-故选：C ． 12．（2020·扶风县法门高中高三月考（文））已知α的值是（ ）A ．3B ．3-C ．1D ．12- 【答案】Ccos 2sin cos sin cos ααααα+=+， 因为α为第二象限角，所以sin 0,cos 0αα><，所以cos 2sin 2sin cos 211sin cos sin cos αααααααα-+=+=-=.故选：C. 13．（2020·安徽省蚌埠第三中学高一开学考试）已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边位置在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】由于点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<， 所以α在第二象限.故选：B14．（2020·全国高三专题练习（文））已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α在第几象限（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】因为点(tan ,cos )P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<< 所以角α在第二象限故选：B15．（2020·江苏高三专题练习）若sin tan 0αα<，且cos 0tan αα<，则角α是第（ ）象限角. A ．一B ．二C ．三D ．四 【答案】C【解析】由条件知sin α与tan α异号，则α为第二或第三象限角；又cos α与tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角.故选：C16．（2020·北京市第十三中学高三期中）已知()0,απ∈，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．43 【答案】A【解析】由3cos 5α=-得4sin 5α===±，因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以4sin 5α， 所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--，故选：A17．（2020·陕西省定边中学高三月考（文））已知tan 4α=，则21cos 28sin sin 2ααα++的值为（ ）A ．．654C ．4D ．3【答案】B【解析】因为tan 4α=，所以21cos 28sin sin 2ααα++，222cos 8sin 2sin cos αααα+=，228tan 2tan αα+=，228424+⨯=⨯， 654=故选：B 18．（2020·重庆南开中学高三月考）已知tan 2α=，则2221sin 2cos sin 2cos αααα++=-（ ）A ．32B ．52C ．4D ．5 【答案】D 【解析】22222221sin 2cos sin 2sin cos 2cos sin 2cos sin 2cos αααααααααα++++=--22tan 2tan 25tan 2ααα++==-故选:D 19．（2020·全国高三专题练习（文））已知02πα-<<，1sin cos 5αα+=，则221cos sin αα-的值为( )A ．75B ．257C ．725D ．2425【答案】B【解析】由题意，因为1sin cos 5αα+=，所以112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-， 所以()249cos sin 12sin cos 25αααα-=-=，又因为02πα-<<，所以sin 0,cos 0αα<>，所以7cos sin 5αα-=，所以221125cos sin (cos sin )(cos sin )7αααααα==-+-，故选B.20．（2020·全国高三专题练习）（多选）下列转化结果正确的是（ ）A ．6730'化成弧度是38πB ．103π-化成角度是600-C ．150-化成弧度是76π-D ．12π化成角度是5 【答案】ABD【解析】对于A,3673067.51808ππ'=⨯=,正确;对于B,101018060033πππ-=-⨯=-,正确; 对于C,51501501806ππ⨯-=-=-,错误;对于D,180151212πππ=⨯=,正确.故选ABD 21．（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知角θ的终边经过点(,3)P x （0x <）且cos 10x θ=，则x =___________. 