相似三角形及其应用学案
27.2相似三角形(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与相似三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示相似三角形的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
5.培养学生的创新意识：鼓励学生在解决相似三角形问题时，敢于尝试新方法，勇于突破传统思维，培养创新意识。
本节课旨在使学生在学习相似三角形的过程中，全面提升学科核心素养，为未来的学习和生活打下坚实基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）相似三角形的定义及判定方法：理解并掌握相似三角形的定义，以及SSS、SAS、ASA、AAS等判定方法，这是本节课的核心内容。
此外，在小组讨论环节，虽然学生们都能够积极参与，但在成果分享时，部分学生表达能力较弱，不能很好地将讨论成果展示出来。针对这个问题，我计划在接下来的课程中，多给予学生一些表达机会，培养他们的语言组织和表达能力。
还有一个值得注意的地方是，在课堂总结时，我发现部分学生对相似三角形在实际生活中的应用仍然感到困惑。为了让学生更好地理解这一点，我打算在下一节课引入更多生活中的实例，让学生们感受到数学知识在实际生活中的重要性。
在教学方法上，我认识到传统的讲授式教学并不能满足所有学生的需求。今后，我需要尝试更多元化的教学方法，如翻转课堂、小组合作学习等，以提高学生的学习兴趣和参与度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。它们在几何学中具有重要地位，广泛应用于实际问题中。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析案例，展示相似三角形在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
《相似三角形的性质》 导学案
《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系。
3、能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
二、学习重点1、相似三角形的性质的理解和应用。
2、相似三角形周长比、面积比与相似比的关系。
三、学习难点相似三角形性质的综合应用，以及在实际问题中的灵活运用。
四、知识回顾1、什么是相似三角形？相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
2、如何判定两个三角形相似？（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
五、新课讲解（一）相似三角形的对应角相等，对应边成比例例 1：已知△ABC∽△DEF，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 70°，则∠D ＝＿___，∠F ＝＿___。
解：因为△ABC∽△DEF，所以∠D ＝∠A ＝ 50°，∠F ＝ 180°∠D ∠E ＝ 180° 50° 70°＝ 60°（二）相似三角形的周长比等于相似比例 2：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:3，△ABC 的周长为 12，则△A'B'C'的周长为____。
解：因为相似三角形的周长比等于相似比，所以△ABC 的周长:△A'B'C'的周长＝ 2:3。
设△A'B'C'的周长为 x，则 12:x ＝ 2:3，解得x ＝ 18。
（三）相似三角形的面积比等于相似比的平方例 3：两个相似三角形的相似比为 1:4，它们的面积比为____。
解：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为1²:4²＝ 1:16。
六、课堂练习1、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3:5，AB ＝ 9，则 A'B' ＝＿___。
相似三角形教案
相似三角形教案I. 教学目标通过本教案的学习，学生将能够：1. 掌握相似三角形的定义；2. 理解相似三角形的性质和判定方法；3. 运用相似三角形的性质解决实际问题。
II. 教学准备1. 教师准备：投影仪、幻灯片、黑板、粉笔等教学工具；2. 学生准备：教材、笔、纸等学习用具。
III. 教学过程Step 1: 导入新知1. 教师引导学生回顾已经学过的一些基础概念，如平行线、角等。
2. 引入相似三角形的概念，让学生尝试给出相似三角形的定义。
Step 2: 相似三角形的定义与性质1. 教师通过幻灯片展示相似三角形的定义，并与学生一起讨论其特点。
2. 学生借助教材，归纳相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
Step 3: 判断相似三角形的方法1. 教师介绍判定相似三角形的方法，包括AAA（角-角-角）相似判定法、AA（角-角）相似判定法和SAS（边-角-边）相似判定法。
2. 通过幻灯片展示实例，让学生运用这些方法判断相似三角形。
Step 4: 案例分析与讨论1. 教师提供一些实际问题，要求学生分析并运用相似三角形的性质解决。
2. 学生在小组中合作讨论，找出解决问题的方法，并向全班展示他们的解决思路。
Step 5: 练习与巩固1. 教师布置一些练习题，要求学生运用相似三角形的性质进行求解。
2. 学生独立完成练习，并检查答案。
Step 6: 拓展与应用1. 教师推荐一些与相似三角形相关的拓展阅读资料，鼓励学生深入了解这一概念的应用和意义。
2. 学生可以选择阅读其中的一篇文章，并做一份读后感。
IV. 教学反思通过本教案的设计，学生在活动中能够借助幻灯片、小组合作讨论以及个人练习等方式全面了解相似三角形的定义、性质和判定方法。
此外，通过解决实际问题的过程，学生能够培养思维能力和解决问题的策略意识。
教学过程中要注意调动学生积极性，激发他们的学习兴趣，让他们充分参与到教学活动中。
相似三角形应用举例教案
27.2.3 相似三角形应用举例一、课标要求: 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.二、课标理解：识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题；通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力.三、内容安排：【教学目标】知识与技能：1.能运用相似三角形的数学模型解决现实世界的测量问题；2.通过例题的分析与解决，让学生进一步感受相似三角形在实际生活中的应用.过程与方法：引导学生将实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，再应用相似三角形知识求解，体会相似三角形的应用方法.情感、态度与价值观：开展学生的转化意识和自主探究、合作交流的习惯，体会相似三角形的实际应用价值，增加学生应用数学知识解决实际问题的经历和感受.【教学重难点】重点：运用相似三角形的知识解决生活中的一些测量问题.难点：如何把实际问题转化相似三角形这一数学模型.四、教学过程〔一〕孕育问题：〔1〕怎样判断两个三角形相似？〔2〕相似三角形的性质有哪些？引入：胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一〞.塔的 4 个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230 米.据考证，为建成胡夫金字塔，一共花了20 年时间，每年用工10 万人.该金字塔原高146.59 米，但由于经过几千年的风化吹蚀，高度有所降低.在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！〞这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高度的吗？引出课题：今天，我们就来研究利用三角形的相似，解决一些有关测量的问题.〔二〕萌发生长例1：据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如图，木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3m ，测得OA 为201m ，求金字塔的高度BO .追问：怎样测出OA 的长？金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，那么OA 等于这个等腰三角形的高与金字塔的边长一半的和.解：太阳光是平行光线，因此∠BAO ＝∠EDF .又∠AOB ＝∠DFE ＝90°，∴△ABO ∽△DEF . BO OA EF FD ∴＝ 20121343OA EF BO FD ⋅⨯∴＝＝＝〔m 〕 因此金字塔的高度为134 m.归纳：同一时间，同一地点，物高与影长成比例.【牛刀小试】1.在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋高楼的影长为90m ，这栋高楼的高度是多少？2.在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例.在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米例2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R .已测得QS ＝45m ，ST ＝90m ，QR ＝60m ，请根据这些数据，计算河宽PQ .解：∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ，∴△PQR∽△PST.PQ QRPS ST∴＝即604590 PQ QR PQPQ QS ST PQ++＝＝PQ×90＝〔PQ+45〕×60.解得PQ＝90〔m〕.因此，河宽大约为90m.归纳：构造两个共线的相似直角三角形.【随堂练习】1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降时,长臂端点升高.AB,在岸边找到了一点C,使AC⊥AB，在AC上找到一点D，在BC上找到一点E,使DE⊥AC，测出AD=35m，DC=35m，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB吗〔三〕收获硕果1.这节课我们学到了哪些知识？2.我们是利用什么方法获得这些知识的？3.通过这节课的学习，你有什么新的想法或发现？〔四〕拓展延伸，布置作业必做题：教材43页习题27.2第8、9题.选做题：教材44页习题27.2第14题.〔五〕学习评价1.要测量出一棵树的高度，除了测量出人高与人的影长外，还需要测出()A.仰角B.树的影长C.标杆的影长D.都不需要2.如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8 m，某一时刻他在地面上的影长为2.1 m.假设小芳比爸爸矮0.3 m，那么她此时在地面上的影长为()A.1.3 mB.1.65 mC.1.75 mD.1.8 m3.为了加强视力保护意识，小明要在书房里挂一张视力表.由于书房空间狭小，他想根据测试距离为5 m的大视力表制作一个测试距离为3 m的小视力表.如图，如果大视力表中“E〞的高度是3.5 cm，那么小视力表中相应“E〞的高度是______________.4.如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R.如果QS＝60 m，ST＝120 m，QR＝80 m，那么河的宽度PQ为__________.5.有一张简易的活动小餐桌，如图,现测得OA＝OB＝30 cm，OC＝OD＝50 cm，桌面离地面的高度为40 cm，那么两条桌腿的交点离地面的高度为_____________.附：板书设计§ 27．2．2 相似三角形的性质一：相似三角形对应角相等，对应边成比例二：相似三角形的对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比例题板演学生板演三：相似三角形周长比等于相似比推广：相似三角形对应线段的比等于相似比四：相似三角形面积比等于相似的平方。
