高等数学(2015级版)：2_3 高阶导数

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高阶导数的应用与性质

高阶导数的应用与性质高阶导数是微积分中的重要概念，它不仅具有广泛的实际应用，还有一些独特的性质。

本文将探讨高阶导数的应用和性质，以及它在不同领域的实际应用。

1. 导数的概念回顾在开始讨论高阶导数之前，我们首先回顾一下导数的概念。

导数描述了函数在某一点上的变化率，它是函数的斜率或切线的斜率。

对于一个函数$f(x)$，它的导数表示为$f'(x)$。

2. 高阶导数的定义高阶导数是指对函数的导数再次求导的过程。

例如，对于函数$f(x)$，它的二阶导数表示为$f''(x)$，三阶导数表示为$f'''(x)$，以此类推。

3. 高阶导数的物理应用高阶导数在物理学中有广泛的应用。

例如，在力学中，高阶导数可以描述物体的加速度和速度之间的关系。

加速度是速度对时间的导数，而速度是位置对时间的导数。

因此，通过求解高阶导数，我们可以获得物体的运动状态。

4. 高阶导数的数学应用高阶导数在数学中也有重要的应用。

例如，在微分方程中，高阶导数可以用于解决一些复杂的问题。

微分方程描述了函数和它的导数之间的关系，通过求解高阶导数，我们可以获得函数的解析解。

5. 高阶导数的性质高阶导数具有一些独特的性质。

首先，高阶导数可以表示函数的曲率。

曲率描述了函数曲线的弯曲程度，通过求解高阶导数，我们可以了解函数曲线的形状。

其次，高阶导数还可以用于展开函数的泰勒级数。

泰勒级数是一种将函数展开成无穷多项式的方法，通过求解高阶导数，我们可以计算函数在某一点的近似值。

另外，高阶导数还满足莱布尼茨定理，即对于两个函数的乘积，它的高阶导数可以通过低阶导数的乘积求得。

6. 高阶导数的计算方法计算高阶导数需要使用一些常用的微积分技巧。

例如，可以使用链式法则和乘积法则来计算高阶导数。

链式法则可以将复合函数的导数表示为内外函数导数的乘积，而乘积法则可以将两个函数的乘积的导数表示为两个函数及其导数的乘积的和。

另外，递归方法也可以用于计算高阶导数。

高阶导数PPT

y′ = f ′(x ) 仍然可导，则我们把 y′ = f ′(x ) 的导数叫做
d y y = f (x) 的二阶导数 y′′, f ′′( x)或 , 即二阶导数，记作函数二阶导数 dx
2 2
d y d dy ′′ = ( y′)′, f ′′( x) = [ f ′( x)]′, y = dx dx dx
y′′ = cos( x + ) = sin( x + 2 ⋅ ), 2 2
π
π
y′′′ = cos( x + 2 ⋅ ) = sin( x + 3 ⋅ ), 2 2 一般地，可得 ( sin x ) 类似地，可得 ( cos x )
湖南对
Foreign
π
π
(n)
= sin( x + n ⋅ ) 2 = cos( x + n ⋅ ). 2
L2′ (1) > 0,
L2′′ (1) > 0 ，所以利润的增长率在加速所以利润的增长率在加速.
结论：由于建设周期至少要3 结论：由于建设周期至少要3年，因此该公司应选择第二个模型. 第二个模型
湖南对
Foreign
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
Relations
College
外
经
济
贸
易
&
职
业
Trade
学
院
Hunan
Economic
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高等数学-§2.3 高阶导数

n
其中公式(2)称为莱布尼茨(Leibniz)公式.
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.7
y sin x cos x
4 4
2 2 2 2
, 求
y
n
.
解将 y 变形得
y sin x cos x
1 cos 4 x 3 1 1 cos 4 x 4 4 4
2 2x 2 2 x x2 1 x 2x x2
y
y
2 1 x 2 x x 1 x

