高等代数知识点总结_第三版_王萼芳与石生明编
高等代数知识点总结
伴随
其它
定义 性质
；
性质 转置不变性 反交换性 交错性 齐性
公式 |AT| = |A| |...α...β...| = −|...β...α...| |...α...α...| = 0 |...kα...| = k|....α...|
备注 行列地位平等 换法变换 倍法变换 统称线性
|...α+β...| = |...α...| + |...β...| 加性 倍加不变性 |...α+kβ...β...| = |...α...β...| |aij| = ak1Ak1+…+aknAkn 按第k行 = a1kA1k+…+ankAnk 第k列展开 Laplace定理
次数大于1的多项式都可分解成有限个既约多项式之 积，且不计因子次序和常数因子倍时，分解唯一.
• 标准分解定理
每个次数大于1的多项式f都有如下的标准分解
f = ap
n1 1
L p
nt t
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多 项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f 唯一确定.
0 A = B 0 * = | A || B | B
分块三角形行列式
A *
0 B
A *
=
* B
A 0
= ( −1)
mn
| A || B |
16
Cauchy-Binet公式 公式 设U是m×n矩阵, V是n×m矩阵, m≥n, 则
i1 L im ------- | UV |= ∑ 式U 式V i1L im -------- i1 L im
高等代数知识点总结
• 设f(x)＝anxn+...+a1x+a0，若f(x)在n+1个点的函数值为0，
则f(x)恒等于0.
8
• Eisenstein判别法：
设
f ( x) an xn
有素数p使得
a1x a0 是整系数多项式，若 p | an , p | an1,..., p | a0 , p2 | a0
其中a是非零常数, p1,…,pt, 是互不相同的首一既约多 项式, n1,…,nt是正整数. 进一步,a, p1,…,pt,n1,…,nt由f 唯一确定.
• 重因式
f无重因式当且仅当f与其导式互素.
5
代数学基本定理：
下列陈述等价， 1. 复数域上次数≥1的多项式总有根 2. 复数域上的n次多项式恰有n个根 3. 复数域上的既约多项式恰为一次式 4. 复数域上次数≥1的多项式可分解成一次式之积. 5. 实数域上的次数＞1的既约多项式只有无实根的二 次式 6. 实数域上次数≥1的多项式可分解成一次式和二次 式之积
(kA)T= k AT (AB)T= BT AT
(AT)T=A
|A1|=|A|1
|A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1 n, 若r(A)=n
其 它
A-1=|A|-1A*
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ ) 12 =r(PAQ)
对称多项式基本定理 每个对称多项式，都可唯一
地表示成初等对称多项式的多项式
10
矩阵
运算
行列式
初等变换 和标准形
特殊矩阵
11
运算及其关系
转置 加 法 数 乘 乘 法 转 置 取 逆 伴 随 取逆 伴随 行列式 秩数
【最新试题库含答案】高等代数第三版(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数第三版(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社：篇一：2013福州大学高等代数大纲福州大学2013年硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲一、考试科目名称: 《高等代数》二、招生学院：数学与计算机学院（数学）说明：1、考试基本内容：一般包括基础理论、实际知识、综合分析和论证等几个方面的内容。
有些课程还应有基本运算和实验方法等方面的内容。
2、难易程度：根据大学本科的教学大纲和本学科、专业的基本要求，一般应使大学本科毕业生中优秀学生在规定的三个小时内答完全部考题，略有一些时间进行检查和思考。
3、考试题型：可分填空题、选择题、计算题、简答题、论述题等。