初中数学初三数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
3.引导学生回顾已学的全等三角形的性质和判定方法，为新课的学习做好铺垫。
4.揭示本节课的主题——相似三角形的性质及其应用，激发学生的学习兴趣。
（二）讲授新知
在这一环节中，我将系统地讲授相似三角形的性质和判定方法：
-以小组为单位，共同完成一道具有挑战性的相似三角形综合应用题，要求小组成员分工合作，共同讨论解题策略。
-每个小组将解题过程和答案进行整理，并在下一节课上进行汇报，分享学习成果。
4.思考与反思：
-结合本节课的学习，反思自己在解决相似三角形问题时遇到的困难和挑战，分析原因，并总结经验教训。
-撰写一篇学习心得，谈谈自己对相似三角形性质及其应用的认识和理解。
4.学会运用相似三角形的性质解决与实际生活相关的问题，如测量物体的高度、求解线段长度等。
（二）过程与方法
1.通过自主探究、合作交流等形式，引导学生主动发现相似三角形的性质及其应用。
2.培养学生运用几何直观和逻辑推理解决问题的能力，提高学生的几何思维能力。
3.引导学生运用类比、归纳等方法，从特殊到一般，发现几何图形的性质，培养学生发现问题和解决问题的能力。
5.预习与拓展：
-预习下一节课要学习的相似多边形的性质及其应用，为新课的学习做好准备。
-探索相似三角形与其他数学分支（如代数、平面几何等）的联系，拓展知识面。
3.培养学生的几何直观和逻辑推理能力，提高学生解决几何问题的策略和方法。
4.激发学生的学习兴趣，增强学生对数学学科的情感态度，提升学生的数学素养。
（二）教学设想
1.创设情境，引入新课
-通过展示实际生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影中的缩放效果等，引起学生对相似三角形性质的兴趣。
27.2.3相似三角形应用举例(教案)
5.空间观念与数据分析：培养学生运用相似三角形知识分析问题，发展空间观念和数据分析能力，提高数学素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解相似三角形的性质：重点强调相似三角形的对应角相等、对应边成比例的基本性质，以及如何利用这些性质解决实际问题。
3.解决实际问题：结合生活实例，让学生运用相似三角形的性质解决一些实际问题，提高学生的应用能力和解决问题的能力。
4.总结相似三角形在实际生活中的应用，强调数学知识与现实生活的紧密联系。
本节课将引导学生通过实际案例，掌握相似三角形在实际问题中的应用，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
二、核心素养目标
五、教学反思
在今天的教学中，我发现同学们对相似三角形的应用举例产生了浓厚的兴趣。通过引入日常生活中的实际问题，他们能够更好地理解数学知识在实际中的应用。让我感到高兴的是，大多数同学能够积极参与讨论，提出自己的观点，这充分说明了他们对这一知识点的投入。
然而，我也注意到在讲解相似三角形性质时，部分同学对识别相似三角形和确定对应关系存在一定的困难。这说明在这个环节，我需要更加耐心地引导和解释，或许可以通过更多的例子和直观的图示来帮助他们理解。
-应用相似三角形测量：掌握如何利用相似三角形进行高度和距离的测量，包括在实际问题中如何确定相似三角形和对应关系。
-生活实例的解析：通过具体实例，如测量建筑物高度、桥梁长度等，让学生掌握相似三角形在实际生活中的应用。
-数据处理与分析：学会在测量过程中处理数据，分析误差，提高测量的准确性。
举例：在测量建筑物高度时，重点讲解如何利用地面上的影子长度和已知的太阳高度角来确定建筑物的高度，强调相似三角形的实际应用。
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计
2024年浙教版数学九年级上册4.5《相似三角形的性质及应用》教学设计一. 教材分析《相似三角形的性质及应用》是浙教版数学九年级上册第4.5节的内容。
本节主要介绍相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例、对应角相等以及相似比的概念。
同时，通过实际例题让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
本节内容是学生学习几何知识的重要环节，为后续学习相似多边形、三角函数等知识打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了三角形的基本知识，具备一定的逻辑思维能力。
但是，对于相似三角形的性质及应用，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要关注学生的认知水平，注重引导，激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等。
2.学会运用相似三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的观察能力、动手操作能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质及其证明。
2.相似三角形在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究相似三角形的性质。
2.利用多媒体辅助教学，展示相似三角形的动态变化，增强学生的直观感受。
3.运用实例分析法，让学生了解相似三角形在实际问题中的应用。
4.小组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件。
3.练习题及答案。
4.三角板、直尺等绘图工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示两组三角形，让学生观察并判断它们是否相似。
通过直观的展示，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍相似三角形的定义及其性质，包括对应边成比例、对应角相等。
通过示例和证明，让学生理解和掌握相似三角形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组进行动手操作，利用三角板、直尺等工具，绘制一组相似三角形，并验证它们的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
相似三角形的性质及其应用-导学案
3月16日-相似三角形的性质及其应用-导学案一：知识梳理相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形知识点1：性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例。
知识点2：性质定理2：相似三角形对应线段（高线、中线、角平分线）的比等于相似比。
实战训练一：1. 两个相似三角形的对应边之比是1:2，那么它们的对应中线之比是1:2 。
2. 两个相似三角形的对应高之比是1:4，那么它们的对应中线之比是1:4 。
3. 两个相似三角形的对应角的平分线的长分别是3cm和5cm，那么它们的相似比是3:5 ，对应高的比是3:5 。
知识点3：性质定理3：相似三角形的周长比等于相似比。
实战训练二：1. 两个相似三角形的相似比是1:2，其中较小三角形的周长为6cm，则较大三角形的周长为12cm 。
2. 如果△ABC ∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、4、5，△DEF的最短边长为6，那么△DEF的周长为24 。
3. 如果两个相似三角形的周长比是2:3，其中小三角形一角的角平分线长是6cm，那么大三角形对应角平分线长是9cm 。
知识点4：性质定理4：相似相似三角形面积的比等于相似比的平方。
实战训练三：1. 若△ABC ∽△A’B’C’且相似比为1:2，则△ABC 与△A’B’C’面积之比为1:4 。
2. 两个相似三角形的面积之比是4: 9，则这两个三角形相似比是2:3 。
3. 判断：两个三角形的面积之比是4: 9，则这两个三角形的周长之比是2：3。
（×）二：典例分析例1：如图，已知△ACE△△BDE，AC＝6，BD＝3，AB＝12，CD＝18，求AE和DE的长。
解：∵△ACE∽△BDE∴ACBD =AEBE即63=AE12−AE解得AE=8△ ACBD =CEDE即63=18−DEDE解得DE=6相似三角形的应用——测量不能到达顶端的物体高度例2: 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A、B、Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB=40cm，BD=20cm，AQ=12m，则树高为6m 。
《27.2.3 相似三角形的应用举例》教案、导学案、同步练习
