线面垂直的证明及应用(含答案)
如何证明线面垂直的判定定理
如何证明线面垂直的判定定理在几何学中，线面垂直的判定定理是一条重要的定理，它用于判断一条直线和一个平面是否垂直。
本文将介绍如何证明线面垂直的判定定理，并详细解释其原理和应用。
我们来看一下线面垂直的定义：如果一条直线与一个平面相交，且这条直线上存在一点到该平面上的所有点的距离都相等，那么这条直线与该平面垂直。
为了证明线面垂直的判定定理，我们需要引入一些几何学中的基本概念和定理。
我们需要了解点、直线和平面的定义。
在几何学中，点是没有长度、宽度和高度的，它只有位置。
直线是由无数个点组成的，它没有宽度和高度，只有长度。
平面是由无数个点和直线组成的，它没有厚度，只有长度和宽度。
我们需要了解距离的定义。
在几何学中，距离是两个点之间的长度。
对于一条直线和一个平面，我们可以根据点到直线或点到平面的距离来判断是否垂直。
接下来，我们来证明线面垂直的判定定理。
假设有一条直线l和一个平面P，我们需要证明l与P垂直。
我们任取直线l上的一点A和平面P上的一点B。
然后，我们在平面P上任取一个点C，使得AC与直线l重合。
根据线面垂直的定义，我们需要证明AB与平面P上的所有点的距离都相等。
为了证明这一点，我们可以假设AB与平面P上的另一点D的距离不相等，即AD ≠ BD。
根据三角不等式，我们知道AD + DB > AB。
但根据直线l上的点到平面P上的点的距离相等的条件，AD = BD，所以AD + DB = 2AD = AB。
由于AD ≠ BD，所以AD + DB ≠ AB，与三角不等式矛盾。
因此，假设不成立，即AB与平面P上的所有点的距离都相等。
我们可以得出结论：一条直线与一个平面垂直的条件是，这条直线上存在一点到该平面上的所有点的距离都相等。
线面垂直的判定定理在几何学中有着广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们经常需要判断墙面与地面是否垂直，以确保建筑物的结构稳定。
在机械制造中，我们需要判断轴与底座是否垂直，以确保设备的正常运转。
线面垂直判定(解答题)
线面垂直练习1 如图1，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD ．2 如图2，P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，AD ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥平面PAC ．3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，．求证：AE SB ⊥，AG SD ⊥．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，F 是AB 中点， 作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ．5 如图３，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．6. 空间四边形ABCD 中，若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，求证：AC ⊥BDD7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥C. 证：取PD 中点E ，则EN DC //12C⇒ENAM// ∴AE MN//又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭ ⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A 'ED=60°，求证:A 'E ⊥平面A 'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
线面平行与垂直的判定与性质(含答案)
一.1. 平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥2. 设,a b 为两条直线，,αβ为两个平面.下列四个命题中，正确的命题是 （ ） A.若,a b 与α所成的角相等，则b a ∥ B.若a ∥,b α∥β,α∥β，则b a ∥ C.若,,a b a αβ⊂⊂∥b,则βα∥D.若,,,a b αβαβ⊥⊥⊥则a b ⊥3. 若P 两条异面直线l m ，外的任意一点，则（ ） Ａ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都平行 Ｂ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都垂直 Ｃ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都相交 Ｄ．过点P 有且仅有一条直线与l m ，都异面三.典型例题例 1 如图，在四棱锥O-ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，4ABC π∠=,OA ABCD ⊥底面, OA=2,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线//MN OCD 平面；NBDBCAS例2.如图，四棱锥P —ABCD 中， PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，E 为PC 中点 (I) 求证：平面PDC ⊥平面PAD ；(II) 求证：BE//平面PAD ．1. .四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC = ∠，2AB =，BC =SA SB ==（Ⅰ）证明SA BC ⊥； ．A B C D EP2. 正方体1111ABCD A B C D -中O 为正方形ABCD 的中心，M 为1BB 的中点，求证： （1）111//D O A BC 平面 （2）1MAC D O ⊥平面参考答案基础练习1.D 2.D 3.B 典型例题例题1. （1）证明：取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖ MN OCD ∴平面‖（2）CD ‖AB, MDC ∠∴为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接MP ⊥⊥平面A BC D ，∵OA ∴CD MP,42ADP π∠=∵∴DP =MD ==，1cos ,23DP MDP MDC MDP MD π∠==∠=∠=∴所以 AB 与MD 所成角的大小为3π例题2 （1）由PA ⊥平面ABCD⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊥⊥AAD PA CD PA ）AD （CD 已知⇒⎭⎬⎫⊂⊥PAD CD PAD CD 面面⇒平面PDC ⊥平面PAD ；（2）取PD 中点为F ，连结EF 、AF ，由E 为PC 中点， 得EF 为△PDC 的中位线，则EF//CD ，CD=2EF ． 又CD=2AB ，则EF=AB ．由AB//CD ，则EF ∥AB ． 所以四边形ABEF 为平行四边形，则EF//AF ．由AF ⊂面PAD ，则EF//面PAD ．巩固练习1.（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故A O B △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC ∥，故SA AD ⊥，由AD BC ==，SA =，AO =，得1SO =，SD =．SAB △的面积112S AB ==．连结DB，得D A B △的面积21sin13522S AB AD =∙= ,设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=， 得121133h S SO S ∙=∙，解得h =．设SD 与平面SAB 所成角为α，则s i n 11h SD α===．