确定隶属函数的方法
第4章_隶属函数的确定方法
第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。
对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。
因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊方法解决各种实际问题的关键。
然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。
其原因就在于一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映，隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。
但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。
本章将选择4种经常使用的、具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。
4.1 直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函例1、“正好”、“热”和“很热”图1 空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描图2 汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。
因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。
例如，模糊集A = “高个子”的隶属函数。
如果论域是“成年男性”，其隶属函数的曲线如图3(a )所示；而如果论域是“初中一年级男生”，其隶属函数的曲线则为图3(b )所示的情形。
(a) (b)图3 不同论域下“高个子”的隶属函数4.2 二元对比排序法建立一个模糊集的隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于某个模糊概念的程度进行比较、排序。
隶属函数的确定方法
cd
x
(3)抛物型分布 ①偏小型 1 k b x A( x ) b a 0 ②偏大型 0 k x a A( x ) b a 1
xa a xb b x xa
1
1
0
a
b
x
a xb b x
0 x a1 a1 a2 1 1 A( x ) sin x a1 x a2 2 2 2 a2 a1 1 a2 x
③中间型
0 x a 2 1 1 a1 a2 sin x a2 x a1 2 2 2 a2 a1 A( x ) 1 a1 x a1 1 1 a1 a2 sin x a1 x a2 2 2 2 a2 a1 0 a2 x
所以有
A1 ( x ) P{ x }
x
P ( x )dx
类似地
A3 ( x ) P{ x }
x
P ( x )dx
其中P ( x )和P ( x )分别是随机变量 和的概率密度，即
A2 ( x ) 1 A1 ( x ) A3 ( x )
分 组 13.5~14.5 14.5~15.5 15.5~16.5 16.5~17.5 17.5~18.5 18.5~19.5 19.5~20.5 20.5~21.5 21.5~22.5 22.5~23.5 23.5~24.5 24.5~25.5 频数 2 27 51 67 124 125 129 129 129 129 129 128 隶属频率 0.016 0.210 0.395 0.519 0.961 0.969 1 1 1 1 1 0.992 分 组 25.5~26.5 26.5~27.5 27.5~28.5 28.5~29.5 29.5~30.5 30.5~31.5 31.5~32.5 32.5~33.5 33.5~34.5 34.5~35.4 35.5~36.5 频数 103 101 99 80 77 27 27 26 26 26 1 隶属频率 0.798 0.783 0.767 0.620 0.597 0.209 0.209 0.202 0.202 0.202 0.008
模糊数学1、模糊集、隶属度函数、如何确定隶属度函数
模糊数学1、模糊集、⾪属度函数、如何确定⾪属度函数------------------------2021.3.14更新------------------------------⼀个关于模糊和概率的趣味⼩问题------------------------2021.3.14更新------------------------------------------------------2020.8.17更新------------------------------总算学完了，这懒病改改改了，放⼀下所有的笔记链接集合的概念：⼀些具有相同特征的不同对象构成的全体，也称集或者经典集合。