27.2.3 相似三角形的应用举例【教学目标】1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；(重点) 2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．(难点)【教学过程】一、情境导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一” .在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔的高度的吗？二、合作探究探究点：相似三角形的应用【类型一】利用影子的长度测量物体的高度如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF的影长GE为1.2m，此时，小红测得一棵被风吹斜的柏树与地面成30°角，树顶端B在地面上的影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是3.6m，求树AB的长．解析：先利用△BDC∽△FGE得到BC3.6＝21.2，可计算出BC＝6m，然后在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系即可得到AB的长．解：如图，CD＝3.6m，∵△BDC∽△FGE，∴BCCD＝EFGE，即BC3.6＝21.2，∴BC＝6m.在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12m，即树长AB是12m.方法总结：解答此类问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．利用相似三角形对应边成比例建立相等关系求解．【类型二】利用镜子的反射测量物体的高度小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度．如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m.当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6m，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角＝反射角)．解析：根据物理知识得到∠BEA＝∠DEC，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．解：如图，∵根据光的反射定律知∠BEA＝∠DEC，∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴ABDC＝AEEC.∵CE＝2.5m，DC＝1.6m，∴AB1.6＝202.5，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高度为12.8m.方法总结：解本题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程．解题时要灵活运用所学各学科知识．【类型三】利用标杆测量物体的高度如图，某一时刻，旗杆AB影子的一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB在地面上的影长BC为9.6m，在墙面上的影长CD为2m.同一时刻，小明又测得竖立于地面长1m的标杆的影长为1.2m.请帮助小明求出旗杆的高度．解析：根据在同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．解：如图，过点D作DE∥BC，交AB于E，∴DE＝CB＝9.6m，BE＝CD＝2m，∵在同一时刻物高与影长成正比例，∴EA∶ED＝1∶1.2，∴AE＝8m，∴AB＝AE＋EB＝8＋2＝10m，∴学校旗杆的高度为10m.方法总结：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆(或直尺)的高(长)作为三角形的边构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．【类型四】利用相似三角形的性质设计方案测量高度星期天，小丽和同学们在碧沙岗公园游玩，他们来到1928年冯玉祥将军为纪念北伐军阵亡将士所立的纪念碑前，小丽问：“这个纪念碑有多高呢？”请你利用初中数学知识，设计一种方案测量纪念碑的高度(画出示意图)，并说明理由．解析：设计相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．解：设计方案例子：如图，在距离纪念碑AB的地面上平放一面镜子E，人退后到D处，在镜子里恰好看见纪念碑顶A.若人眼距地面距离为CD，测量出CD、DE、BE的长，就可算出纪念碑AB的高．理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE.根据CDAB＝DEBE，即可算出AB的高．方法总结：解题的关键是根据相似三角形的性质设计出具体图形，将实际问题抽象出数学问题求解．三、板书设计1．利用相似三角形测量物体的高度；2．利用相似三角形测量河的宽度；3．设计方案测量物体高度．【教学反思】通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对相似三角形的理解和认识．基本达到了预期的教学目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.27.2.3 相似三角形的应用举例〔学习设计〕，即，， 。
相似三角形应用举例导学案
年级：九年级班级：学生姓名：制作人：不知名编号：2023-1227.2.3 相似三角形应用举例学习目标：利用三角形相似的概念解决一些简单的实际问题。
预学案1.测量不能到达顶部物体的高度，通常借助太阳光照射物体形成影子，根据同一时刻物体高与影长，或利用相似三角形来解决问题.2.求不能直接到达的两点间的距离，关键是构造，然后根据相似三角形的性质求出两点间的距离.探究案【探究1】据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO.【探究2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m，请根据这些数据，计算河宽PQ.【探究3】如图，左右并排的两棵大树的高分别为AB=8m和CD=12m两树底部的距离BD=5m，一个人估计自己眼睛距地面16m她沿着正对这两棵树的一条水平直路1从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了?(1) (2)检测案1.如图，放映幻灯片时，通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为（）A. 6cmB. 12cmC. 18cmD. 24cm第1题图第2题图第3题图2.如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m时，它离地面的高度DE为0.6m则坝高CF为m.3.如图，已知有两堵墙AB，CD，AB 墙高2 m，两墙之间的距离BC 为8 m，小明将一架木梯放在距B点3 m的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外.将木梯绕点E 旋转90°靠向墙CD 时木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为m. 4.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB 外任选一点C，分别在AC，BC上取点D，E，如果测得CD =20 m，CE =40 m，AD=100 m，BE=20 m目DE=45 m，求AB的长.。
第15讲-相似三角形的性质与应用-学案
第15讲相似三角形的性质和应用温故知新一、相似三角形的判定方法课堂导入一、黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC (AC ＞BC )，如果AC ＝5－12AB ，那么称线段AB被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比，黄金比约为0.618，一条线段的黄金分割点有2个.二、相似三角形的性质1、相似三角形对应角相等，对应边成比例.2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.3、相似三角形周长的比等于相似比.4、相似三角形面积的比等于相似比的平方.典例分析例1、已知线段AB=8，点C 是AB 的黄金分割点，则AC=例2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，若AE=BC ，则点E 是线段AB 的黄金分割点吗？说明你的理由．相似三角形的性质知识要点一ABCD例3、两个相似三角形的面积比为4：9，周长和是20cm，则这两个三角形的周长分别是（）A．8cm和12cm B．7cm和13cm C．9cm和11cm D．6cm和14cm例4、以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，…，则所作的第n个正方形的面积S n=．举一反三1、如果两个相似多边形的周长比为1：5，则它们的面积比为（）A．1：2.5 B．1：5 C．1：25 D．1：2、如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：43、如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14，点P在DB上移动．若以点C，D，P为顶点的三角形与点A，B，P为顶点的三角形相似，则DP= ．4、电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点0.6 处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少m处．，5、已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=20厘米，则线段AP= 厘米．1、利用三角形相似测量高度方法 1、利用阳光下的影子测量物高根据太阳光线是平行的，寻找相似三角形.在同一时刻，被测量物体的实际高度被测量物体的影长 = 某物体的实际高度某物体的影长2、利用标杆测量物高观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端“三点一线”. 3、利用镜子原理测量物高借助“反射角等于入射角”找出相等的角，得到三角形相似.典例分析例1、某数学课外实习小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5米的同学的影子长为1.35米，因大树靠近一栋建筑物，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6米，墙上影子高CD=1.8米，求树高AB利用相似三角形测高知识要点二例2、如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．例3、小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角=反射角）．举一反三1、如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）m．A．8.8 B．10 C．12 D．142、如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（）A．8cm B．10cm C．20cm D．60cm3、如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王（C D）的影长DB与身高一样，现在他沿OD方向走10米，到达E处．（1）请画出小王在E处的影子EH；（2）求EH的长．4、如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？5、在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=1.6米，木竿PQ 的影子有一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木竿PQ 的长度．1、 位似图形的定义两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
