计算方法课件第七篇

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小学三年级数学《长方形正方形面积的计算》教案【优秀7篇】

小学三年级数学《长方形正方形面积的计算》教案【优秀7篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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第七篇-化学反应工程PPT课件

解：一级反应， ( rA )kA c kA 0 c (1xA )
t1ln1 1 ln1 99 .（ 8s6 ） k 1xA 0.0021 3 0.9 1
-
18
反应器体积：
V R q V 0(t t') 1 2m h 4 3 4 (9 3.9 6 8 6 3 6 0)0 0 0 .4m 533
-
9
活塞流模型－理想排挤流动模型（平推流）反应器内任一截面上无速度梯度；物料在反应器内的停留时间完全相同。（连续操作管式反应器）
-
10
非理想流动模型－介于上两种理想模型之间 a.轴向扩散模型－活塞流+轴向扩散
将对活塞流的偏离情况通过轴向扩散（轴向返混）速率来描述 b.多。级费全克混定流律模：型u （D多l d釜dCl串联流动模型）
(rA)VRdA n /dt (rA)dA c/dt d tdAc/ (rA)
基本方程：
tcA cA0
( d rAA )ccA0
xA 0
dA x (rA)
-
等容过程，液相反应
15
简单一级反应： ( rA )kA c kA 0 c (1xA )
t c A 0 0 x Ak A 0 d ( 1 c A x A x ) k 1 0 x Ad 1 ( 1 x x A A ) k 1 l1 n 1 x A k 1 lc c n A A 0
按操作方法分
间歇连续半连续
5
7 基本反应器间歇操作搅拌釜式反应器
特点：分批操作；所有物料的反应时间相同；反应物的浓度是时间的函数。
连续操作管式反应器
特点：连续进料；T、P、q
一定时，反应器内任一截面
的物料浓度不随时间变化；

长方形和正方形面积的计算教学设计【优秀7篇】

长方形和正方形面积的计算教学设计【优秀7篇】《长方形面积的计算》教学设计篇一【教学目标】1、引导学生发现并验证长方形面积计算的公式，使学生初步掌握长方形、正方形面积的计算方法。

2、充分发挥学生的主体性，渗透“实验__发现__验证”的学习方法，培养学生观察、质疑、分析、解决问题和动手操作的能力。

3、让学生在实际操作中体验学习的乐趣，并通过实际应用的练习，体会数学与生活的联系。

【教学重点】理解掌握长方形、正方形面积的计算公式。

【教学准备】课件、1平方厘米的正方形卡片、面积不等的长方形卡片【教学过程】一、创设情境，导入新课1利用活动，激发兴趣同学们，老师这儿有两张纸板，你能比较出他们的大小吗？说一说它们的长和宽怎么样啊？2提出问题，引入新课二、动手操作、自主探究1、利用拼摆的方法解决问题老师给每个组准备了一张长方形卡片和一些面积1平方厘米的正方形卡片，接下来就请同桌合作，利用手中的学具想办法，知道这张绿色卡片的面积是多少？（1）、展示交流“全铺”情况。

你们用的都是1平方厘米的小卡片，一共用了15个，面积一共就是15平方厘米，所以说这个长方形的面积就是15平方厘米。

（2）、展示交流“半铺”情况。

你们只摆了一行一列就算出它的面积。

其实大家都是利用了每排的个数乘排数求出了面积单位的总数，也就是这张长方形卡片的面积。

（板书，每排个数×排数）。

2、由用面积单位测量向计算过渡在你们的盒里还有一张卡片，这回我们不摆了，你们就用一把尺子，看能不能想办法知道这上面一共能摆满多少个1平方厘米的小卡片呢？（小组合作、交流、汇报）你们通过量长方形的长就能想出每排摆的正方形个数，通过量宽就想出能摆几排，这样我们就知道了这个长方形卡片上一共能摆多少个1平方厘米的正方形，也就是这个长方形的面积。

（课件演示、验证。

）3、总结面积计算方法同学们通过测量、观察和想象知道每排的个数相当于长方形长的厘米数，排数相当于长方形宽的厘米数。

《小数乘整数》说课稿优秀七篇

《小数乘整数》说课稿优秀七篇小数乘整数说课稿篇一一.说教材1.教学内容九年义务教育六年制小学数学第九册第1页例1，练习一的第1～4题。

2教材简析小数乘整数是小数乘法的第一课，它是在学生掌握了整数乘法的基础上展开教学的，同时它又是学生学习小数乘法的重要基础，因此学生对小数乘整数的意义和法则的掌握水平，将直接影响学生对小数乘法的进一步学习。

3.根据设置数学课程的基本目的不再只是掌握数学的基础知识、基本技能和方法，而更应该让学生愿意亲近数学、了解数学，用数学学会做数学和数学地思考，发展学生的创新创意和实践能力这一数学课程新理念，我确定以下三维目标。

1）、使学生理解小数乘整数的计算法则，能正确利用计算法则计算小数乘整数的乘法。

2）、培养学生的迁移类推能力。

3）、创设情境教学，培养学生对数学学习的好奇心和求知欲，激发主动学习数学的兴趣。

4.根据《标准》要求，基础知识与基本技能是学生学数学的重点，我确定本课的教学重点是：小数乘整数的意义和计算方法，难点是：小数乘整数的计算法则的推导。

二.教法学法因为学生在四年级已学过整数乘法的意义及其计算法则和积的转变规律，根据不但要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发和原有的认识水平，我利用迁移、类推，采取自主学习、合作交流、共同探究的学习方式，引导学生主动构建新知识。

本节课在教学中安排了两个层次，先理解小数乘整数的意义，再探究算法。

在理解意义阶段，通过对整数乘法的意义，计算法则的复习，回忆积的转变规律，小组合作学习，自主探究表中的秘密等这些做法为学生进行新的学习活动提供了强有力的推动作用，因为积的转变规律是推导小数乘法计算方法的依据。

为了激发学生的学习兴趣，在探究算法阶段，教学设计时利用现代教学手段，把教材中的应用题改为生动有趣的买布的情景，把数学知识转化为孩子们身边的数学，让他们乐学，主动参与。

