图形的分割与拼接

本讲主要学习三大图形处理方法：

1．理解掌握图形的分割；

2．理解掌握图形的拼合；

3．理解图形的剪拼．

本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．

把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．

反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．

例题精讲

令狐采学

图形的分割与拼接

将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．

我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．

如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．

图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．

如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．

如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．

板块一图形的分割

【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？

【解析】怎样把一个图形按照规定的要求分割成若干部分呢？这

就是图形的分割问题．按照规定的要求合理分割图形，

是很讲究技巧的，多做这种有趣的训练，可以培养学生

的创造性思维，发展空间观念，丰富想象，提高观察能

力．

这道题要求把长方形平均分割成两块，过长方形中心的

任意一条直线都可以把长方形平均分割成两块，根据这

点给出如下分法(如右图)：

⑴ 做长方形的两条对角线，设交点为

⑵ 过点任作一条直线，直线将长方形平均分割

成两块．

可见用线段平分长方形的分法是无穷多的．

【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．

【解析】无数条．任何过六边形中心的直线均符合要求．

【例 2】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．

【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成4个等底等高的小三角形，它们的面积必定相

等．而要得到这4个等底等高的小三角形，只需把原三

角形的某条边四等分，再将各分点与这边相对的顶点连

接起来就行了．根据上面的分析，可得如左下图所示的

三种分法．又因为，所以，如果我们把每一

个小三角形的面积看做1，那么就可以视为把三角形

的面积直接分成4等份，即分成4个面积为1的小三角

形；而可以视为先把原三角形分成两等份，再把每

一份分别分成两等份．根据前面的分析，在每次等分

时，都要想办法找等底等高的三角形．根据上面的分

析，又可以得到如右下图的另两种分法．

【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．

【解析】根据等底等高的三角形面积相等这一结论，只要把原三角形分成2个等底等高的小三角形，它们的面积必定相

等．而要得到这2个等底等高的小三角形，只需找出原

三角形的某条边的中点与这边相对的顶点连接起来就行

了．根据上面的分析，可得如图所示的三种分法．

【例 3】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．

→

【解析】⑴分成8块的方法是：先取各边的中点并把它们连接起来，得到4个大小、形状相同的三角形，

然后再把每一个三角形分成两部分，得到如左上图所示的图形．

⑵分成9块的方法是：先把每边三等分，然后再把分点

彼此连接起来，得到加上右上图所示的符合条件的图

形．

【例 4】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．

【解析】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，边长正好为3，

所以边分成两段，找到的三等分点，现在，，，，所以还要找到的中点，连接，就把梯形分成完全相同的两部分．如右上

图．

【例 5】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．

【解析】用连对角线的办法找出这块长方形地的中心O和正方形

水池的中心A．过O、A画一条直线，这条直线正好能

把除开水池外的这块地平分为两块(如右上图)．

【例 6】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？

【解析】先把图形分成相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．

【例 7】下图是一个的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【解析】分成的两块每块有(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，大小和形状完全一样，我们从对称线入

手，介绍一种分割技巧——染色法，先选中一个小格，

找它关于中心点或中心线的对称位置，标上相应的符

号．当找它关于中心线的对称位置时是一种情况，关于

中心点的对称位置是另一种情况，具体如下图所示．【巩固】右图是一个的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完

整．

【解析】因为要分割成完全相同的两块，即大小、形状完全相同．方格纸一共有(个)小格，所以分成的两块每

块有(个)小格，并且这两块要关于中心点对称，

大小和形状完全一样，应用染色法，从中心点的一侧入

手染色，逐步推进．(建议教师同时呈现六幅空的格