2
2x x2

2x x
2

2
2 x x 1 x 2x x
2
2 2x 2 2x x
2
高等数学第2章导数与微分
x
n
k
k n
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
如果函数 u u x 和 v v x 在点 x 处具有 n 阶导数, 那么
u x v x 和 u x v x 在点 x 处也都具有
n 阶导数（ , 是常数）, 且
n
n 1 ! 1 n 1 x
n 1
通常规定 0! 1 , 因此这个公式当 n 1 时也成立.
高等数学第2章导数与微分
2.3 高阶导数
例2.3.6
解
求
yx
1

(
是任意常数)的 n 阶导数.
y 1 x 2
,
y x

y sin x cos( x ) sin( x 2 ) 2 2

微积分(上)D2_3高阶导数

03
罚函数法
罚函数法是一种处理约束优化问题的方法，通过引入罚函数将约束条件加入到目标函数中，从而将约束优化问题转化为无约束优化问题进行求解。
实际案例分析与讨论
01
经济学中的应用
在经济学中，高阶导数可以用于描述边际效用的变化率，从而分析消费
者的消费行为和市场需求。例如，通过求解效用函数的二阶导数，可以
复合函数与隐函数高阶导数
复合函数高阶导数
复合函数的高阶导数需要通过链式法则进行求解，即先求出内层函数的导数，再将其代入外层函数的导数表达式中进行计算。
隐函数高阶导数
隐函数的高阶导数需要通过对隐函数方程两边同时求导得到，具体求解过程需要根据方程的具体形式进行推导。
03
高阶导数在图形分析中应用
高阶导数与函数图像
高阶导数可以反映函数图像的局部性质，如拐点和凹凸性，从而帮助绘制出更准确的函数图像。
趋势分析
通过分析函数的高阶导数，可以了解函数的变化趋势，如增减性、极值点等，进而对函数的整体性质有更深入的认识。
曲线渐近线与斜渐近线求解
渐近线定义
渐近线是指当曲线上的点趋于无穷远时，曲线与某一直线的距离趋于0，则该直线称为曲线的渐近线。
可能出现的波动。
05
高阶导数在微分方程中应用
线性微分方程通解结构定理
线性微分方程
线性微分方程是未知函数及其各阶导数都是一次的方程，通解可以通过特征根和特征向量求得。
通解结构定理
对于n阶线性微分方程，其通解可以表示为n个线性无关的特解的线性组合，系数由初始条件确定。
特征根和特征向量
特征根是微分方程对应的特征方程的根，特征向量是与特征根对应的解空间的基向量。

高等数学2-3

v
(k )
【注】
莱布尼兹公式
例10 设 y = x2e2 x , 求y( 20) . 解设u = e , v = x , 则由莱布尼兹公式知
2x 2
y
( 20 )
= (e ) ⋅ x + 20(e ) ⋅ ( x )′ 20( 20 − 1) 2 x (18 ) (e ) ⋅ ( x 2 )′′ + 0 + 2! 20 2 x 2 19 2 x = 2 e ⋅ x + 20 ⋅ 2 e ⋅ 2 x
2x ( 20 ) 2 2x ( 19 ) 2
20 ⋅ 19 18 2 x 2 e ⋅2 + 2! = 2 20 e 2 x ( x 2 + 20 x + 95)
例11 设f ( x) = arctan x，求 f (0) 1 2 解由 f ′( x ) = 得 (1 + x ) f ′( x ) = 1 2 1+ x
( 3) ( u ⋅ v )
(n)
= u v + nu
(n)
( n −1 )
n(n − 1) ( n− 2 ) (n u v ′′ v′ + 2!
n( n − 1) L ( n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v + L + uv ( n ) + k! = ∑C u
k =0 k n n ( n− k )
∴y(20) = 1[( 1 )(20) −( 1 )(20)] 2 x −1 x +1
= 1[ 20! − 20! ] 2 (x −1)21 (x +1)21
高阶导数运算法则
= 20!⋅[ 1 21 − 1 21] 2 (x −1) (x +1)