重视学生是学习的主人，培养他们发现问题，解决问题的能力。

第7章Lebesgue积分与数学期望

高等学校研究生教材测度论基础与高等概率论Foundations of Measure Theory and Advanced Probability Theory上册袁德美王学军编著科学出版社2023年5月内容简介第1—12章是《测度论基础与高等概率论》上册，其中第1，2章是预备知识，第3—12章是测度论基础．本书强调背景知识的深刻描述、基本概念的自然引入、科学素养的悄然渗透，从谋篇布局到板块转换，直至例题编制都精雕细琢，从章节引言到问题切入，直至定义、引理、命题、定理前的导语都字斟句酌．为避免初学者从初等概率论到高等概率论因跃迁幅度过大而产生困惑，在理论阐述方面力求小坡度爬行、稳扎稳打、拾级而上．尽量在本书范围内自成体系，扫除读者手中缺少相关资料带来的苦恼．另外，注重各板块知识的内在联系，留意高等概率论发展史上有深刻影响人物的介绍和历史线索的呈现．本书可作为概率论与数理统计、统计学、金融数学（工程）、基础数学、计算数学、运筹学、计量经济学等专业研究生学习“测度论”和“高等概率论”等课程时的备选教材，也可作为相关领域科研工作者的参考书．前言初等概率论通常指本科阶段所学的概率论，之所以被冠以“初等”，是因为开设这门课程的时候读者仅学过微积分之类的近代课程，知识储备的欠缺致使概率论中许多基本概念根本无法严格定义，更不用说许多基本理论的严格证明了．例如，初入研究生阶段的你能说出事件、概率、随机变量、数学期望这些基本概念的数学定义吗？能在一般框架下推导出随机变量函数的期望公式、重期望公式、卷积公式、切比雪夫不等式这些耳熟能详的基本公式吗？从理论的严谨性来审视，初等概率论是不够严格的；从体系的完整性来检视，初等概率论是残缺不全的；从认知的全面性来探视，初等概率论大多数时候仅停留在直觉层面．要想接近概率论领域的前沿阵地，就不得不翻越横亘在必经之路上的一座大山——高等概率论．高等概率论不仅决定了随机过程、随机分析、时间序列分析等后续概率论课程的学习深度，而且也深刻地影响着你能够在高等数理统计、多元统计分析、统计计算等数理统计课程中崛起的高度．不管你将来从事概率论研究，还是数理统计研究，抑或是将随机金融规划为你的奋斗目标，高等概率论都是你驾长车踏破贺兰山阙的支点．高等概率论以测度论为基础，测度论是概率论的现代语言，犹如微积分之于初等概率论一样，无论怎样强调测度论之于高等概率论的基础地位都不为过．本质上讲，高等概率论是基于测度论的现代概率论，而初等概率论是未涉及测度论的古典概率论．测度论不仅是概率论的基础，而且是许多其他数学分支的工具，其重要性可以从“天道几何，万品流形先自守；变分无限，孤心测度有同伦”①中窥斑见豹．测度论的诞生源于弥补Riemann积分局限性的探索过程．Riemann积分虽然在微积分领域发挥了无可替代的作用，但存在较大的局限性：一是积分对象必须是连续的或“基本连续”的，这导致了像Dirichlet函数那样如此简单的函数都被排除在外，而物理学和概率论又不得不考虑这种“病态”函数的积分；二是存在这样的可微函数，其导函数非Riemann可积，从而作为微积分核心内容的微积分基本定理在使用上受到了限制；三是积分与极限交换顺序的条件过于苛刻，这导致Riemann积分向深层次拓展时遭遇了天花板．①这是北京国际数学研究中心全斋门前一副关于如何做人及治学的楹联，于2012年分别由在文学、书法领域颇有建树的数学家罗懋康撰文、刘建亚题写，其中“几何”“流形”“自守”“变分”“无限”“测度”“同伦”都是重要的数学术语．积分革命首先从长度概念的扩充入手．Borel在19世纪末就发出疑问：区间有长度，其他点集是否也有长度呢？1902年，Lebesgue在其博士论文《积分、长度、面积》及随后出版的论著《积分与原函数分析的讲义》中，首次把长度和面积推广到一般Borel 集的Lebesgue测度．众所周知，Riemann积分从分割积分区间为有限个子区间开始，然后将子区间的长度乘以该子区间内任意一点的函数值，进而作Riemann和，当分点加密、子区间长度一致趋于零时，Riemann和的极限就是Riemann积分．与Riemann积分不同的是，Lebesgue 积分采用的技术路线是分割值域并积分定义域上的可测集，这在简单可测函数情形显得非常自然，而一般可测函数的Lebesgue积分是在简单可测函数的基础上使用逼近思想来定义的．这种使人耳目一新的积分让一大堆在Riemann意义下“病态”的函数都在Lebesgue积分意义下“正常”了，它是积分理论发展史上的巨大突破，并成为日后研究概率论的犀利工具．Lebesgue用累次积分计算重积分的结果在1907年被完善为一般的Fubini定理．抽象可测空间上的测度和符号测度概念最先于1915年由Fréchet提出，Radon-Nikodým于1930年给出了符号测度为一不定积分的充分必要条件—Radon-Nikodým定理，这标志着测度论的发展趋于成熟，同时为概率论的严格表述提供了关键性工具．经过近100年的发展，高等概率论俨然成为数学百花园中的满天星，密集的花蕾如覆霜盖雪，给人以独特的恬静和温馨，同时装扮着数理统计、金融数学等数学分支的灵秀空间．尽管高等概率论花团锦簇，但归根结底各大板块基本上都是测度论的各种演化，为强调测度论之于高等概率论的基础地位，本书取名为《测度论基础与高等概率论》．“测度论”“高等概率论”“概率论极限理论”都是概率论与数理统计、统计学、金融数学（工程）、基础数学、计算数学、运筹学、计量经济学等专业的研究生必修的专业基础课或学位基础课，初学者普遍反映这几门课程难学，而且难度不小．本书是在总结长期教学经验和科研心得的基础上，边撰写、边试边完善，发挥集体智慧历经五年才得以完成的．全书共25章，第1，2章是预备知识，第3—12章是测度论基础，第13—25章是高等概率论的基本理论，其中第19—25章又归属于概率论极限理论．本书包含以下几方面的特色：（1）强调背景知识的深刻描述、基本概念的自然引入、科学素养的悄然渗透；（2）尽量在本书范围内自成体系，扫除读者因手中缺少相关资料带来的苦恼；（3）为避免初学者从初等概率论到高等概率论因跃迁幅度过大而产生困惑，在理论阐述方面力求小坡度爬行、稳扎稳打、拾级而上；（4）除“测度论”“高等概率论”“概率论极限理论”基本知识的系统阐述外，还有若干直达前沿门槛的现代专题，便于不同高校、不同专业、不同教师弹性选择教学内容，同时保持体系的完整性和先进性；（5）许多定理、性质、命题和习题都前后照顾、相互补充、有序推进，同时穿插重要知识点或概念的历史演进脉络的交待，尽量在有限空间中给读者呈现立体画面以激发科研兴趣．有几件事情需要向读者解释或与任课教师沟通．第一，除沿用本科专业课教材[1]中的术语和符号外，尽量采用国际通用术语和符号，这对立志在科学道路上深入前行的读者是大有裨益的．第二，各章中的定义、引理、性质、命题、定理、注记和例题等都连续编号，便于交叉引用，如定义3.9后面紧接着的编号是定理3.10，注记21.6后面紧接着的编号是例21.7．第三，为增强针对性，习题编配落实到节，编排的顺序大致对应于正文中知识点出现的顺序，在习题设置方面有四种考虑：一是为减少正文篇幅，给正文中相关推导提供现成结论；二是为后续内容埋下伏笔、奠定基础；三是为正文中涉及的假命题提供反例；四是巩固正文中主要结果和基本方法的常规练习．第四，除个别计算题外，绝大多数习题都属于证明题，这类题目通常只陈述条件和结论，省略了“证明”二字．第五，扫描边栏上的“重要人物简介”和“想一想”对应的二维码即可阅读相关内容；脚注“①，②，③，…”是相应内容的解释、提示或引申，起穿针引线的作用．希望这些安排有助于理解测度论或高等概率论发展的历史线索，加强本书各部分之间的内在联系，加大与更为高等的理论接轨的空间，它们是全书有机整体中不可分割的部分．第六，为了让读者进一步阅读专业文献时少一些障碍，顺便给出了专业术语对应的英文单词或词组．第七，◎是示范性列举标志，●是说明或总结标志，□是结束标志，:A B =表示B 是A 的定义，:A B =表示把A 简记为B ．第八，学好上述课程的先决条件是做一定数量的习题，尤其是足量做有一定难度的习题，考虑到上述课程都起点高和入门难的特点，我们一同编写了本教材的配套辅助用书—《测度论基础与高等概率论学习指导》，除章节知识的简要提炼外，主要部分是本书所有习题的完整解答及个别习题解答后的评注，希望能被读者一同接受．全书由袁德美执笔，王学军对各章节的框架结构提出了许多建设性意见、仔细校对了全书并负责PPT课件的制作．全书编写过程中，参阅了大量国内外同类优秀教材及专著，启发颇多，受益匪浅，在此向有关作者表示诚挚谢意．浙江大学数学科学学院张立新教授和中国科学技术大学管理学院胡太忠教授仔细审阅了初稿，提出了许多宝贵的修改意见，在此谨表感谢．同时还要感谢西南财经大学朱元正博士和重庆工商大学杨灵兵博士对部分章节的核对工作以及科学出版社编辑们为本书顺利出版付出的辛勤劳动．尽管作者一直秉承尽善尽美的初衷，以宽视野高标准谋篇布局并精雕细琢于每一个细节，但限于水平和能力，书中难免会有疏漏和不妥之处，恳请同行专家和广大读者批评指正．不管是意见还是建议，烦请发送电子邮件至*****************，以便作者及时改进和完善．另外，需索取本书PPT课件的读者，也请使用上述邮箱告知．