初级中学八上全等三角形证明方法归纳典范全
全等三角形的判定方法五种的证明
全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：全等三角形（即三角形的所有对应边和角都相等）在几何学中具有重要意义，因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中，我们常常需要判定两个三角形是否全等，以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法，并给出它们的证明。
一、SSS法则（边边边全等）首先我们来介绍SSS法则，即如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，AC=DF，BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知，三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系：AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边，所以我们有以下结论：AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE，AC=DF，BC=EF，所以根据上述两个不等式可得：AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F，所以我们有以下结论：∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F，所以可以将两个等式相减，得到：∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则（斜边-直角-斜边全等）由于∠A=∠D，∠B=∠E，所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用，希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目，可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考，相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中，全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
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【第1局部全等根底知识归纳、小结】1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.两个全等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫对应边,互相重合的角叫对应角.概念深入理解：(1)形状一样,大小也一样的两个三角形称为全等三角形. (外观长的像)(2)经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形. (位置变化)2、全等三角形的表示方法：假设4ABC和AA' B'是全等的,记作“△ABC^^A' B' "C'其中,“0〞读作“全等于〞.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.3、全等三角形的性质：全等是工具、手段,最终是为了得到边等或角等,从而解决某些问题.(1)全等三角形的对应角相等、对应边相等.(2)全等三角形的对应边上的高,中线,角平分线对应相等.(3)全等三角形周长,面积相等.4、寻找对应元素的方法(1 )根据对应顶点找如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边.通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素.(2 )根据的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边；〔3〕通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系.通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析, 可以看出其中一个是由另一个经过以下各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：〔深入理解〕①边边边〔SSS 〕②边角边〔SAS 〕③角边角〔ASA 〕④角角边〔AAS 〕⑤斜边,直角边〔HL〕注意：〔容易出错〕〔1〕在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等〔边定全等〕；〔2〕不能证实两个三角形全等的是,㈠三个角对应相等,即AAA ;㈡有两边和其中一角对应相等,即SSA.全等三角形是研究两个封闭图形之间的根本工具, 同时也是移动图形位置的工具. 在平面几何知识应用中,假设证实线段相等或角相等,或需要移动图形或移动图形元素的位置, 常常需要借助全等三角形的知识.6、常见辅助线写法：〔照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯〕如：⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F⑵过点A作BC的垂线,垂足为D⑶延长AB至C,使BC = AC⑷在AB上截取AC,使AC = DE⑸作/ ABC的平分线,交AC于D⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点同一条辅助线,可以说法不一样,那么得到的条件、证实的方法也不同.【第2局部中点条件的运用】1、复原中央对称图形〔倍长中线法〕中央对称与中央对称图形知识：把绕着某一个点旋转180 ° ,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中央对称, 这个点叫做对称中央. 这两个图形中的对应点叫做关于中央的对称点.中央对称的两条根本性质:〔1〕关于中央对称的两个图形, 对称点所连线段都经过对称中央, 而且被对称中央所平分. 〔2〕关于中央对称的两个图形是全等图形.中央对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180.,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中央对称图形,这个点就是它的对称中央. 〔一个图形〕如：平行四边形线段本身就是中央对称图形 ,中点就是它的对称中央,所以遇到中点问题,依托中点借助辅助线复原中点对称图形,可以把分散的条件集中起来〔集散思想〕.例1、AD是4ABC中BC边上的中线,假设AB 2, AC 4 ,那么AD的取值范围是例2、在4ABC中,AD是BC边上的中线,AF EF,求证：AC BE.CD , M 、N 分别为BC 、AD 中点,延长 MN 与AB 、 3、如图,AB=AE , AB LAE, AD=AC , AD^AC,点 M 为 BC 的中点,求证： DE=2AM〔根本型：同角或等角的补角相等、 K 型〕例3、如图,D 是4ABC 的边BC 上的点,且 CD=AB ,的中线.求证：AC=2AE例4 AABC 中,AD 、BE 、CF 是三边对应中线.〔那么.为重心〕求证：①AD 、BE 、CF 交于点O .〔类倍长中线〕；练习1、在AABC 中,D 为BC 边上的点, /BAD /CAD, BD CD ,求证：AB AC2、如图,四边形 ABCD 中,ABCD 延长线交于 E 、F,求证/ BEMZCFM/ADB= /BAD, AE >AABD②S VBOC S VCOAMC1八求证.S VDEC2 SBABCD如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=2AB , M 是AD 的中点,CELAB 于点E, ,求/DME 的大小.〔提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半〕2、两条平行线间线段的中点〔‘八字型〞全等〕如图,li // I 2 , C 是线段 直线都可以和二条平行线以及AB 构造“8字型〞全等1梯形 ABCD , AD //BC,点E 是AB 的中点,连接 DE 、CE ./ CEM=40△ ABDDE 的中点. 和△ ACE 都是直角三角形,且 / ABD / ACE=90,连接DE ,设M 为⑴求证: MB MC;⑵设/BAD /CAE,固定 Rt △ ABD ,让 Rt^ACE MB MC 是否成立？