高等数学第二章高阶导数

§2.3 高阶导数
高阶导数的定义几个基本初等函数的n阶导数莱布尼茨(Leibniz)公式小结思考题作业
1
第二章导数与微分
一、高阶导数的定义高阶导数也是由实
问题:变速直线运动的加速度. 际需要而引入的.
设 s s(t), 则瞬时速度为v(t) s(t)
加速度a是速度v对时间t的变化率
y

x2

1 3x

2
令
1
AB
(x 2)(x 1) x 2 x 1
A (x 2) 原式
1
x2
B (x 1) 原式
1
x 1
y 1 1
x 2 x 1
y(n)

(1)n
n!
( x
1 2)n1

(x
1

1)
n1

18
(4) y sin6 x cos 6 x
d2 y 或 d2 y d (dy) dx2 d x 2 d x dx
2
二阶导数的导数称为三阶导数, f ( x),
y,
d3 y dx 3
.
三阶导数的导数称为四阶导数, f (4)( x),
y(4) ,
d4 y dx4 .
一般地, 函数f ( x)的n 1阶导数的导数称为
函数f ( x)的n阶导数,记作

2)n
cos
x2
16
,
则
f (n) (2)
n!
2 2
提示:
各项均含因
(x 2)n(x 1)n cos x2 子 ( x – 2 )
16
n !(x 1)n cos x2

高阶导数及其计算方法

高阶导数及其计算方法高阶导数是微积分中的重要概念，它描述了一个函数变化的速度随着自变量改变的趋势。

本文将介绍高阶导数的概念、性质以及几种常见的计算方法。

一、高阶导数的概念高阶导数指的是对一个函数进行多次求导得到的导数。

设函数f(x)在某一区间内可导，则f(x)的n阶导数可以记为f^{(n)}(x)。

其中，f^{(n)}(x)表示对f(x)进行n次求导后得到的导数。

二、高阶导数的性质1. 若函数f(x)的各阶导数存在，那么其高阶导数也存在。

2. 高阶导数的计算公式可以通过对原函数的导数逐次求导得到。

3. 高阶导数具有运算法则，如导数的和、差、乘积、商的法则，可以方便地计算。

三、高阶导数的计算方法1. 基本法则根据基本导数法则，可以通过对函数进行逐次求导来计算高阶导数。

例如，对于函数f(x)，其二阶导数可表示为f''(x)或d^2f(x)/dx^2，可以通过对f'(x)进行求导得到。

2. 递推关系对于一些特定的函数，可以通过递推关系来计算其高阶导数。

例如，函数f(x)=x^n的n阶导数可表示为f^{(n)}(x)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)x^{n-k}，其中k为小于等于n的正整数。