作者2021年6月22日目录第1章集合论初步 (1)1.1集合运算 (1)1.1.1集合概念 (1)1.1.2基本运算 (2)1.1.3上极限与下极限 (3)1.1.4集类概念 (5)1.2映射、笛卡尔积与逆像 (7)1.2.1映射 (7)1.2.2示性函数 (9)1.2.3笛卡尔积 (11)1.2.4逆像 (14)1.2.5向量值函数的导数 (16)1.3集合的势 (19)1.3.1Bernstein定理 (19)1.3.2可数集与不可数集 (21)第2章点集拓扑学初步 (26)2.1度量空间 (26)2.1.1度量空间的定义 (26)2.1.2度量空间中的开集和邻域 (27)2.1.3完备度量空间 (28)2.1.4Banach空间 (28)2.1.5乘积度量空间 (29)2.2拓扑空间 (31)2.2.1拓扑空间的定义 (31)2.2.2邻域 (32)2.2.3基 (33)2.2.5制作新拓扑空间的方法 (35)2.2.6闭包、内部和边界 (37)2.2.7拓扑空间中序列的收敛性 (38)2.3连续映射 (40)2.3.1度量空间上的连续映射 (40)2.3.2拓扑空间上的连续映射 (42)2.4可数性和可分性 (45)2.4.1第一可数空间 (45)2.4.2第二可数空间 (47)2.4.3可分空间 (49)2.5分离性 (50)2.5.11T空间 (50)2.5.2Hausdorff空间 (50)2.5.3正规空间 (51)2.6紧性 (54)2.6.1紧空间 (54)2.6.2弱于紧性的几种空间 (56)2.7度量空间中的紧性特征 (60)2.7.1Lebesgue数 (60)2.7.2完全有界集 (61)2.7.3一般度量空间中的紧性特征 (63)2.7.4欧氏空间中的紧性特征 (64)第3章集类 (66)3.1几种常见的集类 (66)3.1.1几个术语 (66)3.1.2半环 (66)3.1.4σ代数 (68)3.1.5单调类 (69)3.1.6λ类 (69)3.2单调类定理和π-λ定理 (71)3.2.1生成元 (71)3.2.2单调类定理 (72)3.2.3π-λ定理 (73)3.2.4关于集合的典型方法 (74)3.3生成σ代数的几种常见方法 (75)3.3.1由一族σ代数生成σ代数 (75)3.3.2逆像σ代数 (75)3.3.3迹σ代数 (76)3.3.4可测空间与可测拓扑空间 (77)3.4与R相关的Borelσ代数的结构 (79)3.4.1d R上的Borelσ代数的结构 (79)3.4.2C上的Borelσ代数的结构 (80)3.4.3R上的Borelσ代数的结构 (81)第4章测度与概率测度 (86)4.1测度的定义及基本性质 (86)4.1.1测度的定义 (86)4.1.2半环上的有限可加测度 (87)4.1.3半环上的测度 (89)4.1.4有限可加测度成为测度的条件 (91)4.1.5σ-有限测度 (92)4.1.6测度空间 (92)4.2测度从半环到σ代数的扩张 (95)4.2.2由外测度诱导的测度 (96)4.2.3由半环上的测度诱导的外测度 (98)4.2.4测度扩张定理 (100)4.3测度空间的完备化 (102)4.3.1完备测度空间 (103)4.3.2测度空间的最小完备化 (104)4.3.3完备化的其它常见操作方法及等价性 (105)4.3.4与外测度有关的完备化 (107)4.4d维欧氏空间中的L-S测度 (109)4.4.1从L-S函数到L-S测度 (110)4.4.2从L-S测度到L-S函数 (114)4.4.3有限测度与准分布函数的一一对应关系 (115)4.4.4连续点与连续集 (116)4.5d维欧氏空间中的L测度 (119)4.5.1L函数与L测度 (119)4.5.2L测度的平移不变性 (120)4.5.3L测度的反射不变性 (120)4.5.4d R中的非L可测集 (121)4.5.5三分Cantor集及其L测度 (123)第5章可测映射与随机变量 (125)5.1可测映射 (125)5.1.1可测映射的定义 (125)5.1.2由映射生成σ代数 (126)5.2可测函数 (127)5.2.1可测函数的定义 (127)5.2.2Baireσ代数 (128)5.2.4可测函数的基本性质 (130)5.2.5可测函数的极限性质 (132)5.2.6向量值函数的可测性 (133)5.2.7复值函数的可测性 (134)5.3简单可测函数和可测函数的结构性质 (136)5.3.1简单可测函数 (136)5.3.2可测函数的结构性质 (137)5.3.3关于可测函数的典型方法 (140)5.4像测度和概率分布 (142)5.4.1像测度 (142)5.4.2从随机变量到分布函数 (144)5.4.3从分布函数到随机变量 (146)5.4.4复值随机变量 (147)第6章几乎处处收敛和依测度收敛 (149)6.1几乎处处收敛及其基本列 (149)6.1.1几乎处处成立 (149)6.1.2几乎处处收敛 (150)6.1.3几乎处处收敛的基本列 (151)6.2几乎一致收敛 (155)6.3依测度收敛及其基本列 (157)6.3.1依测度收敛 (157)6.3.2依测度收敛的基本列 (159)6.3.3依概率收敛 (161)6.3.4子序列原理 (164)第7章Lebesgue积分与数学期望 (167)7.1Lebesgue积分的定义 (167)7.1.2非负可测函数的L积分 (169)7.1.3一般可测函数的L积分 (170)7.1.4复值可测函数的L积分 (171)7.1.5数学期望和方差 (171)7.2Lebesgue积分的性质 (172)7.2.1基本性质 (172)7.2.2可积性准则 (176)7.3三大积分收敛定理 (178)7.3.1单调收敛定理和典型方法 (178)7.3.2Fatou引理 (183)7.3.3控制收敛定理 (183)7.4Stieltjes积分 (189)7.4.1L-S积分 (189)7.4.2R-S积分 (190)7.4.3反常R-S积分 (196)第8章不定积分和符号测度 (200)8.1符号测度的Hahn-Jordan分解 (200)8.1.1不定积分 (200)8.1.2符号测度的定义 (201)8.1.3Hahn-Jordan分解 (203)8.1.4符号测度的积分 (207)8.2绝对连续与Radon-Nikodým定理 (209)8.2.1绝对连续 (209)8.2.2Radon-Nikodým定理 (211)8.3相互奇异与Lebesgue分解定理 (220)8.3.1相互奇异 (220)8.3.2Lebesgue分解定理 (220)8.4分布函数的类型及分解 (222)R上有限Borel测度的类型及分解 (222)8.4.1d8.4.2分布函数的类型 (224)8.4.3分布函数的分解 (228)8.5左连续逆和均匀分布的构造 (229)8.5.1左连续逆 (229)8.5.2均匀分布的构造 (231)第9章Lebesgue空间与一致可积性 (234)9.1几个重要的积分不等式 (234)9.1.1Lebesgue空间的定义 (234)9.1.2积分形式的r c不等式 (235)9.1.3Jensen不等式 (236)9.1.4Kimball不等式 (238)9.1.5Hölder不等式 (239)9.1.6Minkowski不等式 (241)9.2三类Lebesgue空间 (243)9.2.1函数空间p L (243)9.2.2函数空间L (246)9.2.3符号测度空间 (247)9.3一致可积族 (251)9.3.1一致可积的定义 (251)9.3.2一致可积性准则 (251)9.3.3p L收敛准则 (253)第10章乘积可测空间上的测度与积分 (257)10.1乘积可测空间 (257)10.1.1有限乘积可测空间 (257)10.1.2任意乘积可测空间 (257)10.1.3与R有关的几个乘积代数 (259)10.2有限个测度空间的乘积 (262)10.2.1截口 (262)10.2.2乘积测度 (265)10.3Tonelli定理和Fubini定理 (269)10.3.1Tonelli定理 (270)10.3.2Fubini定理 (271)10.4无穷乘积可测空间上的概率测度 (274)10.4.1可数个概率空间的乘积 (274)10.4.2Kolmogorov相容性定理 (277)10.4.3任意多个概率空间的乘积 (281)第11章局部紧Hausdorff空间上的测度 (283)11.1局部紧Hausdorff空间上的连续函数 (283)11.1.1认识局部紧Hausdorff空间 (283)11.1.2局部紧Hausdorff空间上的连续函数 (285)11.2局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表现定理 (286)11.2.1正则测度 (287)11.2.2Radon测度 (289)11.2.3Riesz表现定理 (290)11.3用连续函数逼近可测函数 (295)11.3.1引理9.20的深化 (296)11.3.2Luzin定理 (297)11.4Radon乘积测度 (298)11.4.2关于Radon乘积测度积分的Fubini定理 (303)第12章弱收敛 (308)12.1度量空间上有限测度的基本性质 (308)12.1.1基本性质 (308)12.1.2单个有限测度的胎紧性 (310)12.2度量空间上有限测度的弱收敛 (311)12.2.1弱收敛的定义 (311)12.2.2Portemanteau定理 (311)12.2.3连续映射定理 (313)12.3R上有界L-S函数的弱收敛 (315)12.3.1L-S函数弱收敛的定义 (315)12.3.2Helly弱紧准则 (316)12.3.3Helly-Bray定理 (318)12.4与R相关的度量空间上概率测度的弱收敛 (323)12.4.1弱收敛的充分条件 (323)12.4.2()d R B上概率测度的弱收敛 (325)12.4.3()∞R B上概率测度的弱收敛 (326)12.5随机向量的依分布收敛 (329)12.5.1依分布收敛的定义 (329)12.5.2Slutzky定理 (331)12.5.3依分布收敛与依概率收敛的关系 (332)12.6左连续逆的收敛性和Skorohod表示定理 (334)12.6.1左连续逆的收敛性 (334)12.6.2Skorohod表示定理 (335)12.7相对紧、胎紧和Prokhorov定理 (337)12.7.2概率测度族的胎紧性 (338)12.7.3Prokhorov定理 (339)参考文献 (345)索引 (345)第7章Lebesgue 积分与数学期望Riemann 积分，简称R 积分，分割定义域并积分值域上的区间产生；Lebesgue 积分，简称L 积分，分割值域并积分定义域上的可测集产生．