请证实你的结论.AB 的中点,那么过点 C 的任何 A MEC°移至图示位置,此时练习1、：如图,梯形 ABCD 中,AD // BC, / ABC=90 .假设BD=BC , F 是CD 的中点,试问：/BAF 与/BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证实;2、RtAABC 中,/ BAC=90 ° , M 为BC 的中点,过 A 点作某直线l ,过B 作BD 点D,过C 作CE l 于点E .3、如图〔1〕,在正方形 ABCD 和正方形 CGEF 〔CG>BC 〕中,点 B 、C 、G 在同一直线 上,M 是AE 的中点,〔1〕探究线段 MD 、MF 的位置及数量关系,并证实;〔2〕将图〔1〕中的正方形 CGEF 绕点C 顺时针旋转,使正方形 CGEF 的对角线CE 恰好 与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上,原问题中的其他条件不变. 结论是否发生变化？写出你的猜测并加以证实.(1 )求证: MD=MEl 与CB 的延长线相交时,其它条件不变, 〔1 〕中的结论是否任然成立?〔1〕中得到的两个〔2〕当直线〔结合前面“8字型〞全等,仔细思考〕3、构造中位线三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半. 重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开, 三角形中线是连结一顶点和它对边 的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段.〔全等法〕在 ^ABC 中,D 、E 分别是 AB 、AC 边的中点,证实： DE// BC, DE= 1 BC2证实：延长 DE 至F 点,使DE=EF ,连接CF 〔倍长中线〕三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来, 将题目给出的分散条件集中起来〔集散思想〕.注：题目中给出多个中点时,往往中点还是不够用的.在四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、 四边形 ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O,且AC=BD , M 、N 分别是AB 、CD 的中点,MN 分别交BD 、AC 于点E 、F. 你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证实吗？1、三角形 ABC 中,AD 是/BAC 的角平分线,BDLAD,点D 是垂足,点 E 是边求证：四边形 EFGH 是平行四边形.练习BC的中点,如果AB=6 , AC=14 ,求DE的长.运动,乙B 出发,沿着BC->CE->EF 出发,那么谁先到达 F 点？3、等腰 Rt^ ABC 与等腰 RtACDE 中,Z ACB= / EDC=90 ° ,连 AE 、BE ,点 M 为 BE的中点,连DM .(1 )当D 点在BC 上时,求-DM-的值AE(2)当4CDE 绕点C 顺时针旋转一个锐角时,上结论是否任然成立,试证实2、 AB // CD , BC // AD ,DEL BE , DF=EF ,甲从 B 出发,沿着 BA->AD->DF的方向的方向运动,如果两人的速度是相同的,且同日^从BAF,点M 、N 分别为AF 、BE 的中点 (1 ) MN 与AE 的数量关系(2 )将△ CEF 绕C 点顺时针旋转一个锐角,4、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时,中点提供了底边相等的条件,这里有个根本几何图形 如图,△ ABC 中,E 为BC 边的中点,那么显然△ ABE 和^AEC 有相同的高AD,底边也相等,故面积相等.例E 、F 是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点,连 AF 、CE 交于点G,那么与边形AGCDS 巨形ABCD4、AABC > 4CEF 都为等腰直角三角形,当E 、F 在 AC 、BC 上,/ACB=90° ,连 BE 、MN 与AE 的数量关系C亨腰Rt △ ACD与Rt △ ABC组成一个四边形ABCD分成了二局部,求S,A_ S,“c的彳?ABCD , AC=4 ,对角线BD i. D.................... …’一" 〜VABL【5、等腰三角形中的三线合一1三线合一〞是相当重要的结论和解题工具, 为亲密的关系.例4ABC 中,AB=AC , BD,AC于D,问〜VBCD " ’入B它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极Z CBD和/BAC的关系？A‘L BDB LB ------------- -----------C C B C B 分析：/CBD和/BAC分别位于不向类型的三角形中,可以考虑例在4ABC 中,AB=AC=5 , BC=6,点M 为BC 中点,MN ± AC 于点N ,那么MN= ____【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作升-个定理直接运用,关于这个定理的证实有多种方法, 点的一些知识.例如图Rt △ ABC中,/ACD=90 , CD为斜边AB上的中线求证：CD= ~ AB2(1)利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段的二个端点的距离相等.第10页共20页C 转为同类三角形.AB Z ZX B MC 包括利用前面所讲中A E t>^E C F B取AC的中点E,连接DE.那么DE // BC 〔中位线性质〕Q /ACB=90° BCXAC , DE ± AC A才那么DE是线段AC的垂直平分线AD=CD ■, 1〔2〕全等法,证法略. ]C例在三角形ABC中,AD是一角形的高.,点D是垂足,点E、F AC的中点,求证：四边形EFGD是等腰梯形.练习1、在Rt △ ABC 中,/A=90°, AC=AB , M、N 分别在AC、O为斜边BC的中点.试判断^OMN的形状,并说明理由.二F萨 .IG分别是BC、AB、A ;上.B, E D 七AB 上,且AN=BM .AO2、A ABC 中,/ A=90 ,D是BC的中点,DE,DF.求证： 2 2 2BE2 CF2 EF2〔集散思想〕AB=AC,点D 在BC 上, AD、BE、BC的中点(1 )假设/ BAC=90(2)假设/ BAC=60贝U /PMN=B D NC E在AB上,且(2) 如图②,点D 不在AB 上,(1)中的结论还成立吗？如果成立,请证实；如果不【中点问题练习题】1、假设给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形. 请解答以下问题：(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；(2)如图1 ,在4ABC 中,AB=AC ,点D 在BC 上,且 CD=CA ,点E 、F 分别为 BC 、AD 的中点,连接EF 并延长交AB 于点G.求证：四边形 AGEC 是等邻角四边形；(3)如图2,假设点D 在4ABC 的内部,(2)中的其他条件不变, EF 与CD 交于点H,是 否存在等邻角四边形,假设存在,是哪个四边形,不必证实；假设不存在,请说明理由.2、：4ABC 和4ADE 都是等腰直角三角形,/ ABC= /ADE=90° ,点 M 是CE 的中点,连接BM如图①,点D 在AB 上,连接 DM ,并延长 DM 交BC 于点 与BM 的数量关系为N,可探究得出 BD,写出证实过程.成立,说明理由.A(1)求证：EG=CG ;(2 )将图①中△ BEF绕B点逆时针旋转45o ,如图②所示,取DF中点G ,连接EG , CG .问(1)中的结论是否仍然成立？假设成立,请给出证实；假设不成立,请说明理由.(3)将图①中4BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？(均要求证实)知识点:3、在4AOB 中,AB=OB=2 , △ COD 中,CD=OC=3 , / ABO= / DCO .连接AD、BC ,点M、N、P分别为OA、OD、BC的中点.假设A、O、C三点在同一直线上, /ABO=60 ,贝-PMN的形状是ADBC4、：如图①,正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,F,连接DF , G为DF 中点,连接EG, CG.E点作EFXBD交BC于1、全等三角形的判定及性质：2、角平分线的性质与判定：3、常用辅助线：例题讲解例1、如图,在Rt^ABC 中,/ ACB=90 , CDL AB 于D, AE 平分/ BAC 交CD 于K,交BC于E, F是BE上一点,且求证：FK// AB.