不等式因式分解

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因式分解法的公式

因式分解法的公式因式分解法是一种代数运算方法，用于将一个多项式分解为几个因式的乘积。

这种方法可以大大简化多项式的计算和分析过程，使问题求解更加方便。

本文将介绍因式分解法的基本原理、常见的因式分解公式以及一些应用示例。

一、因式分解法的基本原理因式分解法是基于多项式的乘法运算性质进行的，其基本原理可以概括为以下三点：1. 多项式乘法的分配律：对于任意三个数a、b、c，有(a+b)·c = a·c + b·c。

这个性质可以推广到多项式的情况，即(a+b)·c = a·c + b·c。

2. 公因式提取：如果一个多项式的每一项都有一个公共的因子，那么可以将这个公因式提取出来，得到一个因式和多项式。

3. 因式定理：如果一个多项式中的某一项可以整除该多项式，那么这个项是多项式的一个因式。

基于以上原理，我们可以通过因式分解法将一个多项式分解为多个因式的乘积。

二、常见的因式分解公式1. x² - a² = (x-a)(x+a)，其中a为任意常数。

这个公式是差平方公式，适用于多项式x²减去一个常数平方的情况。

例如，可以将x² - 4分解为(x-2)(x+2)。

2. a² - b² = (a-b)(a+b)，其中a、b为任意常数。

这个公式也是差平方公式，适用于多项式a²减去一个常数平方的情况。

例如，可以将9x² - 16分解为(3x-4)(3x+4)。

3. a³ + b³ = (a+b)(a² - ab + b²)，其中a、b为任意常数。

这个公式是和立方公式，适用于多项式a³加上b³的情况。

例如，可以将x³ + 8分解为(x+2)(x² - 2x + 4)。

4. a³ - b³ = (a-b)(a² + ab + b²)，其中a、b为任意常数。

等式与不等式的变形

等式与不等式的变形在数学中，等式和不等式是我们经常使用的基本概念。

通过变形，我们可以对等式和不等式进行操作，使其更符合我们的计算和推导需求。

本文将介绍等式和不等式的基本变形规则以及应用案例，帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。

一、等式的变形1. 合并相同项：当等式中存在相同的项时，我们可以将它们合并成一个项。

例如：3x + 2x = 5x。

2. 移项：在等式中，如果某个变量或常数项在等式两边都有，我们可以将它们移到一边，以便对另一边进行运算。

例如：2x + 5 = 10，可以变形为2x = 10 - 5。

3. 因式分解：有时候我们需要将等式中的某个项进行因式分解，以便于进行运算和简化。

例如：2(x + 1) = 4，可以进行因式分解为2x + 2 = 4。

4. 变量相消：如果等式中的两个变量相等，我们可以将它们进行相消。

例如：2x + 3 = 5x - 1，可以化简为3 + 1 = 5x - 2x。

5. 通分：当等式中含有分数时，我们可以通过通分将分数进行合并。

例如：1/2x + 1/3x = 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x = 1。

二、不等式的变形1. 合并相同项：与等式的变形相似，不等式也可以合并相同项。

例如：3x + 2x > 5x。

2. 移项：不等式的移项与等式类似，将某个变量或常数项移到一边以便进行比较和运算。

例如：2x + 5 > 10，可以变形为2x > 10 - 5。

3. 改变不等号方向：当不等式中的变量或常数项与被比较的对象相互交换位置时，不等号的方向也需要相应改变。

例如：-2x + 3 < 5，可以变形为3 - 5 > 2x。

4. 因式分解：不等式中的因式分解同样适用于等式。

例如：2(x + 1) > 4，可以因式分解为2x + 2 > 4。

5. 通分：如果不等式中含有分数，我们可以通过通分将分数进行合并。

例如：1/2x + 1/3x < 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x < 1。

因式分解的常用方法

因式分解的常用方法因式分解是数学中常用的一种方法，它是将一个复杂的表达式或多项式分解成更简单的因子的过程。

因式分解在代数、方程、不等式等数学问题的解题中经常出现。

下面将介绍因式分解的常用方法。

一、公因式提取法公因式提取法是指在多项式中提取出公共的因式，然后将剩余的部分进行因式分解。

例如：1.3x+6y可以提取出公因子3，得到3(x+2y)。

2.4x^2+8x可以提取出公因子4x，得到4x(x+2)。

二、配方法配方法也被称为乘法公式法，它适用于二次型的因式分解。

当二次型为(ax+b)^2形式时，常采用配方法进行分解。

配方法的步骤如下：1. 将二次型展开为(ax+b)^2的形式，即去掉开头的系数和常数项；2. 将二次型写成(a^2x^2+2abx+b^2)的形式；3.因式分解成(a*x+b)^2的形式，即加法的平方。

例如：1.x^2+6x+9可以写成(x+3)^2的形式。

2.4x^2+12x+9可以写成(2x+3)^2的形式。

三、辗转相除法辗转相除法也是因式分解中常用的方法，它适用于多项式的因式分解和整除。

辗转相除法的步骤如下：1.对多项式进行约去常因子；2.将多项式按照次数从高到低进行排列；3.用低次多项式除以高次多项式，得到商和余数；4.如果余数为0，则表示能整除，否则继续用余数进行除法；5.将多项式的因式写成约去的常因子与商的乘积的形式；例如：1.x^2+2x+1可以通过辗转相除法整除(x+1)，得到商为x+12.3x^3-2x^2+3x+4可以通过辗转相除法整除(3x-2)，得到商为x^2+x+2四、根式分解法根式分解法适用于含有平方根或立方根的表达式因式分解。

根式分解法的步骤如下：1.提取出平方根或立方根；2.将根式进行化简；3.根据提取出的根式与原表达式进行乘法、加法运算；4.将原表达式分解成根式与其他因子的乘积的形式；例如：1.x^2+8x+16可以分解为(x+4)^22. x^3+y^3 可以分解为(x+y)(x^2-xy+y^2)。