A B CDEP F2 证明: (1)连结11,BD B D 分别交11,AC AC 于1,O O 在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形1,O O 分别是11,BD B D 的中点11//BO D O ∴∴四边形11BO D O 为平行四边形11//BO D O ∴1D O ⊄平面11A BC ,1BO ⊂平面11A BC 1//D O ∴平面11A BC（2）连结MO ,设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ,在正方体1111ABCD A B C D -中,对角面11BB D D为矩形且1,BB a BD ==,O M 分别是1,BD BB 的中点,22a BM BO OD a∴===1B M B O O D D D ∴= 1O D D Rt MBO Rt ∆≅∆ 1B O M D D O ∴∠=∠在1ODD Rt ∆中，1190DD O D OD ∠+∠= 190BOM D OD ∴∠+∠=，即1D O M O⊥在正方体1111ABCD A B C D -中1DD ⊥ 平面ABCD1D D A C∴⊥又AC BD ⊥ ，1DD BD D= AC ∴⊥平面11BB D D1D O ⊂平面11BB D D1A C D O∴⊥又AC MO O = 1D O ∴⊥平面MAC。
2021高中数学线线,线面,面面垂直的证明(含解析)
线线，线面，面面垂直的证明一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；线线，线面，面面垂直的证明参考答案一、线面垂直（共9题；共85分）1.（2021高一下·岑溪期末）如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.（1）求证：平面；【答案】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PD⊥AC，又，AC⊥平面PBD2.（2021高一下·和平期末）如图，斜三棱柱中，侧面是菱形，与交于点，E是AB的中点．求证：（2）若，求证：．（2）∵侧面是菱形∴∵，，平面，平面∴平面∵平面∴．3.（2021高一下·宁波期末）已知三棱锥，平面，是以为斜边的等腰直角三角形，是以为斜边的直角三角形，为上一点，为上一点，且．（Ⅰ）现给出两个条件：① ；② 为中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面；【答案】解：（Ⅰ）若选①证明：∵平面，平面，∴，又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．若选② 为中点证明：∵平面，平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又，，∴平面．又平面，∴．又为等腰直角三角形斜边中点，则，，∴平面．4.（2021高一下·怀化期末）如图，在正方体中.（1）求证：面；【答案】（1）证明：因为为正方体，所以ABCD为正方形,所以，又因为平面ABCD，平面ABCD，故，又，平面，所以平面．5.（2021高一下·绍兴期末）如图，四棱台的底面是矩形，，，，．（Ⅰ）证明：平面；【答案】解：（Ⅰ）证明：因为底面是矩形，所以，又，，所以平面，又因为，所以平面．6.（2021高二下·二道期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.（1）求证：平面PCD；【答案】（1）在正方形ABCD中，，又侧面底面ABCD，侧面底面，所以平面PAD，平面PAD，所以，是正三角形，M是PD的中点，所以，又，所以平面PCD.7.（2021高一下·长春期末）如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC⊥面PAC；【答案】（1）证明见解析PA垂直于所在的平面PA⊥BCAB是的直径AC⊥BCBC⊥面PAC8.（2021高一下·河北期末）如图，在正四棱锥中，点E，F分别在棱PB，PD上，且．（1）证明：平面PAC．【答案】（1）证明：如图，连接，记，连接PO，由题意可得四边形ABCD是正方形，，则O为AC的中点，且，因为，所以，因为平面，面，且，所以平面，因为，所以，则平面PAC；9.（2021高一下·天津期末）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（2）求证：直线平面【答案】（2）因为四边形是菱形，所以又因为平面平面所以又因为所以平面二、线线垂直（共7题；共70分）10.（2021高一下·海南期末）如图所示，三棱柱中，，，，．（1）证明：；【答案】（1）∵，，．∴，∴．∵，，∴．又∵，平面，∴平面．∵平面，∴．11.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B1.（1）证明：BF⊥DE；【答案】法一法2（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因为，，所以，又，所以平面．所以两两垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．所以，．由题设（）．因为，所以，所以．12.（2021·全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形．分别为和的中点，．（2）已知为棱上的点，证明：．（2）由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，正方形中，为中点，则，又，故平面，而平面，从而.13.（2021·新高考Ⅰ）如图，在三棱锥A-BCD中.平面ABD丄平面BCD，AB=AD.O为BD的中点.（1）证明：OA⊥CD：【答案】（1），为中点，，面，面面且面面，面，．14.（2021高一下·广东期末）如图，在三棱锥中，，点是线段的中点，平面平面.（2）求证：.【答案】（2）证明：∵，∴，∴，∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴.15.（2021高二下·湖北期末）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥，其中于，，，平面．（1）求证：；【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，又平面．∴．16.（2021·浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；【答案】（1）证明：在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由题意且，平面，而平面，所以，又，所以三、面面垂直（共9题；共105分）17.（2021·新高考Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；【答案】（1）取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，故平面，因为平面，故平面平面.18.（2021高一下·滨海新期末）如图，在三棱柱中，平面，，是的中点.（2）求证：平面平面；【答案】（2）∵，是的中点，∴，∵三棱柱中，平面，∴平面∵AD 平面，∴，又､BC是平面内的两条相交直线∴平面∵AD 平面∴平面平面19.（2021高一下·和平期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点．（2）求证：平面平面；【答案】（2）因为平面平面，平面平面，,所以平面，因为平面，所以,又, 平面,所以平面,又平面，所以,又,所以,又平面,所以平面,又平面,所以平面平面；20.（2021高一下·龙岩期末）如图，是圆锥的顶点，是底面圆的直径，为底面圆周上异于的点，为的中点．（1）求证：平面平面【答案】（1）由圆锥的性质可知，底面圆∵在底面圆上，∴，∵在圆上，为直径，∴，又点分别为的中点，∴∴又，且平面，∴平面，又平面，∴平面平面．21.（2021高一下·东丽期末）如图，三棱柱，底面，且为正三角形，，为中点．（2）求证：平面平面．【答案】（2）∵面，面，∴．又，，∴，面，∴面．又面，∴面面．22.（2021高一下·湖北期末）如图，在三棱台中，上底面为等腰直角三角形，，，，在上，.