相较于R 积分的自然引入，L 积分显示了构造上的美感．L 积分的发现是分析史上的重大突破，L 积分是经典分析与现代分析的分水岭和20世纪结构数学的重要组成部分．7.1Lebesgue 积分的定义本节恒设(),,μΩF 为给定的测度空间，除非特别声明，所有函数都是定义在Ω上的（广义实值）函数．为了使读者全面清晰地认识L 积分的定义，我们分三个步骤层层推进：先定义非负简单可测函数的积分，然后过渡到非负可测函数的积分，最后给出一般可测函数积分的定义．7.1.1非负简单可测函数的L 积分在5.3节已作过约定，(),+ΩSF 表示非负简单可测函数全体．定义7.1设()1,i n i A i f a I +==∈Ω∑S F ，称广义实数()1n i i i a A μ=∑①为f 关于μ的L 积分，记作d f μ⎰，即()1d n i i i f a A μμ==∑⎰．为简便起见，有时用()f μ代替d f μ⎰．□注记7.2()f μ与f 具体表示式的选择无关．事实上，设f 另有表示式1j mj B j f b I ==∑，显然当i j A B ≠∅ 时，i j a b =，故()i i j a A B μ =j b ()i j A B μ ，进而由12,,B B ,m B 及12,,,n A A A 的两两不交性得()()()11111n n m n m i i i i j j i j i i j i j a A a A B b A B μμμ=======∑∑∑∑∑ ()()111m n m j i j j j j i j b A B b B μμ=====∑∑∑ ．□①可能出现某些()i A μ=∞，若此时又有0i a =，规定00⋅∞=．想一想7.1查阅L 积分的相关资料，除d f μ⎰，()f μ外，还有哪些表示法？引理7.3设f ，(),g +∈ΩS F ，则（ⅰ）d d f f λμλμ=⎰⎰，其中0λ≥；（ⅱ）()d d d f g f g μμμ+=+⎰⎰⎰．特别地，当d g μ<∞⎰时有()d d d f g g f μμμ+-=⎰⎰⎰．（ⅲ）f g ≤⇒d d f g μμ≤⎰⎰．证明由注记7.2，不妨假设1i ni A i f a I ==∑，1i n i A i g b I ==∑．（7.1）（ⅰ）因为()()1,i n i A i f a I λλ+==∈Ω∑S F ，所以()()()11d d n ni i i i i i f a A a A f λμλμλμλμ=====∑∑⎰⎰．（ⅱ）由（7.1）式得()1i ni i A i f g a b I =+=+∑，故()()()()()111d n n ni i i i i i i i i i f g a b A a A b A μμμμ===+=+=+∑∑∑⎰d d f g μμ=+⎰⎰．（ⅲ）由f g ≤得知i i a b ≤，1,2,,i n = ，于是()()11d d n ni i i i i i f a A b A g μμμμ===≤=∑∑⎰⎰．□为了接下来的需要，我们利用引理7.3建立下述引理．引理7.4设{}(),,,1,n n f f g n +≥⊂ΩS F ，则（ⅰ）n f ↑，且lim n n f f →∞≥⇒lim d d n n f f μμ→∞≥⎰⎰；（ⅱ）n f ↑，n g ↑，且lim lim n n n n f g →∞→∞=⇒lim d lim d n n n n f g μμ→∞→∞=⎰⎰．证明（ⅰ）不妨假设0f ≡，令{}00f Ω=>，()0max M f ωω∈Ω=，()0min m f ωω∈Ω=，注意到f 是简单可测函数，显然有0m M <≤<∞．()0,m ε∀∈，构造集合()(){}0:n n A f f ωωωε=∈Ω>-，1n ≥，易知0n A ↑Ω．（a ）当()0μΩ=∞时，由引理7.3之（ⅲ）得()()()d d d n n n n A A n f f I f I m A μμεμεμ≥≥-≥-⎰⎰⎰，注意到()()0n A μμ↑Ω=∞，我们有lim d n n f μ→∞=∞⎰，于是lim d n n f μ→∞⎰d f μ≥⎰．（b ）当()0μΩ<∞时，令0\n n B A =Ω，1n ≥，易见n B ↓∅．由引理7.3之（ⅱ）得()()d d d n n n A A n f f I fI A μεμμεμ≥-=-⎰⎰⎰()()()000d d d n B n n fI fI A fI M B μμεμμμεμΩΩ=--≥--Ω⎰⎰⎰，注意到()0n B μ↓，我们有()00lim d d n n f fI μμεμΩ→∞≥-Ω⎰⎰，由ε的任意性得0lim d d d n n f fI f μμμΩ→∞≥=⎰⎰⎰．（ⅱ）任意固定1m ≥，我们有lim n m n f g →∞≥，lim n m n g f →∞≥，由（ⅰ）得lim d d n m n f g μμ→∞≥⎰⎰，lim d d n m n g f μμ→∞≥⎰⎰，令m →∞即得欲证．□7.1.2非负可测函数的L 积分定理5.20之（ⅰ）告诉我们，非负可测函数可由非负简单可测函数列单调上升逼近，这奠定了非负可测函数积分定义的理论基础．定义7.5设(),f +∈ΩL F ，对任意满足n f f ↑的{}(),1,n f n +≥⊂ΩS F ，令d :lim d n n f f μμ→∞=⎰⎰，则由引理7.3之（ⅲ）知上述右端极限存在（可能是∞），且由引理7.4之（ⅱ）知这个极限不依赖于{}n f 的选择，称为f 关于μ的L 积分．□下面将引理7.3推广到非负可测函数的情形．引理7.6设(),,f g +∈ΩL F ，则（ⅰ）d d f f λμλμ=⎰⎰，其中0λ≥；（ⅱ）()d d d f g f g μμμ+=+⎰⎰⎰；（ⅲ）f g ≤⇒d d f g μμ≤⎰⎰．证明选取{},1n f n ≥，{}(),1,n g n +≥⊂ΩS F ，使n f f ↑，n g g ↑．（ⅰ）注意到n f f λλ↑，由定义7.5及引理7.3之（ⅰ）得d lim d n n f f λμλμ→∞==⎰⎰lim d d n n f f λμλμ→∞=⎰⎰．（ⅱ）由命题5.19知{}(),1,n n f g n ++≥⊂ΩSF ，且n n f g f g +↑+．由定义7.5及引理7.3之（ⅱ），我们有()()()d lim d lim d d n n n n n n f g f g f g μμμμ→∞→∞+=+=+⎰⎰⎰⎰lim d lim d d d n n n n f g f g μμμμ→∞→∞=+=+⎰⎰⎰⎰．（ⅲ）注意到f g ≤，不妨假设n n f g ≤（否则分别以n n f g ∧和n n f g ∨代替n f 和n g ），∀1n ≥．由引理7.3之（ⅲ）知d d n n f g μμ≤⎰⎰，令n →∞得到d d f g μμ≤⎰⎰．□命题7.7设(),f +∈ΩL F ，令{}t A ft =≥，则()11d d t t A A fI f t tμμμ≤≤⎰⎰，0t >．证明由0t t A A tI fI f ≤≤≤及引理7.6之（ⅲ）得()d d d t t t A A t A tI fI f μμμμ=≤≤⎰⎰⎰，由此即得欲证．□7.1.3一般可测函数的L 积分对一般可测函数f ，基于分解式f f f +-=-，我们可以定义它的L 积分．定义7.8设(),f ∈ΩL F ，若f +和f -中至少有一个的积分不是∞，则称f 关于μ的积分存在（integral exists ），并规定f的积分为d :d d f f f μμμ+-=-⎰⎰⎰．特别地，当d f μ⎰为实数时，称f 可积（integrable ）．□●对于L 积分，当f 可测时，易知“f 可积⇔f 可积”．对于R 积分，熟知“f 可积⇒f 可积”，但f 可积⇒f 可积”．可见，L 积分与R 积分有本质的不同．7.1.4复值可测函数的L 积分设f 是复值可测函数，则由命题5.17知，Re f 和Im f 都是实值可测函数．进一步，若Re f 和Im f 都可积，则称复值可测函数f 可积，并规定f 的积分为d :Re d i Im d μμμ=+⎰⎰⎰f f f ．●f 可积⇔Re f 和Im f 都可积⇔f 可积．7.1.5数学期望和方差设X 是概率空间(),,P ΩF 上的r .v .，若X 关于P 可积，则称X 的数学期望存在，且称E d X X P Ω=⎰为X 的数学期望，简称期望．显然，E X 存在的充分必要条件是E X <∞．若0p >，pX 关于P 可积，则称E d ppXX P Ω=⎰为X 的p 阶矩．特别地，当2E X <∞时，称()2Var :E E X X X =-为X 的方差．习题7.17.1（定义7.5的另一种版本）设(),f +∈ΩLF ，则{}d sup d :0,f g g f g μμ=≤≤⎰⎰为简单可测函数．7.2若简单可测函数1i ni A i f a I ==∑的积分存在，则()1d ni i i f a A μμ==∑⎰．7.3设1i ni A i f a I ==∑，12,,,n a a a ∈R L ，{}12,,,n A A A ⊂F L 是Ω的有限划分．若f 的积分存在，则()1d ni i i f a A μμ==∑⎰．7.4如果实值函数f 能够表示成1nn A n f a I ∞==∑的形式，其中12,,a a ∈R L ，{},1n A n ≥⊂F 是Ω的可数划分，那么称f 为初等函数（elementary function ）．试证：（1）f 是可测函数；（2）若f 的积分存在，则()1d n n n f a A μμ∞==∑⎰；（3）f 可积当且仅当()1n n n a A μ∞=<∞∑．7.5设Ω是可数集合，μ是Ω上的计数测度，则对任何函数:f Ω→R ，当f 的积分存在时，有()d f f ωμω∈Ω=∑⎰．7.6若f 是积分存在（相应地，可积）的广义实值函数，则∀A ∈F ，A fI 的积分也存在（相应地，可积）．7.7举一个:f Ω→R 本身不可积但f 可积的例子．7.2Lebesgue 积分的性质7.2.1基本性质命题7.9设f ，g (),∈ΩL F ．