因式分解常见错误与不等式常见考题类型

现对因式分解常见错误：分解不彻底、局部分解、忘记变号、重新还原为多项式、误用等式的性质等进行分析，查漏补缺，期望对同学们有所帮助.一、分解不彻底：1、分解因式16a 4-b 4错解：原式=（4a 2+b 2）（4a 2-b 2）；剖析：结果分解不彻底，4a 2-b 2还能分解，应分解到不能再分解为止. 正解：原式=（4a 2+b 2）（4a 2-b 2）=（4a 2+b 2）（2a+b ）(2a-b)二、局部分解：2、分解因式a 2-4+3a错解：原式=(a+2)(a-2)+3a剖析：只把多项式的一部分分解，结果没有化成几个整式积的形式，中间还有和，要正确理解因式分解的意义. 正解：原式=a 2+3a-4=(a+4)(a-1)三、忘记变号：3 、把-4x 2y+2xy 2-12xy 分解因式错解：原式=-2xy(2x-y-6)剖析:多项式首项系数若为“-”号，要把“-”号提出，在提“-”号时，括号内的多项式各项都要变号，本题第三项忘记变号. 正解：原式=-2xy(2x-y+6) 四、公式运用错误：4、分解因式-49x 6+8116y 2 错解：原式=-(23x 3)2+(94y)2=(23x 3-94y)(23x 3+94y) 剖析:没有搞清符号关系，以为是用第一项减第二项，平方差公式与位置无关而只与符号有关，因此，应先将题整理成减号在中央的形式.正解：原式=(94y)2 -(23x 3)2=（94y+23x 3）(94y-23x 3) 五、重新还原为多项式：5、分解因式(a 2+b 2)2-4a 2b 2错解：原式=(a 2+b 2+2ab)(a 2+b 2-2ab)=(a+b)2(a-b)2 =[(a+b)(a-b)]2=( a 2-b 2)2=a 4-2a 2b 2+b 4 剖析:本题实际上到第2个等号就分解到低了，不能在向下计算了！但由于受整式乘法的影响，又进行了整式乘法运算，不再是因式分解了！正解：原式=(a 2+b 2+2ab)(a 2+b 2-2ab)=(a+b)2(a-b)2六、误用等式的性质：6、分解因式x 2-y 2+xz-41z 2 错解：原式= 4x 2-4y 2+4xz-z 2=4x 2-(4y 2-4xz+z 2)=(2x)2-(2y-z)2=(2x+2y-z)(2x-2y+z) 剖析:上述解混淆了等式的恒等变形与解方程的区别，显然，第一步的两边并不相等，问题处在误用等式的性质去分母.正解：原式= x 2-（y 2-xz+41z 2）= x 2-(y-21z)2=(x+y-21z)(x-y+21z). 不等式常见考题类型1、当x 为何值时，代数式213x +－1的值不小于354+x 的值？思考：1.“不小于”怎样用数学符号表示？“不大于”呢？2.解此类问题首先应干什么？思路分析：解决此类问题首先应理解“不小于”的意思，进而再列出不等式，按照解一元一次不等式方法求解．解：依题意，得:213x +－1≥354+x , ∴4(2x ＋1)－12≥3(3＋5x )， 8x －15x ≥9＋12－4, －7x ≥17, ∴x ≤－177，所以，当x ≤－177时，代数式213x +－1的值不小于354+x 的值． 2、如图，直线l 是函数132y x =+的图象．若点()P x y ，满足5x <，且132y x >+，则P 点的坐标可能是（）Ａ．(75)，Ｂ．(46)，Ｃ．(34)，Ｄ．(21)-，思路点拨：结合图象，由于点P 的坐标需满足两个条件：5x <，132y x >+；如果把两个不等式联立起来解不等式组的话，则不易求出y x ,的取值范围，可以由5x <发现，A 选项不符合题意，再把后三个选项中的x 分别代入后一个不等式，看该点的纵坐标是否满足这个不等式。

数学中不等式的解法研究

422摘要：数学是我国的重要学科，贯穿到我国基础教育的各个方面，不等式作为数学中重要的一节，它贯穿了几何代数和函数，在多个方面起到重要作用，其中一元二次不等式是一个典型代表。

本文就数学中不等式的解法进行了研究，主要介绍了对于不含参数的一元二次不等式我们可以使用因式分解或配方法，对于含参的一元二次不等式我们可以采用分类讨论、参变分离和函数结合等多种方法解决。

一方面对于不等式不同解法的掌握可以体现学生的代数分析能力和数学综合能力，另一方面可以提高学生的数学分析能力和数学感悟能力。

关键词：不等式；解法研究；含参数不等式中图分类号：O122.3 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)031-0422-01中国是数学大国，但是我国的数学教育在很长一段时间内都是方法单一的，并不利于数学这门课程的发展，数学史的变迁蕴藏着很多的思想和方法，而不等式的学习就是数学史发展历程中的重要组成部分，同时不等式的学习是数学这门课上的重要难点，也是中学数学中的重要知识点，不等式刻画了数量之间不相等的关系，在生活中的很多领域中都有重要的应用，不等式体现在我们生活的方方面面，本文详细介绍了一元二次不等式含参数的不等式两种不同的不等式的重要解法。

一、一元二次不等式的解法(一)因式分解一元二次不等式因式分解法是我们在解决一元二次方程的时候最常用的方法，就是把这个一元二次方程转换为两个一元一次方程的乘积，这两个一元一次方程越化成简单的形式就越好解答，一元二次不等式含有一个未知数并且这个未知数的最高次数为2，这个二次方就是解题的拦路虎。

如果一道一元二次不等式中符合当把这个不等式转换成等式的时候有两个数值不相等的根，那么就可以把原不等式转换成两个一元一次的不等式，解出这两个方程的答案，交集就是我们要求的一元二次不等式的答案。

例题:求不等式的解集根据上述我们提到的用因式分解的方法解决一元二次方程的思路发现，可以得出如下的解题思路，因为2乘以x 的平方减去x 减去1大于0，可以把这个一元二次不等式拆分成两个一元一次不等式的乘积，2乘以x 的平方减去x 减去1大于0就可以拆分成括号里x 减去1和2乘以x 在加上1的乘积，解出x 大于1并且x 小于负的二分之一就是这道题的解集，这比我们去盲目的去消除原题中的二次方要简单的多。