相似三角形应用举例教学设计
相似三角形应用举例教学目标1.进一步巩固相似三角形的知识。
2.能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度。
教学重点进一步巩固相似三角形的知识。
教学难点能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度。
一、创设情境，导入新课1、课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片。
以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？2、经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形。
那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形探究新知1新课讲解（1）、做一做，做出两个三角形来试验是否相似。
（2）、师生共同总结：两角对应相等的两个三角形相似。
2应用新知教学例1：已知：△ABC和△DEF中A=40，B=80，E=80，F=60 求证：△ABC∽△DEF例2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似三、练习：1.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O，准星A，目标B在同一条直线上，如图所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A’，若OA=0.2米，OB=40米，AA’=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为（）A.3米B.0.3米C.0.03米 D.0.2米2.如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ， AB的长为12cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么小玻璃管口径DE是（）A.8cmB.10cmC.20cmD.60cm3.如图所示，某同学拿着一把有刻度的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子遮住电线杆时尺子的刻度为12cm，已知臂长60cm，则电线杆的高度为（）A.2.4mB.24mC.0.6mD.6m4.如图所示的测量旗杆的方法，已知AB是标杆，BC表示AB在太阳光下的影子，叙述错误的是（）A.可以利用在同一时刻，不同物体与其影长的比相等来计算旗杆的高B.只需测量出标杆和旗杆的影长就可计算出旗杆的高C.可以利用△ABC∽△EDB ，来计算旗杆的高D.需要测量出AB.BC和DB的长，才能计算出旗杆的高四、教学评价设计1. 本节课教学目的明确、具体，符合课程标准的要求，切合学习实际；能够结合具体实例，通过观察、操作、想象、推理、交流等活动发展空间观念；推理能力和有条理的表达能力，能够密切结合学科特点，注重情感目标的建立。
相似三角形的性质及其应用(3)学案
4.5相似三角形的性质及其应用（3）学案课题 4.5相似三角形的性质及其应用（3）单元第四单元学科数学年级九年级上册学习目标1.运用相似三角形的性质测量物体的高度；2．运用相似三角形的性质测量物体的宽度．重点运用相似三角形的性质解决简单的实际问题．难点设计测量树高的方案有一定的难度，所以例3的方案设计是本节教学的难点．教学过程导入新课【引入思考】怎样测量旗杆的高度？怎样测量河宽？新知讲解提炼概念利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题。
典例精讲例5 如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.25m，现要在屋顶上开一个天窗，天窗高度AC=1.20m，AB在水平位置。
求AB的长度（精确到0.01）.归纳：从生活中提炼出几何图形，并运用几何知识去解决图形中提出的问题，从而解决生活中的问题，这就是数学中的建模思想．利用建模思想能解决和解释许多现实生活中的问题．例6 数学兴趣小组测校园内一棵树高，有以下两种方法：方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8m的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量的DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m.方法二：如图，把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m.还有其他方法吗？方法三：方法四：归纳：测量高的方法：1.测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“”的原理解决.2.测量不能到达顶部的物体的高度，也可以用“”的原理解决. 课堂练习巩固训练1．如图所示，小芳在打网球时，为使球恰好能过网(网高0.8 m)，且落在对方区域离网5 m的位置上，已知她的击球高度是2.4 m，则她应站在离网( )A．15 m处B．10 m处C．8 m处D．7.5 m处2.为测量一条河两岸相对两电线杆A，B之间的距离，如图所示，有四位同学分别测量出了以下四组数据：①AC，∠ADB；②CD，∠ACB，∠ABC；③EF，DE，AD；④DE，DF，AD.能根据所测数据，求出A，B间的距离的是( )A．①②B．③④C．①③D．②④4．小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度(如图)，当1m长的直立竹竿的影长为1.5m时，测量旗杆落在地上的影长为21m，落在墙上的影长为2m．求旗杆的高度．答案：引入思考利用三角形相似可以解决一些不能直接测量的物体的长度的问题提炼概念典例精讲例5例6巩固训练1.答案：B2.答案：B4.课堂小结运用三角形的性质解决简单的实际问题思路：若物体的高度和宽度不能被直接测得时，一般思路是根据题意和所求，建立相关的相似三角形模型，然后根据相似三角形的性质及比例关系等求解．1 相似三角形可应用于生活中的很多方面，主要是：测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）测距（不能直接测量的两点的距离）2 解决这类实际问题时：一般有以下步骤①审题②构建相似三角形③应用相似三角形列出比例式（方程）④求出未知量。
相似三角形的性质及应用（1）（学案）
4.5 相似三角形的性质及应用(1)学习目标1．掌握相似三角形的“对应角相等，对应边成比例”的性质． 2．会用上述性质解决有关的几何论证和计算问题．3．了解三角形的重心概念和重心分每一条中线成1：2的两条线段的性质． 重点与难点本节教学的重点是相似三角形的基本性质：“对应角相等，对应边成比例”的应用． 例2的证明需添辅助线，是本节教学的难点．学习过程如图，△A'B'C'∽△ABC ，相似比为B'C'BC＝k ，求这两个三角形的角平分线A'D'与AD 的比．如图，已知△ABC ∽△A'B'C'，△ABC 与△A'B'C'的相似比是k ，AD ，A'D'是对应高．求证：ADA'D'＝k ．已知，BD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是它们的交点．求证：DP BP ＝EP CP ＝12．1．已知△ABC ∽△A'B'C'，相似比为BC B ′C ′＝32，AD ，A'D'分别是△ABC 与△A'B'C'的一条中线．求AD 与A'D'的比．2．已知：如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC ，BF ＝CF ，AF 交DE 于点G ．求证：DG ＝EG ．如图：小明站在离网10米的地方打网球时，要使球恰好能打过网(网高0.9米)，而且落在离网5米的位置上，则拍击球的高度ℎ应为多少米？作业题1．如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为ABA′B′＝43．D，D'分别是AB，A'B'上的点，且AD＝13AB，A'D'＝13A'B'．求CD与C'D'的比．2．如图，AD为△ABC的一条中线，P为△ABC的重心，EF∥BC，交AB，AC于点E，F，交AD于点P．求EF与BC的比．3．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE＝∠B．求证：AD2＝AE·AB．4．如图，在△ABC 中，中线AD，BE 相交于点F．EG∥BC，交AD于点G．求AG与GF 的比．5．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，△ADE∽△ACB，相似比为AD︰AC＝2︰3．△ABC 的角平分线AF交DE 于点G，交BC于点F．求AG与GF的比．。
相似三角形复习导学案
相似三角形复习导学案一、学习目标1、掌握相似三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够熟练运用相似三角形的性质和判定解决各种问题。
