等比数列的性质总结

等比数列性质

2. 通项公式：

a n a 1q n 1 a i q n A B n a 1 q 0, A B 0 ,

首项：a 1;公比：q

q 推广：a n a m q n m ,

从而得q n m 也或q n a m a m

3. 等比中项 （1） 如果a,A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项•即： A ab 或A 、. Ob 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数）

2

（2） 数列a n 是等比数列 a n a n 1 a n 1

4.等比数列的前n 项和S n 公式:

⑴当q 1时，S n na 1 A B n A'B n A'（代 B,A',B'为常数）

a

亠 q （q 为常数，a n 0） {a .}为等比数列 a n

0） {a n }为等比数列

{a n }为等比数列 A'B n A' A,B,A',B'为常数 {a n }为等比数列

6. 等比数列的证明方法

… a *

依据定义：若

— q q 0 n 2,且n N 或a n 1 qa n {a n }为等比数列

a n 1 7. 注意 （1） 等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、q 、n 、a n 及&，其中a 1、 基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。

（2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； a n aq n1

1.等比数列的定义:

a n a n 1 q q On 2,且 n N ,q 称为公比

⑵当

a 11 q n a 1 1 a n q q h 1 q

a 1

a 〔

n -q A 1 q 1 q

5.等比数列的判定方法

(1) 用定义：对任意的

n,都有 a n 1 qa n 或 (2) 2 等比中项：a n

a n 1a n 1 ( a n 1a n 1 (3) 通项公式：a n A B n A B 0

(4) 前n 项和公式： & A A B^S n q 称作为

8.等比数列的性质

(1)当q 1时

式.因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

「 「 _ * 2

⑶ 若 m+n=s+t (m, n, s, t N )，则 a . a m a $ 印.特别的，当 n+m=2k 时，得 a . a m a k

⑷ 列｛a n ｝,｛b n ｝为等比数列，则数列｛兰｝ ,｛k a n ｝ ,｛a n k ｝ ,｛k a n b n ｝ ｛a

n ｝ (k 为非零常数)均为等比数 a n b n

列.

⑸ 数列｛a n ｝为等比数列，每隔k(k N *)项取出一项(a m ,a mk ,a m2k ,a m3k ,)仍为等比数列 ⑹如果｛a n ｝是各项均为正数的等比数列,则数列｛log a a n ｝是等差数列 ⑺ 若｛a n ｝为等比数列，则数列S n ，S 2n &，S sn 翁，，成等比数列

(8)若｛a n ｝为等比数列，则数列 a 1 a 2

a ., a n 1 a n 2 a ?n , a ?n 1 a ?n 2 (9) ①当q 1时,

③ 当q=1时，该数列为常数列(此时数列也为等差数列)

④ 当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)

在等比数列｛a n ｝中,当项数为2n (n N *)时奇 丄,. ^禺q (11) 若｛a n ｝是公比为q 的等比数列,则S n m & q n S m 如奇数个数成等差，可设为…,

a a 2 > > a,aq,aq q q (公比为q ，中间项用a 表示)； ①等比数列通项公式 a n a 1 n n

—q A B q

B 0是关于n 的带有系数的类指数函数， 底数为公比q n 1 q 数的类指数函数，底数为公比

q a 1 1

②前n 项和S n

n a i qq q a i A A B n A'B n A'，系数和常数项是互为相反 ⑵ 对任何m,n N *,在等比数列｛a .｝中,有a . a m q n

m ，特别的，当m=1时，便得到等比数列的通项公

注:

a i a n a 2 a n 1 a 3a n 2 a 3n 成等比数列 ②当0

a 1 0,则｛a n ｝为递减数列, a 1 0,则｛a n ｝为递减数列

｛a 1 0,则｛a n ｝为递增数列