（ⅰ）f 的积分存在⇒d d f f μμ≤⎰⎰；（ⅱ）若f 与g 是等价的（即f g = a.e.），f 与g 中有一个的积分存在，则另一个的积分也存在，且d d f g μμ=⎰⎰．证明（ⅰ）因为f 的积分存在，所以d d d d d d f f f f f f μμμμμμ+-+-=-≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．（ⅱ）当f ，g (),+∈ΩL F 时，由习题7.8得到结论．对于一般情形，由fg ++=a.e.，fg --= a.e.（习题6.3之（1））及已证的结论知d d f g μμ++=⎰⎰，d d f g μμ--=⎰⎰．不妨假设f 的积分存在，即d f μ+<∞⎰或者d f μ-<∞⎰，那么d g μ+<∞⎰或者d g μ-<∞⎰，从而g 的积分也存在，且d d d d d d f f f g g g μμμμμμ+-+-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．□●当仅涉及积分问题时，a.e.相等的函数可以不加区别，从而被积函数可以是a.e.可测的广义实值函数．定义7.10设f 是a .e .可测的广义实值函数，A ∈F ，若A fI 的积分存在（相应地，可积），则称f 在A 上的积分存在（相应地，可积）①，且规定f 在A 上的积分为d :d A A f fI μμ=⎰⎰．□命题7.11设f (),∈ΩL F ，A 为零测集，则d 0A f μ=⎰．证明由习题6.1知0A fI = a.e.，而恒等于零的函数是可测的，且其积分为零，由命题7.9之（ⅱ）知命题成立．□注记7.12在处理涉及积分的问题时，广义实值函数之间a.e.成立的等式或不等式，可以取消其中的“a.e.”，比如，◎若f a.e.有限，则因为{}d d f f f μμ<∞=⎰⎰，所以把“f a.e.有限”等同地看成“f 有限”对积分没有本质的影响；◎若f g ≤ a.e.，则c c A A fI gI ≤，且c d A fI μ⎰d f μ=⎰，c d d A gI g μμ=⎰⎰，其中A{}f g =>，这就是说，把“f g ≤ a.e.”等同地看成“f g ≤”对积分没有本质的影响；◎若{},1n f n ≥ a.e.单调上升，则{}c ,1n A f I n ≥单调上升，且cd d n n A f I f μμ=⎰⎰，其中1n n A A ∞== ，{}1n n n A f f +=>，这就是说，把“{},1n f n ≥ a.e.单调上升”等同地看成“{},1n f n ≥单调上升”对积分没有本质的影响．□定理7.13设(),f ∈ΩL F 的积分存在，则①若f 的积分存在（相应地，可积），则由习题7.6知f 在A 上的积分存在（相应地，可积）．（ⅰ）f 可积⇒f <∞ a.e.；（ⅱ）d 0f μ=⎰⇒0f = a.e.；（ⅲ）d 0A f μ≥⎰，∀A ∈F ⇒0f ≥ a.e..证明（ⅰ）对任意的1n ≥，由命题7.7，{}{}1d f f n f nμμμ=∞≤≥≤⎰，而d f μ<∞⎰，所以{}0fμ=∞=，即f <∞ a.e..（ⅱ）由{}110n f f n ∞=⎧⎫≠=≥⎨⎬⎩⎭及测度的可列次可加性，我们有{}110n f f n μμ∞=⎧⎫≠≤≥∑⎨⎬⎩⎭，而命题7.7及题设保证了1d 0f n f n μμ⎧⎫≥≤=⎰⎨⎬⎩⎭，1n ∀≥，故{}00f μ≠=，即0f = a.e..（ⅲ）令{}0A f =<，则题设保证了d 0A fI μ≥⎰，即d 0A fI μ≤⎰，故A fI ⎰d μ0=．于是，由已证的（ⅱ）知0A fI =a .e .，即0A fI = a.e.这表明()0A μ=，故0f ≥ a.e..□下面将引理7.6推广到一般可测函数的情形．定理7.14设f ，g (),∈ΩL F 的积分都存在，则（ⅰ）（齐性，homogeneity ）cf 的积分存在，且d d cf c f μμ=⎰⎰，其中c ∈R ；（ⅱ）（可加性，additivity ）d d f g μμ+⎰⎰有意义⇒f g + a.e.有定义，f g +的积分存在，且()f g +⎰d μd f μ=⎰d g μ+⎰；（ⅲ）（单调性，monotonicity ）f g ≤ a.e.⇒d d f g μμ≤⎰⎰．证明（ⅰ）当0c =时，结论自动成立．下面就0c >和0c <两种情形分别证明．由f 的积分存在知，d f μ+<∞⎰和d f μ-<∞⎰中至少有一个成立，为确定起见，不妨假设d f μ+<∞⎰．当0c >时，()cfcf ++=，()cf cf --=，由引理7.6之（ⅰ）知()d d cf c f μμ++=<∞⎰⎰，因而cf 的积分存在，并且()()d d d cf cfcf μμμ+-=-⎰⎰⎰d d d c f c f c f μμμ+-=-=⎰⎰⎰．当0c <时，()cf cf +-=-，()cf cf -+=-，适当修改上述证明过程可得相同的结论．（ⅱ）由()()d d d d d d f g f f g g μμμμμμ+-+-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰有意义推知，d d f g μμ+++⎰⎰和d d f g μμ--+⎰⎰中至少有一个有限，为确定起见，不妨假设d d f g μμ--+<∞⎰⎰．由d f μ-<∞⎰及定理7.13之（ⅰ）知f -<∞a .e .，同理g -<∞ a.e..综合起来，f g +a.e.有定义．注意到()f g f g---+≤+（习题5.17之（1）），故由引理7.6之（ⅲ）知()d f g μ-+<∞⎰，从而f g +的积分存在．最后，由()()fg f g f g f g +---+++++=+++及引理7.6之（ⅱ）得()()d d d d d d f g f g f g f g μμμμμμ+---+++++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，移项即得欲证．（ⅲ）由注记7.12，不妨假设f g ≤，于是fg ++≤，f g --≥，从而d d f g μμ++≤⎰⎰，d d f g μμ--≥⎰⎰．又因f 和g 的积分都存在，故d d d d d d f f f g g g μμμμμμ+-+-=-≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．□由定理7.14之（ⅰ）和（ⅱ）立得下面结论．推论7.15（线性性，linearity ）设,a b ∈R ，f ，g (),∈ΩL F 的积分都存在，若d d a f b g μμ+⎰⎰有意义，则af bg + a.e.有定义，af bg +的积分存在，且()af bg +⎰d μ=a d f μ⎰b +d g μ⎰．□7.2.2可积性准则这里仅给出一个基于正项级数收敛性的可积性准则（进一步的可积性准则见习题10.28和习题10.29），其中涉及的测度为有限测度，不过，对于概率论来讲这已经够用了．定理7.16设f 是a.e.有限的广义实值可测函数，且μ为有限测度，则下列三条等价：（ⅰ）f 可积；（ⅱ）{}11n n n f n μ∞=≤<+<∞∑；（ⅲ）{}1n fn μ∞=≥<∞∑．证明由注记7.12，可设f 是实值可测函数．令{}01A f =<，{}1n A n f n =≤<+，1n ≥，再令0n A n g nI ∞==∑．“（ⅰ）⇔（ⅱ）”．因为1g f g ≤≤+，注意到μ为有限测度，所以f 可积等价于g 可积．而由习题7.4，g 可积等价于()0nn n A μ∞=<∞∑，即{}11n n n f n μ∞=≤<+∑<∞．“（ⅱ）⇔（ⅲ）”．因为{}k k nf n A ∞=≥=â，所以{}()k k nfn A μμ∞=≥=∑，于是{}()()()11111kk k k n n k nk n k fn A A k A μμμμ∞∞∞∞∞======≥===∑∑∑∑∑∑．□习题7.27.8（命题7.9之（ⅱ）的特别情形）设f ，g (),+∈ΩL F ，若f g = a.e.，则d f μ⎰d g μ=⎰．7.9（关于积分区域的有限可加性①）若(),f ∈ΩL F 的积分存在，12,A A ∈F 且12A A =∅ ，则1212d d d A A A A f f f μμμ=+⎰⎰⎰â．7.10设(),,f g ∈ΩL F 满足f g ≤ a.e.（1）若f 可积，则g 的积分存在，且()d d d g f g f μμμ=+-⎰⎰⎰；（2）若g 可积，则f 的积分存在，且()d d d f g f g μμμ=+-⎰⎰⎰．7.11（可积性的夹逼准则）设f ，g ，h (),∈ΩL F 满足g f h ≤≤ a.e.，若g ，h 都可积，则f 也可积．7.12设,f g 都可积，则f g +，f g -，f g ∨，f g ∧都可积．7.13设(),f ∈ΩL F ，则f 可积⇔存在实值可积函数0f ，使得0f f = a.e.7.14（命题7.9之（ⅰ）的推广）复值函数f 可积⇒d d μμ≤⎰⎰f f ．7.15设f (),∈ΩL F 关于μ可积．（1）若在D ∈F 上，恒有()0f ω≥或()0f ω≤，则d d D D f f μμ=⎰⎰；（2）若d 0f μ=⎰，则1sup d d 2F F f f μμ∈=⎰⎰F．7.16（定理7.14之（ⅲ）的部分逆）设f ，g (),∈ΩL F 关于μ的积分都存在，且对一切A ∈F 都有d d A A f g μμ≤⎰⎰．（1）若,f g 都可积，则f g ≤ a.e.；（2）若μ为σ-有限测度，则f g ≤ a.e.7.17举例说明习题7.16之（2）中的条件“μ为σ-有限测度”不能去掉．7.18若a X b ≤≤，则2Var 2b a X -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．①关于积分区域的可列可加性见习题7.22．。