3、培养观察、分析和逻辑推理能力，提高综合运用知识的能力。
二、重点难点1、重点（1）相似三角形的判定定理及其应用。
（2）相似三角形的性质及其应用。
2、难点（1）灵活运用相似三角形的判定和性质解决复杂问题。
（2）相似三角形与其他几何图形的综合应用。
三、知识梳理（一）相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
（二）相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。
（三）相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
四、典型例题例 1：如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD ＝ 3，DB ＝ 2，AE ＝ 4，求 EC 的长。
解：因为 DE∥BC所以△ADE∽△ABC所以 AD/AB ＝ AE/AC因为 AD ＝ 3，DB ＝ 2，AE ＝ 4所以 AB ＝ AD ＋ DB ＝ 5所以 3/5 ＝ 4/（4 ＋ EC)解得 EC ＝ 20/3例 2：如图，在△ABC 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 6cm，BC ＝ 8cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动。
如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒后，△PBQ 与△ABC 相似？解：设经过 t 秒后，△PBQ 与△ABC 相似。
因为 AP ＝ t，BP ＝ 6 t，BQ ＝ 2t（1）当△PBQ∽△ABC 时，BP/AB ＝ BQ/BC即（6 t)／6 ＝ 2t/8解得 t ＝ 12/11（2）当△QBP∽△ABC 时，BQ/AB ＝ BP/BC即 2t/6 ＝（6 t)／8解得 t ＝ 18/11综上，经过 12/11 秒或 18/11 秒后，△PBQ 与△ABC 相似。
387.相似三角形应用举例教学案[1](2)
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相似三角形应用举例（第1课时）【目标导航】1．应用相似三角形的判定、性质等知识去解决不能直接测量物体的长度和高度类问题；2．培养学生把实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，解决实际问题的能力．【要点梳理】例1据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．例2 如图，为了估测河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．如果测得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的宽度PQ．例3已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8m和CD＝12m，两树的根部的距离BD ＝5m．一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？BODE(F)A【课堂操练】1．如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2m，长臂长为8m，当短臂端点下降0.6m时，长臂端点升高（）A. 2mB. 4mC. 6mD. 5.8m2．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高为0.8m），且落在对方区域离网5m的位置上，已知他击球的高度是 2.4m，则她应站在离网的（）A. 15m处B. 10m处C. 8m处D. 7.5m处3．为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到A、B的E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使CD∥AB，如果测量得CD＝5米，AD＝15米，ED＝3米，你能求出AB两点之间的距离吗？4．马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB的高度为1.2米．（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板PQAQC【课后盘点】1．在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6米，同一时刻她量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则可知综合楼高为米．2．如图是一束平行的阳光从感教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为米．3．如图，是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端B向上翘起，石头就被撬动.现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5:1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端下压cm．4．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1＝80m，最短的钢索A4B4＝20m，那么钢索A2B2＝m，A3B3＝m．5．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），求光线从A点到B点经过的路线的长度．（精确到0.01）6．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大?MABCBAC7．我侦察员在距敌方200米的地方发现敌人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物测量，机灵的侦察员食指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住．若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，你能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度吗？请说出你的思路．8．如图是日食的示意图，如果已知地球表面到太阳中心的距离ES约为1.496×108km，太阳的半径SR约为6.96×105km，月球的半径LM约为1738km，此时月球中心距地球表面有多远（即图中EM为多少）？9．如图，为了测量一栋大楼的高度，王青同学在她的脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到大楼的顶部.这时∠LMK等于∠SMT吗?如果王青身高1.55m，她估计自己眼睛离地面1.50m，同时量得LM＝30cm，MS＝25m，这栋大楼有多高?相似三角形应用举例（第2课时）【目标导航】1．应用相似三角形的判定、性质等知识去解决不能直接测量物体的长度和高度类问题；2．培养学生把实际问题转化为数学问题，建立相似三角形模型，解决实际问题的能力．【要点梳理】例1 如图，工地上两根电灯杆相距L 米，分别在高为4米、6米的A 、C 处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC 的交点M 处离地面的高MH .例2 如图，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB 的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC ＝16米，斜坡坡面上的影长CD ＝10米，太阳光线AD 与水平地面成30°角，斜坡CD 与水平地面BC 成30°的角，求旗杆AB 的高度（精确到1米）．AB C D H E D C B A F M例3为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D处和F处树立标杆CD和EF，标杆的高都是3丈，D、F两处相隔1000步（1步等于6尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC后退123步的G处，可以看到山峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆FE后退127步的H，可看到山峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（提示：连接EC并延长交AB于点K，用AK表示KC及KE．）【课堂操练】1．科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为黄金比时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm．（精确到0.1cm）2．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有（ )A.一种B.两种C.三种D.四种3．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝8.4m，楼高CD是多少？4．张明同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得小树高为1米时，其影长为0.9米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为2.7米，墙上影长为1.2米，求这棵大树高.5．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6cm ，CA ＝8cm ，动点P 从点C 出发，以每秒2cm 的 速度沿CA 、AB 运动到点B ，则从C 点出发多少秒时，可使S △BCP ＝41S △ABC ？【课后盘点】1．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，求球拍击球的高度.2．一油桶高0.8米，桶内有油，一根木棒长1m ，从桶盖小口斜插入桶内，一端插到桶底， 另一端到小口，抽出木棒，量得棒上未浸油部分长0.2m ，试求桶内油面的高度．解：在所画油桶纵剖面示意图中，已知h ＝ m ， ＝1m ， ＝0.2m ，需要求的是 ．（用数字或字母填空）请在下面继续完成求解过程．3. 如图，在一个长40米、宽30米的长方形小操场上，小刚从A点出发，沿着A—B—C的路线以2米/秒的速度跑向C地. 