例2、如图1, △ABC中, (1) D为AC的中点,连ZCDF BF=CE aC例1图A/ BAC=90 , BA=ACBD,过A点作AE! BD于E点,交BC于F点,连DF,求证：/ ADB=(2)假设D, M为AC上的三等分点,如图MF判断/ADB与/ CMF勺大小关系并证实.例3、如图,在^ ABC中,/ C=90°求证：MD=AM .2,连BD过A作AE± BD于点E,交BC于点F,连B F r B F C图1例溷图？,M为AB的中点,DM ±AB , CD平分/ ACB ,J例4、在△ ABC中,/ ACB为锐角,动点 D 为辿在AD的右侧作正方形ADEF ,连接CF.(1)假设AB=AC , / BAC=90 °那么①如图一,当点D在线段BC上时,线段CF与接写出结论)C B例3图(异于点B)在射线BC上,连接AD,以AD BD之间的位置、大小关系是____________ (直例5、如图①所示, A B为直线l上两点,点C为直线l上方一动点,连接AC BC,分别以AC BC为直角边向△ ABC外作等腰直角△ CA/口等腰直角△ CBE满足/ CADW CBE=90 ,过点D作DD,l于点D,过点E作EEH 于点E.(1)如图②,当点E恰好在直线l上时,i搦兑明DD=AB;(2)在图①中,当D, E两点都在直线l的上方时,试探求三条线段DD, EE, AB之间的例6、如图1,点A (a, 0),点B (0, b),且a、b满足Ja 4 4(1)求A、B两点的坐标；(2)假设点C是第一象限内一点,且/OCB=45°,过点A作ADLOC于点F,求证：FA=FC ;(3)如图2,假设点D的坐标为(0,1),过点A作AE XAD ,且AE=AD ,连接BE交x F②如图二,当点D在线段BC的延长上时,①中的结论是否仍然成立？请说明理由.(2)假设ABWAC, /BACW90..点D在线段BC上,那么当/ ACB等于多少度时？线段CF数量关系,并说明理由.轴于点G,求G点的坐标.稳固：1、如图,/ BAC=90 ° , AD^BC于点D, /1 = /2, EF// BC交AC于点F.试说明AE=CF .2、如图,△ ABC 中,AD 平分/ BAC , DG ± BC 且平分BC , DE± AB 于E, DF XAC 于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=5 , AC=3,求AE、BE 的长.3、如图,△ ABC 中,AC=2AB , AD 平分/ BAC 交BC 于D , E 是AD 上一点,且EA=EC.求证：EBXAB .4、如图,在^ ABC 中,/ ACB=90 ° , P 为AC 上一点,PQXAB 于Q, AM ±AB 交BP 的延长线于M, MNLAC于N, AQ=MN .(1)求证：AP=AM ;(2)求证：PC=AN .5、如图,△ ABC 内,/ BAC=60 , / ACB=40 , P, Q 分别在 BC, CA 上,并且 AP, BQ ＞另 是/ BAC /ABC 的平分线, 求证：BQ+AQ=AB+B PABC 和DBE 按图(1)方式摆放,其中/ACB= / DEB=90 / A= / D=30.,点E 落在AB 上,DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F. (1)求证：CF=EF;(2)假设将图(1)中的△ DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角 a,且0° v a< 60° ,其他条件 不变,如图(2).请你直接写出 AF+EF 与DE 的大小关系：AF+EF DE .(填 或“=〞或 "V 〞)(3)假设将图(1)中^ DBE 的绕点B 按顺时针方向旋转角3,且60° V 3 V 180° ,其他条件不变,如图(3).请你写出此时 AF 、EF 与DE 之间的关系,并加以证实.7、如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,△ B (-5, 0),C (2, 0) , BD XAC 于D 且交y 轴于E,连接CE. (1)求^ ABC 的面积；(2)求OE 的值及△ ACE 的面积.AE8、如图1,在平面直角坐标系中,点 A (4, 4),点B 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,S6、将两个全等的直角三角形ABC 的三点坐标分别为 A (0, 5),第麻网四边形OBAC=16 .(1) / COA的值为 ;(2)求/ CAB的度数；(3)如图2,点M、N分别是x轴正半轴及射线OA上一点,且OHLMN的延长线于H, 满足/ HON= / NMO,请探究两条线段MN、OH之间的数量关系,并给出证实.9、在平面直角坐标系中,点A (2, 0),点B (0, 3)和点C (0.2);(1)请写出OB的长度：OB= ;(2)如图：假设点D在x轴上,且点D的坐标为(-3, 0),求证：△ AOB^^COD;(3)假设点D在第二象P且^ AOB^A COD,那么这时点D的坐标是 (直接写答案).10、,在^ ABC中,CA=CB , CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上,M、N分别在直线AC、BC 上,/ MON=/A=45°(1)如图1,假设点M、N分别在边AC、BC上,求证：CN+MN=AM ;(2)如图2,假设点M在边AC上,点N在BC边的延长线上,试猜测CN、MN、AM之间的数量关系,请写出你的结论(不要求证实) .111、〔1〕如图1,以△ ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG , 连接EG,试判断△ ABC与4AEG面积之间的关系,并说明理由.〔2〕园林小路,曲径通幽,如图2所示,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.中间的所有正方形的面积之和是a平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方米,这条小路一共占地多少平方米.12、如图,将两个全等的直角三角形△ABD、AACE拼在一起〔图1〕. △ ABD不动,〔1〕假设将△ ACE绕点A逆时针旋车专,连接DE, M是DE的中点,连接MB、MC 〔图2〕, 证实：MB=MC .〔2〕假设将图1中的CE向上平移,/ CAE不变,连接DE, M是DE的中点,连接MB、MC 〔图3〕,判断并直接写出MB、MC的数量关系.〔3〕在〔2〕中,假设/ CAE的大小改变〔图4〕,其他条件不变,那么〔2〕中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由.13、如图,△ ABC中,D是BC的中点,过点D的直线MN交AC于N ,交AC的平行线BM 于M ,PDXMN ,交AB 于点P,连接PM、PN.〔1〕求证：BM=CN ;〔2〕请你判断BP+CN与PN的在数量上有何关系,并说明你的理由.14、如图,在平面直角坐标系中, O为坐标原点.A、B两点的坐标分别为A(m, 0)、B (0, n),且m n 3 J2n 6 0,点P从A出发,以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动,设点P运动时间为t秒.(1)求OA、OB的长；(2)连接PB,假设^ POB的面积不大于3且不等于0,求t的范围；(3)过P作直线AB的垂线,垂足为D,直线PD与y轴交于点E,在点P运动的过程中, 是否存在这样的点P,使△ EOP^^ AOB ?假设存在,请求出t的值；假设不存在,请说明理由.。
初二全等三角形的判定方法
初二全等三角形的判定方法1. 全等三角形的基础知识全等三角形，就像是你我之间的友谊，无论外表如何，心里都是一样的！简单来说，如果两个三角形的形状和大小完全相同，我们就称它们为全等三角形。
听起来是不是有点复杂？其实只要掌握了几个判定方法，大家就能轻松搞定了，简直就是学数学的“千里之行，始于足下”。
2. 判定方法2.1 边边边（SSS）首先，咱们来说说边边边判定法。
这个方法就像是测量两个三明治的大小，如果三个边的长度都相等，那这两个三角形绝对是双胞胎！想象一下，你和你的朋友一起买了三明治，你的三明治有三块火腿，而朋友的三明治也是三块火腿，嘿，那你们就可以算是“全等”了。
这样的方法简单直接，绝对不会出错。
2.2 边角边（SAS）接下来是边角边判定法。
这个方法就有点像给你做了一道数学题，要求你先计算出一个角的大小，然后再测量相邻的边。
只要有一条边和夹角的长度相等，再加上另一条边相等，哇，那就又是一对全等三角形啦！就像你跟你的好朋友，尽管身高不同，但你们的心灵相通，这样的友谊绝对是无可替代的。
2.3 角边角（ASA）然后是角边角判定法。
这个方法有点像是在学校里，大家都喜欢的“分享”环节。