数学教案：整十数的加减(通用7篇)

数学教案：整十数的加减〔通用7篇〕数学教案：整十数的加减〔通用7篇〕数学教案：整十数的加减篇1教学目的1、使学生理解并掌握整十数的连加、连减的计算方法，纯熟地进展计算。

2、培养学生的迁移才能和计算才能。

3、通过教学，初步培养学生的探究精神与合作意识，激发他们计算的兴趣。

教学重点掌握整十数的连加、连减的计算方法。

教学难点正确纯熟地进展整十数连加、连减计算。

教学过程一、复习导入开火车口算：20+50= 3+2+4=10+80= 8—5—2=70—30= 4+1+3=90—30= 10—3—6=30+70= 8—6—2=师：你们在做连加、连减题的时候，是按什么顺序做的？〔从左到右〕假如题目中的数变大了，该怎样计算呢？今天我们就来研究整十数的连加、连减的计算问题。

〔板书课题〕二、探究新知1、教学例2的连加。

板书：30+20+40=〔１〕师：这个算式表示什么意思？〔表示把30、20和40这三局部合并起来〕问：你会算吗？学生自己试算，然后集体交流。

〔２〕问：谁来说一说，你是怎么算的？谁和他想得不一样？〔先算30加20等于50，再算50加40等于90。

〕〔想：3加2加4等于几，就是几十。

〕2、教学例2的连减。

板书：80—50—20=〔１〕师：这道连减的题目表示什么意思？〔表示从80里面去掉50这局部，再去掉20那局部或从80里面去掉50和20这两局部〕问：怎么算？〔学生试算，然后集体交流。

〕〔２〕问：谁来汇报一下，你是怎么算的？〔先算80减50等于30，再算30减20等于10。

〕〔想：8减5再减2等于几，就是几十〕3、比拟：整十数的连加、连减与10以内的连加、连减的计算方法有什么一样的地方和不同的地方？〔１〕学生以组为单位进展讨论。

〔２〕各组进展汇报。

〔整十数的连加、连减和10以内的连加、连减计算顺序是一样的，都是从左到右，不同的是计数单位，10以内的连加、连减是以“一”为单位的，整十数的连加、连减是以“十”为单位的。

七的加减法教案8篇

七的加减法教案8篇(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2—5的乘法口诀教案优秀7篇

2—5的乘法口诀教案优秀7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三年级数学《长方形和正方形的周长计算》教学设计7篇

三年级数学《长方形和正方形的周长计算》教学设计7篇篇一：《长方形和正方形的周长》数学教学设计篇一【教学内容】：长方形和正方形的周长【教学目标】：1、探索并掌握长方形、正方形的周长计算方法，概括长方形和正方形的计算公式。

2、初步运用所学的知识解决生活中的实际问题。

3、通过学习，培养学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇和求知欲。

【教学重点】掌握长方形和正方形周长的计算方法。

【教学难点】：概括和抽象出长（正）方形周长公式。

【教具、学具准备】：长方形、正方形卡片、尺子等。

【教学过程】：一、激趣导入：同学们都喜欢看《猫和老鼠》的动画片吗？今天，进行了一场竞走比赛，他们为这事争论不休，请看大屏幕:猫和老鼠各沿着长方形和正方形跑一圈，他们谁跑的路线长？喜羊羊和灰太狼可不是光凭你们的猜想就能说服的，我们必须用科学的方法进行验证，让他们心服口服。