经典集合的特征函数（和模糊集的⾪属度函数⼀样）：f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1\quad x \in A \\ 0\quad x \notin A \\ \end{array} \right.⼀个经典集合A，它的特征函数为f()，那么怎么判断⼀个新的对象x是不是属于这个集合呢，计算f(x)是0还是1，是1代表属于A，是0代表不属于。
与之对应的是模糊集合，假设A是⼀个模糊集合，它的⾪属度函数是\mu _A ( \cdot )，那么⼀个新的对象x属于A的程度就是\mu _A (x)（是⼀个0到1之间的数）。
⾪属度函数的构造极为重要，⼀般根据这个模糊集的性质相关。
⼀般也把A的⾪属度函数写成A( \cdot )接下来是模糊集的表⽰⽅法，共三种：扎德表⽰法，序偶表⽰法，向量表⽰法。
假设论域U = \left\{ {x_1 ,x_2 , \cdot \cdot \cdot ,x_n }\right\}，模糊集为A，A(x)是x的⾪属度，A( \cdot )是⾪属度函数。
扎德表⽰法容易与加法混淆。
序偶表⽰法与向量表⽰法的含义都⼀样，向量表⽰法更简洁，所以我们⼀般就只⽤向量表⽰法。
⽐如上⾯公式的意思就是每个对象x_i属于模糊集合A的程度（⾪属度）接下来讲⼀讲⾪属度函数的确定。
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法确定隶属函数是模糊数学中的一项重要任务，它决定了模糊集合如何描述和应用。
本文将介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
基于专家经验的方法是最常见的确定隶属函数的方法之一、通常，一些领域的专家会通过自己的经验和知识来确定隶属函数的形状和参数，以达到最佳的模糊集合描述效果。
例如，在模糊控制系统中，专家可以通过对系统的分析和调试来确定隶属函数的形状，从而实现对系统的精确控制。
基于数据分析的方法是一种较为客观的确定隶属函数的方法，它通过对已有数据的统计分析来确定隶属函数的形状和参数。
通常，需要收集一定数量的数据样本，并对这些数据进行分析，确定隶属函数的形状和参数。
例如，在模糊分类问题中，可以通过对已有分类数据的统计分析来确定隶属函数，从而实现对未知样本的分类。
基于模糊聚类的方法是一种将隶属函数与模糊聚类相结合的方法，它通过对数据样本进行聚类分析来确定隶属函数的形状和参数。
通常，需要先对数据进行模糊聚类，确定聚类结果，然后使用聚类结果来确定隶属函数。
例如，在模糊图像分割中，可以通过对图像像素进行模糊聚类，确定图像的不同区域，然后使用聚类结果来确定图像的隶属函数，从而实现图像分割。
基于优化算法的方法是一种通过优化算法来确定隶属函数的形状和参数的方法。
通常，需要将需要确定的隶属函数作为优化目标函数，利用其中一种优化算法来求解最优解，从而确定隶属函数的形状和参数。
例如，在模糊最优化问题中，可以将需要确定的隶属函数作为目标函数，使用遗传算法或粒子群算法等优化算法来求解最优解，从而确定隶属函数。
以上是一些常用的确定隶属函数的方法，不同的方法适用于不同的问题和场景。
在实际应用中，可以根据具体情况选择适合的方法来确定隶属函数，以达到最佳的模糊集合描述效果。
确定隶属函数的几种主要方法
一、确定隶属函数的几种主要方法
1.F统计方法 确定“青年人”的隶属函数.
以年龄为论域 U , A是“青年人”在 U上的F集. 选取u0 27岁, 用F统计实验确定u0对A的隶属度. 选择若干（n）合适人选，请他们写出各自认为 “青年人”最适宜、最恰当的年限，即将模糊概念 明确化。
隶属频率
m/n
0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
m A(27) 0.78 n 将论域U分组,每组以中值为代表，分别计算各组
隶属频率.(见表2 2)
表2-2 分组计算隶属频率（实验次数129）
分组
频数 隶属频率
1
33.5~34.5 26 0.202
22.5~23.5 129
1
34.5~35.4 26 0.202
23.5~24.5 129
1
35.5~36.5 1 0.008
24.5~25.5 128 0.992
连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲线。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 15 20 25 30 35
设进行了n次试验,第k次试验的映射为ek .