3. 泰勒级数展开泰勒级数是一种将一个函数表示为无穷项多项式求和的表达形式。

通过对函数进行泰勒级数展开，可以计算出其各阶导数。

这种方法在数值计算中常被使用，特别是对于复杂函数而言。

四、实际应用高阶导数在科学、工程和经济等领域具有广泛的应用。

在物理学中，高阶导数可以描述物体的加速度、速度和位移之间的关系。

在工程学中，高阶导数可以用于求解最优控制问题。

在金融学中，高阶导数可以应用于期权定价和风险管理等领域。

总结：高阶导数是描述函数变化速度的重要工具，它具有计算简单、适用广泛的特点。

通过基本法则、递推关系和泰勒级数展开等方法，可以计算高阶导数。

高阶导数在许多领域具有广泛的实际应用。

高阶导数公式范文

高阶导数公式范文高阶导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的曲线的弯曲程度。

在微积分中，一阶导数描述了函数的变化率，而高阶导数则描述了函数的变化率的变化率，也就是函数的弯曲程度。

高阶导数的定义相对简单，通过连续地对函数进行求导，可以得到各阶导数。

对于一个函数f(x)，我们可以通过不断地对其进行求导，得到它的一阶导数f'(x)，二阶导数f''(x)，三阶导数f'''(x)，以此类推。

一般地，n阶导数记为f^n(x)。

高阶导数的计算可以通过使用导数的定义公式和导数的运算规则来完成。

下面介绍一些常见的高阶导数公式。

1.一阶导数的定义公式：f'(x) = lim(h→0) [f(x + h) - f(x)] / h2.二阶导数的计算公式：f''(x) = [d/dx] [f'(x)]3.高阶导数的计算公式：f^n(x) = [d/dx] [f^{n-1}(x)]其中，[d/dx]表示对函数进行求导运算。

4.常见函数的高阶导数公式：以下是一些常见函数的高阶导数公式：-恒等函数：f(x)=xf^n(x)=n!（这里n!表示n的阶乘）-幂函数：f(x)=x^nf^n(x)=n!(x^{n-i})（其中i是大于等于0且小于等于n的整数）-指数函数：f(x)=e^xf^n(x)=e^x- 对数函数： f(x) = ln(x)f^n(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!/x^n（其中^表示乘方运算）-三角函数：sin(x)的高阶导数具有周期性，并且根据导数的规律逐阶求导即可。

需要注意的是，高阶导数的计算过程可能会非常繁琐和复杂，需要使用导数的运算规则（如乘法法则、链式法则等）来简化计算过程。

高阶导数在实际问题中有广泛的应用。

例如，在物理学中，高阶导数可以用来描述系统的加速度和曲率；在工程学中，高阶导数可以用来描述信号的频率和变化趋势；在经济学中，高阶导数可以用来描述产量和利润的变化情况等等。

2-3高阶导数

n
2
− ax
∴y
(n)
= (−a ) e
n
− ax
d y 例、y = xe , 求 : n dx −x 解：y ' = e (1 − x) = ( −1)e − x ( x − 1)
−x
y '' = (−1) e ( x − 2)
n
2
−x
y ''' = (−1)3 e − x ( x − 3)
d y n −x ∴ n = (−1) e ( x − n) dx
3 3
lijuan
( −1) ⋅ a ⋅ 2 ⋅ 3 y (n) y ''' = ,... 4 ( ax + b) (100) 3、y = x( x − 1)( x − 2)...( x − 99), 求f '(0), f ( x). 解：(1)y = x ⋅ [( x − 1)( x − 2)...( x − 99)] y ' = [( x − 1)( x − 2)...( x − 99)] + x[( x − 1)( x − 2)...( x − 99)]'
( n) ( n −1)
n k ... + uv ( n ) = ∑ Cn u ( n− k ) v ( k ) k =0
0 1 2 n = Cn u ( n ) v + Cn u ( n −1) v '+ Cn u ( n −2) v ''+ ... + Cn uv ( n )
9
例、设f ( x )任意次可导，且对∀x1，x2，恒有：
x − x0 f − '( x0 ) = lim− x → x0 x − x0

常见高阶导数公式

常见高阶导数公式高阶导数是微积分中的重要概念，它可以描述函数在其中一点处的变化率。

在求解微分方程、极值、弧长等问题时，高阶导数的求解是不可或缺的。

下面将介绍一些常见的高阶导数公式。

一、一阶导数的求导法则1.常数的导数为零：(c)'=0，其中c为常数。

2. 幂函数的一阶导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为实数。

3.指数函数的一阶导数：(e^x)'=e^x。

4.反函数的一阶导数：如果y=f(x)在一点x处可导，且f'(x)≠0，则它的反函数在相应点y处也可导，且有(f^(-1))'(y)=1/f'(x)。

二、二阶导数的求导法则1.一阶导数的导数：如果函数y=f(x)的一阶导数f'(x)在特定点处存在，则函数f(x)的二阶导数f''(x)为f'(x)的导数。

(f')'(x)=f''(x)。

2.幂函数的二阶导数：(x^n)''=n(n-1)x^(n-2)。

3.指数函数的二阶导数：(e^x)''=e^x。

4.链式法则的应用：如果y=f(g(x))是由函数f(u)和g(x)复合而成的函数，且f(u)和g(x)都可导，则y的二阶导数为：(f(g(x)))''=f"(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)。