只要两个角相等，而且夹在这两个角之间的边长度也相等，那你就可以大声宣布：这两个三角形全等！这就像是两个朋友，各自都有自己特别的优点，虽然他们的风格不同，但依然能碰撞出美妙的火花。
2.4 角角边（AAS）最后，还有角角边判定法，简直是让人拍手叫绝！只需测量两个角和一条边，如果这两对角相等，再加上一条边相等，嘿，你的全等三角形又多了一对！想象一下，你跟你的小伙伴都是同样喜欢的偶像粉丝，尽管你们在别的方面有差异，但对偶像的喜爱是一样的，嘿，这就是全等的感觉呀！3. 实际应用3.1 日常生活中的全等三角形那么，全等三角形有什么用呢？其实，身边处处都是它们的身影。
无论是建筑设计，还是日常生活中的小物件，甚至连你最爱的拼图游戏，都是在利用全等三角形的原理。
八年级上册数学《全等三角形》全等三角形判定-知识点整理
千里之行，始于足下。
八年级上册数学《全等三角形》全等三角形判
定-知识点整理
全等三角形是指具有相同的形状和大小的三角形。
在判断两个三角形是否全等时，可以通过以下方法确定：
1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. SAS判定法：如果两个三角形的一边与其对应角的边段分别相等，并且包含相等的角，则这两个三角形全等。
3. ASA判定法：如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，则这两个三角形全等。
4. AAS判定法：如果两个三角形的两个角和它们的一边分别相等，则这两个三角形全等。
5. RHS判定法：如果两个直角三角形的一个锐角和两个直角边分别相等，则这两个直角三角形全等。
这些全等三角形判定方法可以根据题目给出的已知条件进行判定。
需要注意的是，当两个三角形的对应边或对应角不相等时，不能得出这两个三角形全等的结论。
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八年级上册数学三角形求证
八年级上册数学三角形求证一、三角形全等的判定。
1. SSS（边边边）- 判定内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 证明思路：如果已知两个三角形的三条边分别相等，那么可以直接根据SSS判定这两个三角形全等。
例如，在△ABC和△DEF中，如果AB = DE，BC = EF，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 应用举例：已知一个三角形的三条边长分别为3cm、4cm、5cm，另一个三角形的三条边长也分别为3cm、4cm、5cm，求证这两个三角形全等。
- 证明：设第一个三角形为△ABC，其中AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm；第二个三角形为△DEF，其中DE = 3cm，EF = 4cm，DF = 5cm。
- 因为AB = DE，BC = EF，AC = DF，根据SSS判定定理，所以△ABC≌△DEF。
2. SAS（边角边）- 判定内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 证明思路：当知道两个三角形的两条边以及这两条边所夹的角分别相等时，就可以运用SAS判定全等。
例如，在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠A=∠D，AC = DF，那么△ABC≌△DEF。
- 应用举例：在△ABC中，AB = 5cm，∠A = 60°，AC = 4cm；在△DEF中，DE = 5cm，∠D = 60°，DF = 4cm，求证△ABC≌△DEF。
- 证明：在△ABC和△DEF中，因为AB = DE = 5cm，∠A =∠D = 60°，AC = DF = 4cm，根据SAS判定定理，所以△ABC≌△DEF。
3. ASA（角边角）- 判定内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 证明思路：若两个三角形有两个角以及这两个角所夹的边相等，则可判定全等。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A =∠D，AB = DE，∠B =∠E，那么△ABC≌△DEF。
全等三角形证明判定方法分类归纳
全等三角形证明判定方法分类归纳一、直接证明法直接证明法是指通过对已知条件进行计算和推理，直接得出两个三角形全等的结论。
常用的直接证明法有以下几种：1.SSS判定法SSS判定法是指如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，BC=EF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SSS判定法可知，只需要证明∠ABC=∠DEF，∠BAC=∠EDF，∠ACB=∠DFE即可。
这个可以通过角的和为180°进行计算和推理得到。
2.SAS判定法SAS判定法是指如果两个三角形的两个边分别相等，并且这两个边夹角相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE，∠ABC=∠DEF，AC=DF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过SAS判定法可知，只需要证明BC=EF即可。
这个可以通过边与角关系进行计算和推理得到。
3.ASA判定法ASA判定法是指如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角的夹边相等，则这两个三角形全等。
证明思路：设两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，AC=DF，∠ABC=∠DEF，要证明ΔABC≌ΔDEF。
通过ASA判定法可知，只需要证明AB=DE即可。
这个可以通过角与角关系进行计算和推理得到。
二、间接证明法间接证明法是指通过假设两个三角形不全等，然后推出与已知条件矛盾的结论，从而得出两个三角形全等的结论。
常用的间接证明法有以下几种：1.矛盾法假设三角形ABC和DEF不全等，然后通过对已知条件进行计算和推理，得出一个与已知条件矛盾的结论，进而推出两个三角形全等的结论。
2.割取法假设三角形ABC和DEF不全等，然后取一个边分别作其平行线或垂线，进而构造出等腰三角形或等边三角形，从而推出两个三角形全等的结论。
三、利用全等条件证明法利用全等条件证明法是指在已知两个三角形之间有一个或多个角、边、角边相等的关系时，可以根据全等条件推出两个三角形全等的结论。
初中八上全等三角形证明方法归纳经典全
【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A′B′C′是全等的，记作“△ABC ≌△A′B′C′”其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
4、寻找对应元素的方法 （1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；图3图1 图2（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
全等三角形证明方法【范本模板】
全等三角形的证明方法一、三角形全等的判定:(1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)；（2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS）;（3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；（4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS）；(5）直角三角形全等的判定:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
二、全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等；(2）全等三角形的周长相等、面积相等；（3）全等三角形的对应边上的高对应相等;（4）全等三角形的对应角的角平分线相等；（5）全等三角形的对应边上的中线相等；三、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等;（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。