（1）证明：平面平面；【答案】（1）因为三棱台中，因为，所以，由，所以，所以，又由，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.23.（2021高一下·重庆期末）如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将沿折起，使得平面平面，如图2．（1）证明：平面平面BCD；【答案】（1）在中，因为，，，由余弦定理得，所以，所以，所以如图所示：作于点，因为平面平面，平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面，因为平面，所以，又由，所以平面.所以平面平面BCD；24.（2021高一下·河北期末）如图，在三棱柱中，，点为的中点，，．（1）证明：平面平面ABC．【答案】（1）证明：因为，所以，，在三棱柱中，，所以，又因为，所以平面ABC，又因为平面，所以平面平面ABC；25.（2021·全国乙卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M为BC的中点，且PB AM.（1）证明：平面PAM 平面PBD；【答案】（1）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．。
线面垂直及应用(习题及答案)
6
【参考答案】
1. B 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A 7. A 8. 证明略． 9. （1）证明略；
易得 AC1=BC1=
2 ， S△ABC
3， 4
在△ABC1 中，AC1=BC1= 2 ，AB=1，
∴ S△ABC1
7， 4
∵VCABC1 VC1ABC ，设点 C 到平面 ABC1 的距离为 d，
则 1 7 d 1 3 1 ，解得 d 21 ．
34
34
7
例 2：如图，∠BAC 在平面α内，点 P 在α外，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥α，垂足分别为 E，F，O，且 PE=PF，求证：∠BAO=∠CAO．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
6. 如图，PA⊥矩形 ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
7. 如图，下列四个正方体中，l 是正方体的一条对角线，M，N， P 分别为其所在棱的中点，能得出直线 l⊥平面 MNP 的图形 是（ ）
① A．①④
线面垂直及应用（习题）
例题示范
例 1：如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=1，则点 C 到 平面 ABC1 的距离为（ ）
A． 42 6
B． 3 3
C． 21 7
D． 2 3 7
思路分析： 思路一：观察特征，考虑采用构造垂面法，取 AB 的中点 E ，易 证平面 C1CE⊥平面 ABC1，过点 C 作 CF⊥C1E，则 CF 的长即为 所求距离，接着在直角三角形中研究边角关系，求解． 思路二：采用等体积法，VCABC1 VC1ABC ，建立等式，求解．
线面垂直、面面垂直
线面垂直、面面垂直及其证明一 线面垂直的判定定理（1）线面垂直定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直.（2（3）三垂线定理及其逆定理①三垂线定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影.②三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直. （4）线面垂直的证明例1例2例3SDD 1ODBA C 1B 1A 1C例4在正方体1111ABCD A BC D -中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1AO ⊥平面MBD .练习1 在正方体1111ABCD A BC D -中. （1）求证：AC ⊥平面11B D BD .（2）求证：1BD ⊥平面1ACB .练习2在三棱锥A BCD -中，BC AC =，AD BD =，作BE CD ⊥，E 为垂足，作AH BE ⊥于H .求证：AH ⊥平面BCD .在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ︒∠=，PA AB BC ==，E 是PC 的中点.（1）求证：CD AE ⊥. （2）求证：PD ⊥面ABE .二 面面垂直（1条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面，若棱为l ，两个面分别为，,αβ二面角记作为l αβ--.（2）二面角的平面角定义：在二面角l αβ--棱l 上取一点O ，在半平面α和β内，从点O 分别作垂直于棱l 的射线,OA OB ，射线组成AOB ∠.则AOB ∠叫做二面角的平面角.二面角的取值范围为[0,180]︒︒.（3）面面垂直定义：若两个平面的二面角为直二面角(平面角是直角的二面角)，则这两个平面互相垂直.（4）面面判定定理：一个平面过另一个平面，则这两个面相互垂直. （5）面面垂直的正面即：面面垂直→线面垂直→线线垂直. 例1如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点.（1）求证：1//AC 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . .例2如图，直三棱柱111C B A ABC -中，侧棱垂直于底面，90ACB ︒∠=121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，求证：平面1BDC 平面BDC ．AC B1B 1A D1C练习 如图，过S 引三条长度相等但不共面的线段,,SA SB SC ，且60ASB ASC ︒∠=∠=，90BSC ︒∠=，求证：平面ABC ⊥平面BSC ．三 立体几何高考证明例1（2013江苏）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面； （2）．例2（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B A C =，D E，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F⊥，为11B C 的中点．求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ．ABC S -⊥SAB SBC BC AB ⊥AB AS =A SB AF ⊥F G E ，SC SA ，//EFG ABC SA BC ⊥ABCSGFE例3如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四四边形，60DAB ︒∠=，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥（2）设1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高.练习1如图，几何体E ABCD -是四棱锥，ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥.(Ⅰ)求证：BE DE =；(Ⅱ)若∠120BCD =︒，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC .练习2（2011天津）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，45ADC ∠=︒，1AD AC ==，O 为AC 的中点，PO ABCD ⊥平面，2PO =，M为PD 的中点．(Ⅰ) 证明：//PB ACM 平面；MP(Ⅱ)(Ⅲ)。
线面垂直的判定定理及其证明
线面垂直的判定定理及其证明
点线面垂直的判定定理是指：给定任意一点O和一平面Π，从这点出发经过
某一条线段与Π相交于点A和B，若OA、OB都平行于Π，则该线段垂直于Π。