令
aik
(u)
1 0
ek (u) Ai ek (u) Ai
aik (u)为元素u在第k次试验划归Ai的次数
u对Ai的隶属频率
Ai
(u)
1 n
n
aik
(u)
k 1
m
Ai
i 1
(u)
m1 i 1n
n
aik
(u)
第七讲 隶属函数的确定方法
中间型隶属函数
1.矩形 2.尖型 3.正态型 4.柯西型 5.梯形
µA1 ( x) =
ɶ
1, a − b < x ≤ a + b 0, 其他 exp[ k (x − a)] , x ≤ a (k > 0) exp[ −k ( x − a)] , x > a
−1
µA2 ( x) =
参数法是指利用已知形状的隶属函数作为样板， 通过确定函数参数的方式来给出隶属函数的方 法。 常用隶属函数
偏小型 偏大型 中间型
偏小型隶属函数
x≤a 1, µ A ( x) = ɶ f ( x), x > a
1.降半矩阵型 2.降半伽马型 3.降半正态型 4.降半柯西型 5.降梯形 6.降岭形 7.k次抛物线
隶属函数的确定方法
模糊统计法 参数法
模糊统计法
通过模糊统计实验来确定隶属函数的方法 四要素
① 论域X ② 试验所要处理的论域X的固定元素x0 ③ 论域X的可变动的子集A*，它作为模糊集 A 的有可塑性 ɶ 边界的反映，可由它得到每次试验中x0是否符合模糊集A ɶ 所刻划的模糊概念的一个判决 ④ 条件集C，它限制着A*的变化
ɶ ɶ
µA3 ( x) = exp −k ( x − a)2 , (k > 0) µA4 ( x) = 1+ α ( x − a)β (α > 0, β是非负偶数)
(a2 + x − a) /(a2 − a1), a − a2 < x ≤ a − a1 1, a − a1 < x ≤ a + a1 µA5 ( x) = ɶ (a2 − x + a) /(a2 − a1), a + a1 < x ≤ a + a2 0, 其他 0.5 + 0.5sin [π /(b − a)( x + (b + a) / 2)] , −b < x ≤ −a 0.5 − 0.5sin [π /(b − a)( x − (b + a) / 2)] , a < x ≤ b µA6 ( x) = ɶ −a < x ≤ a 1, 0, 其他
确定隶属函数的几种主要方法
区别： 区别：
若把概率统计比喻为“变动的点” 若把概率统计比喻为“变动的点”是否 落在“不动的圈” 落在“不动的圈”内， 则把模糊统计比喻为“变动的圈” 则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否 盖住“不动的点” 盖住“不动的点”.
二相F统计 二相 统计: 设有二相集 P2 = { A, A } 统计
x
−∞
Pη ( x )dx
的概率密度， 其中Pξ ( x )和Pη ( x )分别是随机变量 ξ和η的概率密度，即
A2 ( x ) = 1 − A1 ( x ) − A3 ( x )
按概率方法计算，得 按概率方法计算，
x − a1 A1 ( x ) = 1 − Φ σ1 x − a2 A3 ( x ) = Φ σ2
A3 ( x )
0
a1
a2
x
数对(ξ ,η )确定映射
e(ξ ,η ) :
即
U → { A1 , A2 , A3 }
x≤ξ A1 ( x ) e(ξ ,η )( x ) = A2 ( x ) ξ < x ≤ η A ( x) x >η 3
概率P{ x ≤ ξ }是随机变量 ξ落在区间[ x , b )的可能大小.
次实验中覆盖27岁的年龄区间的次数为 若n次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为 ， 次实验中覆盖 岁的年龄区间的次数为m， 则称m/n为27岁对于（青年人）的隶属频率。 为 岁对于 青年人）的隶属频率。 岁对于（ 则称
岁对（ 表2-1 27岁对（青年人）的隶属频率 岁对 青年人）
实验次数n 实验次数 隶属次数m 隶属次数 隶属频率 m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78 10 20 30 40 6 14 23 31 50 39 60 47 70 53 80 62 90 100 110 68 76 85 120 130 95 101
模糊数学教程第6章确定隶属函数的方法
主观经验法主要依赖于专家的专业知识和经验，通过专家对模糊概念的深入理 解和主观判断，来确定隶属函数的形状、参数和阈值等。这种方法简单易行， 但受限于专家知识和经验的局限性。
统计学习法
总结词
基于数据样本和统计学习理论来确定隶属函数的方法。
详细描述
统计学习法利用已知数据样本，通过统计学习理论和方法，如回归分析、决策树、支持向量机等，来拟合和优化 隶属函数。这种方法客观、科学，但需要足够的数据样本和计算资源。
VS
详细描述
连续性是指隶属函数在定义域内的任何一 点都存在明确的隶属度值，没有跳跃或中 断。连续的隶属函数能够更好地描述模糊 现象，因为模糊现象本身也是连续变化的 。