【答案】1-【解析】由余弦函数的定义可得cos 10x θ==，解得0x =（舍去），或1x =（舍去），或1x =-， 1x ∴=-.故答案为：1-.22．（2020·湖南高二学业考试）已知角α的终边经过点(3，4)，则cos α=______________.【答案】35【解析】因为角α的终边经过点(3，4)，所以3cos 5x r α===，故答案：35 23（2020·天津经济技术开发区第二中学高三期中）已知2sin cos 0αα-=，则2sin 2sin cos ααα-=___________. 【答案】35【解析】由2sin cos 0αα-=，得1tan 2α=，则有222222sin 2sin cos sin 2sin cos tan 2tan 1sin cos tan 1ααααααααααα---==++221123225112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭==-⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 故答案为：35. 24．（2020·万载县第二中学高三月考（理））已知角α的终边经过点(,6)P x --，且3cos 5α=-，则11sin tan αα+=________． 【答案】12- 【解析】点P 的纵坐标为6-，且3cos 05α=-<．∴角α的终边落在第三象限，4sin 5α∴=-，4tan 3α= 115321sin tan 4442αα∴+=-+=-=-.故答案为：12-. 25．（2020·山东高三专题练习）已知sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，那么tan α＝________. 【答案】－2316易知cos α≠0，由sin 2cos 3sin 5cos αααα-+＝－5，得tan 23tan 5αα-+＝－5，解得tan α＝－2316.故答案为：－2316。
《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议-2019年精选文档
《数学》第五章“三角函数”教材分析与教学建议在学习三角函数之前，学生已经学习了一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，对函数有了一定的认识。
三角函数是学生遇到的第一个周期性函数，是中等教育阶段最后一个基本初等函数。
学完本章以后，学生应对函数的一般内容，如函数符号、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等建立更完整的认识。
初中数学教学中已有锐角的三角函数的概念，但没有将其作为一种函数来教学，关注的只是三角函数值，主要利用锐角三角函数的定义解决直角三角形中有关边角的问题。
到了中职教育阶段，需要从函数的角度来认识三角函数，落实大纲中与三角函数部分相关的教学内容与要求。
本章首先对角的概念进行推广，并通过弧度制对角的度量建立角与实数之间的一一对应关系，为学生理解三角函数是以实数为自变量的函数奠定基础；为了角的概念推广的需要，把角放到平面直角坐标系中进行研究，不仅建立了角的大小与终边位置的关系，而且通过角的终边上的点的坐标来定义任意角的三角函数，并利用角的终边上点的坐标的正负直观性，判断三角函数值的符号，得到特殊角的三角函数值，建立同角三角函数的两个基本关系式以及诱导公式；借助三角函数图像以及诱导公式帮助学生从“形”与“数”两方面理解正弦函数、余弦函数的变化规律；最后利用计算器及诱导公式，能由已知三角函数值求出指定范围的角。
本章内容分为五个部分：角的概念推广，弧度制，任意角三角函数的概念及相关公式，正弦函数、余弦函数的图像与性质，已知三角函数值求角。
《中等职业学校数学教学大纲》建议本章设置18课时，其中新授部分16课时，复习部分2课时。
《大纲》对本章知识内容的学习要求包括：4项“了解”（角的概念推广、诱导公式、余弦函数的图像和性质、已知三角函数值求指定范围内的角）；4项“理解”（弧度制，任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数，同角三角函数基本关系式，正弦函数的图像和性质）；2项“掌握”（利用计算器求三角函数值及利用计算器求角度）。
第五章 三角函数5.1角的概念的推广及其度量
7.已知 ，且 为第二象限的角，求 的值
8.已知 求（
9.化简 （ 为第四象限角）
5.2.2同面三角函数的基本关系式（二）
一、选择题：
1、若 sin tan <0,则角 是（）.
A、第二象限角B、第三象限角C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角
2、已知tan ,则sin 等于（）.