003数学与计算机科学学院Y120M49 数学与计算机科学学院085211 计算机技术数学与计算机科学学院070101 基础数学▲●070104 应用数学 071400 统计学 070102 计算数学 070105 运筹学与控制论 081201 计算机系统结构 070101基础数学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①复变函数或②离散数学本专业不招收同等学力考生01非线性分析02代数学03小波分析及其应用04生物信息学 070102计算数学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①离散数学或②数值计算本专业不招收同等学力考生01系统建模与仿真02并行计算与分布式处理03海量信息处理与数据挖掘 070104应用数学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①复变函数或②离散数学本专业不招收同等学力考生01微分方程及其应用02应用概率统计03信息与计算科学070105运筹学与控制论①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①离散数学或②复变函数本专业不招收同等学力考生 01运筹学与优化理论02图像处理与模式识别 071400统计学①101思想政治理论②201英语一③611数学分析④818高等代数复试科目：①复变函数或②离散数学本专业不招收同等学力考生 01随机分析及其应用 02应用统计与方法 03统计计算与数据分析04应用概率统计福州大学初试科目参考书目611 数学分析《数学分析》（上、下），复旦大学数学系欧阳光中、朱学炎、金福临、陈传璋编著，高等教育出版社，2007年4月，第三版818 高等代数《高等代数》北京大学数学系编，王萼芳、石生明修订，高等教育出版社，第三版。
高等代数主要内容
二、主要复习内容：1. 行列式行列式的定义、性质和常用计算方法（如：三角化法、加边法、降阶法、递推法、裂项法、范得蒙行列式法、数学归纳法、作辅助行列式法）。
重点：n阶行列式的计算。
2. 矩阵理论矩阵的运算，分块矩阵的初等变换与矩阵的秩，可逆矩阵与伴随矩阵，矩阵的三种等价关系（等价、合同、相似），矩阵的特征值和特征向量，矩阵的迹，矩阵的最小多项式，矩阵的对角化，矩阵的常用分解（如：等价分解，满秩分解，实对称矩阵的正交相似分解，实可逆阵的正交三角分解，Jordan分解），几种特殊矩阵的常用性质（如：准对角阵，对称阵与反对称阵，幂等阵，幂零阵，对合阵，正交阵）。
重点：利用分块矩阵的初等变换证明有关矩阵秩的等式与不等式，矩阵的逆与伴随矩阵的性质与求法，矩阵的三种等价关系的关系，矩阵对角化的判断（特别是多个矩阵的同时对角化问题）和证明，矩阵分解的证明及应用（特别是实对称矩阵的正交相似分解，Jordan 标准型的计算与有关证明）。
3. 线性方程组Cramer法则，齐次线性方程组有非零解的充要条件及基础解系的求法和有关证明，非齐次线性方程组的解法和解的结构。
重点：非齐次线性方程组解的结构与其导出组的基础解系的有关证明。
特殊方程组求解。
4.多项式理论多项式的整除，最大公因式与最小公倍式，多项式的互素，不可约多项式与因式分解，多项式函数与多项式的根。
重点：运用多项式理论证明有关问题，如多项式的互素和不可约多项式的性质的有关证明与应用；重要定理的证明，如因式分解唯一性定理，Eisenstein判别法，Gauss引理等，不可约多项式的证明。
5.二次型理论二次型线性空间与对称矩阵空间同构，化二次型为标准形和正规形，Sylvester惯性定律，正定、半正定、负定、半负定及不定二次型的定义和性质，正定矩阵的一些重要结论及其应用。
重点：正定和半正定矩阵的有关证明，n级方阵按合同关系的分类问题，实对称矩阵有关证明。
6. 线性空间与欧氏空间线性空间的定义，向量组的线性关系（线性相关与线性无关，向量组的等价，极大线性无关组的求法，替换定理），基与扩充基定理，维数公式，坐标变换，基变换与坐标变换，生成子空间，子空间的交与和（包括直和），内积和欧氏空间的定义及简单性质，子空间的正交补，度量矩阵与标准正交基的求法以及性质的证明和应用，线性空间的同构。
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数知识点汇总-第三版-王萼芳与石生明编
高等代数知识点汇总-第三版- 王萼芳与石生明编作者: 日期:高等代数-----知识点总结首都师范大学数学科学院1100500070 I—A 与B 相等，记A=B 。
行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵(上)下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单运算规律：i) A +B=B+Ai) (A+B)+C=A+(B+C) iii) A+O=A iv) A+(-A)=O(3)数与矩阵的乘法运算规律：(k+l ) A=kA+lA k(A+B)=ka+kB k(lA )=(kl)A l gA=A. (3)矩阵的乘法1.矩阵的概念(1)由s n 个数 a j (i=1 , 2…s ; j=1,2.. n )排成n 行n 列的数表a 11Ma1nM ，称为s 行n 列as1asn矩阵，简记为 A (a ij )sn 。