当他出发3秒后，小明有东西需要交给他，就从A地出发沿小刚走的路线追赶. 当小明跑到距B地1.5米的D处时，他和小刚在点E处阳光下的影子恰好重叠在同一条直线上. 此时，A处一根电线杆在阳光线的影子也恰好落在对角线AC上.（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？（2）求小明追小刚的速度是多少（精确到0.1米/秒）？4. 如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB＝h，灯柱的高OP＝O′P′＝l，两灯柱之间的距离OO′＝m．（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA＝a，求他影子AC的长．（2）若李华在两路灯之间行走．．．．．．．，则他前后的两个影子的长度之和（DA＋AC）是否是定植？请说明理由．（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以V1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度V2．5. 在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝8厘米，AC :BC ＝3:4，点P 从点B 出发，沿BC 向点C 以2厘米/秒的速度移动，点Q 从点C 出发，沿CA 向点A 以1厘米/秒的速度移动. 如果P 、Q 分别从B 、C 同时出发：（1）经过多少秒时△CPQ ∽△CBA ?（2）经过多少秒时以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰好与△ABC 相似？参考答案第1课时【要点梳理】例1：由题意，得OA FD BO EF =，即20132=BO ，解得BO =134(m). 例2：∵RQ ⊥PS ，ST ⊥PA ，∴∠PQR =∠PST ，又∵∠P =∠P ，∴△PQR ∽△PST ，∴PQ ：PS =QR ：ST ，即PQ ：(PQ +45)=60：90，解得PQ=90.例3：由题意，得△AFH ∽△CFK ，∴AH ：CK =FH ：FK ，即(8－1.6)：(12－1.6)=FH ：(FH +5)，解得x=8.所以他与左边较低的树的距离小于8米时，就不能看到右边较高的树的顶端C .【课堂操练】1．B ；2．B3．∵CD ∥AB ，∴∠A =∠D ,∠B =∠C ，∴△ABE ∽△DCE ，∴CD ：AB =ED ：AE ，即5：AB =3：(15－3)，解得AB =20.4．（1）狮子能将公鸡送到吊环上．理由：如图1所示，当狮子将跷跷板P 端按到底时可得到Rt △PHQ ，易知Rt △PQH ∽Rt △PAB ．所以PQ PA QH AB =，即212.1=QH ．所以QH =2.4＞QP C B A2（米）．（2）支点A 移到跷跷板PQ 的三分之一处（PA =31PQ ），狮子刚好能将公鸡送到吊环上．理由：由△PAB ∽△PQH ，得31＝＝PQ PA QH AB ．所以QH =3AB =3.6（米）．【课后盘点】1．2.25；2．3；3．50；4．60，405．设BD ⊥x 轴于点D ，∵∠AOC =∠BDC =90°，∠AOC =∠BCD ，∴△AOC ∽△BDC ，∴OA ：BD =OC ：CD ，即1:2=OC ：(6－OC )，解得OC =2.∴CD =4，于是AC =541=+，BC =52164=+，∴光线从A 点到B 点经过的路线的长度是53≈6.71．6．∵DE ∥AB ，∴∠DEC =∠B ,∠EDC =∠A ，∴△DEC ∽△ABC ，∴DE ：AB =CD ：AC ，即DE ：10=40：60，解得DE =320. 7．如图所示，易知△ADF ∽△ABG ，∴DF ：BG =FA ：AG ，即DF ：0.04=200:0.4，解得DF =20，所以建筑物高40米.8．由题意，知LM ⊥ER ，RS ⊥ER ，∴LM //RS ，∴△LME ∽△RSE ，故有LM ：RS =EM ：ES ，即1738：6.96×105= EM ：1.496×108，解得EM ≈373570(km).9．根据物理学知识入射角等于反射角，所以∠LMK 等于∠SMT .又∵∠KLM =∠TSM =90°，∴△KLM ∽△TSM ，∴KL ：TS =LM ：MS ，即1.5：TS =0.3：25，解得TS =125（m ）.第2课时【要点梳理】例1：解法一：设MH =x 米，BH =m 米，DH =n 米，BD =l 米，则l =m +n 根据题意△BMH ∽△BCD ，△DMH ∽△DAB .∴MH :CD =BH :BD ，MH ：AB =DH ：DB .即l m x =6，l n x =4.两式相加，得ln l m x x +=+46=1，解得x =2. 解法二：根据题意得△ABM ∽△DCM ，∴AB :CD =BM :MC =AM :MD ，AB :CD =4:6=2:3，所以AM :MD =2:3. 所以DM :DA =3:5.又易知△ABD ∽△MHD ，∴DM :DA =MH :AB ，MH :AB =3:5，而AB =4，所以MH =512. 例2：如图，过点D 作DE ⊥BC 交BC 延长线于点E ，A B P Q H 图1过点E 作EF ∥AD 交AB 于点F ，在Rt△CDE 中，∠CED =90°,∠DCE =30°,CD =10. ∴DE =5, CE =35.∴BE =3516+.∵太阳光线AD 与水平地面成30°角，∴∠FEB =30°. 在Rt△BFE 中，∠B =90°,∠FEB =30°,BE =3516+， ∴BF =BE ·tan ∠FEB =()333516+=53316+.∵AF =DE =5，∴AB =AF +BF =533165++=103316+=19.1≈19. 答旗杆AB 的高度为19米.例3：由△ABG ∽△CDG ，得CD : AB =GD : (BD +DG )，即3:AB =(123×0.6):(BD +123×0.6)，∴73.8AB =3BD +221.4. ①由△ABH ∽△EFH ，得EF : AB =HF : (BD +DH )，即3:AB =(127×0.6):(BD +1127×0.6)，∴76.2AB =3BD +2028.6. ②由①、②解得AB =753丈，BD =18450丈. 【课堂操练】 1．2.6；2．B3．∵∠ABE =∠ACD =90°，∠A =∠A ，∴△ABE ≌△ACD ，∴AB ：AC =BE ：CD ，即1.6：(1.6+8.4)=1.2：CD ，解得CD =7.5 .4．解法一：如图1，延长AD ，BE 相交于点C ，则CE 就是树影长的一部分，9.01=EC DE ，即9.012.1=EC .所以CE =1.08m.于是BC =BE +EC =2.7+1.08=3.78（m ）. 同理，有9.01=BC AB ，即9.0178.3=AB ，解得AB =4.2（m ）. 解法二：如图2，过点E 作EF ∥AD ， 交AB 于F .有9.01=BE BF ，即9.017.2=BF ， 解得BF =3m. AB =AF +BF =3+1.2=4.2（m ）.5．由勾股定理，解得AB==+643610(cm)；S △ABC ＝AC BC ⋅21=21×6×8=24(cm 2). ∴S △BCP ＝41S △ABC =41×24=6(cm 2).当点P 在线段AC 上时，则有PC BC ⋅21=6，解得PC=2，此时点P 从点C 出发的时间为2÷2=1秒；当点P 在线段AB 上时，设PM ⊥BC 于点M ，则PM BC ⋅21=6，解得PM =2，易知△PBM ∽△BAC ，得PM ：AC =BP ：AB ，解得PB =2.5，∴AP=7.5,从而AC +AP =15.5，此时点P 从点C 出发的时间为15.5÷2=7.75秒.AB C E D 2.7 1.2图1 A BF ED 2.71.2 图2综上可知，当动点P 从点C 出发2秒或7.75秒时，可使S △BCP ＝41S △ABC . 【课后盘点】1．2.4；2．0.8，AB ，AC ，h ′；由三角形相似，得AB AC h h h ='-，即12.08.08.0='-h ，解得h ′=0.64 .3．（1）根据题意可知DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴DE ：AC=BD ：BA .在Rt △ABC 中，∵AB =40m ，BC =30m ，BD =322m ，∴AC =50m ，∴DE ：50=322：40，解得DE =310. （2）根据题意得∴DE 2=BD 2+BE 2，∴BE =2m ，s 王=AB +BE =42m ，∴t 王=42÷3=14s ， ∴t 张=t 王-4=10s ，∴s 张=AD =AB -BD =40-322= 3112m ，v 张=3112÷10≈3.7m/s ． 4．（1）由已知：AB ∥OP ，∴△ABC ∽△OPC ．∵AC ：OC =AB ：OP ，∴AC ：(a +AC )=h ：l ，解得AC =hl ah-. （2）∵AB ∥OP ，∴△ABC ∽△OPC ．∴l h OC AC OP AB ==，即h l h AC OC AC -=-，hl hOA AC -=，∴AC =OA h l h ⋅-.同理，可得DA =A O h l h '⋅-.∴DA + AC =hl hm A O OA h l h -='+⋅-)(是定值.（3）根据题意，设李华由A 到A ′，身高为A ′B ′，A ′C ′代表其影长（如下图），由（1）可知OP AB OC AC =,即OC AC l h =,∴l h l OC AC OC OC OA -=-=，同理可得l hl C O A O -=''，∴C O A O AC OA ''=,由等比性质，得lhl OC C O OA A O C C A A -=-'-'=''，当李华从A 到A ′的时候，他的影子也从C 到C ′，因此速度与路程成正比，∴lhl v v C C A A -==''21，所以人影顶端在地面上移动的速度为hl lv v -=12.5．（1）设经过t 秒后△CPQ ∽△CBA ，则有QC ：PC =AC ：BC ＝3：4，即t ：( 8-2t )=3：4，解得t =2.4秒；（2）设经过x 秒后以C 、P 、Q 为顶点的三角形恰与△ABC 相似，则（1）当△CPQ ∽△CAB 时，因为AC ：BC =3：4，所以PC ：QC =3：4，即（8-2x ）：x =3：4，解得x =1132； 当△CPQ ∽△CBA 时，因为AC ：BC =3：4，所以QC ：PC =3：4，x ：（8-2x ）=3：4，解得x =2.4 .感谢您的阅读，祝您生活愉快。
相似三角形的判定数学教学教案(10篇)
相似三角形的判定数学教学教案（10篇）《相似三角形》数学教案篇一教学目标：1、了解相似三角形的概念，会表示两个三角形相似。