你觉得猫和老鼠走的路线与我们所学的哪一个数学知识有关？（长方形和正方形的周长）揭题：你们真聪明！老师非常欣赏你们对数学的敏感。

今天我们就来研究长方形与正方形的周长问题。

板书课题:长方形与正方形的周长二、探索新知：（一）摆小棒，探索长方形的周长计算方法1、摆一摆，一个长6厘米，宽4厘米的长方形。

（一生上台摆）师：这个长方形的周长是指哪部分？生：四条边的长度之的和。

师：我把这个长方形放大放在黑板上，求黑板这个长方形的周长，要量出哪些长度？生：一条长和一条宽。

师：为什么不量出4条边的长度？生：因为长方形的对边相等。

师根据学生的回答相应地板书所摆小棒的长度。

追问：现在可以求出它的周长了吗？2、请你算一算这个长方形的周长。

3．用小棒来与同桌说明你的算法。

反馈：1生4、反馈交流算法。

引导：从同学们的脸上，我可以看出你们肯定有成果了，谁愿意给大家展示一下。

（学生说教师板书。

要求用小棒说清这样做的道理。

）长方形的周长计算有这三种：（板书）（1）6+4+6+4=20（厘米）周长=长+宽+长+宽（2）6×2+4×2=20（厘米）周长=长×2+宽×2（3）(6+4)×2=20（厘）周长=（长+宽）×2（谁来说说他的算法，你理解了吗？）5、交流讨论，优化算法小组交流讨论：（1）这三种算法有什么相同点？（2）有什么不同点？（3）你喜欢哪种算法？6、引导学生概括归纳长方形的周长公式长方形周长=（长+宽）X2篇二：《长方形和正方形的周长》教学设计篇二教学目标：（1）掌握长方形、正方形的周长公式，并能正确计算长方形、正方形的周长；（2）用不同的方式探索长方形和正方形周长的计算方法，总结周长计算公式；（3）利用长方形、正方形的周长计算公式解决实际生活中有关周长计算的问题；（4）鼓励学生积极参与探索、交流等活动，获得成功的情感体验，体验探究学习的乐趣与重要作用。

高中数学新人教A版选择性必修第三册第七章 7.4.1二项分布课件 (1)

)
A．24403 B．31 C．1207 D．53
【解析】选A.由二项分布的概率公式得，
P(X＝3)＝C35
1 3
3
1－13
2
＝24403
.
2．已知某人每次投篮投中的概率均为13 ，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是________．
【解析】依题意，恰好在第五次结束投篮，
【延伸探究】本题条件不变，求随机变量ξ的均值和方差．
【解析】由随机变量ξ的概率分布列为
ξ0
1
2
3
P
64 729
240 729
300 729
125 729
所以E(X)＝1×274209 ＋2×370209 ＋3×172259 ＝53 .
D(X)＝0－53
2
64 ×729
＋1－35
2
240 ×729
A．29
B．94
C．32
D．89
(2)某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行
作答，至少答对3个才能通过初试，已知某同学能答对每个试题的概率为34 ，若答对一题得5分，答错或不答得0分，记答对题的个数为X，答题的得分为Y，求Y
的分布列及数学期望和方差．
【思维导引】(1)根据二项分布的概率计算公式求出p，根据方差的计算公式可求 D(X). (2)答对题的个数X服从二项分布，利用二项分布的公式，计算概率，再利用Y＝ 5X，即得解．
(2)试写出事件B0，B1，B2，B3的概率．
提示：P(B0)＝P( A1 A2 A3 )＝(1－p)3， P(B1)＝P(A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3 )＋P( A1 A2 A3)

梯形面积的计算教学设计(7篇)

梯形面积的计算教学设计（7篇）《梯形的面积》的教学设计及反思篇一教学内容：九年义务教育六年小学制数学第九册第74—75页。

教学目标：1、在理解的基础上掌握梯形面积的计算方法，能正确地计算梯形的面积。

2、通过操作、观察、比较，发展学生的空间观念，培养学生分析、综合、抽象、概括和运用转化的方法解决实际问题的能力。

3、渗透旋转和平移的思想，充分发挥学生的主观能动性，启发学生探索合作，让学生在实验中感受数学知识的内在美，体验创新的乐趣。

教学重点：理解并掌握梯形面积公式的推导，会计算梯形的面积。

教学难点：理解梯形面积公式的推导过程。

教具准备：两个完全一样的梯形若干个。

学具准备：各小组准备两个完全一样的梯形一对。

教学过程一、复习导入：1.cai出示已学过的平面图形，说出它们的面积公式并计算出它们的面积。

（学生回答，依次出现相应图形面积的计算公式）提问：三角形的面积公式为什么是用底×高÷2？2.教师设疑：出示一个梯形，想一想你能仿照求三角形面积的方法，把梯形也转化成已学过的图形，计算出它的面积吗？二、教学新课：（一）、引入课题：那我们也用两个完全一样的梯形来做实验，共同研究“梯形面积的计算” 。

（板书课题：梯形面积的计算）（二）、实验探究：1.猜一猜：① 两个完全一样的梯形可能拼成什么图形？② 梯形的面积会跟梯形的什么有关呢？2.小组合作实验，推导梯形面积的计算公式：（1）教师谈话：利用手里的学具（标出上底、下底和高），仿照求三角形面积的方法试着推导出梯形面积的计算公式。

（2）思考：①两个完全一样的梯形可以拼成已学过的什么图形？怎么拼？② 拼成的这个图形的面积跟梯形的面积有什么关系？③ 你觉得梯形的面积可以怎样计算？（3）小组合作，学生实验。

3. 实验汇报。

4. 引导学生看图并提问：这个梯形的`面积可以怎样计算？现在给你一个任意梯形，你都能求出它的面积吗？怎么求？为什么？5.概括总结、归纳公式。

幼儿计算教学法课件

案例二：幼儿园中班的百以内乘除法教学
总结词：循序渐进总结词：注重理解总结词：培养思维能力
详细描述：根据中班幼儿的认知发展水平，设计适合他们的乘除法课件，从简单的乘法口诀开始，逐渐增加难度至两位数的乘除法。
详细描述：在教授百以内的乘除法时，注重培养幼儿的理解能力，通过生动的实例和形象的比喻帮助幼儿理解乘除法的意义和运算方法。
素质教育
将计算教学法与素质教育相结合，培养幼儿的数学思维、创新能力和实践能力。
教育国际化
借鉴国际先进的教育理念和方法，推动幼儿计算教学法的国际化发展。
幼儿计算教学法的理论基础
01
02
03
游戏化学习理论
认为游戏能够激发幼儿的学习兴趣和积极性，通过游戏的形式进行学习，可以提高学习效果。
建构主义理论
强调幼儿在学习的过程中主动建构知识，通过实践操作和探究，形成自己的认知和理解。
发展心理学理论
认为幼儿在不同的年龄阶段有不同的认知发展特点，应根据幼儿的年龄特点进行教学设计。
CHAPTER
05
幼儿计算教学法的前景与展望
幼儿计算教学法的和特点，采用个性化的教学方法，激发幼儿的学
习兴趣和主动性。
科技融合
利用现代科技手段，如智能教学软件、互动游戏等，丰富教学手
段，提高教学效果。
跨学科整合
将计算教学法与其他学科进行整合，培养幼儿的综合素质和跨学
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详细描述：通过制作有趣的课件，如使用动画形象进行加减法运算，吸引幼儿的兴趣，让他们在游戏中学习加减法。
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总结词：引导探索
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总结词：结合生活实际

四的加减法教案参考7篇

四的加减法教案参考7篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三位数乘两位数教案优秀7篇

三位数乘两位数教案优秀7篇位数乘两位数教案篇一教学内容教科书第47页例1与相关的内容，练习八第1、2题。

教学目标1.使学生结合已有的两位数乘两位数的知识经验，自主理解三位数乘两位数的笔算算理，掌握三位数乘两位数的笔算方法。

2.是学生能结合乘法的口算、估算来进行验算，养成良好的计算习惯。

3.使学生经历利用旧知解决新问题的`过程，提升知识技能的迁移水平，发展逻辑思维能力。

教学重、难点三位数乘两位数笔算算理并掌握计算方法，能正确进行计算。

教学过程师：我们已经学会了两位数乘两位数的笔算，首先进行知识回顾和检测。

出示：1. 口算23×20= 42×30=23×19≈ 42×29≈23×21≈ 42×31≈2. 笔算34×12= 76×47= 25×36= 37×82=独立完成，4生板演。

简评请学生说一说，计算步骤和要求。

师：其实，数学学习是一个循序渐进的过程，回想乘法学习的历程：我们首先学习的是一位数乘一位数，就是表内乘法，接着是两位数乘一位数，三位数乘一位数，然后是两位数和两位数的乘法。