(2)矩阵的相等设 A (a ij )mn , B (a ij )ik ，如果 m=l , n=k ,且 a j b j ,对 i=1 , 2 …m ； j=1,2 na 11Ma1nMb 11 Mb 1n Ma iibi1Ma1nb 1n Mas1asnbs1 bsnas1bs1asnbsna 11 Mai nMb 11 Mb1nM c11MC 1n Mas1 asnbs1b sncm1cmn都成立，则称 (3)各种特殊矩阵位矩阵。
2.矩阵的运算 (1)矩阵的加法a 11 k Ma1nMka 11M ka 1nMas1 asnka s1kasnJ 十高等代数-----知识点总结首都师范大学数学科学院 1100500070 \i) ( AB ) C=A(BC) i)A(B+C)=AB+AC iii) (B+C)A=BA+CA iv) k(AB)=A (kB )=(kA)B-般情况， ABAB =AC ,A运算规律:I I(A)(5)方阵的行列式运算规律:i)1. 基本概念(1) 矩阵可逆的定义n 级方阵B ，使得AB=BA=E ，这里E 是单位矩阵。
《高等代数》考试大纲
《高等代数》考试大纲一．课程任务二．教材与参考书目1．教材：1.《高等代数》北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编，第三版，高等教育出版社，2003年7月。
2．《高等代数辅导与习题解答》王萼芳，石生明编，高等教育出版社，2007年2月。
3．《高等代数》丘维声编，第二版，高等教育出版社，2002年7月。
4.《LinearAlgebra》彭国华，李德琅编，高等教育出版社，2006年5月。
5.《高等代数解题方法与技巧》李师正主编，高等教育出版社，2004年2月。
三．课程考核方法与命题要求本课程考核以笔试为主，一般采用闭卷形式，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力计算能力以及综合应用能力。
平时成绩占30%，期末成绩占70%。
考试大纲根据教学目标，划分标准为“识记、领会、简单应用、综合应用”四级，其中识记占20%，领会占30%，简单应用占40%，综合应用占10％，考试的试题应按照这四个层次，按比例命题。
本课程考试题型分为客观题和主观题两部分，其中客观题目有选择题（判断题）、填空题，主观题有解答题（计算题）、证明题等。
（第二学期考核第一至第五章部分；第三学期考核第六至第九章部分）四．课程内容与考核要求第一章基本概念1．知识范围：本章主要介绍集合，映射，数学归纳法，整数的一些整除性质，数环和数域的基本知识。
2．考核要求：深入理解集合的相等、子集、空集、交集、卡氏集等概念及他们之间的关系，掌握映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射的概念和映射可逆的充要条件，理解和掌握数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质。
能够判别一些数集是否为数环、数域。
3．考核知识点：映射、满射、单射、双射、映射的合成、可逆映射，映射可逆的充要条件，数学归纳法原理，整数的性质及带余除法、最大公因数与互素、素数的一些简单性质，数环、数域的概念。
第二章多项式1．知识范围：本章主要讨论了多项式的整除性，最大公因，因式分解及在常见数域（有理数域、实数域、复数域）上多项式的约性，多项式根的一些性质，属多项式代数的基本知识，是对中学所学知识的加深和推广。
高等代数第三版 (王萼芳 石生明 著) 课后答案 高等教育出版社
（2） A11 =7， A12 =-12， A13 =3， A21 =6， A22 = 4， A23 =-1， A31 =-5， A32 =5， A33 =5， A34 =0。
13
3
16、 （1）1 （2） −
（3）-483 （4）
12
8
17、（ 1）按第一行展开，原式= xn + (−1)n+1 yn 。
从而可得
14. 证 有题设知 f (x), g(x) = 1，所以存在 v（x）， v（x）使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 从而
u(x)f(x)-v(x)f(x)+v(x)g(x)+v(x)g(x)=1 即[u(x)-v(x)]f(x)+v(x)[f(x)+g(x)]=1 所以
( f (x), f (x) + g (x)) = 1同理 (g(x), f (x) + g (x)) = 1再有 12 题结论，即证 ( f (x)g(x), f (x) + g(x)) = 1
（2）q（x）= x2 − 2ix − (5 + 2i) ， r(x) = −9 − 8i