单调性
总结词
隶属函数应该是单调的，以反映模糊集合的 单调性质。
详细描述
单调性是指随着输入值的增大或减小，隶属 度值也相应增大或减小。单调递增的隶属函 数表示随着输入值的增加，隶属度也逐渐增 加；单调递减的隶属函数则表示随着输入值 的增加，隶属度逐渐减小。
经济效益评价
在经济效益评价中，隶属函数可以用于将各 评价指标的量纲统一，通过计算隶属度来评 价项目的经济效益。
在模糊聚类分析中的应用
模糊聚类算法
隶属函数在模糊聚类算法中起到关键作用，通过计算样本点对各个聚类的隶属度，实现样本点的软分 类。
聚类效果的评估
在模糊聚类分析中，隶属函数可以用于评估聚类效果，通过计算样本点对各个聚类的隶属度分布情况 ，判断聚类的质量和稳定性。
模糊数学教程第6章确定隶属函数 的方法
目 录
• 引言 • 确定隶属函数的方法 • 隶属函数的特性 • 隶属函数的优化 • 隶属函数的应用 • 总结与展望
01 引言
直觉方法-隶属函数的确定方法
虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背 景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描 述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建 立出不完全相同的隶属函数。例如，模糊集A = “很冷”的隶属函 数。不同性别、不同生活环境的人所得出的曲线方法
1、直觉方法
直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认 识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立 隶属函数。这种方法通常用于描述人们熟知、有共 识的客观模糊现象，或用于难于采集数据的情形。
例 1 考虑描述空气温度的模糊变量或“语言”变量，
我们取之为“很冷”、“冷”、“正好”、“热”和 “很热”，则凭借我们对“很冷”、“冷”、“凉 爽”、“适宜”和“热”这几个模糊概念的认知和理 解，规定这些模糊集的隶属函数曲线如图1 所示。
确定隶属函数的方法
①偏小型
A(x)
1, ( xa )2
xa
e , x a
②偏大型
A(x)
0,
xa
( xa )2
1 e , x a
③中间型
( xa )2 e , x a A(x) 1,a x b
e(
xb
)2
,
x
b
1
a
1
a
1
a
其它常见模糊分布还有
(3) 半梯形分布与梯形分布；
(4) K次抛物线分布；
~
= A(x) 为模糊分布。常见的模糊分布有： ~
(1) 矩形分布或半矩形分布(适用确切概念)：
① 偏小型 ② 偏大型 ③ 中间型
A(x)
1, x a 0, x a
A(x)
0, x a 1, x a
0, x a A(x) 1,a x b
0, x b
1
a
1
a
1
ab
(２) 正态分布(normal distribution )：
对于 m11,m12 , ,m1n 计算平均值 m1 和离差 d1 :
m1
1 n
n i 1
m1i ,
d1
1 n
n i 1
m1i
m1
2
（３）不记名将全部数据 m11,m12 , ,m1n ,m1,d1 送交 每位专家，同时附上进一步的补充资料，请每位
专家在阅读和思考之后，给出新的估计值：
m21, m22 , , m2n
Descartes乘积，即 U U1 Un , Ai (Ui )(i 1, ....,n)
A (U), A由A１，...,An复合而成.
(1)加权平均型（Method of weighted mean）
隶属函数
从而和是随机变量 .它们服从正态分布 .
2 2 ~ N (a1 , 1 ), ~ N (a2 , 2 )
A1 ( x ) A2 ( x )
A3 ( x )
0
a1
a2
x
数对( , )确定映射
e( , ) : U { A1 , A2 , A3 }
xa a xb b x xa
1 1
0
a
b
x
a xb b x
0
a
b
x
（4）正态分布 ①偏小型
1 A( x ) x a 2 e
②偏大型
xa xa
1
0
a
x
0 xa 2 A( x ) x a 1 e xa
用随机区间的思想处理模糊性（模糊性的清晰化）
建立矮个子A1 ,中等个子A2 ,高个子A3的隶属函数
设 P3 { A1 , A2 , A3 }, U [0,3] (单位：m )
每次F试验确定U的一次划分, 每次划分确定 一对数（ ,） .
: 矮个子与中等个子的分 界点 : 中等个子与高个子的分 界点
按概率方法计算，得
x a1 A1 ( x ) 1 1 x a2 A3 ( x ) 2
从而
x a1 x a2 A2 ( x ) 1 2
这里
x
( x )
§6
1.F统计方法
确定隶属函数的方法综述
一、确定隶属函数的几种主要方法
确定“青年人”的隶属函数.
以年龄为论域U , A是“青年人”在U上的F集. 选取u0 27岁, 用F统计实验确定 u0对A的隶属度.