三次不等式因式分解后解集-概述说明以及解释

三次不等式因式分解后解集-概述说明以及解释1.引言文章1.1 概述部分的内容：在数学中，不等式是一种比较两个数量大小关系的数学表达式。

因为不等式的解集可以是一段连续的数轴或者是一个区间，所以研究不等式的解集是非常重要的。

本文主要研究三次不等式，并对其进行因式分解后的解集进行详细讨论。

三次不等式是指次数为3的多项式不等式，形式为f(x) > 0，其中f(x)是一个三次多项式函数。

由于三次多项式函数的图像可以是曲线，所以解三次不等式需要结合图像和因式分解等方法。

因式分解是将一个多项式分解成一组可约的因子的过程，对于解三次不等式来说，因式分解可以将复杂的不等式化简成简单的等式，从而更方便地求解。

因此，对于三次不等式的因式分解后的解集进行研究，有助于我们更好地理解和应用三次不等式。

本文将按照以下结构展开论述：首先在引言部分概述了本文的目的和结构，然后在正文部分分三个子章节介绍了三次不等式因式分解后解集的具体方法和性质。

第一个子章节中，将介绍如何通过因式分解的方法得到三次不等式的简化形式，并讨论简化形式的解集。

第二个子章节将介绍三次不等式的图像和性质，通过图像解读和曲线分析，得到因式分解后解集的具体特征。

最后一个子章节将介绍一些实际问题中常见的三次不等式，并通过因式分解和图像分析求解实际问题。

最后，在结论部分总结了本文的主要内容，并对进一步研究三次不等式因式分解后解集的方向提出了展望。

通过对三次不等式因式分解后解集的研究，我们可以更深入地理解三次不等式的性质和特点，为解决复杂的不等式问题提供了更有力的工具和方法。

这对于学习和应用数学都具有重要的意义。

希望本文对读者对三次不等式因式分解后解集的理解和应用提供帮助，并为进一步深入研究提供了思路和启发。

1.2文章结构文章结构是指文章的整体安排和组织方式。

在本文中，结构如下：2. 正文部分：2.1 第一个子章节：2.1.1 要点1：在这个部分，我们将介绍第一个不等式的因式分解，并给出其解集。

不等式的解集计算

不等式的解集计算不等式是数学中的一种关系表达式，它描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。

计算不等式的解集是解决不等式问题的核心内容之一，它能帮助我们确定不等式中所有满足条件的数值范围。

在计算不等式的解集时，我们需要遵循一定的求解步骤和规则。

下面将介绍一些常见的不等式类型和相应的解集计算方法。

一、线性不等式线性不等式是指不等式中只包含一次线性项的不等式，如ax+b>0、cx-d≤0等形式。

解集计算的关键在于将不等式转化为等价的形式，并根据不等式的符号情况进行分类讨论。

我们可以通过以下步骤来计算线性不等式的解集：1. 将不等式中的变量项移到一边，常数项移到另一边，得到形如ax+b>0或ax+b≤0的等价不等式；2. 根据不等式中系数a的正负情况，分别进行讨论：a) 当a>0时，解集为x>-b/a或x≤-b/a，可以根据不等式的符号进行表示；b) 当a<0时，解集为x<-b/a或x≥-b/a，同样可以根据不等式的符号进行表示。

二、多项式不等式多项式不等式是指不等式中包含多个多项式项的不等式，如x^2+3x-10>0、2x^3-5x+1≤0等形式。

计算多项式不等式的解集可以通过构造不等式的因式分解形式，进而利用因式分解的性质进行求解。

具体的步骤如下：1. 将不等式移项，并得到多项式不等式的因式分解形式；2. 根据不等式的符号情况，考虑每个因子的符号，并根据多项式的乘法性质来确定解集。

三、分式不等式分式不等式是指不等式中包含分式表达式的不等式，如1/(x+2)<2/x 或(x-3)/(x+1)≥0等形式。

分式不等式的解集计算方法可以通过以下步骤来进行：1. 将不等式化简为分式的分子、分母均为多项式的形式，得到形如f(x)/g(x)>0或f(x)/g(x)≤0的等价形式；2. 构造分式的因子分解形式，并根据因子的符号情况来确定解集。

综上所述，不等式的解集计算方法可以根据不等式的类型和形式来进行相应的求解。

初中数学知识归纳线性不等式的解法

初中数学知识归纳线性不等式的解法线性不等式是初中数学中的重要知识点之一。

正确理解和掌握线性不等式的解法，对于解决实际问题和进一步学习数学都具有重要的意义。

本文将对初中数学中线性不等式的解法进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、一元一次线性不等式的解法一元一次线性不等式是指只含有一个变量的一次不等式。

解一元一次线性不等式的关键是找到变量的取值范围。

常见的一元一次线性不等式形式有以下几种情况：1. 形如ax + b > 0的不等式对于这种形式的不等式，可以通过移项和因式分解的方法求解。

首先将b移项，得到ax > -b，然后根据a的正负性质确定x的取值范围。

例如，对于不等式2x + 3 > 0，首先将3移项，得到2x > -3，然后根据2的正性质，可得x > -3/2。

2. 形如ax + b < 0的不等式对于这种形式的不等式，可以通过移项和因式分解的方法求解。

首先将b移项，得到ax < -b，然后根据a的正负性质确定x的取值范围。

例如，对于不等式3x - 4 < 0，首先将4移项，得到3x < 4，然后根据3的正性质，可得x < 4/3。

3. 形如ax + b ≥ 0的不等式对于这种形式的不等式，可以通过移项和因式分解的方法求解。

首先将b移项，得到ax ≥ -b，然后根据a的正负性质确定x的取值范围。

例如，对于不等式2x + 5 ≥ 0，首先将5移项，得到2x ≥ -5，然后根据2的正性质，可得x ≥ -5/2。

4. 形如ax + b ≤ 0的不等式对于这种形式的不等式，可以通过移项和因式分解的方法求解。

首先将b移项，得到ax ≤ -b，然后根据a的正负性质确定x的取值范围。

例如，对于不等式3x - 2 ≤ 0，首先将2移项，得到3x ≤ 2，然后根据3的正性质，可得x ≤ 2/3。

二、一元一次线性不等式组的解法一元一次线性不等式组是指含有多个一元一次线性不等式的方程组。

分解因式与二次不等式的解法

分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++；（4）222456x xy y x y +--+-2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++；（2）1xy x y -+-．3．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．4.高次多项式的因式分解（试根法）例4分解因式：（1）x3-9x+8．练习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8；（2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1；（4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．分解因式：（1） 31a +；（2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++；（4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ；（2）23x --；（3）2234x xy y +-；（4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．5. 分解因式：x 9+x 6+x 3-3一元二次不等式的解法例1画出一次函数y=2x+1的图象，观察函数图象，填空：当y=0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y<0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y>0时，x的取值范围是＿＿＿＿例2画出函数y=x2-x-6的图象，观察函数图象，填空：当y=0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y<0时，x的取值范围是＿＿＿＿当y>0时，x的取值范围是＿＿＿＿例题：解下列关于x的不等式（1）x2-x-2>0 （2）-2x2+x+3>0 （3）x2-x-6<0 （4）x2-5x+6<0（5）x2-2x+3<0 （6）x2+x+2>0课堂练习：一、解下列不等式(1)、4x2-4x+1>0 (2)、-x2+2x+3>0(3)、-x2+2x-3>0 （4）、-x2-2x+3>0(5）x2-（a+a2）x+a3>0 (a>3)6.对任何实数x ，不等式（k≠0）都成立，求k的取值范围。