4、（ 1）有综合除法： f (x) = 1+ 5(x −1) +10(x −1)2 +10(x −1)3 + 5( x −1)4 + ( x −1)5
（2） f (x) = 11− 24(x + 2) + 22(x + 2)2 − 8(x + 2)3 + (x + 2)4
−1± 3i
15、
。
2
16、（ 1）由 x-2 得三重因式
2
高等代数答案(王萼芳,石生明)
y 3 + (a 3 + 3ab − 3c) y 2 + (b3 − 3abc + 3c 2 ) y + c3 = 0
二 、 习题精解
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ： 1） f (x) = x3 − 3x 2 − x −1, g (x) = 3x 2 − 2x + 1 2） f (x) = x 4 − 2x + 5, g (x) = x 2 − x + 2
解
1）由带余除法，可得 q(x)
=
1x−
7 , r(x)
=
26 −
x−
2
39
99
2）同理可得 q(x) = x 2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
2） x 2 + mx +1 | x 4 + px 2 + q
综上所诉，当
⎧ m=0
⎨ ⎩
p
=
q
+
1
时，皆有
⎧ q =1
或
⎨ ⎩
p
+
m
2
=
高等代数知识点总结
矩阵等价 •
A,B行等价有可逆矩阵P使得A=PB • 每个矩阵都行等价于唯一一个RREF矩阵 • A,B等价有可逆矩阵P,Q使得A=PBQ Ir 0 • 每个秩数为r的矩阵都等价于 0 0 • 对于m×n矩阵A，B下列条件等价 1. AB，即A可由初等变换化成B 2. 有可逆矩阵P,Q使得PAQ=B 3. 秩A=秩B 4. A，B的标准型相同
3
重要结论： • 带余除法定理
对于任意多项式f(x)和非零多项式g(x)，有唯一的q(x) 和r(x)使得 f(x)=g(x)q(x)+r(x)，r(x)=0或degr(x)<degg(x).
• 最大公因式的存在和表示定理
任意两个不全为0的多项式都有最大公因式，且对于 任意的最大公因式d(x)都有u(x)和v(x)使得 d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
(kA)T= k AT (AB)T= BT AT
(AT)T=A
|A1|=|A|1
|A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n-1
0, 若r(A)<n-1 n, 若r(A)=n
其 它
A-1=|A|-1A*
定义 性质
若P,Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ ) 12 =r(PAQ)
6
• 复数域上的标准分解定理
在复数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解 其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全部互不相同的根, n1,…,nt分别是这些根的重数.
f a( x x1 )
n1
( x xt )
nt
• 实数域上的标准分解定理
在实数域上，每个次数大于1的多项式f都有如下的 标准分解
高等代数知识点总结
对于向量组S，T，下列条件等价 1. S和T等价，即S,T可以互相表示 2. S,T的极大无关组等价 3. S,T的秩数相等，且其中之一可由另一表示
27
线性相关与线性表示：
• 1,...,r线性相关当且仅当其中之一可由其余的线性 表示
• 若,1,...,r线性相关,而1,...,r线性无关,则 可由1,...,r线性表示,且表法唯一
=r(PAQ)
12
转置
取逆
伴随
加法 (A+B)T=AT+BT
数乘 (kA)T= k AT (kA)1= k1A1 (kA)*= kn1A*
乘法 (AB)T= BT AT (AB) 1= B1 A1 (AB)*= B*A*
转置 (AT)T=A
(AT) 1=(A1)T (AT)*=(A*)T
取逆
(A1) 1=A (A1)*＝(A*)1
转置 |AT|=|A|
r(AT)=r(A)
取逆 |A1|=|A|1
n, 若r(A)=n 伴随 |A*|=|A|n1 r(A*)= 1, 若r(A)=n1
0, 若r(A)<n1
其它
定义 性质
若P, Q可逆，则 r(A)=r(PA)=r(AQ) =r(PAQ)
14
性质
公式
；转置不变性 |AT| = |A|
个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0. 适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:
24
特殊矩阵
三角
正规
可逆←对合