①积极发现隐含条件:公共角对顶角公共边②观察发现等角等边:等边对等角同角的余角相等同角的补角相等等角对等边等角的余角相等等角的补角相等③推理发现等边等角：图1:平行转化图2 :等角转化图3：中点转化图4 :等量和转化图5：等量差转化图6:角平分线性质转化图7:三线合一转化图8：等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化图11:等段转化四、构造辅助线的常用方法：1、关于角平分线的辅助线：当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等.关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构造全等:如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点,F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
初二数学上全等三角形知识点总结
初二数学上全等三角形知识点总结全等三角形知识梳理一、知识网络全等三角形的性质：对应角相等对应边相等全等三角形的判定方法：边边边SSS边角边SAS角边角ASA角角边AAS斜边、直角边HL作图：角平分线二、基础知识梳理一）基本概念1、全等的定义：形状相同且大小相等的图形叫做全等形。
同样，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、全等三角形的性质：对应边相等对应角相等3、全等三角形的判定方法：三边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等4、角平分线的性质及判定：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上二）灵活运用定理1、判定全等三角形时，先寻找边相等的可能性。
2、善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。
3、灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。
已知条件中有两角对应相等，可找夹边相等（ASA）或任一组等角的对边相等（AAS）。
已知条件中有两边对应相等，可找夹角相等（SAS）或第三组边也相等（SSS）。
已知条件中有一边一角对应相等，可找任一组角相等（AAS或ASA）或夹等角的另一组边相等（SAS）。
证明全等三角形或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：1、确定已知条件（包括隐含条件）；2、回顾三角形判定公理，搞清还需要什么；3、正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。
常见考法：1、利用全等三角形的性质证明线段（或角）相等、两条线段的和差等于另一条线段、面积相等等。
2、利用判定公理来证明两个三角形全等。
A。
两个三角形的三边分别相等B。
两个三角形的两边分别相等，且夹角相等C。
两个三角形的两边分别相等，且夹角不等D。
两个三角形的一边和一个角分别相等，且这个角不是这条边的对角问：使得两个三角形全等的条件是（）。
人教版八年级上册第十二章 证明直角三角形全等的技巧
人教版八年级数学证明直角三角形全等的技巧证明两个直角三角形全等时，由于直角相等这个明显的条件已经具备，所以在证明两个直角三角形全等时，我们常用的方法有二，一是角角边，一是角边角，下面就让这两种方法施展一下．１．借助平行线提供等角，用ＡＡＳ证明直角三角形全等例１如图１，在△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，点D是AB边上一点，ＤＭ⊥ＡＢ且ＤＭ＝ＡＣ,过点Ｍ作ＭＥ∥ＢＣ交AB于点E.求证：△ＡＢＣ≌△ＭＥＤ.分析：遇到直角三角形，首先想到的一个条件就是直角是相等的，后利用平行线的性质，得到全等需要的另一对对应角．证明：因为ＤＭ⊥ＡＢ，∠Ｃ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠ＭＤＥ．因为ＭＥ∥ＢＣ，所以∠Ｂ＝∠ＭＥＤ．在△ＡＢＣ和△ＭＥＤ中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DMACMEDBMDEC，所以△ＡＢＣ≌△ＭＥＤ.点评：找到证明全等的条件是关键．２．借助同角的余角相等提供等角，用ＡＡＳ证明直角三角形全等例２如图２，在Rt△ABC中，∠ＡＢＣ＝９０°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过点B作BE⊥AC，与BD的垂线DE交于点E.（1）求证：△ABC≌△BDE；（2）△BDE可由△ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）分析：由两线垂直，利用余角的性质，推出∠DBE＝∠A．证明：(1)因为BE⊥AC，所以∠A+∠ABE＝９０°，因为∠ABC＝９０°，所以∠DBE+∠ABE=９０°，所以∠A =∠DBE．因为∠ABC=∠BDE＝９０°，BD=AB，所以△ABC≌△BDE；(2)分别作对应点B、D连线的中垂线、A、B连线的垂直平分线，两线的交点即为旋转中心O.点评：熟记余角的性质是解题的一个重要环节．３．借助同角的余角相等提供等角，用ＡＳＡ证明直角三角形全等例３如图３，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．分析：抓住题目给定的条件，证明△ABC≌△FEC是解题的突破口．解：因为∠ACB=90°，所以∠ECF+∠BCD=90°，因为CD⊥AB，所以∠BCD+∠B=90°，所以∠ECF=∠B，在△ABC和△FEC中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FECACBBCECBECF，所以△ＡＢＣ≌△ＦＥＣ（ASA）．所以AC=EF，因为AE=AC﹣CE，BC=2cm，EF=5cm，所以AE=5﹣2=3cm．所以应该填3．点评：将求线段的长度问题转化为三角形的全等问题来解决，是数学转化思想的灵活应用．。
证三角形全等的方法
证三角形全等的方法学习初中数学的你是否总是被各种证明题困扰？是啊, 这些明明就是正确的, 却要我们实实在在地证明出来, 确实有些为难人。
但是呢, 我们学习的主要目的除了丰富自己的知识, 也要应对考试, 如果对这些证明题不熟悉的话, 就赶快看过来, 今日的数学小科普, 来给大家讲解一下如何证明三角形全等！方法一: 边边边（SSS）——三条边都对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式其实很好记啦, 三角形具有稳定性, 三条边都确定了, 是不是整个三角形都可以固定下来了呢？这样就具有了唯一性, 而这样的两个三边都对应相等的三角形, 自然就是全等的。
但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等哦, 只要在脑海中举出几个反例就知道啦！下面给大家举一些利用边边边证明全等的例题。
1-1.已知如下：A、B、E、F在同一条直线上, 且AC=BD, CE=DF, AF=BE。
求证: ACE ≌BDF1-2.已知如下: B.E、C.F在同一条直线上, 且AB=DE, AC=DF, BE=CF。
求证: ABC ≌DEF这两个例题都是通过方法一: 边边边来证明两个三角形全等的。
其中两条对应的边相等是题目已经给出的, 还有一个条件给出一部分边相等, 但是它们存在相互重合的部分, 也就是公共边。
既然重合, 自然相等, 两段相等的边相加, 第三条边相等的条件也就出来了。
方法二: 边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是课本上直接给出的, 你可以这么记：同一个角度的有很多,但是确定了夹这个角的两条边的长短, 这个就被确定下来了, 这是举不出反例的。
2-1.已知如下：AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2。
求证: ABD ≌ACE2-2.已知如下: AB=AC, 且E、F分别是AC.AB的中点。
求证: ABD ≌ACE这两个例题都是通过方法二: 边角边来证明三角形全等的。
其中2-1题需要知道那两个夹角中存在公共角, 公共角相等, 题目又提到∠1=∠2, 因此夹角相等。
全等三角形证明方法归纳
全等三角形证明方法归纳全等三角形的证明是几何学中的基本内容之一，也是解决三角形相关问题的重要途径之一、全等三角形的证明方法主要通过SAS（边角边）,ASA（角边角）,SSS（边边边）等几种类似的三角形性质和定理进行推理得出。
下面我们将分别介绍这几种证明方法。
一、SAS（边角边）全等三角形证明方法SAS全等三角形证明方法是基于以下定理：若两个三角形的其中两条边对应相等，并且夹角也相等，则两个三角形全等。
具体步骤如下：1.给定两个三角形ABC和DEF，已知两个三角形的边AB和DE相等。
2.已知两个三角形的边BC和EF相等。
3.由题意或已知条件得出两个三角形的夹角∠ABC和∠DEF相等。