三、高阶导数的求导法则1.可递推公式：如果函数y=f(x)的n阶导数f^n(x)在特定点处存在，则函数f(x)的（n+1）阶导数f^(n+1)(x)为f^n(x)的导数。

即(f^n(x))'=f^(n+1)(x)。

2.同时满足和、差、积、商的函数的高阶导数的求导法则可以类似地应用。

3.幂函数的n阶导数：(x^n)^(n)=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)x^(n-k)，其中k为非负整数，且k≤n。

2.3 高阶导数

(2) (C )() =C () (C 是常数)
(3)
( − 1) (−2)

′′ + ⋯
2!
( − 1) ⋯ ( − + 1) ( ) ()
+

+ ⋯ + ()
!

(·)() =()
简记为 ·

+ (−1) ′ +
= ෍ C (−) () .
4
d
(4)(), (4),

.
三阶导数的导数称为四阶导数,
4
d
一般地,函数()的1阶导数的导数称为函数()的阶导数,
d
d d−1
即
=
( −1 ).

d
d d
第三节高阶导数
二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.
第二章导数与积分
注
相应于高阶导数, ()称为零阶导数, ′()称为一阶导数.
1
(
−
1)!
(5) [ln(1 + )]() = ( − 1)−1
(≥1) −

(1 + )
第三节高阶导数

!
=
.
+1
( − )
第二章导数与积分
2. 高阶导数的运算法则
设函数= (), =()具有阶导数, 则
(1) (±)() = ()± ()
依次类推,可得 () = ! .
思考设 = μ (μ为任意常数), 问 () =？
答案:
( μ )() = μ(μ 1)(μ 2) ···(μ +1) μ
当μ = 时 , ()() = !, ()(+) = 0 (= 1, 2,···).

高数第二章第三节高阶导数

定义如果函数 ( x)的导数f ′( x)在点x处可导,即 f f ′( x + x) f ′( x) ( f ′( x))′ = lim x→0 x 存在则称 f ′( x))′为函数f ( x)在点x处的二阶导数. , (
d 2 y d 2 f ( x) . 记作 f ′′( x), y′′, 2 或 2 dx dx
x=0
= 2.
例2
设 y = x α (α ∈ R ), 求y ( n ) .
y ′′ = (αx α 1 )′ = α(α 1) x α 2 y ′′′ = (α(α 1) x α 2 )′ = α(α 1)(α 2) x α 3
解 y ′ = αx α 1
LL
y ( n ) = α( α 1) L ( α n + 1) x α n ( n ≥ 1)
n(n 1) 2! n(n 1) 2!
例8.
(k )
求
u = e2x , v = x2 , 则解: 设
( k =1, 2 ,L, 20 ) u =2 e v′ = 2x , v′′ = 2 ,
k 2x
v(k) = 0 (k = 3 ,L, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
y
(20)
2019 18 2x = 2 e x + 20 2 e 2x + 2 e 2 2!
第三节高阶导数
一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则
第二章
机动
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结束
一、高阶导数的定义
问题变速直线运动的加速度. 变速直线运动的加速度
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )

高数2-3高阶导数

u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2 x , v 2 ,
v ( k ) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 , 得
20 19 18 2 x x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
2
y
( 20)
用数学归纳法可证莱布尼兹公式成立 .
(uv) u v uv (uv) (u v uv) u v 2 uv uv (uv) uv 3uv 3uv uv
假设n k时成立，即(uv)
(k ) k
C u
高等数学
Higher mathematics
3. 试从
导出
d 2 x d dx d 1 d x 解： 2 d y d y d x y d y dy
1 y
d3 x 同样可求 3 dy
高等数学
Higher mathematics
2e x sin x 0
高等数学
Higher mathematics
(n) f (0) 存在的最高求使例7. 设 f ( x) 3x x x , 2 阶数 3 4x , x 0 f ( x) 3 分析: 2x , x 0 2 x3 0 2 (0) lim f 0 12 x , x0 x x 0 f ( x) 6 x2 , x 0 4 x3 0 (0) lim f 0 x x 0 6x2 (0) lim 24 x , x 0 又 f 0 f ( x) x 0 x 12 x , x 0 12 x 2 (0) lim 0 f x x 0 (0) 24 , f (0) 不存在 . (0) 12 , f 但是 f

考研高阶导数公式

考研高阶导数公式一、导数的基本概念与意义导数是微积分学中的一个基本概念，表示函数在某一点的变化率。

对于函数f(x)，其在x点的导数f"(x)可以用以下公式表示：f"(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx) - f(x)] / Δx二、考研高阶导数公式概述在考研数学中，高阶导数是指二阶及以上的导数。

高阶导数在求解函数的极值、曲率、拐点等问题中具有重要意义。

以下为一些常见的高阶导数公式：1.二阶导数：f""(x) = lim(Δx→0) [(f"(x+Δx) - f"(x)) / Δx]2.三阶导数：f"""(x) = lim(Δx→0) [(f""(x+Δx) - f""(x)) / Δx]三、一阶导数的求解方法1.求导法则：对于基本初等函数及其复合函数，可以使用求导法则进行求解。

2.隐函数求导：对于隐函数y = f(x)，可以先求出显函数，然后对显函数求导。

3.参数方程求导：对于参数方程x = x(t)，y = y(t)，可以先将参数方程转化为普通方程，然后对普通方程求导。

四、二阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数再求一次导数。

2.隐函数求导：对隐函数的一阶导数求导。

3.参数方程求导：对参数方程的一阶导数求导。

五、高阶导数的求解方法1.求导法则：对一阶导数、二阶导数再求导。

2.利用导数的性质：如和差、积、商的导数公式。

六、导数在实际问题中的应用1.极值问题：求函数的极值点、极值、最值。

2.曲率问题：求曲线的曲率、曲率半径。

3.拐点问题：求函数的拐点。

4.实际问题：求质点运动的瞬时速度、加速度等。

七、总结与建议导数是考研数学中的重要知识点，掌握导数的求解方法及实际应用对于解题具有重要意义。

在学习过程中，要注重理论知识与实际例题的结合，加强运算能力的培养。

高数二章课件03高阶导数

d3y d 4y dny 或 3 4 n dx dx dx
d 2 y d dy ( ) y(y ) f (x)[f (x)] 2 dx dx dx
例1 yaxb 求y 解 ya y0 例2 ssinwt 求s 解 swcoswt sw 2sinwt
sin 4 x sin 2 x cos 2 x cos 4 x
3 2 1 sin 2 x 4
1 cos 2 sin 2
2
y
(n)
3 n ) 4 cos(4 x n 2 8 a 3 b 3 (a b) (a 2 ab b 2 )
2. (填空题) (1) 设
n
x2
各项均含因子(x–2)
n2时 f
提示:
(n)
( x) n ! [ f ( x)]
n 1
f ( x) 2 f ( x) f ( x) 2 ! [ f ( x)]3 f ( x) 2 ! 3[ f ( x)]2 f ( x) 3 ! [ f ( x)]4
即
例6 求正弦函数和余弦函数的n阶导数解 ysin x
y cos x sin( x ) 2 y cos(x ) sin( x ) sin( x 2 ) 2 2 2 2 y cos(x 2 ) sin( x 2 ) sin( x 3 ) 2 2 2 2 一般地可得
ym(m1)(m2)xm3 y(4)m(m1)(m2)(m3)xm4
一般地可得
y(n)m(m1)(m2) (mn1)xmn 即 (x m )(n) m(m1)(m2) (mn1)xmn
当mn时得到