↗ ↖
Hermite 反Hermite 酉矩阵
对称 反对称 正交
幂等 幂零
↗ 对角
纯量
25
高等代数III知识点整理
高等代数III知识点整理●相似标准型●多项式矩阵●定义●\boldsymbol{A}(\lambda)=\begin{pmatrix}a_{11}(\lambda)&a_{12}(\lambda)&\cdots&a_{1n}(\lambda)\\a_{21}(\lambda)&a_{22}(\lambda)&\cdots&a_{2n}(\lambda)\\\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{m1}(\lambda)&a_{m2}(\lambda)&\cdots&a_{mn}(\lambda)\end{pmatrix}●初等\lambda-矩阵●一类P_{ij}ij行互换●二类P_{i}(c)i行乘以常数c●三类T_{ij}(f(\lambda))i行乘以f(\lambda)加到j行●矩阵多项式形式●M(\lambda)=M_m\lambda^m+M_{m-1}\lambda^{m-1}+\cdots+M_0●定理●带余除法：\begin{gathered}\boldsymbol{M}(\lambda) =\left(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}\right)\boldsymbol{Q}\left(\lambda\right)+\boldsymbol{R}, \\\boldsymbol{N}(\lambda) =\boldsymbol{S}(\lambda)(\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B})+\boldsymbol{T}. \end{gathered}●\boldsymbol{A}与\boldsymbol{B}相似\Leftrightarrow \lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}与\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}相抵●矩阵的法式●定理●非零\boldsymbol{A}(\lambda)一定相抵于\boldsymbol{B}(\lambda)=[b_{ij}(\lambda)]_{n\times n}且有b_{11}(\lambda)|b_{ij}(\lambda)●\boldsymbol{A}(\lambda)相抵于\text{diag}\{d_1(\lambda),\cdots,d_r(\lambda);0,\cdots,0\}且有d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r-1●n阶可逆\lambda-矩阵可表示为有限个初等\lambda-矩阵的积●特征矩阵\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}一定相抵于\text{diag}\{1,\cdots,1,d_1(\lambda),\cdots,d_m(\lambda)\}且有d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,m-1●定义●法式/相抵标准型●\text{diag}\{d_1(\lambda),\cdots,d_r(\lambda);0,\cdots,0\}●d_i(\lambda)|d_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r-1●不变因子●定义●k阶行列式因子所有k阶子式的最大公因子(非零)；若子式都为0，规定行列式因子为0●D_i(\lambda)\mid D_{i+1}(\lambda),i=1,2,\cdots,r-1D_{1}(\lambda),D_{2}(\lambda),\cdots,D_{r}(\lambda)是{A}(\lambda) 的非零行列式因子●g_1(\lambda)=D_1(\lambda),g_2(\lambda)=D_2(\lambda)/D_1(\lambda),\cdots,g_r(\lambda)=D_r(\lambda)/D_{r-1}(\lambda)为{A}(\lambda) 的不变因子●定理●相抵的\lambda-矩阵有相同的行列式因子，从而有相同的不变因子●推论●法式和不变因子相互唯一确定●相抵\Leftrightarrow有相同的法式●初等变换不改变法式●相似\Leftrightarrow特征矩阵有相同行列式因子/不变因子●A与B在\mathbb{F}上相似的充分必要条件是在\mathbb{K}上相似\mathbb{F}\sube \mathbb{K}●有理标准型●Frobenius块●\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\-a_{r} & -a_{r-1} & -a_{r-2} & \cdots & -a_{1}\end{array}\right)●行列式因子为1, \cdots, 1, f(\lambda)r-1 个 1, f(\lambda)=\lambda^{r}+a_{1} \lambda^{r-1}+\cdots+a_{r}●\boldsymbol{F}的极小多项式等于f(\lambda)●定义●\boldsymbol{A} 的不变因子组为1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), \cdots,d_{k}(\lambda)●deg d_i(\lambda)=m_i●\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cccc}\boldsymbol{F}_{1} & & & \\&\boldsymbol{F}_{2} & & \\& & \ddots & \\& & &\boldsymbol{F}_{k}\end{array}\right)●\boldsymbol{F}_{i}的阶为m_i，为Frobenius块，最后一行的系数为d_i({\lambda})除最高项的系数的负值组成●A相似于F●定理●\boldsymbol{A} 的极小多项式m(\lambda)=d_{k}(\lambda)\boldsymbol{A} 的不变因子组为1, \cdots, 1, d_{1}(\lambda), \cdots,d_{k}(\lambda)●初等因子●定义●非常数不变因子分解●\begin{aligned}d_{1}(\lambda)= & p_{1}(\lambda)^{e_{11}}p_{2}(\lambda)^{e_{12}} \cdots p_{t}(\lambda)^{e_{1 t}} \\d_{2}(\lambda)=& p_{1}(\lambda)^{e_{21}} p_{2}(\lambda)^{e_{22}} \cdotsp_{t}(\lambda)^{e_{2 t}} \\& \cdots \cdots \cdots \cdots \\d_{k}(\lambda)= &p_{1}(\lambda)^{e_{k 1}} p_{2}(\lambda)^{e_{k 2}} \cdotsp_{t}(\lambda)^{e_{k t}}\end{aligned}●e_{ij}>0时，p_i(\lambda)^{e_{ij}}为初等因子●定理●不变因子和初等因子组可互相唯一确定●Jordan 标准型●Jordan 块●定义●\boldsymbol{J}=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda_{0} & 1 & & & \\&\lambda_{0} & 1 & & \\& & \ddots & \ddots & \\& & & \ddots & 1 \\& & && \lambda_{0}\end{array}\right)●初等因子为(\lambda-\lambda_0)^r●定理●A特征矩阵相似于\lambda-对角阵，则A的初等因子组等于对角阵的准素因子组●Jordan 块对角阵的初等因子组等于各个Jordan块的初等因子●初等因子组可对应一个Jordan 标准型●复数域上的线性变换\varphi必存在一组基使表示矩阵为Jordan标准型●复矩阵可对角化等价条件●极小多项式无重根●初等因子为一次●复数域上的线性变换\varphi可对角化\Leftrightarrow极小多项式无重根\Leftrightarrow初等因子为一次●复数域上的线性变换\varphi可对角化，在不变子空间上的限制也可对角化●复数域上的线性变换\varphi可对角化⇔在每个不变子空间V_i的限制可对角化V=V_{1} \oplus V_{2} \oplus \cdots \oplus V_{k}●特征值在\mathbb{K}上，则矩阵在\mathbb{K}上相似于Jordan标准型●Jordan 标准型的应用●度数与重数●特征值\lambda_i的度数等于\lambda_i的Jordan块的个数●特征值\lambda_i的重数等于\lambda_i的Jordan块的阶数之和●循环子空间●定义●\boldsymbol{\psi} 是线性变换. 