A、- B、 C、 D、-
一、选择题：
1.y=co s x是（）
A.周期为2 的偶函数B.周期为2 的奇函数
C.周期为 的偶函数D.周期为 的奇函数
2.函数y=co s x ,x 的图像对称轴是（）
A. x=0 B. x= C. x=2 D. y=
3.下列图像不是余弦函数y= co s的图像是（）
4.下列关系式正确的是（）
A. co s B. < <co s
二.填空题：
5.已知 ， ，则 =；
6.已知 ，且 ，则 =；
7. ； =。
三.解答题：
8.求适合下列条件的角 。
（1） ；
（2） 。
9.求值：在 内求解
（1） ；
（2）
10.求适合下列条件的角
（1）
（2）
5.3.3已知三角函数值求角（二）
一.选择题：
1.已知 ，且 ，则 等于 （ ）
A. B. C. D.
C. <co s < D. <co s <
二、填空题：
5.函数y=co s x ,x 图像上的五个关键点的坐标是；
6.y=co s的定义域为，最小正周期为，在 上的单调增区间为
三、简答题：
7．用五点法作出函数 在 的简图，并简述如何由函数 的图象平移得到函数 的图象。
角的概念的推广及其度量
勤能补拙重在坚持难在慎独高一数学学案时间：编辑人：温梅【学习目标】1.理解弧度制的概念以及弧长公式。
2.理解角的弧度数与实数之间的一一对应关系。
3.掌握角度制与弧度制的换算。
【课前预习案】1.角度制定义：把一个圆周等分，则其中一份所对的圆心角是。
2.复习初中时所学的“弧长与扇形的面积公式”L= , S= = .【课堂学习案】1.弧度制(1)定义：弧长等于的弧所对的叫做1弧度的角,用符号rad表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角的单位制叫做 .(2)任意角的弧度数与实数都是对应关系：正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是 ,零角的弧度数是 .2.角度与弧度的换算1°＝ rad≈ rad， 1 rad＝( )≈°＝．平角＝°＝ rad，周角= °＝ rad，[题后反思](4)有关扇形公式弧度制角度制角的弧度数公式/弧长公式扇形面积公式1.若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为( )．A．40π cm2B．80π cm2C．40cm2D．80cm22. 已知圆心角所对的弧长为2，这处圆心角所夹的扇形面积为（）．A. B. C. D.3. 若一圆的半径为5厘米，则60°圆心角所对的弧长为；4.若半径为10厘米的圆中，30°圆心角所对应的扇形面积为；例7 将下列各角度与弧度互化（1）（2）（3）（4）（5）（6）三、【课堂总结】知识体系建构1. 想一想角的概念我们学习了什么2.想一想角的度量我们学习了什么公式[达标检测]1. 完成《高考总复习》第56～59页能力训练题及高考回顾题；2.选择性的完成课本及练习册相应类型题；。
三角函数角的概念的推广。
三角函数角的概念的推广。
一、引言：三角函数是数学中极其重要的一部分，与几何、物理、工程等各个领域有着广泛的应用。
它最初是在平面直角三角形中引入的，但是这种定义方式很难进行推广，因此需对三角函数角的概念进行进一步的探讨和推广。
二、三角函数角的初步概念：在平面直角三角形中，我们称两条非直角边之间的夹角为锐角，而把锐角所对的最长的一条边称为斜边。
在这种情况下，三角函数可以通过直角三角形中的比值来定义。
具体来说，为了定义一个锐角的正弦、余弦和正切，我们可以按照以下方式进行计算：1.正弦：三角形中任意一条非直角边与斜边的比值。
2.余弦：三角形中一个锐角的邻边与斜边的比值。
3.正切：三角形中一个锐角的邻边与另外一条邻边的比值。
在这些定义中，角的大小在定义三角函数时并没有重要性，虽然它们必须是角锐，但是这并不是三角函数角的最终定义。
三、三角函数角的推广：三角函数的角也可以被推广到其他情况中。
特别是，我们可以考虑将角的度数的范围扩展到实数，并考虑将三角函数的值扩展到实数或复数。
因此，我们需要在确保三角函数与之前定义的函数一样的时候，将其定义为实数值或复数值函数。
四、三角函数角的定义：为了使三角函数适用于实数，我们需要基于三角公式来定义三角函数。
其中，三角公式包括正弦、余弦和正切的周期性、对称性和奇偶性等属性。
具体地说，我们可以基于以下三个定义：1.正弦：任意实数x的正弦值是周期函数，其周期为2π，定义为：sin(x) = sin(x + 2kπ)（k∈Z）2.余弦：任意实数x的余弦值是周期函数，其周期为2π，定义为：cos(x) = cos(x + 2kπ)（k∈Z）3.正切：任意实数x的正切值是周期函数，其周期为π，定义为：tan(x) = tan(x + kπ)（k∈Z）通过这些定义，我们可以确保三角函数适用于所有实数，并且可以在进行计算时起到重要的作用。
五、总结：三角函数角的概念的推广对于实际问题的解决至关重要。
数学中的三角函数角度与关系
数学中的三角函数角度与关系在数学中，三角函数是一类重要的数学函数，它们用于研究角度与各个边之间的关系。
三角函数的角度与关系是数学中的基础概念之一，在解决实际问题或推导数学公式中起到重要的作用。
本文将就三角函数的角度与关系展开论述。
三角函数是以角的角度为自变量的函数，主要包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在数学中，角度是用弧度表示的，一个完整的圆周对应的角度为360度或2π弧度。
同时，数学家还约定以逆时针方向为正方向。
首先来看正弦函数。
正弦函数（sin）描述的是一个角的对边与斜边之比，即sinθ = a / c。
其中，θ代表角的弧度，a代表角的对边长度，c代表角的斜边长度。
正弦函数的定义域为-∞到+∞，值域在-1到1之间。
接下来是余弦函数。
余弦函数（cos）描述的是一个角的邻边与斜边之比，即cosθ = b / c。
其中，θ代表角的弧度，b代表角的邻边长度，c代表角的斜边长度。
余弦函数的定义域和值域与正弦函数相同。
正弦函数和余弦函数是很常用的三角函数，它们分别对应于直角三角形中的两个角，可以描述角的属性和各边的关系。
再来看正切函数。
正切函数（tan）描述的是一个角的对边与邻边之比，即 tanθ = a / b。
其中，θ代表角的弧度，a代表角的对边长度，b代表角的邻边长度。
正切函数的定义域为除去所有余切的奇数倍的实数集合，值域为全体实数集合。
三角函数之间还存在很多重要的关系，下面我们来看几个常见的关系。
首先是正弦定理。