2.3 高阶导数隐函数导数

第二章第三节高阶导数导数与微分解:.3sin阶导数的求cxbaxy+=例1 (1).y' y'' y'''cos, a bc cx=+2sin,bc cx =−3cos.bc cx =−y ′′′例2. 设求解:,xa e y =.)(n y=′y y ′′)(n y,xa ea ,2xa e a =.xa n ea =3,...,ax a e =内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 利用莱布尼兹公式:2 高阶导数的求法:=)()(n v u )()0(0)()(f fv u C nk k k n k n 规定=∑=−1 高阶导数的概念，一个高阶导数好算，:v u .0全为一个从某阶起高阶导数第四节(1)隐函数的导数第二章导数与微分作业CT2-31(4,6,7,9,12); 2; 3; 4; 5; 8; 10; 11*(2,3) CT2-41(2,3); 2; 3(1,3,4); 4(1,4)下次课内容第四节(2)由参数方程所确定的函数的导数第五节函数的微分T5.,sin b x a x +=,0,0>>b a .b a +,sin )(b x a x x f −−=.],0[b a x +∈=+)()0(b a f f 0)]sin(1[≤+−⋅−b a a b 证明方程其中至少有一个正根, 并且它不超过证由初等函数的连续性可知, 且,],0[)(b a C x f +∈0)()0(=+b a f f ⇒=+1)sin(b a 0)(=+b a f (1) 当时, a + b 就是原方程的一个不超过a + b 的正根.0)()0(<+b a f f ),0(b a +(2) 当时, f (x )在至少有一个零点, 即方程至少有一个小于a + b 的正根..b a +综合(1) (2)可知, 原方程至少有一个正根, 并且它不超过由零点定理, 令。

《高阶导数的定义》课件

分析能力。
总结
高阶导数的作用与应用
高阶导数在数学分析、物理学、工程领域等有着广泛的应用，可以帮助我们更深入地了解函数的性质。
总结高阶导数相关知识点
通过本次课件的学习，我们将总结掌握高阶导数的定义、计算方法和相关图像特性。
二阶导数的定义
函数的二阶导数定义
二阶导数是函数导数的导数，描述函数曲线的凹凸性和曲率。
计算二阶导数的方法
可以通过对一阶导数再次求导，或使用求导法则和链式法则进行计算。
函数图像与二阶导数图像的关系
二阶导数图像能够揭示函数曲线的凹凸性、拐点和曲率变化。
高阶导数的定义
定义
高阶导数是函数连续求导的过程中产生的导数序列，可以反映函数的更多变化。
计算方法
高阶导数的计算可以通过逐次求导、应用求导法则和链式法则来实现。
函数图像与高阶导数图像的关系
高阶导数图像能够揭示函数曲线更复杂的凹凸性和曲率特性。实例分析 Nhomakorabea1
理解高阶导数概念的必要性
通过实例分析，我们来理解高阶导数的
通过实例来掌握高阶导数的计算
2
重要性和为什么需要深入研究它。
通过实际计算过程，我们将掌握高阶导数的计算方法和技巧，提高我们的数学
高阶导数可以提供更深入的函数性质分析，揭示函数的更多细节和特性。
一阶导数的定义
1
函数的导数定义
一阶导数是函数在某一点的切线斜率，
计算一阶导数的方法
2
可以通过极限定义或方法求解。
常见的计算一阶导数的方法包括用极限
定义、使用求导法则和运用链式法则。
3
函数图像与一阶导数图像的关系
一阶导数图像能够反映函数上升、下降和拐点的位置。