4.根据定理SAS全等三角形的关系可得，三角形ABC全等于三角形DEF。
二、ASA（角边角）全等三角形证明方法ASA全等三角形证明方法是基于以下定理：若两个三角形的两个对应的角相等，并且夹着这两个角的两条边相等，则两个三角形全等。
具体步骤如下：1.给定两个三角形ABC和DEF，已知两个三角形的角∠ABC和∠DEF 相等。
2.已知两个三角形的边BC和EF相等。
3.由题意或已知条件得出两个三角形的夹角∠ACB和∠DFE相等。
4.根据定理ASA全等三角形的关系可得，三角形ABC全等于三角形DEF。
三、SSS（边边边）全等三角形证明方法SSS全等三角形证明方法是基于以下定理：若一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边相等，则两个三角形全等。
具体步骤如下：1.给定两个三角形ABC和DEF，已知两个三角形的边AB、BC和CA分别与边DE、EF和FD相等。
2.根据已知条件可得出三个小的等边三角形，即三角形ABC的三条边分别与三角形DEF的三条边相等。
3.根据定理SSS全等三角形的关系可得，三角形ABC全等于三角形DEF。
四、其他全等三角形证明方法除了上述的SAS、ASA和SSS三种全等三角形证明方法外，还有一些其他的方法。
1. HL（Hypotenuse-Leg）法则：若两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，则两个三角形全等。
八年级上册数学全等所有知识点
八年级上册数学全等所有知识点全等是数学中非常重要的一个概念，它是解决几何问题的基础。
本文将介绍八年级上册数学全等的所有知识点。
1. 什么是全等？
全等的定义是，如果两个图形的所有对应边和对应角度都相等，那么这两个图形就是全等的。
2. 全等的判定方法
判定两个三角形全等有四种方法：
（1）SAS法：已知两边和它们之间的夹角相等的两个三角形
全等。
（2）SSS法：已知三边相等的两个三角形全等。
（3）ASA法：已知两个角和它们对应的边相等的两个三角形全等。
（4）AAS法：已知两个角和一个角的对边相等的两个三角形全等。
需要注意的是，其中的SAS、SSS、ASA法都是判定一种条件下的全等，而AAS法是判定两种条件下的全等。
3. 全等的性质
全等的性质有很多，这里介绍其中两个：
（1）全等的两个图形的面积相等。
证明：可以通过把一个三角形切割成若干个形状相似的小三角形，然后将这些小三角形恰好排列在另一个三角形上，证明它们的面积相等。
（2）全等的两个图形可以重叠在一起。
证明：因为全等的两个图形所有对应边和对应角度都相等，因此它们可以重叠在一起，并且重叠后的位置和方向是一样的。
4. 学习全等的注意事项
（1）全等的判定条件，需要牢记每种方法的具体条件以及证明过程。
（2）需要掌握各种判定方法的应用，往往需要在实际问题中灵活运用。
（3）需要多做一些练习题，以提高解题能力。
5. 总结
全等是数学中一个重要的概念。
掌握全等的定义、判定方法以及性质是学好几何的基础。
希望本文能为大家提供一些有用的帮助。
全等三角形证明技巧总结
全等三角形证明技巧总结证明全等三角形的方法有很多，下面是一些常用的证明技巧总结。
1.SSS法（边边边全等法）：利用三角形的三条边分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的对应边分别相等，并证明它们分别对应相等的角相等。
（2）然后证明这两个相等的角所对应的边也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
2.SAS法（边角边全等法）：利用三角形的两条边和夹角分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一些角相等，并证明它们的对应边相等。
（2）然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
3.ASA法（角边角全等法）：利用三角形的两个角和夹边分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的两个角相等，并证明它们的夹边相等。
（2）然后证明这两个夹边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
4.AAS法（角角边全等法）：利用三角形的两个角和一个非夹边的相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的两个角相等，并证明它们的非夹边相等。
（2）然后证明这两个非夹边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
5.RHS法（直角边-斜边-直角相等法）：利用三角形的直角边和斜边分别相等来证明两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一个直角边和斜边相等，并证明它们的斜边相等。
（2）然后证明这两个相等的斜边所对应的直角边也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
6.共边法：若两个三角形的其中两边相等，并且这两边的一端相连，且对应的角也相等，那么这两个三角形全等。
具体步骤为：（1）首先确定两个三角形的一个边和它的一端与另一个边共线，并且这两边相等。
（2）然后证明这两个相等的边所对应的角也相等。
（3）最后，可以得出两个三角形全等。
7.旋转法：利用三角形的旋转操作来证明两个三角形全等。
初二数学上册三角形全等的判定相关知识点汇总
初二数学上册三角形全等的判定相关知识点汇总01三角形全等的判定1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)。
2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。
3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。
4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。
5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。
02全等三角形的性质①全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
②全等三角形的周长、面积相等。
③全等三角形的对应边上的高对应相等。
④全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤全等三角形的对应边上的中线相等。
03找全等三角形的方法(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。
缺个角的条件：缺条边的条件：04构造辅助线的常用方法1.关于角平分线的辅助线当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性；②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法：(1)截取构全等如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构全等利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。
(完整版)八上《全等三角形》全等三角形的判定知识点整理
12.2全等三角形的判定一、知识要点1、两个三角形全等的条件【重点】（1）判定1——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”。
“边边边”公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）。
注意：边边边是三条边都相等，并且在书写时边与边要对应书写。
在已知两边相等的情况下优先考虑。
（2）判定2——边角边公理两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”。
注意：边角边中，角是指两对应边的夹角，如上图中，同样在书写时对应边角对准。
比如上图中正确的写法是：△ABC≌△A＇B＇C＇（3）判定3——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
简写为“角边角”或“ASA”。
注意：角边角中，边是两个角中间时，才能描述为角边角，否则就是下面的角角边。
（4）判定4——角角边推论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
简称“角角边”或“AAS”。
如图，是一个屋顶钢架，AB=AC ，D 是BC 中点。
求证： 分析：要证明，就必须证出∠1=∠2，才能知道∠1=∠2=90︒，可得。