2、能运用相似三角形的概念判断两个三角形相似。
3、理解“相似三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质。
重点和难点：1、本节教学的重点是相似三角形的概念2、在具体的图形中找出相似三角形的对应边，并写出比例式，需要学生具有一定的分辨能力，是本节教学的难点。
知识要点：1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
3、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比（或相似系数）重要方法：1、全等三角形是相似三角形的特殊情况，它的相似比是1。
2、相似三角形中，利用对应角寻找对应边；反过来利用对应边寻找对应角。
3、书写相似三角形时，需要把对应顶点的字母写在对应的位置上。
教学过程一、创设情境，导入新课1、课件出示：①国旗上的☆，②同一底片不同尺寸的照片。
以上图形之间可以通过怎样的图形变换得到？2、经过相似变换后得到的像与原像称为相似图形。
那么将一个三角形作相似变换后所得的像与原像称为相似三角形二、合作学习，探索新知1、合作学习如图1,在方格纸内先任意画一个☆ABC,然后画出☆ABC经某一相似变换（如放大或缩小若干倍）后得到像☆A ′B ′C ′（点A ′、B ′、C ′分别对应点A 、B 、C）。
问题讨论1：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应角之间有什么关系？问题讨论2：☆A ′B ′C ′与☆ABC对应边之间有什么关系？学生相互比较得到结论：对应角相等，对应边成比例。
2、由合作学习定义相似三角形的概念（1）相似三角形：一般地，对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形（2）表示：相似用符号“☆”来表示，读作“相似于”如☆A ′B ′C ′与☆ABC相似，记做“☆A ′B ′C ′☆☆ABC ” 。
注意：在表示三角形相似时，一般把对应顶点的字母写在对应的位置上（3）定义的几何语言表述：A B C A ′B ′C ′相似三角形的判定数学教学教案篇二一、教学目标1.使学生了解判定定理2、3的证明方法并会应用。
九年级数学上册《相似三角形的性质及其应用》教案、教学设计
6.课后布置综合性、实践性作业，让学生将所学知识应用于实际情境，提高学生的几何建模和解决问题的能力。
-例如，让学生设计一幅利用相似三角形原理的图案，或解决生活中的实际问题。
7.开展课后辅导和个性化教学，关注学生的个体差异，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
（2）学生通过观察、分析，总结相似三角形的性质，如对应角相等、对应边成比例等。
（3）教师引导学生运用相似三角形的性质解决实际问题，如求线段长度、角度大小等。
（4）教师讲解相似三角形判定方法，如AA、SAS、SSS等，并结合实例进行分析。
（三）学生小组讨论
1.教学内容：相似三角形性质的应用问题。
2.教学活动设计：
-对于学习困难的学生，教师可以提供针对性的辅导，帮助他们克服难点，提高学习效果。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示实际生活中含有相似三角形元素的图片，如建筑物的立面图、艺术作品等，引发学生对相似三角形的关注。
教师引导学生观察这些图片，并提出问题：“这些图片中有什么共同特征？它们在几何学中有什么特别之处？”
（1）学生分享本节课的收获，教师点评并补充。
（2）教师强调相似三角形在实际生活中的重要性，激发学生学习兴趣。
（3）教师布置课后作业，巩固所学知识。
（4）教师鼓励学生继续探索相似三角形的相关知识，为后续学习打下基础。
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形性质的理解和应用，以及培养学生的几何思维和问题解决能力，特布置以下作业：
（二）教学难点
1.相似三角形性质的推导和应用，尤其是相似三角形面积比等于相似比的平方这一结论的理解。
《相似三角形的应用》课时教学设计
《相似三角形的应用》课时教学设计第一篇：《相似三角形的应用》课时教学设计《相似三角形的应用》课时教学设计[教学目标] 1．了解平行投影、中心投影、盲区的意义．2．知道在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．3．通过测量活动，综合运用判定三角形相似的条件和三角形相似的性质解决问题，增强用数学的意识，加深对判定三角形相似的条件和：：：角形相似的性质的理解．[教学过程(第一课时)] 1．情境创设(1)当人们在阳光下行走时，会出现——个怎样的现象?(学生思考片刻，回答是影子)光线在直线传播过程中，遇到不透明的物体，在这个物体的后面光线不能到达的区域便产生影．你能举出生活中的例子吗? 2．探索活动活动一试验探究，得出结论．活动分为3个层次．第—层次：试验探究．引导学生根据已有的生活经验，感悟到：在阳光下，在同一时刻，物体的高度与物体的影长存在某种关系：物体的高度越高，物体的影长就越长，并在此基础上组织探究试验．对试验探究活动的教学要注意两点：(1)各小组通过观察、测量、计算出的结果存在着一定的误差，在引导学生探究结论时，一般应取各小组测量结果的平均值；(2)教学中，各小组的测量是在同一时刻进行的，其他时刻情况如何?学生可能存在疑问，对此可在教学中向学生展示教师事先在其他几个不同时刻测量出的结果，再次引导学生探究．第二层次：了解平行投影．第三层次：引导学生归纳出：在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．活动二组织尝试活动．图10—27是—幅立体图形，学生根据“太阳光线可以看成平行光线”的表述画出与图中虚线平行的线段—般不会感到困难．教学中，要引导学生通过观察、分析，感悟到画乙、丙两根木杆的影长(用线段表示)时，它们应与甲木杆在阳光下的影长平行．图中的太阳光线、木杆及其影子构成了3个直角三角形，但它们不在同一平面内．如果将这3个直角三角形平移到同一平面内，可以得到如图的图形：引导学生思考：如何用三角形相似的知识说明在乎行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例．活动三应用举例．课本列举古埃及测量金字塔的问题作为相应知识的应用．该问题对学生来说有一定的难度，教学时建议做如下铺垫：(1)铺垫练习：如，在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得旗杆在地面上的影长为18m．求旗杆的高度(精确到0.1m)．(2)作变式：如果要求测量的是一个等腰三角形的高，你将如何计算?(3)较充分地展开图10—28中立体图形转化为平面图形的过程． 3．小结(1)了解平行投影的含义；(2)通过观察、测量等操作活动，探究在平行光线的照射下，物体的物高与影长的关系，并解决有关的实际问题．[教学过程设计建议(第二课时)] 1．情境创设夜晚，当人们在路灯下行走时，你是否发现一个有趣的现象：如图10—29，影子越变越长了?你能说明理由吗? 2．探索活动(1)组织操作、实验活动，引导学生观察．设计操作、实验活动的目的是：通过操作、实验活动，引导学生通过观察，感悟到与平行光线的照射不同，在点光源的照射下，不同物体的物高与影长不成比例．(2)了解中心投影． 3．例题教学(1)例1的综合性较强，为较好地发挥学生的主体作用，建议教学中适当补充1～2个基础练习，做为铺垫．(2)在例1的解答中，“由AB∥CD，得△ABF∽△CDF”、“由AB∥EF，得△ABG∽△EFG”，实际上用到了判定三角形相似的条件：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．由于这一判定三角形相似的条件在实际的应用中用途较广，教学时应结合实例向学生说明．(3)在本章之前，要说明线段或角相等，往往是说明它们分别与第三个量相等，通过“等量代换”得到所需的结沦．在说明线段成比例时，只要将“两线段的比”看成是一个整体，同样可以通过第三个比代换.如，在例1的解答中，由AB3+BDAB7+BD3+BD7+BDAB===“”，“”，得“”就是通过第三个比1.61.631.6434来证明结论的．4．小结(1)了解中心投影的意义；(2)通过操作、观察等数学活动，探究中心投影与平行投影的区别，并运用中心投影的相关知识解决一些实际问题．[教学过程(第三课时)] 1．情境创设(1)同学们玩过“捉迷藏”的游戏吗?你认为躲藏者藏在何处，才不容易被寻找者发现?(2)如图1，小强站在3楼窗口能看到楼下的小丽吗?为什么? 你认为小丽站在什么位置时，小强才能看到她?(3)如图2，小强站在一座木板墙前，小丽在墙后活动．你认为小丽应在什么区域内活动，才能不被小强看见?请在图2的俯视图图3中画出小丽的活动范围；(4)你能举出生活中类似的例子吗? 2．例题教学设置例2的目的是：(1)在实际运用中，进一步巩固判定三角形相似的条件及相似三角形的性质等知识；(2)通过具体实例，使学生了解视点、视线和盲区的概念．在例2的解答中，“点O、C、A恰好在一条直线上，点O、D、B也恰好在一条直线上”的结论，是由实际问题：将一枚1元的硬币，放在眼睛与月球之间，调整硬币与眼睛间的距离，直到硬币刚好将月球遮住，抽象为数学结沦得出的．(需要说明的是：本例为了得到正确的结论，题设中“硬币与眼睛的距离为2.72m”的条件不尽合理．)解答中，由△OCD∽△OAB，OF、OE分别是△OCD、△OAB对应边上的高，得OFCD 到的根据是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比． OEAB3．探索活动同例2一样，课本设置“尝试”活动的目的仍然是：通过实际应用进一步巩固判定三角形相似的条件及相似三角形的性质；通过具体实例，使学生进一步认识视点、视线和盲区．本题的难度不大，关键是引导学生读懂题意，能将实际问题抽象为数学问题，并引导学生理解：问题“当小强与树AB的距离小于多少时，就不能看到树CD的树顶D”的实质就是求图中线段FG的长．4．小结(1)通过具体实例，认识视点、视线和盲区；(2)在实际应用中，进一步巩固相似三角形的有关知识．第二篇：相似三角形的应用教学设计《相似三角形的应用》教学设计无锡市安镇中学汪秋莲【教材分析】（一）教材的地位和作用《相似三角形的应用》选自华东师范大学出版社义务教育课程标准实验教科书中数学九年级上册第二十四章。
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§4.6相似三角形及其应用学习目标：1.了解相似三角形的概念，掌握判定三角形相似的方法；会用相似三角形性质证明角相等或线段成比例，或进行角的度数和线段长度的计算等．2.了解图形的位似及性质，能够利用作位似图形等方法将一个图形放大或缩小．3.在利用图形的相似解决一些实际问题的过程中，进一步学习分析问题和解决问题的能力．一、课前预习（一）知识梳理1．相等，成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形是三角形。