隶属函数及确定方法
隶属函数正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。
隶属函数是对模糊概念的定量描述。
我们遇到的模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。
隶属函数的确定过程，本质上说应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。
一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。
例如体操裁判的评分，尽管带有一定的主观性，但却是反映裁判员们大量丰富实际经验的综合结果。
对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。
事实上，也不可能存在对任何问题对任何人都适用的确定隶属函数的统一方法，因为模糊集合实质上是依赖于主观来描述客观事物的概念外延的模糊性。
可以设想，如果有对每个人都适用的确定隶属函数的方法，那么所谓的“模糊性”也就根本不存在了。
2.5.1 隶属函数的几种确定方法这里仅介绍几种常用的方法，不同的方法结果会不同，但检验隶属函数建立是否合适的标准，看其是否符合实际及在实际应用中检验其效果。
1．模糊统计法在有些情况下，隶属函数可以通过模糊统计试验的方法来确定。
这里以张南组等人进行的模糊统计工作为例，简单地介绍这种方法。
图2－5－1 27岁对“青年”隶属频率的稳定性张南纶等人在武汉建材学院，选择129人作抽样试验，让他们独立认真思考了“青年人”的含义后，报出了他们认为最适宜的“青年人”的年龄界限。
由于每个被试者对于“青年人”这一模糊概念理解上的差异，因此区间不完全相同，其结果如表2-5-1所示。
现选取0u=27岁，对“青年人”的隶属频率为）调查人数（）岁的区间数（隶属次数包含n 27=μ （2-5-1） 用μ作为27岁对“青年人”的隶属度的近似值，计算结果见表2-5-2。
78.027）＝（青年人μ按这种方法计算出15～36岁对“青年人”的隶属频率，从中确定隶属度。
隶属函数确定问题
隶属函数确定问题一、隶属函数的确定原则1、表示隶属度函数的模糊集合必须就是凸模糊集合;即:在一定范围内或者一定条件下,模糊概念的隶属度具有一定的稳定性;从最大的隶属度函点出发向两边延伸时,其隶属度就是单调递减的,而不许有波浪性,呈单峰;一般用三角形与梯形作为隶属度函数曲线。
2、变量所取隶属度函数通常就是对称与平衡的模糊变量的标值选择一般取3-9个为宜,通常取奇数(平衡),在“零”“适中”等集合的两边语言值通常取对称。
3、隶属度函数要避免不恰当的重复在相同的论域上使用的具有语意顺序的若干标称的模糊集合,应该合力排序。
4、论语中的每个点应该至少属于一个隶属度函数的区域,同时它一般应该属于之多不超过两个隶属度函数的区域。
5、对于同一输入,没有两个隶属度函数会同时有最大隶属度6、对两个隶属度函数重叠时,重叠部分对于两个隶属度函数的最大隶属度不应该有交叉。
二、隶属度函数确定的方法1、模糊统计法模糊统计法的基本思想就是对论域U上的一个确定元素v就是否属于论域上的一个可变的清晰集的判断。
(清晰集、模糊集)模糊统计法计算步骤:Step1 确定论域Step2形成调查表Step3统计成频数分布表Step4建立隶属函数Step5隶属度(由频数分布表或者隶属函数可得)所谓模糊统计实验包含以下四个要素:假设做n次模糊统计试验,则可计算出:实际上,当n不断增大时,隶属频率趋于稳定,其频率的稳定值称为0x 对A的隶属度,即2、例证法例证法由已知的有限个隶属度函数的值,来估计论域U上的模糊子集A的隶属函数。
3、专家经验法就是根据专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或者相应的权系数值隶属函数的一种方法。
4、二元对比排序法5、群体决策法6、指派方法(待定来自算法大全第22章模糊数学模型)指派方法就是一种主观的方法,它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法。
如果模糊集定义在实数域R上,则模糊集的隶属函数称为模糊分布。
隶属函数的确定方法
1 2
t2 e 2 dt
用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.
2 2 ~ N (a1 , 1 ), ~ N (a2 , 2 )
A1 ( x ) A2 ( x )
A3 ( x )
0
a1
a2
x
3、F分布
实数R作为论域的情况 . 实数R上F集的隶属函数称为 F分布. 列出典型F分布, 根据问题性质选择适当 分布.