这一定理在几何中用来判别点线面是否垂直，其证明方法较为复杂。
根据公理，可以假定OOA和OOB（由点O到点A和点B的线段）共面，此时在γ上有OC=OA，当另外两角α、β平行时，且α+β=Π/2，即Π=2α=2β，则γ垂直于Π。
即
可证明点线面垂直的判定定理是正确的。
点线面垂直的判定定理在数学、物理和机械等诸多学科中均有应用，其特殊性
决定了其不可忽视的重要地位。
例如，在数学中，可以使用这一定理验证连续抛物线是否符合点到点垂直的规律；在机械上，可以使用此定理来判断两条铰链线是否处于正确的垂直位置。
通过以上实例可以看出，点线面垂直的判定定理有着极为广泛的应用，合理
的证明助力于理解和掌握它的实用价值，因此，理解和掌握这种定理对于深入研究相关学科至关重要。
线面垂直判定(解答题)
1如图1，在正方体1111ABCD A B C D-中，M为1CC的中点，AC交BD于点O，求证：1A O⊥平面MBD．2如图2，P是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，AD⊥PC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．3 如图１所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB SC SD，，于E F G，，．求证：AE SB⊥，AG SD⊥．4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，F是AB中点，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．5 如图３，AB是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，PA 平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BDADB OC7. 证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1DAC证明：连结ACBD AC ⊥AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A CA C BC A C BC D11111同理可证平面8. 如图，PA ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN AB ⊥C. 证：取PD 中点E ，则EN DC //12C⇒EN AM //∴AE MN //又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥⊂⎫⎬⎭⇒⊥⎫⎬⎪⎭⎪⇒⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////9如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE ， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E ⊥平面A'BC分析：弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。
解： ∵FG ∥BC ，AD ⊥BC∴A'E ⊥FG∴A'E ⊥BC设A'E=a ，则ED=2a 由余弦定理得：A'D 2=A'E 2+ED 2-2•A'E •EDcos60°=3a2∴ED 2=A'D 2+A'E 2∴A'D ⊥A'E∴A'E ⊥平面A'BC10如图, 在空间四边形SABC 中, SA 平面ABC , ABC = 90, AN SB 于N , AM SC 于M 。
空间中的垂直关系(带答案)
空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ）证明：EA⊥PB；（Ⅱ）证明：BG∥面AFC．【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E为PC的中点，G在BC上，且CG=CB（1）求证：PC⊥BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G=GC•S△DEC=××1=．﹣DEC（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE 为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。
线面垂直的判定定理的证明方法
线面垂直的判定定理的证明方法线面垂直是三维空间中一个非常重要的概念，不仅在数学中有广泛的应用，而且在工程学和物理学中也有着非常大的作用。
本文将介绍线面垂直的判定定理的证明方法。
一、定义我们先来明确什么是“线面垂直”。
设线段AB的起点为A，终点为B，面平行于向量n，如图所示：若向量AB与向量n垂直，则称线段AB与平面垂直。
二、判定定理现在我们可以给出线面垂直的判定定理：定理：线段AB与平面N垂直的充分必要条件是向量AB与法向量n垂直。
即，AB⊥N⟺AB⊥n三、证明方法下面，我们将给出上述定理的证明方法。
对于任意一点M在平面N上，根据向量的定义，我们可以得到→NM=A→+x*n→其中，A是向量N平面上的任意一点到M的向量，x是实数。
由于向量A在平面N上，所以A⋅n=0所以，x*n⋅n=0因此，x=（-A*n）/ (n*n)，其中“A”点表示向量A的模长。
所以，→NM=A→+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB=→BM-→BN，所以→AB=→BM-→BN=→NM-→NB因此，→AB=[A→+[-A*n]/(n*n)*n→]-B→= [A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→由于向量AB与n垂直，我们可以得到→AB⋅n=([A→-B→]+[-A*n]/(n*n)*n→)⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]/(n*n)*n→⋅n=A→⋅n-B→⋅n-[-A*n]由于A点在平面N上，所以A→⋅n=0因此，→AB⋅n=-B→⋅n-[-A*n]也就是说，→AB⊥n⟺-B→⋅n-[-A*n]=0⟺B→⋅n=[-A*n]B→⋅n 是向量B在n上的投影，[-A*n]是向量A的负向量在n上的投影。
因此，当且仅当向量AB与n垂直时，向量B在n上的投影等于向量A 的负向量在n上的投影，即B→⋅n=[-A*n]。
综上所述，向量AB垂直于平面N的充分必要条件是向量AB垂直于平面N的法向量n，即AB⊥N⟺AB⊥n。
四、总结本文介绍了线面垂直的判定定理及其证明方法。
高中数学线面、面面垂直的判定与性质
线面、面面垂直的判定与性质知识回顾1．直线与平面垂直的判定（1）定义：如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α垂直，记作l ⊥α．（2）判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥a l ⊥b⇒l ⊥α． 2．直线与平面垂直的性质文字表述：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表述：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒ a ∥b 3. 直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．4．平面与平面的垂直的判定（1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．（2）面面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥β⇒α⊥β． 5．平面与平面垂直的性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ⇒a ⊥β． 6．二面角二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．二面角的平面角：如图，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平面角．