《解一元二次不等式》因式分解法

分解法简化求解过程。
Байду номын сангаас
数学竞赛
因式分解法是数学竞赛中常用的解题方法之一，对于提高解题速度和准确度具有重要作用。
数学教育
因式分解法是中学数学教育中的重要内容之一，对于培养学生的逻辑思维和数学素养具有重要意义。
03 解一元二次不等式的因式分解法实例
简单的一元二次不等式实例
总结词：简单易懂
详细描述：对于形式简单的一元二次不等式，因式分解法是一种直观且易于理解的方法。例如，对于不等式x^2 - 2x - 3 > 0，可以通过因式分解为(x - 3)(x + 1) > 0，从而得出解集为x < -1或x > 3。
解集为 $varnothing$。解析：首先将不等式 $-3x^2 + 4x - 4 < 0$ 进行因式分解，得到 $(2x - 2)(3x - 2) > 0$。由于临界点 $x = frac{2}{3}$ 和 $x = 1$ 不满足不等式，因此不等式的解集为空集。
解集为 $varnothing$。解析：首先将不等式 $x^2 - 2x + 1 > 0$ 进行因式分解，得到 $(x 1)^2 > 0$。由于平方项始终大于等于0，因此不等式的解集为空集。
复杂的一元二次不等式实例
总结词：技巧性强
详细描述：对于形式复杂的一元二次不等式，因式分解法需要一定的技巧和经验。例如，对于不等式x^2 - 6x + 9 > 0，可以先将常数项移至右侧，得到x^2 - 6x > -9，然后通过配方转化为(x - 3)^2 > 0，从而得出解集为所有实数x，除了x = 3。
《解一元二次不等式》因式分解法

八年级数学下册专题不等式和因式分解的讲解

北师大版初二下数学知识点汇总(补习)第一讲不等式1.不等式是指表示不等关系的式子。

（比如a>b ，3>2）（通常用大于（>）小于（<）或者大于等于（》）和小于等于（《）连接）2.不等式的基本性质1.不等式两边同时加或减同一个整式，不等式不变号；2.不等式两边同时乘以或者除以一个正数，不等式不变号；3.不等式两边同时乘以或者除以一个负数，不等式要变号（一定要谨记）3.解一元一次不等式的一般方法顺序：（1）去分母（2）去括号 (括号内每一项要变号)（3）移项（运用不等式性质） (移项看需要变号？)（4）合并同类项。

（同类项系数相加减字母不改变）（5）将未知数的系数化为1（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集4.规定原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

数轴的时候，实心和空心的区别习题巩固1.解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上（1） 3-X ＞5 （2）21-+X <3 (3)<-21X 354-X(4)-x+1>7x-3 (5)6(x-1) ≥3+4x (6)5X +1<X2.解不等式组（1）2X-1>-X 3X-2<X+1 21X<3 X+5>4X+1第二讲分解因式因式分解(分解因式)，把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

因式分解的步骤：1.先判断能不能提出公因式，2.再看能不能用公式法。

（运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

）公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式:完全平方公式：习题巩固把下列各式因式分解（1）7X3-21X2(2)8a3b2-12ab3c+ab (3)25-16X2(4)X2+14X+49 (5)25m2-80m+64 (6)a2-81先因式分解，再计算求值（1）4x(m-2)-3x(m-2), 其中x=1.5,m=6（2）9x2+12xy+4y2,其中x=2 y=3。

不等式分式因式分解+20120226

不等式解不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1。

解不等式组的步骤：①解不等式组中的各个不等式；②利用数轴求出这些不等式解集的公共部分，即求出了该不等式组的解集。

例已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，则ａ的取值范围是。

例已知方程组3-21-21x y m x y m =+⎧⎨+=-⎩，m 为何值时，x ＞y ？例不等式组5125x -≤-≤的解集是，其中整数解是。

例已知3(52)546(1)x x x ++<-+，化简3333.x x ---例小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元每支钢笔5元，那么小明最多能买支钢笔。

例甲、乙两家日用品商店出售同样品牌花瓶，每个大的花瓶20元，每个小的花瓶5元，现在两家商店搞促销活动，甲店每买一个大花瓶赠一个小花瓶，乙店按定价的九折优惠，某人需购买大花瓶4个，小花瓶x 个（x ≥4）。

① 若去甲店购买，应付多少元？② 若去乙店购买，应付多少元？③ 某人买20个小花瓶，应去哪个店购买？若买30个呢？④ 购买多少个小花瓶时，去两家商店购买的价格相同？分式一．分式的概念1．一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式．对分式的概念的理解要注意以下两点：（1）分母中应含有字母；（2）分母的值不能为零．分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当0≠B 时，分式B A 才有意义；当B=0时，分式BA 无意义. 2．由于只有在分式有意义的条件下，才能讨论分式的值的问题，因此，要分式的值为零，需要同时满足两项条件：（1）分式的分母的值不等于零；（2）分子的值等于零．例当x ＝_____时，分式211x x -+＝0 二．分式的基本性质分式的基本性质是：分式的分子与分母同乘以（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示是：C B C A B A ⋅⋅= CB C A B A ÷÷= （0≠C ）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质．三．分式的运算1．约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分．约分的依据是分式的基本性质．（注：月份中的公因式不能为零）例（1）d b a c b a 42342135- （2）23)(4)(2x y y y x x --2．通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分。