隶属频率
m/n 0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
m A( 27) 0.78 n 将论域U分组, 每组以中值为代表，分 别计算各组 隶属频率.(见表2 2)
表2-2 分组计算隶属频率（实验次数129）
4.其他方法
①专家打分；②推理方法； ③二元对比排序法
二、确定隶属函数的注意事项
（1）带有主观色彩，但要符合实际。
（2）F统计实验确定
（3）借助概率统计确定
（4）推理的产物 （5）经F运算“并、交、余”
（6）先建立近似隶属函数，再逐步完善
（7）整体特性
b
x
(2)半梯形分布与梯形分布
①偏小型 1 b x A( x ) b a 0
②偏大型
xa a xb b x xa a xb b x
1
0
a b
x
0 x a A( x ) b a 1
1
0
a
b
x
(2)半梯形分布与梯形分布 ③中间型
在每次试验中， u0是确定的， F统计试验：
集合A 是随机变动的. 做n次试验
第三章 确定隶属函数方法
ui 排在第1 位， （未必唯一，可以并列），然后c中去除第一位已排的
1
那些对象所在行、列，对新矩阵重复上述做法，可选出第2、3、…… 直至全排完。
3、根据2中排的顺序确定 A 、根据 中排的顺序确定
~
A = ∑ A(u i ) / u i ~
A 式中， (ui ) 依赖于 u i 所排位置，位置越前，越优先，越接近于1。
二、实例： 实例： 设U=｛u1，u2，u3，u4｝，有 A ，P=｛P1，P2，P3｝ ~ 解：取 r =1，P1，P2，P3各步选取过程如表所示： r P1 P2 P3 求：F(u i )： (u3) (u2) (u3) 2r (u1,u3) (u1,u2) (u1,u3) 3r (u1,u3,u4) (u1,u2,u3) (u1,u2,u3) 4r U U U
0 0.9 u 2 C = 0. 1 0 u 4
∗
重复上述做法，得排序 u 2 , u 4 ,
故有总排序
(1)u1 , u3
若按 A ~
( 2)u 2
(3)u 4
(u ) = 1 k
ik
，得：
A = 1 / u1 + 0.5 / u 2 + 1 / u 3 + 0.33 / u 4 ~
t = 0 时，进行到第 k 步 1 ≤ t ≤ r 时，进行到 k + 1 步 U k +1 = U
3、计算 u i被覆盖的频率F（u）和 i F( ui ) = 。 A (ui)。 ~
1 (被选中次数总合 ) 人数× 步数
A (ui) =
~
∑ F (u )
n i 1
F (ui )
i = 1,2, ……，n
8.3 隶属函数的确定
1 A(x)
1 1 (x 5)2 5
1 A(x)
1 1 (x 5)2 10
借用已有的客观尺度
论域 设备 产品 家庭
模糊集 设备完好 质量稳定 贫困家庭
隶属度 设备完好率
正品率 Engel系数
④ ☆随着n的增加，隶属频率趋于稳定
指派法Biblioteka 隶属函数类型举例一般表达
偏大型 偏小型 居中型
大、热、年老
A(x)
0f (,x)
x , x
a a
小、冷、年轻 中、暖、中年
A(x)
1f (, x)
,
x x
a a
A(x) f0(,x),
xa x [a,b]
0, x b
模糊数学
之隶属函数的确定
模糊统计法 指派法 借用已有的客观尺度
模糊统计法
模 糊 统 计 法 ： 以 确 定 “青年人” 的隶属函数为 例 ① ☆以人的年龄作为论域U，调查n个人选
☆请他们认真考虑“青年人”的含义后 ②，
提出自己认为的最合适的年龄区间 ☆对于确定年龄（如27），若n个人选中，
③ 有m个人的年龄区间覆盖27，则称m/n 为27对 于 “青年人” 的 隶 属 频 率
例1 参数确定 试确定A = “年 轻 人 ” 的隶属 函数.
指派法选择偏小型柯西分布
1,
x a
A(x) 1,x(a1x a)
a 20, 2,A(30) 0.5
1/ 25
例2 函数修正 试确定A=“靠 近 5的 数 ” 的隶属 函数.