题型讲解题型一例1、空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交答案：C例2、如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．1答案：A例3、如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．证明在平面B1BCC1中，∵E、F分别是B1C1、B1B的中点，∴△BB1E≌△CBF，∴∠B1BE＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B1BCC1，CF⊂平面B1BCC1，∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．题型二例4、若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( ) ①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α．A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C例5、如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC ．求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD ⊥平面ADD 1A 1，∴CD ⊥AD 1． ∵A 1D∩CD ＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1．(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ． ∴ON12CD 12AB ， ∴ON ∥AM ． 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON ＝AM ．∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点．题型三例6、直线a 与平面α所成的角为50°，直线b ∥a ，则直线b 与平面α所成的角等于( )A ．40°B ．50°C ．90°D ．150°答案：B例7、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案：(1)45° (2)30° (3)90° 题型四例6、在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( ) A ．13 B ．12 C ．223 D ．32答案：B [如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角． ∵DO ＝OB ＝BD ＝32， ∴∠BOD ＝60°．]例7、过正方形ABCD 的顶点A 作线段AP ⊥平面ABCD ，且AP ＝AB ，则平面ABP 与平面CDP 所成的二面角的度数是________．答案：45° 题型五例8、下列命题中正确的是()A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥βB．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥βC．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥βD．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案：C例9、如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．9．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．(2)解由(1)知，BE⊥平面PAB，PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE．又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°．故二面角A—BE—P的大小是60°．题型六例10、平面α⊥平面β，直线a∥α，则()A．a⊥β B．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能答案：D例11、如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．11．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD2＋BD2＝AB2．∴AD⊥BD．又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，BD⊂面ABCD，∴BD⊥面PAD，又BD⊂面BDM，∴面MBD⊥面PAD．(2)解过P作PO⊥AD，∵面PAD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，即PO为四棱锥P—ABCD的高．又△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO＝23．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，∴四边形ABCD为梯形．在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24． ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝163．跟踪训练1．正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值等于( )A ．33B ．22C ． 2D ． 3答案：C[解析] 设AC 、BD 交于O ，连A 1O ，∵BD ⊥AC ，BD ⊥AA 1，∴BD ⊥平面AA 1O ，∴BD ⊥A 1O ，∴∠A 1OA 为二面角的平面角． tan ∠A 1OA ＝A 1AAO＝2，∴选C.2．过两点与一个已知平面垂直的平面( ) A ．有且只有一个 B ．有无数个 C ．有且只有一个或无数个 D ．可能不存在答案：C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]3．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总是保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是( )A ．线段B 1C B ．线段BC 1C ．BB 1中点与CC 1中点连成的线段D ．BC 中点与B 1C 1中点连成的线段 答案：A[解析] ∵DD 1⊥平面ABCD ， ∴D 1D ⊥AC ，又AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∴AC ⊥BD 1.同理BD 1⊥B 1C. 又∵B 1C ∩AC ＝C ， ∴BD 1⊥平面AB 1C.而AP ⊥BD 1，∴AP ⊂平面AB 1C.又P ∈平面BB 1C 1C ，∴P 点轨迹为平面AB 1C 与平面BB 1C 1C 的交线B 1C.故选A. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN ＝________．答案：90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN ． 又∵MN ⊥B 1M ， ∴MN ⊥面C 1B 1M ， ∴MN ⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．5．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A －A′BB′的体积V ＝________.答案： 4[解析] ∵α⊥β，α∩β＝A′B′，AA′⊂α，AA′⊥A′B′， ∴AA′⊥β，∴V ＝13S △A′BB′·AA′＝13×(12A′B′×BB′)×AA′＝13×12×2×4×3＝4.6. 