怎么才能证出∠1=∠2呢，从题目条件可看出，只要证出和全等即可，分析一下这两个三角形全等条件够吗？显然可利用“边边边”公理可证。
证明：在和中()()()⎪⎩⎪⎨⎧===已知公共边已知DC BD AD AD AC AB ∴≌ACD ∆（SSS ）∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等） ∴（平角定义） ∴（垂直定义）（5）直角三角形全等的判定——斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
简写成“斜边直角边”或“HL”。
判定直角三角形全等的方法： ①一般三角形全等的判定方法都适用； ②斜边-直角边公理2、证明三角形全等一般有以下步骤： （1）读题：明确题中的已知和求证；（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）、分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。
全等三角形证明方法总结
全等三角形证明方法总结1.SSS全等法（边边边法）：当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
2.SAS全等法（边角边法）：当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
3.ASA全等法（角边角法）：当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
4.RHS全等法（斜边直角边法）：当两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
5.AAS全等法（角角边法）：当两个三角形的两对边分别成比例，且夹角相等时，可以判定这两个三角形全等。
以下将分别对这几种全等三角形证明方法进行详细说明：1.SSS全等法（边边边法）：SSS全等法是利用三角形的边长进行全等判断的方法。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
证明方法如下：（1）已知ABC和DEF有AB=DE,BC=EF,CA=FD。
（2）连接AC和DF。
（3）由已知条件可知△ABC≌△DEF，即三边相等，因此两个三角形全等。
2.SAS全等法（边角边法）：SAS全等法是利用三角形的两条边和夹角进行全等判断的方法。
当两个三角形的两条边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
证明方法如下：（1）已知ABC和DEF有AB=DE,∠B=∠E,BC=EF。
（2）连接AC和DF。
（3）由已知条件可以得出∠BAC=∠EDF，通过AB=DE可以得出△ABC≌△DEF，即两个三角形全等。
3.ASA全等法（角边角法）：ASA全等法是利用三角形的两个角和夹边进行全等判断的方法。
当两个三角形的两个角和夹边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
证明方法如下：（1）已知ABC和DEF有∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E。
（2）连接AC和DF。
（3）根据已知条件可得出∠ACB=∠DFE，由AB=DE可以得出△ABC≌△DEF，即两个三角形全等。
4.RHS全等法（斜边直角边法）：RHS全等法是利用两个直角三角形的斜边和一个直角边相等进行全等判断的方法。
人教版初二数学上册 三角形的证明(完整资料).doc
三角形的证明1．全等三角形的判定定理⑴三条边对应相等的两个三角形全等（边边边或错误!未找到引用源。
）⑵两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边或错误!未找到引用源。
）⑶两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角或错误!未找到引用源。
）⑷两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边或错误!未找到引用源。
）⑸斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或错误!未找到引用源。
）⑴角平分线上的点到这个角的两边距离相等如图：若点错误!未找到引用源。
在角平分线，则错误!未找到引用源。
⑵角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
如图：若错误!未找到引用源。
，则点错误!未找到引用源。
在角平分线3．等腰三角形的性质⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）⑵如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）⑶等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）4. 等边三角形的性质和判定⑴等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于错误!未找到引用源。
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；⑶有一个角是错误!未找到引用源。
的等腰三角形是等边三角形⑷在直角三角形中，如果一个锐角等于错误!未找到引用源。
，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
jGBA ECD【题型一、三角形全等的判定定理证明三角形全等】【例1】 已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。
求证：AF=CE 。
【方法技巧】 在三角形中证明边相等的问题可以转化为证明有关三角形全等，根据已知条件选择适当的三角形全等判定定理，可以事半功倍。
变式训练已知，如图，AB 、CD 相交于点O ，△ACO ≌△BDO ，CE ∥DF 。
求证：CE=DF 。
【题型二、作平行线构造三角形全等】【例2】 如图2-2所示．△ABC 是等腰三角形，D ，E 分别是腰A 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ． 求证：GD=GE【方法技巧】三角形全等问题中，如果已知中没有直接给出全等的三个所需条件，这时就需要根据已知条件去构造出所需条件，一般可以作平行线、中线、垂直、截取线段等。
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【第1部分 全等基础知识归纳、小结】1、全等三角形的定义： 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
概念深入理解：（1）形状一样，大小也一样的两个三角形称为全等三角形。
（外观长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（位置变化）2、全等三角形的表示方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3、全等三角形的性质：全等是工具、手段，最终是为了得到边等或角等，从而解决某些问题。
（1）全等三角形的对应角相等、对应边相等。
（2）全等三角形的对应边上的高，中线，角平分线对应相等。
（3）全等三角形周长，面积相等。
图3图1图24、寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的；运动一般有3种：平移、对称、旋转；5、全等三角形的判定：（深入理解）①边边边（SSS）②边角边（SAS）③角边角（ASA）④角角边（AAS）⑤斜边，直角边（HL）注意：（容易出错）（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等（边定全等）；（2）不能证明两个三角形全等的是，㈠三个角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。
6、常见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯） 如： ⑴过点A 作BC 的平行线AF 交DE 于F⑵过点A 作BC 的垂线，垂足为D ⑶延长AB 至C ，使BC ＝AC ⑷在AB 上截取AC ，使AC ＝DE ⑸作∠ABC 的平分线，交AC 于D ⑹取AB 中点C ，连接CD 交EF 于G 点同一条辅助线，可以说法不一样，那么得到的条件、证明的方法也不同。