若存在 \boldsymbol{\alpha} \in r 维子空间V_{0} , 使\left\{\boldsymbol{\alpha},\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{\alpha}), \cdots, \boldsymbol{\psi}^{r-1}(\boldsymbol{\alpha})\right\}构成 V_{0}的一组基且\boldsymbol{\psi}^{r}(\boldsymbol{\alpha})=\mathbf{0} , 则称 V_{0} 为关于线性变换 \boldsymbol{\psi} 的循环子空间●\lambda_i是线性变换\varphi的特征值，对应的某个Jordan块子空间V_i是(\lambda_iI_V-\varphi)的循环子空间(\lambda_iI_V-\varphi)^{r_i}=0●\lambda_i是线性变换\varphi的特征值，对应的全部Jordan块子空间V_i是(\lambda_iI_V-\varphi)的循环子空间（\lambda_i的根子空间）(\lambda_iI_V-\varphi)^n=0，\max\{r_i\}也可●用初等因子\{(\lambda-\lambda_i)^{r_i}\}将V分解为维数为r_i的循环子空间V_i的直和●根子空间●定义●\lambda_i是线性变换\varphi的特征值，对应的全部Jordan块子空间R(\lambda_i)是\lambda_i的根子空间R(\lambda_i)=\{v\in V|(\lambda_iI_V-\varphi)^n(v)=0\}●V可分解为R(\lambda_i)的直和，维数为重数●Jordan-Chevalley 分解定理●可对角阵A,B满足AB=BA，则可同时对角化●分解定理：A=B+C满足下列性质●B可对角化●C为幂零阵●BC=CB●B,C可用A的多项式表示●分解唯一前三条说明●矩阵函数●定理●复幂级数收敛条件●f(X)收敛\Leftrightarrow f(P^{-1}XP)收敛且f(P^{-1}XP)=P^{-1}f(X)P任一可逆阵P成立●X= diag\{X_i\}，f(X)收敛\Leftrightarrow f(X_i)收敛●X为Jordan 块，f(z)的收敛半径为r，\lambda_0<r\Rightarrow f(X)收敛●特征值判断收敛●\lambda=\max\{\lambda_i\}，f(z)的收敛半径为r●\lambda>r，f(X)发散●\lambda<r，f(X)收敛●\lambda=r，f(X)收敛\Leftrightarrow f^{(k)}(\lambda_i)收敛对每个特征值\lambda_i,k=0,1,\cdots,r_i-1成立●收敛矩阵f(A)特征值为f(\lambda_i)●矩阵函数●指数函数●\mathrm{e}^{A}=\boldsymbol{I}+\frac{1}{1 !} A+\frac{1}{2 !}A^{2}+\frac{1}{3 !} A^{3}+\cdots●AB=BA\Rightarrow e^{A+B}=e^A e^B●正弦函数●\sin \boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}-\frac{1}{3 !}\boldsymbol{A}^{3}+\frac{1}{5 !} \boldsymbol{A}^{5}-\frac{1}{7 !}\boldsymbol{A}^{7}+\cdots●余弦函数●\cos \boldsymbol{A}=\boldsymbol{I}-\frac{1}{2 !}\boldsymbol{A}^{2}+\frac{1}{4 !} \boldsymbol{A}^{4}-\frac{1}{6 !}\boldsymbol{A}^{6}+\cdots●特征值的模长都小于 1●\ln (I+A)=A-\frac{1}{2} A^{2}+\frac{1}{3} A^{3}-\frac{1}{4}A^{4}+\cdots●二次型●n元二次函数能化为只有二次项的形式●对称阵和二次型可互相唯一表示●合同●定义●存在非异阵C，使得B=C'AC●等价关系●合同变换●第一类对换i行与j行，再对换i列与j列●第二类非零常数k乘以第i行，再乘以第j列●第三类第i行乘以k加到第j行，再将第i列乘以k加到第j列●定理●必存在非异阵C，使得C'AC的(1,1)元素不为0●必存在非异阵C，使得C'AC为对角阵●二次型化简●配方法●初等变换法●实二次型●惯性定理●对角化的合同二次型正系数个数相同●规范标准型●系数仅为0,1,-1●合同不变量●秩●正惯性指数●负惯性指数●符号差(+)-(-)●定理●秩与符号差(或正负惯性指数)是实对称阵的合同全系不变量●复二次型只有秩为合同全系不变量●定义●对任意非零向量\alpha●正定型与正定矩阵：\alpha'A\alpha>0●负定型与负定矩阵：\alpha'A\alpha <0●半正定型与半正定矩阵：\alpha'A\alpha\geq 