在一个三角形中，设三个角的度数为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。
根据正弦定理，有 a/sin A = b/sin B = c/sin C。
正弦定理可以帮助我们推导出不同角度之间的边长关系，进而解决相关问题。
接下来是余弦定理。
余弦定理描述了三角形中的边长与角度之间的关系。
在一个三角形中，设三个角的度数为A、B、C，对应的边长分别为a、b、c。
根据余弦定理，有 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C。
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
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由OA旋转到OB位置时，就形成一个角
；
在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成
了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就
形成大于 的角．
如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针
方向旋转，形成与上述方向 的角．
3
角 的 推 广
归纳
创设情景 兴趣导入
通过上面的两个实例，发现仅用0°-360°范 围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际 问题，需要对角的概念进行推广．
表示
用角的顶点与边的字母表示角 ∠AOB或∠O 用小写希腊字母α、β、γ、……来表示角.
6
角 的 推 广
动脑思考 探索新知
将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴， 此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.
终边在坐标轴上的角叫做界限角.
自己作图表示一下吧．
7
运用知识 强化练习
第5章 三角函数 5.1角的概念推广
1
问题
创设情景 兴趣导入
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上， 小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一 圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈． 那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢 ？
2
创设情景 兴趣导入
问题
动画演示
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向
4
动脑思考 探索新知
角 的 推 广
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或 顺时针）方向旋转到另一位置OB 就形成角α．
旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB 叫做角α的终边，端点O 叫做角α的顶点．
动画演示
5
角 的 推 广
动脑思考 探索新知
类型
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角； 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角； 当射线没有作任何旋转时，所形成的角叫做零角．
15
角 的 推 广
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
16
角 的 推 广
布置作业 继续探究
阅读
书面
教材章节5.1
学习与训练5.1
实践
生活中角的概念 的推广实例
17
试验
9
问题引导 动手探究 在直角坐标系中作出390°、－330°和30°角， 这三个角的终边有何关系？
动画演示
10
问题引导 动手探究
390°=30°+1×360° -330°=30°+（-1）×360° 390°、－330°与30°角之差都是
360°角的整数倍数， 它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的 终边位置后，分别继续按逆时针或顺时 针方向再旋转一周所形成的角．
练习5.1.1
在直角坐标系中分别作出下列各角，
并指出它们是第几象限的角：
⑴ 60°；
⑵ －210°；
⑶ 225°； ⑷ －300°.
动画演示
8
问题引导 动手探究 用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的 位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照 顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转 到OB的位置时所形成角的特征．
集合 S { k3 6 0,k Z }
选取k，使得角在要求范围内.
13
角 的 推 广
巩固知识 典型例题
例2 写出终边在y轴上的角的集合．
解 终边在 y 轴上的角的集合是
S ｛ ︱ n 180 90 , n Z ｝．
当 n 取偶数时，角的终边在 y 轴正半轴上； 当 n 取奇数时，角的终边在 y 轴负半轴上．
与30°角终边相同的角还有哪些？
11
动脑思考 探索新知
角
的 推 广
一般的，与角α终边相同的角（包括角α在内），都可以表 示为 α +k·360°(k∈Z)的形式．
与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
S { k3 6 0,k Z }
动画演示
12
பைடு நூலகம்
角 的 推 广
巩固知识 典型例题
例1 写出与下列各角终边相同的角的集合S, 并写出S中在-360°～720°范围内的角： ⑴ 60°； ⑵ －114°26′．
14
角 的 推 广
应用知识 强化练习
练习5.1.2
1.在 0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角， 并指出它们是哪个象限的角：
⑴ 405°；⑵ 165°；⑶ 1563°；⑷ 5421°．
2.写出与下列各角终边相同的角的集合， 并且把集合中在－360°～360°之间的角写出来：
⑴ 45°；⑵ －55°；⑶ －220°45′；⑷ 1330°．