1 A(x)
隶属函数计算公式
隶属函数计算公式
隶属函数是模糊控制领域中的一个重要概念，它描述了某个事物对于某个属性的归属程度。
在实际应用中，我们经常需要根据一些输入变量的值来计算出某个输出的隶属函数值，这时就需要用到隶属函数计算公式。
对于不同的隶属函数形式，其计算公式也不尽相同，但一般都可以用简单的数学表达式来描述。
例如，对于三角隶属函数，其计算公式可以写成：
μ(x) = max(0, 1-|x-c|/a)
其中，x表示输入变量的值，c是隶属函数的中心，a是隶属函数的宽度。
根据这个公式，我们可以计算出对于不同的输入变量值，其在三角隶属函数下的隶属度。
除了三角隶属函数，还有高斯隶属函数、梯形隶属函数、S形隶属函数等各种形式的隶属函数，它们都有自己特定的计算公式。
在实际应用中，我们需要根据实际情况选择合适的隶属函数形式和计算公式，以便达到更好的控制效果。
- 1 -。
2.2隶属函数的确定
粒状 微粒 体u8
0.00
壳质体 平均最 树脂体 大反射 u9 率u10
0.00 4.92
92.21
2.74
0.84
3.58
92.58
2.80
1.00
2.98
90.01
9.70
0.20
0.00
Байду номын сангаас0.00
3.98
无烟 煤 A1
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
… … …
8
1 6 其中 a j aij , j 1, 2,...,10. 6 i1 1 12 b j bij , j 1, 2,...,10. 12 i1 1 6 c j cij , j 1, 2,...,10. 6 i1 3）分别计算待识别煤样u ={u1 ,u2 ,...,u10 }与a (a1 , a2 ,..., a10 ), b (b1 , b2 ,..., b10 ), a (c1 , c2 ,..., c10 )之间的欧拉距离，得： d1(u,a )=((u j - a j ) ) ,
ai a i1 , a i 2 ,..., a im
其中
a ik
1 ki
a
j 1
ki
ij k
, k 1,2,..., m
称ai为Ai的均值样板.
2
(3) 计算模糊模式Ai的隶属函数 计算识别对象u=(u1,u2,…,um)与均值样板 的距离di(u, ai).令D=d1(u, a1)+d2(u, a2)+…+dp(u, ap), 则可取模糊模式Ai的隶属函数为
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7
其中mi是第i位专家的估计值，并请每个人标出各自对
所做估计值的信任度，记为 e1,e2, ,en, 这里ei表示第i
位专家对自己的估计的把握程度，并且规定 ei [0,1],第 有绝对把握时， ei＝１；毫无把握时，取ei＝０； 其
它情形，取 0 ei 1.
（６）计算
m
1 M
n
mi ,
iM
其中 M {iei;i1 ,2,...,n },
③中间型 A ( x ) 1, a x b
1
e
(
x
b
)
2
,x
b
a
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15
其它常见模糊分布还有 (3) 半梯形分布与梯形分布；
m21,m22, ,m2n
（４）重复２、３步，直至离差值小于或等于预先
给定的标准 0. 设重复k次后，有 d k , 这里 d k 为重复k次后的离差。
(5)将第k次得到的对
A (u 0 )的平均估计值
m
k
和d再交k给各位专家，请他们做最后的“判断”，给出估计
值
m1,m2, ,mn
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对于 m11,m12, ,m1n计算平均值 m 1 和离差 d 1 :
m1
1 n
n i 1
m1i ,
d1
1 n
n i1
m1i
m1
2
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6
（３）不记名将全部数据 m 11,m 12, ,m 1n,m 1,d 1送交 每位专家，同时附上进一步的补充资料，请每位
专家在阅读和思考之后，给出新的估计值：
可暂时使用m , 但要特别注意信息反馈，不断通过
“学习过程”，完 A(u0)m
善 Remark:
Delphi法特别适用于有限论域上的模糊集，即模糊 向量的估计，且最好是让专家一次给出对各元素隶 属度的估计值。
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9
§6.３ 模糊统计法
模糊统计法简言之即通过模糊试验来得元素 隶属度。模糊试验四个要素：
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5
§6.２ Delphi法
设Ｕ为论域，A 是Ｕ上待确定其隶属函数的模糊集，
用Dephi法确定 A 的隶属函数 A ( u ) 的步骤如下:
~
~
⑴ 提出影响 A 的主要因素，连同较为详尽的资料
发送选定的n位专家，请专家对于取定的 u 0 U , 给 出隶属度 A (u 0 ) 的估值 m ⑵设第ｉ位专家第一次给出的估计值为 m1i(i1,2,...,n).