如图所示，已知PA 垂直于⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上任意一点，过点A 作AE ⊥PC 于点E .求证：AE ⊥平面PBC .证明 ∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC . 又∵AB 是⊙O 的直径，∴BC ⊥AC . 而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . 又∵AE ⊂平面PAC ，∴BC ⊥AE .又∵PC ⊥AE ，且PC ∩BC ＝C ，∴AE ⊥平面PBC .7．如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：平面BCE ⊥平面CDE.证明 取CE 的中点G ，连接FG ，BG ，AF. ∵F 为CD 的中点， ∴GF ∥DE ，且GF ＝12DE.∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE.则GF ∥AB. 又∵AB ＝12DE ，∴GF ＝AB.则四边形GFAB 为平行四边形．于是AF ∥BG. ∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF. 又∵CD ∩DE ＝D ，CD ，DE ⊂平面CDE ， ∴AF ⊥平面CDE.∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE.∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面PAC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．证明(1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.∴PD⊥DC.同理可证PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC.而四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又BC⊥DC，∴BC⊥平面PDC.∴BC⊥PC.∴∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°.∴二面角P－BC－D是45°的二面角．6．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1＝AC，且BC1⊥A1C．(1)求证：平面ABC1⊥平面A1ACC1；(2)若D、E分别是A1C1和BB1的中点，求证：DE∥平面ABC1.11解析： (1)∵直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AC ， ∴ACC 1A 1为正方形， ∴A 1C ⊥AC 1.又∵BC 1⊥A 1C ，AC 1∩BC 1＝C 1，∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又∵A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC 1.(2)如图，取AA 1的中点F ，连接DF 、EF.∵D 、E 、F 分别为A 1C 1、BB 1、AA 1的中点， ∴DF ∥AC 1，EF ∥AB ，DF∩EF ＝F ， ∴平面DEF ∥平面ABC 1， ∴DE ∥平面ABC 1.。
线面垂直的判定定理的证明
线面垂直的判定定理的证明线面垂直判定定理是初中数学中的一个重要概念，它能够帮助我们快速判断线段和平面之间的关系。
那么，这个定理是如何证明的呢？首先，我们需要了解垂直的定义。
垂直是指两个物体彼此成90度的夹角，例如竖直的墙和水平的地面。
因此，线面垂直的判定定理实际上是判断线段与平面是否成90度的夹角。
现在，我们假设有一条线段AB和一个平面P。
如果线段AB垂直于平面P，那么它一定与平面上的某条直线CD垂直。
这是因为，一个平面上的所有垂线相交于同一点，而线段AB被平面P截成的直线就是与AB垂直的直线。
因此，我们只需证明线段AB与平面上与它垂直的直线CD垂直即可。
接下来，我们考虑用数学方法来证明这个定理。
首先，我们需要用向量来表示线段AB和平面P的法向量N。
假设A点坐标为$(x_1,y_1,z_1)$，B点坐标为$(x_2,y_2,z_2)$，那么线段AB的向量为$\vec{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$。
而平面P的法向量为$\vec{N}=(a,b,c)$，其中$a,b,c$为平面P的方程系数。
那么，如果线段AB与平面P垂直，它们的内积应该为0。
即$\vec{AB}·\vec{N}=0$。
将向量的表达式代入该公式，可以得到$(x_2-x_1)\times a+(y_2-y_1)\times b+(z_2-z_1)\times c=0$。
注意到该式恰好就是平面P的方程，即$ax+by+cz+d=0$（其中d为常数项）。
由此可知，如果线段AB在平面P上，那么垂直于它的直线必然与平面P在一点上相交，且该点同时属于线段AB上。
因此，平面P和线段AB的交线就是与AB垂直的直线CD。
于是我们便证明了线段AB与平面P垂直时，它一定与平面上的某条直线CD垂直。
通过这个定理，我们可以更快速地判断线段和平面之间的关系，从而简化一些几何问题的求解。
同时，这个定理的证明也展示了如何运用向量和平面方程等数学方法来解决几何问题，对我们学习数学具有重要的指导意义。
证明线面垂直的方法
证明线面垂直的方法在几何学中，线面的垂直关系是一个非常重要的概念，它在各种数学问题中都有着重要的应用。
那么，我们如何证明两条线或者一个线和一个平面是垂直的呢？下面将介绍几种常见的方法来证明线面垂直的关系。
方法一，利用垂直距离的定义。
垂直距离是指从一点到一条直线的垂直距离。
如果一条直线上的两点到另一条直线的垂直距离相等，那么这两条直线就是垂直的。
我们可以利用这一性质来证明两条直线的垂直关系。
具体的做法是，首先找到两条直线上的两个点，然后分别求它们到另一条直线的垂直距离，如果这两个垂直距离相等，那么可以得出这两条直线是垂直的结论。
方法二，利用垂直角的性质。
在平面几何中，如果两条线段相交，它们所成的四个角中，相邻的两个角互为补角，且互为垂直角。
因此，我们可以通过证明两个角是垂直角来证明两条线段是垂直的。
具体的做法是，首先找到两条线段的交点，然后证明它们所成的相邻角是垂直角，即它们的度数之和为90度。
如果能够证明这一点，那么就可以得出这两条线段是垂直的结论。
方法三，利用垂直平分线的性质。
在平面几何中，如果一条线段垂直于一条直线，并且平分这条直线，那么这条线段就是这条直线的垂直平分线。
我们可以利用这一性质来证明一条线段和一条直线的垂直关系。
具体的做法是，首先找到一条线段和一条直线，然后证明这条线段垂直于这条直线，并且平分这条直线。
如果能够证明这一点，那么就可以得出这条线段和这条直线是垂直的结论。
方法四，利用垂直投影的性质。
在空间几何中，我们可以利用垂直投影的性质来证明线面的垂直关系。
具体的做法是，首先找到一条线段和一个平面，然后证明这条线段在这个平面上的投影是垂直的。
如果能够证明这一点，那么就可以得出这条线段和这个平面是垂直的结论。
综上所述，证明线面垂直的方法主要包括利用垂直距离的定义、利用垂直角的性质、利用垂直平分线的性质以及利用垂直投影的性质。
通过这些方法，我们可以准确地证明线面的垂直关系，从而在数学和几何问题中得出正确的结论。
直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义及答案)