【第2部分 中点条件的运用】1、还原中心对称图形（倍长中线法）中心对称与中心对称图形知识：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这B'两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
中心对称的两条基本性质：（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。
（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。
中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
（一个图形）如：平行四边形线段本身就是中心对称图形，中点就是它的对称中心，所以遇到中点问题，依托中点借助辅助线还原中点对称图形，可以把分散的条件集中起来（集散思想）。
例1、AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB =2，AC =4，则AD 的取值范围是_________。
例2、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ，求证：AC =BE 。
A B CD EF例3、如图，D 是△ABC 的边BC 上的点，且CD=AB ，∠ADB=∠BAD ，AE 是△ABD的中线。
求证：AC=2AE例4 △ABC 中，AD 、BE 、CF 是三边对应中线。
（则O 为重心） 求证：①AD 、BE 、CF 交于点O 。
（类倍长中线）； ②AOBBOCCOA S SS==练习1、在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知∠BAD =∠CAD ，BD =CD ，求证：AB =ACABCD2、如图，已知四边形ABCD 中，AB =CD ，M 、N 分别为BC 、AD 中点，延长MN 与AB 、CD 延长线交于E 、F ，求证∠BEM =∠CFMEFACDMBO FEC3、如图，AB=AE ，AB ⊥AE ，AD=AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE=2AM （基本型：同角或等角的补角相等、K 型）2、两条平行线间线段的中点（“八字型”全等）如图，1l ∥2l ，C 是线段AB 的中点，那么过点C直线都可以和二条平行线以及AB 构造“8字型”全等例1 已知梯形ABCD ，AD ∥BC，点E 是AB 的中点，连接DE 、CE 。
求证：ABCD12DECSS梯例2 如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ，M 是AD的中点，CE ⊥AB 于点E ，∠CEM=40°，求∠DME 的大小。
（提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半）EABB例3 已知△ABD 和△ACE 都是直角三角形，且∠ABD =∠ACE=90°，连接DE ，设M 为DE的中点。
⑴求证：MB =MC ；⑵设∠BAD =∠CAE ，固定Rt △ABD ，让Rt △ACE 移至图示位置，此时MB =MC 是否成立？请证明你的结论。
练习 1、已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．若BD=BC ，F 是CD 的中点，试问：∠BAF 与∠BCD 的大小关系如何？请写出你的结论并加以证明；2、Rt △ABC 中，∠BAC=90°，M 为BC 的中点，过A 点作某直线l ，过B 作BD l ⊥于点D ，ABCDFEACDMBEACDMB过C 作CE l 于点E 。
（1）中的结论是否任然成立？3、如图（1），在正方形ABCD 和正方形CGEF （CG ＞BC ）中，点B 、C 、G 在同一直线上，M 是AE 的中点，（1）探究线段MD 、MF 的位置及数量关系，并证明；（2）将图（1）中的正方形CGEF 绕点C 顺时针旋转，使正方形CGEF 的对角线CE 恰好与正方形ABCD 的边BC 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。
（1）中得到的两个结3、构造中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线性质：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．重点区分：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开，三角形中线是连结一顶点和它对边的中点；而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段。
（全等法）在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，证明：DE ∥BC ，DE=12BC 证明：延长DE 至F 点，使DE=EF ，连接CF （倍长中线）三角形的中位线在位置关系和数量关系二方面把三角形有关线段联系起来，将题目给出 的分散条件集中起来（集散思想）。
注：题目中给出多个中点时，往往中点还是不够用的。
例1 在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、求证：四边形EFGH 是平行四边形。
例2 已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F. 你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？BD B练习 1、三角形ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6，AC=14，求DE 的长。
2、AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA->AD->DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC->CE->EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？3、等腰Rt △ABC 与等腰Rt △CDE 中，∠ACB=∠EDC=90°，连AE 、BE ，点M 为BE 的中点，连DM 。
（1）当D 点在BC 上时，求DMAE的值 （2）当△CDE 绕点C 顺时针旋转一个锐角时，上结论是否任然成立，试证明FB4、△ABC、△CEF都为等腰直角三角形，当E、F在AC、BC上，∠ACB=90°，连BE、AF，点M、N分别为AF、BE的中点（1）MN与AE的数量关系（2）将△CEF绕C点顺时针旋转一个锐角，MN与AE的数量关系A FAF4、与等面积相关的图形转换在涉及三角形的面积问题时，中点提供了底边相等的条件，这里有个基本几何图形如图，△ABC 中，E 为BC 边的中点，那么显然△ABE 和△AEC 有相同的高AD ，底边也相等，故面积相等。
例 E 、F 是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则AGCDABCDS S 四边形矩形=BCF扩展 如图，等腰Rt △ACD 与Rt △ABC 组成一个四边形ABCD ，AC=4，对角线BD 把四边形ABCD 分成了二部分，求ABDBCDS S的值。
【5、等腰三角形中的“三线合一”】“三线合一”是相当重要的结论和解题工具，它告诉我们等腰三角形与直角三角形有着极为亲密的关系。
例 △ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，问∠CBD 和∠BAC 的关系？分析：∠CBD 和∠BAC 分别位于不同类型的三角形中，可以考虑转为同类三角形。
例 在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN=_____BBBBAC【6、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】这可以作为一个定理直接运用，关于这个定理的证明有多种方法，包括利用前面所讲中点的一些知识。
例 如图Rt △ABC 中，∠ACD=90°，CD 为斜边AB 上的中线 求证：CD=12AB （1）利用垂直平分线的性质：垂直平分线上任一点到线段 的二个端点的距离相等。
取AC 的中点E ，连接DE 。
则DE ∥BC （中位线性质）∠ACB=90°∴BC ⊥AC ，DE ⊥AC则DE 是线段AC 的垂直平分线∴AD=CD（2）全等法，证法略。
例 在三角形ABC 中，AD 是三角形的高，点D 是垂足，点E 、F 、G的中点，求证：四边形EFGD 是等腰梯形。
练习 1、在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB ，M 、N 分别在AC 、AB 上，且AN=BM 。