0●半负定型与半负定矩阵：\alpha'A\alpha\leq 0●否则为不定型●正定型充要条件1●正定型\Leftrightarrow正惯性指数等于n●负定型\Leftrightarrow负惯性指数等于n●半正定型\Leftrightarrow正惯性指数等于r●半负定型\Leftrightarrow负惯性指数等于r●正定型充要条件2●合同对应规范标准型●正定型充要条件3●n个顺序主子式全大于0●Hermite 型●定义●f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i j} \bar{x}_{i} x_{j}●矩阵形式：f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\bar{x}'Ax\bar{A}'=A●系数变元为复数但值为实数●复相合●存在非异阵C，使得B=\bar{C}'AC●正定Hermite型●对非零复数向量函数值总大于0●定理●A为Hermite阵，必存在非异阵C,使得\bar{C}'AC是实对角阵●惯性定理成立●正定Hermite矩阵\Leftrightarrow n个顺序主子式全大于0。
高等代数知识点总结ppt
高等代数知识点总结一、引言高等代数是一门研究数学结构、代数运算和线性方程系统的学科。
它在数学、物理学、通信、计算机等领域都有广泛的应用。
本文将对高等代数中的几个重要知识点进行总结。
二、向量空间向量空间是高等代数中的重要概念，它是由一组向量构成的集合，并满足特定的代数运算法则。
2.1 向量空间的定义向量空间是一个非空集合，其中包含一组向量，满足以下几个条件：•加法封闭性：对于任意的向量u、v属于向量空间V，u + v也属于V。
•数乘封闭性：对于任意的向量u属于向量空间V和任意的标量c，cu 也属于V。
•零向量：向量空间V中存在一个零向量0，满足对于任意的向量u 属于V，u + 0 = u。
•相反向量：对于任意的向量u属于向量空间V，存在一个相反的向量-v，满足u + (-v) = 0。
2.2 子空间在向量空间V中，如果一个集合W也是一个向量空间，并且W是V的子集，则称W为向量空间V的子空间。
2.3 线性无关与线性相关在向量空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, …, vn}以及一组不全为0的标量{c1, c2, …, cn}，满足c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0，则称该组向量是线性相关的；否则，称该组向量是线性无关的。
2.4 基和维数在向量空间V中，如果存在一组线性无关的向量{v1, v2, …, vn}，并且该组向量可以通过线性组合得到V中的任意向量，则称该组向量是向量空间V的一组基。
向量空间V的基中向量的个数称为维数，记为dim(V)。
三、矩阵与线性方程组3.1 矩阵的定义矩阵是由数按矩形排列而成的一个数组，它是线性方程组的重要表示形式。
3.2 矩阵的运算矩阵与矩阵之间可以进行加法、数乘和乘法运算。
•矩阵加法：给定两个矩阵A和B，只有当它们的维数相同时，才能进行加法运算。
•数乘：给定一个矩阵A和一个标量c，可以通过将c乘以A的每个元素来得到标量乘法的结果。
•矩阵乘法：给定两个矩阵A和B，它们能够进行乘法运算的前提是A 的列数等于B的行数。
高等代数知识点总结
f a( x x1 )
m 1
( x xs )
ms
p
n1 1
p
nt t
其中a是f的常数项, x1,…,xt 是f全不互不相同的根, p1,…,pt是互异、首一、无实根的二次式.
7
多项式作为函数：
• 两个多项式相等(即对应系数相同)
它们作为函数相等(即在每点的函数值相等)
它们在k+1个点的函数值相等，这里k是它们次数的
Cauchy-Binet
| UV |
i1 im ------- 式 式V U i i -------i1 im 1 m
公式 Vandermonde 行列式 定义 性质
15
；
Laplace定理 (按第i1,...,ik行展开)
| A |
j1
jk
i1 式A j1
23
适用例子: 习题3.7.5; 3.7.9~11:
2.正则化方法
① 证明当A可逆时结论成立
② 考虑xI+A,有无穷多个x使得该矩阵可逆
③ 将要证明的结论归结为多项式的相等
④ 若两个多项式在无穷多个点处的值相同,则这两
个多项式在任意点的值相等,特别地,取x=0. 适用例子: 习题3.6.4; 3.7.7; 3.7.11:
则f(x)是有理数域上的既约多项式.
• 有理根：有理根的分母整除首项系数，分子整除常
数项
9
多元多项式
.
基本概念：
次数、齐次分量、字典序、首项、对称多项式
重要结论 命题1.8.1 若多项式的值全为0，则该多项式必为0. 命题1.8.2 每个n次多项式f均可唯一地表示成齐次多