1
a
0,x a
③ 中间型
A ( x ) 1, a x b
1
0, x b
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ab
14
(２) 正态分布(normal distribution )：
①偏小型
A(x)
1, (
xa
)2
x
a
e ,x a
1 a
②偏大型
A(x) 0,
xa
( xa)2
1
1e ,x a
a
( xa )2
e ,x a
（３）若模糊集反映的模糊概念已有相应成熟 的指标，这种指标经过长期实践检验已成为 公认的对事物的真实的又是本质的描述，则 可直接采用这种指标，或者通过某种方式将 这种指标转化为隶属函数；
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4
（４）对某些模糊概念，虽然直接 给出其隶属函数比较困难，但却可 以比较两个元素相应的隶属度，此
时可用相对选择法（见§6.４ ）求的隶属函数； （５）若一个模糊概念是由若干个模糊因素复合 而成的，则可先求各因素模糊集的隶属函数，再 综合出模糊概念的隶属函数。
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2
§6.1 确定隶属函数的原则
（１）若模糊集反映的是社会的一般意识， 它是大量的可重复表达的个别意识的平均结 果，例如，青年人，经济增长快，生产正常 等，则此时采用模糊统计法（见§6.３ ）来 求隶属函数较为理想；
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3
（２）如果模糊集反映的是某个时间段内的个 别意识，经验和判断，例如，某专家对某个 项目可行性的评价，那么，对这类问题可采 用Delphi法；（见§6.２）
概率统计(a)与模糊统计(b)试验的区别：
. S
A不动
A
变动
(a)
A
•
u0
A*
(b)
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U0固定 Ｕ A*变动
12
例１、模糊统计试验的应用
设U=[0, 100]（单位：岁），A 是“青年人”在 上的Ｕ模糊集，取u0=27, 试用模糊统计试验来确定 u0对 A 的隶属度，并用模糊统计求A , 的隶属函数 曲线（见教材１３２－１３４页）。
（１）论域Ｕ，所论问题之范围； （２）Ｕ中的一个确定元素ｕ；
（３）Ｕ中的一个随机运动的普通集合Ａ*,Ａ* 联系着一个模糊集 A , Ａ*的每一次确定，都是对 相应于 A 的模糊概念的一个确定划分，可以看作 A 的一个显影，表示模糊概念的一个近似外延
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10
（４）条件Ｓ，它联系着对模糊概念所进行的划分 过程的全部客观或心理的因素，制约者Ａ*的运动。
第6章 确定隶属函数的方法
一、确定隶属函数的原则 二、Delphi法 三、模糊统计法 四、增量法 五、因素加权平均法
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1
隶属函数(Membership function)是建
立模糊集的基础，它在模糊数学中占有 突出的地位。隶属函数的确定，无论从 理论上还是实践上都是模糊数学及其应 用的基本而关键的问题。本章介绍确定 隶属函数的原则和方法。
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13
论域为实数域的隶属函数叫模糊分布（Fuzzy distribution), 即 A (X) ，其中X为实数集，称
~
= A ( x ) 为模糊分布。常见的模糊分布有： ~
(1) 矩形分布或半矩形分布(适用确切概念)：
① 偏小型
A(x)
1, x a 0, x a
1
a
② 偏大型
0, x a A(x) 1, x a
M
表示集合 M
的元素的个数，而
[0,1]是事先给
定的标准。
(7)以 m 作为 A (u 0 ) 的估计值，或直接计算
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8
m
1 n
n
mi,
i 1
e
1 n
n
ei
i1
此时 m 称为 A (u 0 ) 在信任度 e 下的估计值，若 e 值
较高，从而达到标准，从而 A (u 0 ) 取作 m , 否则，虽
Remark:
模糊统计法的基本要求是在每次实验中，对u0是 否属于 A 作出确切的判断，即要求在每次试验中， Ａ*必须确定。 模糊统计试验的特点：在各次试验中 u0固定，Ａ*是变的，这点不同于随机试验. 隶属度计算公式为:
u 0 对 A 的隶属频率 f n
A
*
覆盖u
的次数
0
n
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其中n为试验次数。实践证明，随着n的增大，隶属 频率也会呈现稳定性，频率稳定所在的那个数，称 为u 0 对 A 的隶属度