因式分解+不等式

分解因式注意事项小结（1）分解因式应首先考虑能否提取公因式，若能则要一次提尽。

然后再考虑运用公式法（2）要熟悉三个公式的形式特点。

灵活运用对多项式正确的因式分解。

（3）对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不能分解为止【典型例题】例1. （1）分解因式：x x y x y x x y ()()()+--+2（2）x y 4416-（3）x y xy 33- （4）()x y x --3422（5）13231322x xy y ++ （6）252034322m m m n m n --+-()()（7） ()()x x 2221619---+ （8）因式164129222a b bc c -+-课堂练习一. 填空题1. 1218323x y x y -的公因式是___________2. 分解因式：2183x x -=__________3. 若A x y B y x =+=-353，，则A A B B 222-⋅+=_________4. 若x x t 26-+是完全平方式，则t ＝________5. 因式分解：944222a b bc c -+-=_________6. 分解因式：a c a bc ab c 32244-+=_________7. 若||x x xy y -+-+=214022，则x ＝_______，y ＝________ 8. 若a b ==9998，，则a ab b a b 22255-+-+=_________9. 计算12798012501254798....⨯-⨯=________ 10. 运用平方差公式分解：a 2－_______＝（a ＋7）（a －_____）11. 完全平方式49222x y -+=()12. 若a 、b 、c ，这三个数中有两个数相等，则a b c b c a c a b 222()()()-+-+-=_________13. 若a b ab +==-514，，则a a b ab b 3223+++=__________二. 选择题（每小题3分，共27分）14. 下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）A. 18363232x y x y =⋅B. ()()m m m m +-=--2362C. x x x x x 289338+-=+-+()()D. m m m m 2623--=+-()()15. 多项式-+-36322x y xy xy 提公因式-3xy 后另一个多项式为（） A. x y +2B. x y +-21C. x y -2D. x y -+2116. 下列多项式中不含有因式()x -1的是（）A. 2313x x -+B. x x 245+- C. x x 287-+ D. x x 26+- 17. 下列各式进行分解因式错误的是（）A. 96322--+-=-+()()()x y x y x yB. 41292222()()()a b a a b a a b ---+=+C. ()()()()()a b a b a c a c b c +-+-+-=+2222D. ()()()m n m n m n ---+=-+2221118. ()()-+--a a a m m 1的值是（） A. 1 B. -1 C. 0 D. ()-+11m19. 把3154521a a a n n n +++-分解因式是（）A. 35152a a a n ()+-B. 351521a a a n ()+--C. 12 D. 35151a a a n ++-()20. 若n 为任意整数，()n n +-1122的值总可以被k 整除，则k 等于（）A. 11B. 22C. 11或22D. 11的倍数星期六课外作业1．（2009广西崇左）不等式组221x x -⎧⎨-<⎩≤的整数解共有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个2.（2009山东东营）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--+2321123x ,x x ＞的解集在数轴上表示正确的是（）3.（2009山东烟台）如图，直线y kx b =+经过点(12)A --，和点(20)B -，，直线2y x =过点A ，则不等式20x kx b <+<的解集为（）A ．2x <-B ．21x -<<-C ．20x -<<D ．10x -<<4.（2009湖北）直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（）． A 、x ＞1 B 、x ＜1C 、x ＞－2D 、x ＜－2 5．不等式043<+x 的最大负整数解是（）A ．0B ．-1C ．-2D ．不能确定6．若b a ,都是有理数，下列说法正确的是（）A ．若b a >，则22b a >B ．若b a >，则22b a >（A ） -3 1 0 （B ） -1 30 （C ） -3 1 0 （D ）-1 30 O 1x y (第05题图)－2 y ＝k 2x ＋cy ＝k 1x ＋bC ．若b a ≠，则22b a ≠D ．若b a >，则22b a >7. 下列等式中一定正确的是（）A. ()()a b b a n n +=+B. ()()a b b a n n-=-C. ()()b a a b n n -=--D. ()()--=+a b a b n n8. 多项式-++8102233222m n m n m n 被-222m n 除，所得的商为（）A. 451n m +-B. 451n m -+C. 451n m --D. 45n m + 9.（2009四川遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 .10、若<a b 且>0c ，则ac c +_____bc c +。

初中不等式解法

初中不等式解法引言：不等式在数学中起着重要的作用，它们在解决实际问题时起着至关重要的作用。

在初中阶段，我们学习了一些基本的不等式解法方法，本文将介绍这些方法，并结合具体的例子进行说明。

一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。

解决这种类型的不等式时，我们可以使用逆运算的方法。

1. 逆运算法逆运算法是指通过对不等式两边进行相同的操作，使得不等式保持不变。

例如，当我们遇到一个形如ax+b>c的一元一次不等式时，可以按照以下步骤进行求解：（1）将不等式两边同时减去b，得到ax>c-b；（2）将不等式两边同时除以a，得到x>(c-b)/a。

2. 图解法图解法是指将不等式表示在数轴上，通过观察数轴上的区间来确定不等式的解集。

例如，当我们遇到一个形如2x+3>7的一元一次不等式时，可以按照以下步骤进行求解：（1）画出数轴，并在数轴上标出7；（2）确定2x+3=7的解，即2x=4，解得x=2；（3）由于不等式是大于号，所以解集在2的右侧。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。

解决这种类型的不等式时，我们可以使用因式分解法和求根法。

1. 因式分解法当一元二次不等式可以进行因式分解时，我们可以通过观察因式的正负来确定不等式的解集。

例如，当我们遇到一个形如x^2-5x+6>0的一元二次不等式时，可以按照以下步骤进行求解：（1）将不等式左边的二次多项式进行因式分解，得到(x-2)(x-3)>0；（2）观察因式(x-2)和(x-3)的正负情况，可以得到x的取值范围为2<x<3。

2. 求根法当一元二次不等式无法进行因式分解时，我们可以通过求解二次方程的根来确定不等式的解集。

例如，当我们遇到一个形如x^2+4x+3>0的一元二次不等式时，可以按照以下步骤进行求解：（1）求解二次方程x^2+4x+3=0，可以得到x=-1和x=-3；（2）观察二次方程的图像，可以得知x^2+4x+3>0的解集为x<-3或x>-1。

因式分解、不等式与分式方程

因式分解、不等式与分式方程一、分解因式1. 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，也叫分解因式。

2. 因式分解的方法：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧±=+±+-=-)(2:))((2222b a b ab a b a b a b a 完全平方式平方差公式：公式法分解以是字母）的因子（可以是数也可提公因式法：提取公共练习：1．分解因式 m 3 – 4m = . 解因式：3222b ab b a +-＝2．因式分解：=+-m mx mx 2422 ．分解因式：a 3－2a 2+a=_______________.=++222y xy x 。

分解因式：=+-122x x3．因式分解：y y x 92-=___________.分解因式：x ²y-xy ²= ．4．分解因式：m 2—2m= ．分解因式：=-442x5．因式分解：162-x = ．分解因式：4χ2-y 2= .6、计算：(－3x 2)3＝＿＿＿＿＿＿＿＿。