直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义）＞知识点睛一、直线与平面垂直（线面垂直）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线 ______________ .(Jb/ /■* b丄a.其他性质：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面•二、平面与平面垂直（面面垂直）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内线与另一个平面垂直.其他性质：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面；如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面.的直2 2精讲精练已知直线/垂直于直线AB 和AC.直线W 垂直于直线BC 和 AC.则直线/, /«的位置关系是（ ）A.平行B.异面 C •相交 m n 和平面6 0,能得出a 丄戶的一组条件是（ .in//a^n//Par\p=in^ rtuan 邛、inca> /»丄0, «丄戶若川，心/是互不重合的直线，g 緘7是互不重合的平面， 给出下列命题：① 若a 丄0, «门0二川，② 若ct 〃0, a n y=zz/»③ 若m 不垂直于<z,④ 若《门0二"f,加〃“，且"E Q , «妙，则n//a 且《〃0；⑤ 若《门0二加，n y=n » aPl 尸/,且ct 丄0, a 丄y, 0丄y,贝J w 丄川丄/, «丄人其中正确命题的序号是 _________________ •边长为a对于直线, A. in//n, B- 川丄心 C. m//D- m//川丄心则《丄《或《丄0：0n 尸小则加〃”； 则加不可能垂直于a 内的无数条直线;D ・垂直A. C 6C. --- a D ・aD的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（如图，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕， 把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出 下列四个结论：① BD 丄AC^② 是等边三角形；③ 三棱锥DMBC 是正三棱锥;④ 平面ADC 丄平面ABC.其中正确的是（如图，在斜三棱柱ABC-AiBiCi中， 则C,在底面ABC 上的射影H必在（）A.直线AB 上C.直线AC 上 已知直二面角0[-/-〃，点AEa. AC ■丄/,垂足为点C,点医0, BD 丄h 垂足为点D,若AB=2. AC=BD=i ,则CD 的长为3 CD. 1A.①②④B.①②③C.②③④ D-①③④ZBqC=90。
线面垂直及应用(习题及答案)
线面垂直及应用（习题）➢例题示范例1：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=AA1=1，则点C 到平面ABC1 的距离为（）A.42 6B.3C.217D.2 37思路分析：思路一：观察特征，考虑采用构造垂面法，取AB 的中点E ，易证平面C1CE⊥平面ABC1，过点C 作CF⊥C1E，则CF 的长即为所求距离，接着在直角三角形中研究边角关系，求解．思路二：采用等体积法，VC -ABC =VC -ABC，建立等式，求解．1 1解题过程：方法一：如图，取AB 的中点E，连接CE，C1E，过点C 作CF⊥C1E 于点F．在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，则AB⊥CC1，∵△ABC 是等边三角形，∴AB⊥CE，又CE CC1=C，∴AB⊥平面CC1E，∴平面C1CE⊥平面ABC1，∴CF⊥平面ABC1，则CF 的长即为所求距离．在Rt△CEC1 中，CC1=1，CE = 3AB =3，∴C1E =2 2 =7．2由等面积得，CF =CC1 ⨯CE=C1E21，7即点C 到平面ABC1 的距离为21．71CC12 +CE 22 1 37方法二：在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，AB=BC=AC=CC1=1，易得AC1=BC1=，S△ ABC =4，在△ABC1 中，AC1=BC1= ，AB=1，∴ S△ ABC =4，∵VC -A BC=V C -ABC ，设点 C 到平面ABC1 的距离为d，1 1则1⨯7⨯d =1⨯3⨯1 ，解得d =21．3 4 3 4 7例2：如图，∠BAC 在平面α内，点P 在α外，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别为E，F，O，且PE=PF，求证：∠BAO=∠CAO．思路分析：根据特征，有线面垂直、平面的斜线与平面内直线垂直，根据三垂线定理的逆定理处理．解题过程：∵PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，∴OE⊥AB，OF⊥AC，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PE=PF，∴Rt△PAE≌Rt△PAF，∴AE=AF，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠BAO=∠CAO．2232 3323➢巩固练习1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，则点C 到平面PBD 的距离为（）A.B．C．D．1第1 题图第2 题图2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=AB=BC=2，AD=4，则点A 到平面PCD 的距离为（）A.63B.2C．26D．233.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=2，PA=AB=1，则点D 到平面PBC 的距离为（）A.22B.1C．12 3D．33第3 题图第4 题图4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，E 是BC 的中点，则点B1 到平面AEC1 的距离为（）A.B．4 3C．3D．623665.下列命题：①若a 是平面α的斜线，直线b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b；②若a 是平面α的斜线，平面β内的直线b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b；③若a 是平面α的斜线，直线b⊂α且b 垂直于a 在另一平面β内的射影，则a⊥b；④若a 是平面α的斜线，直线b∥α且b 垂直于a 在平面α内的射影，则a⊥b．其中正确的有（）A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个6.如图，PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．PA⊥BD7.如图，下列四个正方体中，l 是正方体的一条对角线，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出直线l⊥平面MNP 的图形是（）①②③④A．①④B．①②C．②④D．①③48.直接利用三垂线定理证明下列各题：（1）已知：PA⊥正方形ABCD 所在平面，O 是BD 的中点，求证：PO⊥BD，PC⊥BD．（2）已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M 是BC 的中点，求证：BC⊥AM．59.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠ACB=90°，AC=BC=a，AA1 2a ，D，E，M 分别为棱AB，BC，AA1的中点．（1）求证：A1B1⊥C1D；（2）求点C 到平面MDE 的距离．10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB=4，AC=AA1=2，∠ACB=90°．（1）求证：A1C⊥B1C1；（2）求点B1 到平面A1BC 的距离．62 【参考答案】 1.B 2.C 3.A 4.B 5.B 6.A 7.A 8. 证明略．9. （1）证明略； （2）点 C 到平面 MDE 的距离为 6a ．610. （1）证明略；（2）点 B 1 到平面 A 1BC 的距离为 ．7。
证明线面垂直的几种方法