大学课程《高等数学》PPT课件：2-3 高阶导数

但是 f(0) 12 , f(0) 24 , f (0) 不存在 .
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设函数
及
都有 n 阶导数 , 则
(C为常数)
n(n 1)
2!
规律
n(n 1)(n k 1)
k!
莱布尼茨(Leibniz) 公式
规律目录上页下页返回结束
求
解: 设 u e2x , v x2 ,则 u(k) 2k e2x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2x , v 2 , v(k) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼茨公式 , 得
y (20) 220 e2x x2 20 219 e2x 2 x 20 19 218 e2x 2
2!
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求
解:
y
1
1 x
2
,
即
(1
x2)y 1
用莱布尼茨公式求 n 阶导数
(1 x2 )
2x
2
令
得
由
得
y(2 m) (0) 0
由
得 y (2m1) (0) (1)m (2m)! y(0)
(cos
x)(n)
cos( x
n
π 2
)
1 a
x
(n)
(1)n
n! (a x)n1
(4) 利用莱布尼茨公式
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如何求下列函数的 n 阶导数?
(1) y 1 x 1 x
解:
y(n)
2 (1)n
n! (1 x)n1
(2) y x3
解:
1 x
y(n)
(1
n! x)
n

高等数学(第五版)2-3高阶导数

高等数学(第五版)2-3高阶导数第三节高阶导数一、高阶导数的概念二、高阶导数的运算法则第二章二阶导数的定义：如果函数f(某)的导数在点处可导,称f(某)某在点某处的导数为(某)在点某处的二阶导数f.d2y记作f(某),y,.某2d某函数的二阶导数就是函数的(一阶)导数的导数。

dv例速度v是位移对时间t 的导数(变化率),.dtdv加速度a是速度v对时间t的导数,a.dt 加速度a是位移v对时间t的二阶导数,a(t).二阶导数的符号的几何意义：f(某)0,某(a,b)f(某)在(a,b)单调递增f0f(某)的图形从左到右向上弯曲(凹)f(某)0,某(a,b)f(某)在(a,b)单调递减f0f(某)的图形从左到右向下弯曲(凸)函数的二阶导数的符号反映函数图形的凹凸性.更高阶导数三阶导数y(y某)某,f(某),某d3y.3d某f(某)的n阶导数就是(某)的n1阶导数的导数。

fdnyf(n)(某),y(n),.nd某例1设y某(R),求y(n).解：y某1y(某1)(1)某2y((1)某2)(1)(2)某3y(n)(1)(n1)某n(n1)特别的，若为正整数n,则(某n)(n)n!,(某n)(n1)(n!)0.例2ye某(e)某(n)e某例3设yln(某),求y(n).1解：y11(1某)1某某11y(某1)22!(2)(某1)3y(某1)33!(4)y(某1)4例4设yin某,求y(n).解:yco某in(某)2yco(某)in(某)in(某2)2222yco(某2)in(某3)22(n)yin(某n)2(n)同理可得(co某)co(某n)2例5解：yf(某21)(某21)某f(某21)2某.某y2[某f(某21)]某某2{某f(某21)某[f(某21)]某}2[f(某21)某f(某21)2某]2f(某21)4某2f(某21).高阶导数的运算法则:设函数u和v具有n阶导数，则(1)(uv)(n) u(n)v(n)(2)(Cu)(n)Cu(n)(3)(uv)(n)uvnu(n)(n1)n(n1)(n2)vuv2!n(n1)(nk1)(nk)(k)(n)uvuvk!Cuk0knn(nk)v(k)莱布尼兹公式例6设y某2e2某,求y(20).解：ue2某,v某2,则由莱布尼兹公式知设y(20)(e2某)(20)某220(e2某)(19)(某2)20(201)2某(18)(e)(某2)02!220e2某某220229e2某2某2022182某2e22!220e2某(某220某95).第三节高阶导数要点:二阶(高阶)导数的定义；二阶导数的符号反映什么：函数图形的凹凸性.简单函数的高阶导数；抽象函数求二阶导数.。