7、因式分解：x 2－4＝＿＿＿＿＿分解因式：3a 2b －4ab =________________ 分解因式：34x x -= 因式分解：2()1xy -= 分解因式x 2－9y 2＝_______．分解因式:29a -= 因式分解:x 2-9=_____________________ 把x x 43-分解因式，结果为_________________________下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）（A ）xy x -2 （B ）xy x +2 （C ）22y x + （D ）22y x - 把代数式 322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是A ．(3)(3)x x y x y +-B ．223(2)x x xy y -+C ．2(3)x x y -D ．23()x x y -二、解不等式y y y1、不等式110320.x x ⎧+>⎪⎨⎪-⎩，≥的解集是（） A ．－31＜x ≤2 B ．－3＜x ≤2 C ．x ≥2 D ．x ＜－3 2、关于x 的方程12mx x -=的解为正实数，则m 的取值范围是（）A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜23、把不等式x+2>4的解表示在数轴上，正确的是( )4、不等式组320,10x x ->⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确是的是（）5、不等式26,2 1.x x -<⎧⎨-+>⎩的解集是( )A ．x >－3B ．x >3C ．－3<x <3D ．无解6、不等式组⎩⎨⎧≤-<+5148x x x 的解集是：A. 5≤xB. 53≤<-xC.53≤<xD. 3-<x7、下列不等式变形正确的是（）(A)由a ＞b ，得a －2＜b －2 (B)由a ＞b ，得－2a ＜－2b(C)由a ＞b ，得a ＞b (D)由a ＞b ，得a 2＞b 28、不等式组⎩⎨⎧-<++≤14242x x x x 的正整数解有：（）（A ）（B ）（C ）（D ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个9、不等式组2312x x x x +>⎧⎪⎨⎪⎩≥-3的解集是 10、请你写出一个满足不等式2x -1<6的正整数x 的值： .11、不等式－032>-x 的解是_______________12、不等式组2113x x +>-⎧⎨+⎩２,≤.的整数解为_______． 13、不等式组⎩⎨⎧>-<-21312x x 的解集是___________．三、分式方程1．方程23+x =11+x 的解为（） A ．x =54 B ．x = －21 C ．x =－2 D ．无解 2．分式方程0242=+-xx 的根是( ) . A.2-=x B. 0=x C.2=x D.无实根3．分式方程3x －2＝1的解是( ) A ．x ＝5 B ．x ＝1 C ．x ＝－1 D ．x ＝24．分式方程131x x x x +=--的解为 A ．1x = B ．1x =- C ．3x = D ．3x =-5．分式方程xx 321=-的解是（） (A)－3 (B) 2 (C)3(D)－26．分式方程131x x x x +=--的解为 A ．1x = B ．1x =- C ．3x = D ．3x =-7．将分式方程13)1(251+=++-x x x x 去分母整理后得：（A ）018=+x （B ）038=-x（C ）0272=+-x x （D ）0272=--x x8．分式方程xx x -=+--23123的解是（） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．-29．分式方程01111=-++x x 的解是（） A ．x = 1 B ．x = －1 C ． x = 0 D ．21=x二、填空题 1．分式方程112x =-的解是 ▲ . 2．分式方程2231x x x x =+-的解x ＝________． 3．方程121x x=-的解是 . 4．方程 1x –2 = 2x 的解是5．方程x x 132=-的解为x =___________． 6．方程4131x +=-的解为 . 7．分式方程456x x x x -=-+的解是．8．方程035=-+x x x 的解是。

因式分解与不等式的解法专题训练

因式分解专题训练一、分解因式的含义：___________________________________________________________. 二、因式分解的思路：___________________________________________________________. 三、训练题 1、分解因式：xy -y2 = x 2-y 2 = 9-25 x 2= x 2+2x +1=(x-y)2-14(x-y)+49= αx 2+αy 2-2αxy-αb 2=2、（1）分解因式：232++x x = 232+-x x = 322-+x x = 322--x x = 652++x x = 652+-x x =652-+x x = 652--x x =1582+-x x = 9102++x x = （2）分解因式：2522++x x = 6722+-x x = 20322--x x = 7522-+x x =25562--x x = 3832-+x x =2532+-x x = 2352--x x =8652-+x x = －3522+-x x =x 2－(a ＋1) x ＋a =注：十字相乘法适合形式为二次三项式二次项系数为1 :二次项系数不是1:一元二次不等式的解法专题一、解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-<---≥+3116821)21(2x x x x思考：如何来解不等式：2、解下列不等式：（1）02732<+-x x （2）0262≤+--x x （3）01442<++x x （4）0532>+-x x3、解下列不等式：（1）0)2(<-x x（2）0)3)(2(>-+x x（3）2)2)(1(≤++x x思考：)(0))((b a b x a x >>--与)(0))((b a b x a x ><--的解集例5 解不等式（1）073<+-x x （2）021≤++x x拓展训练：1、y =的定义域为 .2、不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是( )．A ．{x|x≤－2或x≥1} B．{x|－2<x<1} C ．{x|－2≤x≤1} D ．∅3、集合A={2|540}x x x -+≤，B=2{|560}x x x -+≥，则A B =（）. A ．{|12x x ≤≤或34}x ≤≤ B ．{|12x x ≤≤且34}x ≤≤ C ．{1，2，3，4} D ．{|41x x -≤≤-或23}x ≤≤4、设集合S ＝{x||x|<5}，T ＝{x|x 2＋4x －21<0}，则S∩T＝( )． A ．{x|－7<x<－5} B ．{x|3<x<5} C ．{x|－5<x<3} D ．{x|－7<x<5}5、已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋3x －1<0，N ＝{x|x≤－3}，则集合{x|x≥1}等于 ( )．A ．M∩NB ．M ∪NC ．∁R (M∩N)D ．∁R (M ∪N) 6、若不等式ax 2＋8ax ＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a 的值是 ( )． A ．1B ．2C ．3D ．4含绝对值不等式的解法专题1、不等式|1－2x|<－3的解集是___________.不等式|2x －4|>－3的解集是____________. 不等式|1－2x|<3的解集是_____________.不等式2|2x －4|>3的解集是_____________.2、在数轴上与原点距离不大于2的点的坐标的集合是( ) A.{x|－2<x<2} B.{x|0＜x ≤2}C.{x|－2≤x ≤2}D.{x|x ≥2或x ≤－2} 3、已知a>1,则不等式|x|+a>1的解集是( )A. {x|a －1<x<1－a}B. {x|x<a －1或x>1－a}C. ∅D. R4、已知集合A={x||x －1|<3},B={x|213+x －1>0},则A ∩B 等于( )A.{x| －2<x<4}B.{x| x>2}C.{x| 31<x<4} D.以上都不对5、对于任意实数x,不等式|x|≥m －1恒成立，则实数m 的取值范围是_________.6、不等式x 2－5|x |+6≤0的解集是 ________.7、不等式|x －2|+|x －3|<9的解集是________________.。

