统计推断

总体比例（Bernoulli试验成功概率）之差 p1 -p2的区间估计 （大样本、大总体）
ˆ ˆ ( p1 p2 ) z / 2 ˆ ˆ ˆ ˆ p1 (1 p1 ) p2 (1 p2 ) n1 n2
例5.4 在两个地区对于某商品认可与否的调查结果显示，第一个地 区被调查的950人中有423人认可，而在第二个地区的被调查的1102 人中只有215人认可。求这两个总体比例之差p1 -p2的95%置信区间。 得到（0.211，0.289）
s s x t / 2 , x t / 2 n n
w=scan("D:/booktj1/data/noodle.txt");hist(w,10)
Histogram of w
14 Frequency 0
435
2
4
6
8
10
12
440
445
450 w
455
460
465
summary(w) Min. 1st Qu. Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱdian Mean 3rd Qu. Max. 439.6 444.6 448.9 449.0 452.6 461.1
区间估计的意义
区间估计的意义
• 这里的区间（72%，78%）是固定 的，而总体比例p也是固定的值。 • 因此只有两种可能：或者该区间包 含总体比例，或者不包含；这当中 没有任何概率可言。 • 至于区间（72%，78%）是否覆盖 真实比例，除非一个不漏地调查所 有的人，否则永远也无法知道。
均值m的区间估计 （正态分布）
假设检验的过程和逻辑 • 注意：零假设和备选假设在我们涉 及的假设检验中并不对称。检验统
计量的分布是从零假设导出的, 因 此, 如果有矛盾, 当然就不利于零假 设了。 • 不发生矛盾也不说明备选假有问题。
点估计和区间估计
• 点估计(point estimation)就是用估计量的实 现值来近似相应的总体参数。 • 区间估计(interval estimation) 是包括估计 量在内（有时是以估计量为中心）的一个 区间；被认为很可能包含总体参数。 • 点估计给出一个数字，用起来很方便；而 区间估计给出一个区间，说起来留有余地； 不象点估计那么绝对。 • 无偏估计(大样本性质)
区间估计的例子（2）
• （a）我们想要分别得到这两个总体均值和标准 差的点估计（即样本均值和样本标准差）和各 自总体均值的95%置信区间。利用height2.sav， SPSS得到：作为两个总体均值估计量的样本均 值分别为170.56和165.60，而样本标准差分别为 6.97857和7.55659；还得到均值的置信区间分别 是(168.5767, 172.5433)及(163.4524, 167.7476)。 （计算机输出很容易明白，这里不显示。） • (b)求两个均值差m1-m2的点估计和95%置信区间。 根据数据height2.sav，利用软件很容易得到下 面结果
449.5 461.1 457.5 444.7 456.1 454.7 441.5 446.0 454.9 446.2 457.3 446.1 456.7 451.4 452.5 452.4 442.0 452.1 452.8 442.9 449.8 452.4 458.5 442.7 447.9 450.5 448.3 451.4 449.7 446.7 441.7 455.6 442.9 451.3 452.9 457.2 448.5 444.5 443.1 442.3 439.6 446.5 447.2 445.8 449.4 441.6 444.7 441.4
SPSS
Descriptives（ 述 计 ） 描 统 量 结 变 果 量 weight 统 量 计 Mean（ 本 数 样 均 ） 95% Confidence Interval for Mean （ 体 数 95%可 区 ） 总 均 的 信 间 Median（ 位 ） 中 数 Variance（ 差 方 ） Std. Deviation（ 准 ） 标 差 Minimum（ 小 ） 最 值 Maximum（ 大 ） 最 值 Range（ 差 极 ） Interquartile Range（ 分 数 差 四 位 极 ） Lower Bound（ 限 下 ） Upper Bound（ 限 上 ） 统 量 计 值 449.0104 447.4124 450.6084 448.9500 30.287 5.50339 439.60 461.10 21.50 8.18 标 误 准 差 .79435
假设检验的过程和逻辑
• 首先要提出一个原假设，比如某正态 总体的均值等于5（m=5）。这种原假 设也称为零假设（null hypothesis）， 记为H0 • 与此同时必须提出对立假设，比如总 体均值大于5（m>5）。对立假设又称 为备选假设或备择假设（alternative hypothesis）记为记为H1或Ha
总体比例（Bernoulli试验成功概率）p的 区间估计 （大总体、大样本）
ˆ p z / 2
ˆ ˆ p (1 p) , n
ˆ p z / 2
ˆ ˆ p (1 p) n
例5.3 在一个大都市中对1341人的随机调查结果显示，有934个人 支持限制小轿车的政策。假定该样本为简单随机样本，希望找出 总体中支持限制小轿车的人的比例的点估计及其置信度为95%的 置信区间。 n=1341;x=934 CI1=function(n,x,alpha){p=x/n;za=qnorm(alpha/2,low=F) a=sqrt(p*(1-p)/n);b=za*a;L1=p-b;L2=p+b;list(1-alpha,L1,L2)} CI1(n,x,.05) 得到(0.672, 0.721)
假设检验
• 在假设检验中，一般要设立一个原 假设； • 而设立该假设的动机主要是企图利 用人们掌握的反映现实世界的数据 来找出假设和现实的矛盾，从而否 定这个假设。