2．相似三角形的判定：①对应相等的两个三角形相似．②两边对应成，且相等的两个三角形相似．③三边的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的和一条边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．⑤平行于三角形一边的直线，截其它两边所得三角形与原三角形 .3.相似三角形的性质①相似三角形的相等，成比例．②相似三角形对应的比，对应的比和对应的比都等于相似比．③相似三角形周长的比等于．面积的比等于．4. 位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做图形，这个点叫做，这时的相似比又叫做位似比．（二）基础训练1．如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，△ABC∽△APQ的相似比是（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：52．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于________.3.如图，D、E两点分别在△CAB上，且 DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．4.下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似； B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似； D．两个等腰梯形一定相似5.厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石．（图中阴影部分）其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是（）A．14B ．41C．13D．346. 在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为( )A．8，3 B．8，6 C．4，3 D．4，67.如图，点P是Rt△ABC的斜边 BC上异于 B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4二、例题精讲例1如图，⊙O中的弦AB截另一弦CD成CE、DE两部分，已知AB=7，CE=2，DE=6，求AE长AEDC B例2如图27－105所示，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1．6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．例3如图所示，在△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，点P在AC上，点Q在BC上．(1)当△PQ C的面积与四边形P ABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQ C的周长与四边形P ABQ的周长相等时，求CP的长；(3)在AB上是否存在点M，使△PQM为等腰直角三角形?若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．例4 如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(3)当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位？CP QB三、当堂反馈1．如图，D是△ABC的边AB上的点，请你添加一个条件，使△ACD与△ABC相似．你添加的条件是___________2．如图27－99所示，在△ABC中，有DE∥BC ，12 ADBD，DE＝4 cm，则BC的长为( )A．8 cm B．12 cmC．11 cm D．10 cm3．（2011贵州毕节）两个相似三角形的面积比是16:9，其中较小三角形周长为36cm，则较大三角形周长为( )A．48cm B．54cm C．56cm D．64cm4．要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50 cm，60 cm，80 cm，三角形框架乙的一边长为20 cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A．1种B．2种C．3种D．4种5.如图，AD⊥BC于D，CE⊥AB 于E，交 AD于F，图中相似三角形的对数是（）A．3 B．4 C．5 D．66．王明同学为了测量河对岸树AB的高度．他在河岸边放一面平面镜，他站在C处通过平面镜看到树的顶端A．如图，然后他量得B、P间的距离是56米，C、P 间距离是 12米，他的身高是1．74米．⑴他这种测量的方法应用了物理学科的什么知识？请简要说明；⑵请你帮他计算出树AB的高度．C BAPD7．如图所示，在房子外的屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区在△ABD。
已知房子上的监视器高3m，广告牌高为1.5m，广告牌距离房子5m，则盲区的长度AB为多少？8．如图，在ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．⑴求证：△ABF∽△EAD；⑵若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；⑶在⑴、⑵的条件下，若AD=3，求BF的长.9．如图所示，已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．(1)当BD与a，b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB；(2)过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB，试判断四边形AEDC是什么四边形．ACE DB10．如图①，在△ABC 中，AB=AC ，BC=acm ，∠B=30°．动点P 以1cm/s 的速度从点B 出发，沿折线B ﹣A ﹣C 运动到点C 时停止运动．设点P 出发x s 时，△PBC 的面积为y cm 2．已知y 与x 的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题：（1）试判断△DOE 的形状，并说明理由；（2）当a 为何值时，△DOE 与△ABC 相似？四、课堂小结：略五、课后作业1．用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在 （ ）A ．原图形的外部B ．原图形的内部C ．原图形的边上D ．任意位置2. 若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AC ＝5，A ′C ′＝8，则 S △ABC ：S △A ′B ′C ′ = ．3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）4. 雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m ，该生的眼部高度是1.5m ，那么旗杆的高度是___________m.5. 小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5m ，幻灯片上小树的高度是10cm ，则屏幕上小树的高度是（ ）B ．C ．D ． A B C AA ．50cmB ．500cmC ．60cmD 、600cm6. 如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°， AC= 6 ，AD=2，那么当AB 的长等于 时，使得两个直角三角形相似．7. 如图所示，已知CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，若AD ＝10，BD ＝5，求AC 的长．8. （2011江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨：定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、 个、 个大小不同的内接正方形．乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小． 任务：（1）填充甲同学结论中的数据；（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明；（3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．六、拓展延伸C B1. （2011甘肃兰州）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD >AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE 。
（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AE =10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；（3）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2=AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由.2. .如图，已知抛物线y ＝43x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点，A 点的坐标为（－1，0），过点C 的直线y ＝t43x －3与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ，且0＜t ＜1．（1）填空：点C 的坐标是___________，b ＝_______，c ＝_______； （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）；（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有tA BC DE F O。