含参二次不等式因式分解

一、公式法必会的乘法公式公式1ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++公式23322))((b a b ab a b a +=+-+立方和公式公式33322))((b a b ab a b a -=++-立方差公式公式433322()33a b a b a b ab +=+++公式533223()33a b a a b ab b -=-+-例1用立方和或立方差公式分解下列各多项式：1 38x +2 30.12527b -例2分解因式：1 34381a b b - 2 76a ab -二、分组分解法从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式,如ma mb na nb +++既没有公式可用,也没有公因式可以提取．因此,可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式例3把2105ax ay by bx -+-分解因式．例4把2222()()ab c d a b cd ---分解因式．2．分组后能直接运用公式例5把22x y ax ay -++分解因式．例6把2222428x xy y z ++-分解因式．十字相乘法分解因式1多项式c bx ax ++2,称为字母的二次三项式,其中称为二次项, 为一次项, 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．2在多项式2286y xy x +-中,如果把看作常数,就是关于的二次三项式；如果把看作常数,就是关于的二次三项式．3在多项式37222+-ab b a 中,把看作一个整体,即 ,就是关于的二次三项式．同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把看作一个整体,就是关于的二次三项式．1对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项,凑一次项”当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．2对于二次项系数不是1的二次三项式大家知道,2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来,就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现,二次项系数a 分解成12a a ,常数项c 分解成12c c ,把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到1221a c a c +,如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ,那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++,其中11,a c 位于上一行,22,a c 位于下一行．十字相乘法的要领是：“头尾分解,交叉相乘,求和凑中,观察试验”;这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法．必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．它的特征是“拆两头,凑中间”当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项；常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1把下列各式因式分解：1 276x x -+2 21336x x ++3 2524x x +-4 2215x x --5 226x xy y +-6 222()8()12x x x x +-++①竖分二次项与常数项②交叉相乘,和相加③检验确定,横写因式顺口溜：竖分常数交叉验,横写因式不能乱例2、因式分解与系数的关系若多项式a 2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积,则整数k 可取的值有个个个个分析：因为二次项系数为1,所以原式可分解为a+ma+n 的形式,其中mn=16,k=m+n,所以整数k 可取值的个数取决于式子mn=16的情况.其中m 、n 为整数因为16=2×8,16=-2×-816=4×4,16=-4×-416=1×16,16=-1×-16所以k=±10,±8,±16答案：B2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解例2把下列各式因式分解：1 21252x x --2 22568x xy y +-说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难,具体分解时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号．练习1：分解因式122157x x ++ 2 2384a a -+ 3 2576x x +-4 261110y y --5 2252310a b ab +-6 222231710a b abxy x y -+7 22712x xy y -+ 8 42718x x +- 9 22483m mn n ++10 53251520x x y xy --练习2分解因式191024+-x x ； 2)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+； 3120)8(22)8(222++++a a a a ．4、90)242)(32(22+-+-+x x x x ．5 653856234++-+x x x x ．6 655222-+-+-y x y xy x ．7 cac －a ＋bcb －c ＋aba －b ．三、十字相乘与其它知识综合例1.分组分解后再用十字相乘把2x 2-8xy+8y 2-11x+22y+15分解因式解：原式=2x 2-8xy+8y 2-11x-22y+15=2x-2y 2-11x-2y+15=x-2y-32x-2y-5=x-2y-32x-4y-5说明：分组后运用十字相乘进行因式分解,分组的原则一般是二次项一组,一次项一组,常数项一组.本题通过这样分组就化为关于x-2y的二次三项式,利用十字相乘法完成因式分解.例2.换元法与十字相乘法把x2+x+1x2+x+2-6分解因式分析：观察式子特点,二次项系数和一次项系数分别相同,把x2+x看成一个“字母”,把这个式子展开,就可以得到关于x2+x的一个二次三项式或设x2+x=u,将原式化为u+1u+2-6=u2+3u-4,则更为直观再利用十字相乘法进行因式分解.解：x2+x+1x2+x+2-6=x2+x+1x2+x+2-6=x2+x2+3x2+x-4=x2+x+4x2+x-1说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了,若能分解一定要继续分解,例3、把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式分析：在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3=10x2-27y+1x -28y2-25y+34y -37y ╳ -1=10x2-27y+1x -4y-37y -12 -7y – 15 ╳ 4y - 3=2x -7y -15x +4y -3=2x -7y +15x +4y -3说明：在本题中先把28y2-25y+3用十字相乘法分解为4y-37y -1,再用十字相乘法把10x2-27y+1x -4y-37y -1分解为：2x -7y -15x +4y -3解法二、10x2-27xy-28y2-x+25y-32 -7y5 ╳ 4y=2x -7y5x +4y-x -25y- 32 x -7y 15 x +4y ╳ -3=2x -7y+1 5x +4y-3=2x -7y+15x +4y -3说明:在本题中先把10x2-27xy-28y2用十字相乘法分解为2x -7y5x +4y,再把2x -7y5x+4y-x -25y- 3用十字相乘法分解为2x -7y+1 5x +4y-3.试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点,从各项的次幂的次数及各项系数去分析例4.因式分解与十字相乘法已知x 2+y 2x 2-1+y 2=12求：x 2+y 2的值解：x 2+y 2x 2-1+y 2=12x 2+y 2x 2+y 2-1-12=0x 2+y 22-x 2+y 2-12=0x 2+y 2-4x 2+y 2+3=0∵x 2+y 2≥0例5 把下列各式分解因式：191024+-x x ；2)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；3120)8(22)8(222++++a a a a ．点悟：1把2x 看作一整体,从而转化为关于2x 的二次三项式；2提取公因式x ＋y 后,原式可转化为关于x ＋y 的二次三项式；3以)8(2a a +为整体,转化为关于)8(2a a +的二次三项式．解：1 )9)(1(9102224--=+-x x x x＝x ＋1x －1x ＋3x －3．2 )(2)(5)(723y x y x y x +-+-+＝x ＋yx ＋y －17x ＋y ＋2＝x ＋yx ＋y －17x ＋7y ＋2．3 120)8(22)8(222++++a a a a点拨：要深刻理解换元的思想,这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整体,才能构成二次三项式,以顺利地进行分解．同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解,如能分解,要分解到不能再分解为止．例6 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．点悟：把x x 22+看作一个变量,利用换元法解之．解：设y x x =+22,则原式＝y －3y －24＋90＝y －18y －9)92)(182(22-+-+=x x x x ．点拨：本题中将x x 22+视为一个整体大大简化了解题过程,体现了换元法化简求解的良好效果．此外,)9)(18(162272--=+-y y y y 一步,我们用了“十字相乘法”进行分解．例7 分解因式653856234++-+x x x x ．点悟：可考虑换元法及变形降次来解之．解：原式]38)1(5)1(6[222-+++=x x x x x ]50)1(5)1(6[22-+++=xx x x x , 令y xx =+1,则原式)5056(22-+=y y x)13)(3)(12)(2(++--=x x x x ．点拨：本题连续应用了“十字相乘法”分解因式的同时,还应用了换元法,方法巧妙,令人眼花了乱．但是,品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”,这是一个重要环节．例8：解关于x 方程：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0分析：2a2–ab-b2可以用十字相乘法进行因式分解解：x2- 3ax + 2a2–ab -b2=0x2- 3ax +2a2–ab - b2=01 -b2 ╳ +bx2- 3ax +2a+ba-b=01 -2a+b1 ╳ -a-bx-2a+b x-a-b=0所以 x1=2a+b x2=a-b例9 已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式．点悟：因为12624+++x x x 是四次多项式,有一个因式是42++ax x ,根据多项式的乘法原则可知道另一个因式是32++bx x a 、b 是待定常数,故有=+++12624x x x +2(x )3()42+++⋅bx x ax ．根据此恒等关系式,可求出a ,b 的值．解：设另一个多项式为32++bx x ,则12)43()43()(234++++++++=x b a x ab x b a x ,∵ 12624+++x x x 与12)43()43()(234++++++++x b a x ab x b a x 是同一个多项式,所以其对应项系数分别相等．即有由①、③解得,a ＝－1,b ＝1,代入②,等式成立．∴ a ＝－1,另一个因式为32++x x ．点拨：这种方法称为待定系数法,是很有用的方法．待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法,在其他数学知识的学习中也经常运用．希望读者不可轻视．练习3、1、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式．2、若x －y ＝6,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为__________．提高版练习1、把下列各式分解因式：16724+-x x ； 236524--x x ； 3422416654y y x x +-； 4633687b b a a --； 5234456a a a --； 6422469374b a b a a +-．练习2、12224)3(x x --； 29)2(22--x x ； 32222)332()123(++-++x x x x ； 460)(17)(222++-+x x x x ；58)2(7)2(222-+-+x x x x ；648)2(14)2(2++-+b a b a ．练习3．已知x ＋y ＝2,xy ＝a ＋4,2633=+y x ,求a 的值．四、其它因式分解的方法1．配方法例11分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法,配方后将二次三项式化为两个平方式,然后用平方差公式分解．当然,本题还有其它方法,请大家试验．2．拆、添项法例12分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行．细查式中无一次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为0了,可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+--说明：本解法把原常数4拆成1与3的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例,造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x y -,将多项式分成两组32()x x +和244x -+．一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行：1 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式；2 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解；3 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组或其它方法如十字相乘法来分解；4 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．A 组1．把下列各式分解因式：1 327a +2 38m -3 3278x -+4 3311864p q --5 3318125x y - 63331121627x y c + 2．把下列各式分解因式：1 34xy x +2 33n n x x y +-3 2323()a m n a b +-4 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式：1 232x x -+2 23736x x ++ 321126x x +-4 2627x x --5 2245m mn n --6 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式：1 5431016ax ax ax -+2 2126n n n a a b a b +++-3 22(2)9x x --4 42718x x --5 2673x x --6 2282615x xy y +-7 27()5()2a b a b +-+- 8 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式：1 233ax ay xy y -+-2 328421x x x +--3 251526x x xy y -+-4 224202536a ab b -+-5 22414xy x y +--6 432224a b a b a b ab +--7 66321x y x --+ 8 2(1)()x x y xy x +-+B 组1．把下列各式分解因式：1 2222()()ab c d cd a b -+-2 22484x mx mn n -+-3 464x +4 32113121x x x -+-5 3223428x xy x y y --+2．已知2,23a b ab +==,求代数式22222a b a b ab ++的值．3．证明：当n 为大于2的整数时,5354n n n -+能被120整除．4．已知0a b c ++=,求证：32230a a c b c abc b ++-+=．第二讲因式分解答案A 组1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),n x x y y xy x x x y x xy y +-+-++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)n ax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++ 2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+ 23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．B 组1．22()(),(42)(2),(48)(48),bc ad ac bd x m n x n x x x x +--+--+++2(1)(3)(7),(2)(2)x x x x y x y ----+．2．283 3．5354(2)(1)(1)(2)n n n n n n n n -+=--++4．322322()()a a c b c abc b a ab b a b c ++-+=-+++三、强化练习1.把下列各式分解因式1x-x 2+4223a 2n +a 4n -2a 6n4x-y 2+3x 2-y 2-4x+y 25x 2-xy-2y 2-x-y2.已知：x 2+xy-2y 2=7,求：整数x 、y 的值3．已知x ＋y ＝2,xy ＝a ＋4,2633=+y x ,求a 的值．答案与提示：1.1-x-7x+6 2 3-a 2n a n +1a n -12a 2n +1 4-2y5x+3y提示：可分别把x-y 和x+y 各看成一个“字母”,如设x-y=m,x+y=n,则原式化为m 2+3mn-4n 2 5x+yx-2y-1提示：可参考“疑难精讲例3” 2.提示：将已知条件的左边分解因式得：x+2yx-y=7∵x 、y 都为整数∴有3∵ ))((2233y xy x y x y x +-+=+]3))[((2xy y x y x -++=,又∵ 2=+y x ,xy ＝a ＋4,2633=+y x ,∴ 26)]4(32[22=+-a , 解之得,a ＝－7．。