证明线面垂直的几种方法证明线面垂直的几种方法线面垂直是一个基本的几何概念，它在许多数学和物理问题中都有着重要的应用。
下面将介绍几种证明线面垂直的方法。
方法一：利用勾股定理勾股定理是最为常见的证明线面垂直的方法之一。
该定理表明，如果一个三角形的两条边平方和等于第三条边平方，则这个三角形是直角三角形，而且直角所对应的两条边就是线面所在的两条边。
例如，假设我们要证明平面ABCD与线段EF垂直。
我们可以测量出AE、EB、ED、EC四个长度，并计算出它们的平方和。
如果满足AE²+EB²=ED²和EB²+EC²=BC²，则可以得出结论：ABCD与EF垂直。
方法二：利用向量乘积另一种证明线面垂直的方法是利用向量乘积。
具体来说，如果两个向量A和B之间的点积为0，则这两个向量互相垂直。
例如，假设我们要证明平面ABCD与线段EF垂直。
我们可以找到任意一个点P，然后计算向量AP、BP、EP以及FP。
如果满足向量AP·BP=0和向量EP·FP=0，则可以得出结论：ABCD与EF垂直。
方法三：利用投影投影是另一个证明线面垂直的常用方法。
具体来说，如果一个线段的投影与一个平面的法向量垂直，则这个线段与该平面垂直。
例如，假设我们要证明平面ABCD与线段EF垂直。
我们可以找到EF 在ABCD平面上的投影，然后计算该投影与ABCD平面的法向量之间的点积。
如果点积为0，则可以得出结论：ABCD与EF垂直。
总之，以上三种方法都是证明线面垂直的有效工具。
选择哪种方法取决于具体情况和问题所涉及的数学知识。
无论使用哪种方法，都需要对几何概念有深入的理解，并且需要仔细地进行计算和分析，以确保结果正确无误。
证明线面垂直的符号语言
a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，mα，nαa⊥α。
解析：
若一条直线垂直于一个平面内两条相交直线，则该直线与此平面垂直。
证明：已知：直线，，求证：a⊥平面π。
证明：设p是平面π内任意一条直线，则只需证a⊥p，设直线a，b，c，p的方向向量分别是，只需证，b与c不共线，直线b，c，p在同一平面π内，根据平面向量基本定理存在实数λ，μ使得，所以直线a垂直于平面π。
判定定理:如果—条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。
这个判定很好理解:已知的这条线去垂直平面内两条相交的直线即可。
易错点就是:这两条直线必须相交，不能平行。
很多同学就是有可能不注意，找到的这两条直线平行了。
符号语言:还要注意，垂直复杂些，它不像平行，直接可以运用定理性质，需要可能一些中间的，比如先证平行等。
2
(定义运用)
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=2CD =2√3,PD = 2 ，PC =v7，CD/|AB，PD L BC，E，F分别为棱AB ,PB的中点.
(1)证明:PD上平面ABCD .(2)证明:平面PAD//平面CEF.
分析:关键在这个平面内找到两条相交的直线与已知直线垂直。
证明:
: PD=2,CD=√3,PC =√7PD2+CD2 = PC2
..PD LCD
PCL平面ABCD
又∵PD LBC
BC∩CD=c
知乎@谭海波。
空间向量证明线面垂直
空间向量证明线面垂直
在三维空间中，我们可以使用向量来证明线和面的垂直关系。
假设有一条直线 L，其方向向量为 a，过一点 P 的平面方程为 Ax
+ By + Cz + D = 0。
我们要证明直线 L 与平面的法向量垂直。
首先，我们知道直线 L 上的任意一点可以表示为 P = P0 + ta，其中 P0 是直线上的一个特定点，a 是直线的方向向量，t 是一个
实数。
假设直线 L 与平面的法向量为 n = (A, B, C)。
现在我们来证明直线 L 与平面的法向量垂直。
我们知道如果两
个向量垂直，它们的点积为零。
因此，我们可以计算直线的方向向
量与平面的法向量的点积：
a · n = Aa1 + Ba2 + Ca3。
其中，a1、a2 和 a3 是向量 a 的分量。
由于直线 L 上的任意
一点 P 可以表示为 P0 + ta，我们可以将 P 的坐标代入平面方程中：
A(P0x + tax) + B(P0y + tay) + C(P0z + taz) + D = 0。
展开并整理得到：
t(Aa1 + Ba2 + Ca3) + (AP0x + BP0y + CP0z + D) = 0。
由于上式对于直线 L 上的任意点成立，因此必须有 Aa1 + Ba2 + Ca3 = 0。
这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直，即直线和平面垂直。
因此，我们使用空间向量证明了直线和平面的垂直关系。
这种方法可以帮助我们在三维空间中分析线和面的相互关系，为我们理解空间中的几何关系提供了有力的工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线面垂直的证明及应用
一、单选题(共10道，每道10分)
1.若为平面，为直线，则下列选项中能得到的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
2.如图，PO⊥平面ABC，BO⊥AC，则图中一定与AC垂直的直线共有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
3.如图，在三棱柱中，底面是正三角形，且侧棱，若E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
4.在长方体中，已知AB=BC=1，，E是侧棱的中点，则直线AE与平面所成角的大小为( )
A.60°
B.90°
C.45°
D.以上都不正确
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
5.如图，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，且SD⊥底面ABCD，则下列结论不正确的是( )
A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.AC⊥平面SBD
D.AB与SC所成的角等于CD与SA所成的角
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
6.如图，在正方体中，O是底面ABCD的中心，，H为垂足，则与平面的位置关系是( )
A.垂直
B.平行
C.斜交
D.以上都不对
答案：A
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
7.如图，在等边三角形ABC中，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点，现将△ACD 沿CD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则下列结论中不正确的是( )
A.AB∥平面DEF
B.CD⊥平面ABD
C.EF⊥平面ACD
D.
答案：C
试题难度：三颗星知识点：平面与平面垂直的性质
8.如图，在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，且SA=SB=SC=15，若D，E，F，H分别是AB，BC，SC，SA的中点，则四边形DEFH的面积为( )
A. B.
C.45
D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质
9.如图，E，F分别是正方体的棱AB，的中点，若M，N分别是线段
上的点，则与平面ABCD垂直的直线MN有( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的判定
10.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上一点，AE⊥PB于点E，AF⊥PC 于点F，给出下列结论：①BC⊥平面PAC；②AF⊥平面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥平面PBC．其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：直线与平面垂直的性质。