宁波大学671数学分析2004,2005,2007--2020年考研专业课真题

宁波大学 2020 年硕士研究生招生考试初试试题(B 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码： 671 总分值： 150 科目名称：
数学分析
一. 判断题：认为正确的请指出原因，认为错误的请举出反例（本题 30 分，每题 6 分）
1. 若级数
a
n1 n
收敛，则
lim
n
a
n
0。
2. 函数在区间[0,1) 连续，则该函数在[0,1) 上一致连续。
3. 如果函数 f (x) 在某一点 x0 处连续, 则 f (x) 在 x0 处可微。
4. 设级数
a
n1 n
收敛且
b
n1 n
收敛，则
n1
an
bn
收敛。
5. 有界闭区间上连续函数一定一致连续。
二．(本题 30 分, 每题 15 分) 请叙述下面定理和概念：
(1) 请叙述数列的单调有界定理。
2. f (x)在[a,b]上可积,则f 2 (x)在[a,b]上也可积;f (x)的反常积分在[a, )上收敛,
则f 2 (x)的反常积分在[a, )上(
)
（A）收敛； （B）不收敛； （C）不一定收敛；
（D）以上三个答案都不正确
3.设 f (x) (x a)(x) ，其中(x) 在 x a 处连续但不可导，则 f ' (a) （
考试科目: 数学分析 科目代码：671 适用专业: 基础数学、应用数学
一.填空题（每题 5 分，共 15 分）
1. lim(tan x )tan x =
;
x
2
2
2. 曲面x2 y2 z2 3在点(1,1,1)处的切平面方程为
;
3.
2 0
sin2
x
dx 2 cos2
x
;
二.单项选择题（每题 5 分，共 15 分）
六．(本题 15 分)
设 0 b a ，证明： a b ln a a b 。
a
bb
七．(本题 15 分)
设 f (x) 是定义在实数域上的可导正函数，并且 f '(x) 2020 f (x), f (0) 1，求 f (x) 。 八．(本题 15 分)
设 f (x) 是定义在实数域上的压缩函数，即，对于任意的 x, y R 满足下列不等式：
科目代码： 671 总分值： 150 科目名称：
数学分析
一、判断题：认为正确的请指出原因，认为错误的请举出反例（本题 30 分，每小题
6 分）
1. 有界数列必为一定有极限。
2. 函数在(0, )连续，则该函数在(0, )上一致连续。
3. 如果
,则
一定发散。
4. 如果
收敛，则
收敛。
5. 设级数 an绝对收敛, bn条件收敛,则 (an | bn |) 收敛。
在 D 上不是黎曼可积的。 七、(本题 15 分)设非负函数 f 在[a,b]连续，其最大值为 M, 求证
八、(本题 15 分) 设
，其中 n 从 1 到正无穷，并且{x}表示 x 的小数部分，
求证：任意[0,1]中的数都是 an 的某个子列的极限。
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宁波大学 2014 年攻读硕士学位研究生 入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)
及任意的
(2)对任意的[0,1]上的黎曼可积函数 , 成立
, , 成立
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宁波大学 2019 年硕士研究生招生考试初试试题(B 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
科目代码： 671 总分值： 150 科目名称：
数学分析
五、(本题 15 分)请用 语言证明：
如果
,则
.
六、(本题 15 分) 设 D=[0,1], 请用黎曼可积的定义证明
考试科目: 数学分析 科目代码：671 适用专业: 基础数学、应用数学
3. 设F(xz, yz) 0,求 z , z . x y
4.若x 0, x 1 x
1
, 证明:
2 x (x)
(1) 1 (x) 1 ;(2) lim (x) 1 , lim (x) 1 .
4
2
x0
4 x
2
5.计算曲线积分 [( y)ex my]dx [( y)ex m]dy. AMB
其中( y)和( y)为连续函数,AMB是连接点A(1, 2), B(2, 4)的任意路径,
1. 下列叙述正确的是（
）
（A）若数列
{an}无界,则必有
lim
n
an
.
(B)若f (x)在点x0连续,而g(x)在点x0不连续,则f (x)g(x)在点x0处不连续. (C)若f (x)在x0处可导,则一定存在x0的某个领域U(x0 ),使得f (x)在U(x0 )内的任意点处
都可导.
(D)若f (x)在点x0处连续,则在x0的某个领域内一定有界.
(2) 请用 语言叙述函数 f (x) 在某一点 x0 处不连续。
三．(本题 15 分) 计算 (cos2 x)(2019) ，其中 2019 表示 2019 次导数。
四．(本题 15 分) 求幂级数
xn 的收敛域以及在收敛域内求这个级数的和。
n1 n(n 1)
五．(本题 15 分)请用 语言证明： lim 2 (sin x)n dx 0 。 n 0
n1
n1
n1
二、(本题 30 分, 每小题 15 分) 请叙述下面概念：
(1) 请用 语言叙述函数 f 在 x0 处的连续性。 (2) 请准确叙述“函数 f 在(1, )上的积分收敛”。
三、(本题 15 分) 计算二重积分
四、(本题 15 分)实轴上的连续函数 f 被称为凸的，若对任意
及
，满足
请证明：(1)对任意
| f (x) f ( y) | 1 | x y | 。 3
设 x1 1， xn1 f (xn )， n 2 。证明：Βιβλιοθήκη Baidu
1. 数列xn是一个柯西列。
2. 存在唯一的 a R ，使得 a f (a) 。
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宁波大学 2019 年硕士研究生招生考试初试试题(B 卷)
(答案必须写在考点提供的答题纸上)
）
A. 不存在 B. ' (a)
C. (a)
D. － ' (a)
三.计算与证明题（每题 10 分，共 50 分）
sin x
1.
求 lim x0
0 tan x
0
tan udu sin udu
2.
求f (x) ex在x 0处的Taylor级数,并求
n2 .
n1 n!
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宁波大学 2014 年攻读硕士学位研究生 入 学 考 试 试 题(A 卷) (答案必须写在答题纸上)