基本不等式——因式分解双换元类型讲义高一上学期数学人教A版

基本不等式——因式分解双换元类型▲适用题型：双变量条件等式能因式分解的时候可以考虑双换元，整理成更容易利用不等式的结构； ▲方法原理：比如：()()22111112112111312222a b m a b a b a b a b m a m m b m m m a b m m m m m ⎧+=⎧⎪⎪-=⇒+-=⇒⎨⎪-=⎪⎪⎩⎪⎧⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎪⎛⎫⎛⎫⎪⇒+=++-=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩关键在于观察条件等式能否因式分解，除了常见的初中所学的因式分解，还有一些可以配凑分解，比如()()()()()31111113114ab a b ab a b a b b a b a b ++=⇒++=+++-⎧⎪⎨=++-=⇒++=⎪⎩ 例题1．若实数,a b 满足2244a b -=，则252a ab +的最小值为__________.例题2．已知正实数a ，b 满足3ab a b ++=，则2a b +的最小值为__________．例题3．若2,1a b >>-，且满足26ab a b +-=，则1921a b +-+的最小值为______．练习1．已知正实数x ，y 满足：222x x xy y ++=，则232x y y ++的最小值为_________．练习2．已知a ，b 为正实数，且()(2)9a b a b a b ++++=，则34a b +的最小值为___________.练习3．已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________. 练习4．已知实数x ，y 满足：22234x xy y +-=，则222x y -的最小值为_________．练习5．设实数,x y 满足2214x y -=，则232x xy -的最小值是_______．练习6．已知,x y ∈R 且满足2222x y xy -+=，则222x y +的最小值是___________.练习7．若实数,x y 满足2221x xy y +-=，则222522x yx xy y --+的最大值为________.练习8．实数,x y 满足22231x xy y +-=，则22x y +的最小值是__________．练习9．已知实数x，y满足2221x xy y+-=，则232x xy-的最小值是______．练习10．若实数x，y满足2221x xy y+-=，则22522x xy y-+的最小值为 ___.练习11．已知实数x,y满足2()12x x y y+=+，则227x y-的最小值为_______．。