今天我们再往前迈进一步，学习三位数乘两位的笔算乘法(板书课题：三位数乘两位)那以后我们还会学习多位数的乘法。

3.出示练习变形：134×12= 176×47= 425×36= 237×82=(1) 估算师：首先来估算一下134×12的积大约是多少？生：估算乘积。

(2) 尝试笔算师：你能不能根据两位数乘两位数的笔算经验来尝试列竖式计算134×12呢？边算边想：分几步计算？先算什么？再算什么？生：尝试笔算。

(教师巡视，观察学生情况)请学生板演展示，并讲解计算的步骤：先算什么？134再算什么？× 12最后算什么？268 (134×2的积)134 (134×10的积)1608 (134×12的积)师：问竖式中的各乘积的意义？(3) 尝试笔算176×47师：能试着计算176×47吗？边做边想过程，先算什么？在算什么？最后算什么？在计算时要注意什么或在计算时你遇到了什么困惑？生独立完成，教师巡视。

整数除法的教案7篇

整数除法的教案7篇整数除法的教案篇1教学目标：（一）学问目标1、理解小数除法的意义。

2、把握小数除以整数（恰好除尽）的计算方法。

（二）力量目标：能够在情境中发觉问题、提出问题，在观看比拟的过程中感受小数除法的异同，能够与他人合作沟通解决问题。

（三）情感目标：经受探究小数除以整数（恰好除尽）计算方法的过程，体验获得胜利的乐趣。

教学重点：小数除法的意义，小数除以整数（恰好除尽）的计算方法。

教学难点：商的小数点与被除数的小数点对齐。

教学方法：探究、沟通、引导。

教学过程：一、导入新课，创设情境1、调皮准备去买牛奶，你从图上得到了什么数学信息？2、依据图上的数学信息，你能提出哪些数学问题？3、教师依据学生提出的问题，引导学生列出算式： 11.5÷5 12.6÷6引导学生观看这两个算式与以往我们学过的除法算式有什么不同。

（被除数都是小数，除数都是整数。

）师：我们今日就来讨论小数除以整数的计算方法，看看调皮究竟应当买哪个商店的牛奶。

二、探究新知，解决问题1、师：两个商店牛奶的单价分别是多少呢？我们先算一算甲商店的牛奶单价。

2、学生沟通争论，教师巡察指导。

3、教师引导学生比拟汇总的各种方法，认为哪个方法比拟简便有用？引导出“商的小数点与被除数的小数点对齐”。

4、理解算理。

5、引导归纳总结，明确小数除法的计算方法：根据整数除法的计算方法；商的小数点与被除数的小数点对齐。

6、学生尝试计算，教师巡察指导。

三、稳固练习，拓展延长1、完成教材第3页练一练第1题。

集体订正。

2、我是小小神算手。

20.4÷4 96.6÷42 55.8÷31引导学生通过比照发觉小数除以两位数与除以一位数的，都要留意商的小数点要与被除数的小数点对齐。

3、完成教材第3页练一练第4题。

教师巡察指导。

四、全课总结今日你有什么收获呢？整数除法的教案篇2教学内容：苏教版五年级数学上册第七单元p68―69页例4、“试一试”、“练一练”，练习十二第1―3题。

乘方教案(热门7篇)

乘方教案（热门7篇）乘方教案第1篇一、教学目标能理解并掌握有理数乘方的概念及意义，并能够正确进行有理数的乘方运算;通过观察、猜想、实践等数学活动，学生从中提高观察、类比、归纳和计算的能力。

初步了解并体会转化的数学思想，逐步养成观察并发现规律的意识，在相互启发中体验合作学习，树立团队意识.二、教学重难点?有理数乘方的概念及意义，并正确进行有理数乘方的运算有理数乘方的概念及意义，并正确进行有理数乘方的运算三、教学策略本节课采用“启发引导、动手操作、分析讲解”的教学方式，亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和运用的过程.在教学中注意发现问题、思考问题，寻找解决问题的方法.鼓励自主探索、逐步递进.积极参与讨论、合作学习，肯定成绩，激发学习兴趣和积极性四、教学过程教学进程教学内容学生活动设计意图引入新知问题一：把一张纸对折2次可裁成4张，即2×2张;对折3次可裁成8张，即2×2×2张.问：若对折10次可裁成几张?请用一个算式表示(不用算出结果).若对折101次，算式中有几个2相乘?显然，我们遇到了麻烦：如何书写101个、1010个相同因数相乘这样繁琐的式子呢?我们有必要创设一种新的表示方法来表示这样的运算.问题二：边长为a的正方形的面积为 ;棱长为a的正方体的体积为 ;学生动手操作，观察纸片，发现规律回忆小学已学知识并独立完成目的是培养学生的观察及归纳能力让学生亲历每个因数都相同时的乘法，书写起来的冗长，所以才需要创造一种简单的形式学习新知2个a相加可记为：a+a=2a3个a相加可记为：a+a+a=3a4个a相加可记为：a+a+a+a=4an个a相加可记为：a+a+a+……+a=na类比可得：2个a相乘可记为： EMBED Unknown3个a相乘可记为： EMBED Unknown4个a相乘可记为什么呢?n个a相乘又记为什么呢?定义：一般地，我们把几个相同的因数相乘的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 如果有n个a相乘，可以写成，也就是 EMBED Unknown 其中叫做的n次方，也叫做的n次幂. 叫做幂的底数可以取任何有理数;n叫做幂的指数，可以取任何正整数.特殊地，可以看作的一次幂，也就是说的指数是例如：读作-2的4次方或-2的4次幂;底数是-2，指数是4;表示4个-2相乘. x看作幂的话，指数为1，底数为注意：当底数是负数或分数时，写成乘方形式时，必须加上括号.在学生理解有理数的乘方的意义的情况下，提供例1，指导学生完成，巩固概念的理解.例填空：(1) EMBED Unknown 的底数是_____，指数是_____，它表示______;(2) 的底数是______，指数是______，它表示______;(3) 的底数是______，指数是______，它表示_______;例计算：教师引导学生口答学生边记录，边体会、理解正确表达有理数的乘方学生口答分析例题并板书，巩固幂的意义，写出体现幂的意义的全过程体会类比的数学思想乘方教案第2篇【教学目标】(1)正确理解乘方、幂、指数、底数等概念.(2)会进行有理数乘方的运算.(3)培养探索精神，体验小组交流、合作学习的重要性.【教学方法】讲授法、讨论法。

数学初一上册课件范文7篇

数学初一上册课件范文7篇数学初一上册课件范文篇1一、教材分析本节内容是人民教育出版社出版《义务教育课程实验教科书(五四学制)数学》(供天津用)八年级下册第十章整式第一节整式加减第2小节整式的加减。

二、设计思想本节内容是学生掌握了“整式”有关概念的延展学习，为后继学习整式运算、因式分解、一元二次方程及函数知识奠定基础，是“数”向“式”的正式过度，具有十分重要地位。

八年级学生已具有了较强的数的运算技能和“合并”的意识(解一元一次方程中用)同时也具有初步的观察、归纳、探索的技能。

因此，我结合教材，立足让每个学生都有发展的宗旨，我采用合作探究的学习方式开展教学活动，通过设计有针对性、多样式的问题引导学生，给学生提供充足的、和谐的探索空间让学生学习。

通过学习活动不但培养学生化简意识，提升数学运算技能而且让学生深刻体会到数学是解决实际问题的重要工具，增强应用数学的意识。

三、教学目标：(一)知识技能目标：1、理解同类项的含义，并能辨别同类项。

2、掌握合并同类项的方法，熟练的合并同类项。

3、掌握整式加减运算的方法，熟练进行运算。

(二)过程方法目标：1、通过探究同类项定义、合并同类项的方法的活动，培养学生观察、归纳、探究的能力。

2、通过合并同类项、整式加减运算的练习活动，提高学生运算技能，提升运算的准确率培养学生化简意识，发展学生的抽象概括能力。

3、通过研究引例、探究例1的活动，发展学生的形象思维，初步培养学生的符号感。

(三)情感价值目标：1、通过交流协商、分组探究，培养学生合作交流的意识和敢于探索未知问题的精神。

2、通过学习活动培养学生科学、严谨的学习态度。

四、教学重、难点：合并同类项五、教学关键：同类项的概念六、教学准备：教师：1、筛选数学题目，精心设置问题情境。

2、制作大小不等的两个长方体纸盒实物模型，并能展开。

3、设计多媒体教学课件。

(要凸显①单项式中系数、字母、指数的特征②长方体纸盒立体图、展开图。

)学生：1、复习有关单项式的概念、有理数四则运算及去括号的法则)2、每小组制作大小不等的两个长方体纸盒模型。