选修2-3第二章随机变量及其分布知识点总结

第二章概率总结

一、知识点

1.随机试验的特点:

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个

③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会

出现哪一个结果．

2.分类

随机变量

（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结

果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等

或希腊字母ξ、η等表示。）

离散型随机变量：连续型随机变量：

3.离散型随机变量的分布列

一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1, x2, ,x i , ,x n X取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表

为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：①----------------------------------------------

②-------------------------------------------------．

二点分布

如果随机变量X的分布列为：

其中0

超几何分布

一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件, 这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，

则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M

n

N

C C P X k k m C --===，其中

则称随机变量X 的分布列

,

为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布 注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；

（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的

总数、样本容量

条件概率

1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，

叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率

2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B

的交（或积）.记作D=A ∩B 或D=AB

3.条件概率计算公式:

例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，

求第二个又取到次品的概率.

相互独立事件

1.定义：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,这样的两个事件

叫做相互独立事件

两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有

如果事件A1，A2，…An 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率， 等于每个事件发生的概率的积。即： P （A1·A2·…·An ）=P （A1）·P （A2）·…·P(An)

3解题步骤

说明（1）判断两事件A 、B 是否为相互独立事件，关键是看A （或B ）发生与否对B （或A ）发生的概率是否影响，若两种状况下概率不变，则为相互独立. （2）互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响.

（3）如果A 、B 是相互独立事件，则A 的补集与B 的补集、A 与B 的补集、A 的补集与B 也都相互独立.

例题、一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况，记“第一个取出的是白球”为事件A，“第二个取出的是白球”

为事件B，试问A与B是不是相互独立事件？

独立重复试验

1.定义：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验

2.说明：

①这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何

一次试验中发生的概率都是一样的

②每次试验是在同样条件下进行；

③每次试验间又是相互独立的，互不影响.

二项分布

1：设在n次独立重复试验中某个事件A发生的次数，A发生次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中随机变量ξ的概率分布如下：

由于

k

n

k

k

n

q

p

C-

恰好是二项展开式

b

C

b

a

C

b

a

C

a

C

b

a n n

n

r

r

n

r

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

+

=-

-

+

1

1

1

)

(

中的第k+1 项，所以，称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p) ，

解题步骤

例题、某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．

离散型随机变量的期望和方差

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称Eξ＝为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．说明：（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1=p2=…=pn，则有

p1=p2=…=pn = ，Eξ=(x1+x2+…+xn)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值（3）随机变量的数学期望与样本的平均值的关系：前者是常数，不依赖样本抽取；

后者是一个随机变量.