假设检验
• 在多数统计教科书中（除了理论探讨之 外）,假设检验都是以否定原假设为目标。 • 如否定不了，那就说明证据不足，无法否 定原假设。但这不能说明原假设正确。 • 很多教科书在这个问题上不适当地用“接 受原假设”的说法，犯了明显的低级逻辑 错误。
Std. Error Difference 1.45466 1.45466
输出表的头两列是检验（见下面一章的检验）是否方差相等，如果 Sig下面的数目（下一章的p值概念）较大（比如大于0.05）则没有 证据认为这两个数据总体的方差不等，则看表的第一行结果，否则 认为方差不等，则看表的第二行结果。这里Sig（p值）等于0.556， 因此看第一行结果。于是，我们得到两个样本均值的差(4.9600)， 另外还给出了两总体均值差的95%置信区间(2.073，7.847)。
总体标准差已知
, x z / 2 x z / 2 n n
总体标准差未知
s s , x t / 2 x t / 2 n n
区间估计的例子（1）
例5.1 （数据：noodle.txt, noodle.sav, noodle.sas7bdat）某 厂家生产的挂面包装上写明“净含量450克”。在用天平 称量了商场中的48包挂面之后，得到样本量为48的关于挂 面重量（单位：克）的一个样本(我们假定，挂面重量所 代表的总体分布服从正态分布。 )：
区间估计
• 注意置信区间的论述是由区间和置信 度两部分组成。 • 置信区间是对参数给出的一个范围 • 置信度为其可信程度(大样本意义) • 有些新闻媒体报道一些调查结果只给 出百分比和误差（即置信区间），比 如 “收视率为53%±3%”; 不给出置信 度，也不给出被调查的人数 • 这是不负责的表现。
Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances t-test for Eq uality of Means 95% Confidence Interval of the Difference Lower Upper 2.07327 2.07304 7.84673 7.84696
F heig ht Equal variances assumed Equal variances not assumed .332
Sig . .566
t 3.410 3.410
df 98 97.386
Sig . (2-tailed) .001 .001
Mean Difference 4.96000 4.96000
不同样本量和不同置信度的置信区间的长短和覆盖状况
(a) n 50, 1 0.95 (b) n 20, 1 0.95
(c) n 50, 1 0.6
(d) n 20, 1 0.6
区间估计的例子（2）
• 例5.2 （数据：height2.txt, height2.sav, height21.sav, height22.sas7bdat）这是两个地区 大学生的高度数据；这里，我们假定身高服从 正态分布。在height2.sav数据中这两个地区学生 的高度分别用变量x1和x2表示。而在 height21.sav数据中，它们为一个变量height，但 用另一个变量group来标明它们属于哪个地区。
一个描述性例子
一个描述性例子 • 实际上，第二个调查隐瞒了置信 度（等价于隐瞒了样本量）。 • 如果第二个调查仅仅调查了50个 人，有35个人反对该观点。根据 后面的公式可以算出，第二个调 查的置信区间的置信度仅有11%。
• 置信度的概念大量重复抽样时的一 个渐近概念。 • 类似于“我们目前得到的置信度为 95% 的 置 信 区 间 （ 比 如 上 面 的 75%±3%）以概率0.95覆盖真正的 比例p”的说法是错误的。 • 实际上应该说“重复类似的抽样所 得到的大量区间中有大约95%的覆 盖真实比例(其值可能永远未知)。
估计
• 在假定了总体分布族之后，进一步 对总体的认识就是要在这个分布族 中选择一个适合于我们问题的成员 • 由于分布族成员是由参数确定的， 如果参数能够估计，对总体的具体 分布就知道得差不多了。
估计量是用来估计的统计量
• 我们知道，统计量是样本的不包含 未知参数的函数。样本均值、样本 标准差都是统计量。 • 由于样本是随机的，统计量也是随 机变量。 • 用于估计总体参数的统计量称为估 计量；样本均值和标准差都是总体 均值和标准差的常用估计量。
结从 论数 的据 过得 程到 对 现 实 世 界 的
统 计 推 断
估计
• 总体代表我们所关心的那部分世界。 • 而在利用样本中的信息来对总体进行推断 之前人们往往对代表总体的变量假定了分 布族。(描述数据时不用假定) • 比如假定人们的身高属于正态分布族；在 抽样调查时假定了二项分布族等等(这些假 定可能有风险!)。 • 这些模型基本上是根据“经验”来假定的， 仅仅是对现实世界的一个近似。
假设检验的过程和逻辑
• 根据零假设（不是备选假设！），我们可 以得到该检验统计量的分布； • 然后再看这个统计量的数据实现值 （realization）属不属于小概率事件。也就 是说把数据代入检验统计量，看其值是否 落入零假设下的小概率范畴 • 如果的确是小概率事件，那么我们就有可 能拒绝零假设，否则我们说没有足够证据 拒绝零假设。
区间估计
• 降低置信度可以使置信区间变窄（显 得“精确”），有误导读者之嫌。 • 如果给出被调查的人数，则内行可以 由此推算出置信度，反之亦然。
• 一个有10000个人回答的调查显示，同 意 某 种 观 点 的 人 的 比 例 为 70% （ 有 7000人同意），可以算出总体中同意 该 观 点 的 比 例 的 95% 置 信 区 间 为 （0.691，0.709）； • 另一个调查声称有70%的比例反对该 种观点，还说总体中反对该观点的置 信区间也是(0.691，0.709)。