一元一次方程根的判别式的应用

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根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根．二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x 2x = 那么可推得1212,b cx x x x a a+=−=．这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；（4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值．【答案】0．【答案】【答案】【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =， ∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0．例2.当m 取何值时，关于x 221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根；（2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根；（3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【变式1】一元二次方程220x x −−=的根的情况是（）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=−−⨯⨯−=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 【变式2】关于x 的方程210x mx m −+−=根的情况，下列说法正确的是（）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=−−=−+=−≥，故原方程有两个实数根，故选D. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（）A. 2250x x −−=B. 2210x x −+=C. 220x x −= D. 225x x −=−【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=−=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=−=−<，无实数根. 故正确答案选D.【变式4】当a ＝时，关于x 的方程2210x ax −+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=−=得，1a =±.【变式5】已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩，此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【答案】【答案】【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根．【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【答案】【答案】【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根；（2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根；（3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−且1m ≠−．【答案】【答案】【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程，其中1a m =+，2b m =，c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【答案】【答案】【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =，则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−．【答案】【答案】【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根；当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算．题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积（1）2310x x −+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x −−=，12x x += ________；12x x =________．【答案】（1）3，1；（2）23，【答案】【答案】23−．【解析】（1）1a =，3b =−，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=−=，121c x x a ==；（2）3a =，2b =−，2c =−，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=−=，1223c x x a ==−；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．【变式1】已知方程2560x kx +−=的一个根是2，求另一根及k 值．【答案】方程另一根为35x =−，【答案】【答案】7k =−．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125kx x +=−，1265x x =−，令12x =，则可求得235x =−，代入可得12755k x x +=−=，可得7k =−．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m −+=的一个根是1，求另一根及m 值．【答案】方程另一根为163x =，【答案】【答案】16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123mx x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得121633m x x ==，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式3】如果5−是方程25100x bx +−=的一个根，求另一个根及b 值．【答案】方程另一根为25x =，【答案】【答案】23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=−，121025x x −==−，令15x =−，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=−=−，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值．（1）12x x == （2）1222x x =−+=− 【答案】（1）0p =，21q =−；（2）12p =，3q =．【答案】【答案】【解析】（1）根据韦达定理，可得1203px x +=−=，1273q x x ==−，可得0p =，21q =−；（2）根据韦达定理，可得1243px x +=−=−，1213q x x ==，可得12p =，3q =．【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．【变式5】设12,x x 是方程22430x x +−=的两个根，求()()1211x x ++的值．【答案】【答案】【答案】52−．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=−=−，1232x x =−，由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=−+−+=− ⎪⎝⎭．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【变式6】已知方程22210x ax a +−+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【答案】【答案】【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122ax x +=−，12122a x x −=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x −⎛⎫+−=−−⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +−=，解得：111a =−，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足()2242211680a a a a ∆=−⨯−+=+−≥，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程﹣3x +m ＝0有一根是1，则另一根是（） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根n 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：设方程的另一根为n ， ∵方程x2﹣3x+m ＝0有一根是1， ∴1+n ＝3，解得：n ＝2，故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数a 、b 的关系．2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A ．B ．（x ﹣2）2＝5C ．x 2+2x ＝0D ．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，Δ＝b2+4a2b，根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），∵a、b、c是三角形三边的长，∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．故答案为：3，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，∴b2＝﹣4c，又∵c≠0，∴＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣2且m≠﹣1，∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．（20222，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，解得：m＜1且m≠0．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，∴m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝ab＝25；②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，而a+b＝10，∴另一根为：7．∵3+3＜7，不能构成三角形．∴m的值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．【分析】根据根的判别式得出方程（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，解得：m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，解得k≤且k≠0，即k的取值范围为k≤且k≠0．故答案为：≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠0，即m的取值范围为m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；当m﹣3≠0，即m≠3时，（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，∴x1＝＝，x2＝m，∵方程的两个实数根都为正整数，∴是正整数，∴m＝4或5或7或11，故答案为：3或4或5或7或11．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．【解答】解：∵1+（﹣）＝1﹣，1×（﹣）＝﹣，∴这个方程的一般式是x2+（﹣1）x﹣＝0．故答案为：x2+（﹣1）x﹣＝0．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．【分析】设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，利用根与系数的关系得到a+b＝10，ab＝m，讨论：当a＝b＝5时，易得m＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4或b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形．【解答】解：设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则a+b＝10，ab＝m，当a＝b＝5时，m＝5×5＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4时，b＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；当b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；综上所述，当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的判断．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可；（2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可；（3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数），a＝m+1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，解得m＞﹣2且m≠﹣1；（2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0，解得m＝﹣2；（3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0，解得m＜﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（2022x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．【分析】由一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，得Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，可解得m＝±2，然后把m＝±2代入方程，解此方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，当m＝﹣2时，原方程变为：x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，解得m≤3且m≠1．故m能取的正整数值为2，3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由题意得k﹣2＝0≠0，即k＝2，列出方程求解可得；（2）根据题意得：k﹣2≠0且Δ＝0，解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．【解答】解：（1）因为只有一个根所以k﹣2＝0且6k≠0，解得k＝2，∴方程为12x+7＝0，解得x＝，所以方程的根为x＝；（2）根据题意，得：k﹣2≠0，即k≠2，Δ＝0，即（6k）2﹣4（k﹣2）×（4k﹣1）＝0，解得k1＝，k2＝﹣2，当k＝时，方程为9x2﹣6x+1＝0，即（3x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝，当k＝﹣2时，方程为4x2+12x+9＝0，即（2x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，解得：m≥2，∴当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2．（2）当7为底时，由题意得，Δ＝，则8m﹣16＝0，解得m＝2，此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m＝4或m＝10，当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，故m的值为4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个。

人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（提高）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++； ⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-；⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a b-（a，b为有理数）．+，则必有一根a b【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【答案与解析】解：（1）∵b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系．举一反三：【变式】（张家界）若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（）A. 1B. 0,1C. 1,2D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k ≥0，且k ≠0，解得：k ≤，且k ≠0.则k 的非负整数值为1．2.已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】54m ≤且m ≠1 【解析】因为方程2(1)10m x x -++=有实数根，所以214(1)450m m =--=-+≥△，解得54m ≤，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，∴ m 的取值范围是54m ≤且m ≠1．【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即(1)0m -≠，m ≠1．举一反三：【变式】已知：关于x 的方程2(1)04k kx k x +++=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】102k k ≠＞－且.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. （绥化）关于x 的一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，且x 12+x 22=8，求m 的值．【思路点拨】（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，再结合完全平方公式可得出x 12+x 22=﹣2x 1•x 2，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．【答案与解析】解：（1）∵一元二次方程x 2+2x +2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜．∴m 的取值范围为m ＜．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2x +2m=0的两个根，∴x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=2m ，∴x 12+x 22=﹣2x 1•x 2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m 的值为﹣1．【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）结合题意得出4﹣8m ＞0；（2）结合题意得出4﹣4m=8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键．举一反三：【变式】不解方程，求方程22310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．【答案】（1）134；（2）3． 4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数．【答案与解析】设方程25230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系，得1225x x +=-，1235x x =-．设所求方程为20y py q ++=，它的两根为y 1、y 2，由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-，221y x =-，从而12121212122111125()335x x p y y x x x x x x -⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-， 12121211153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故所求作的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=．【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个数为根的一元二次方程是.”可以用这种语言形式记忆“2x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。

湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案

转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。
3. 情感态度与价值观：过对根的判别式的意义及作用的探究，培养对科学的探索精神和严
谨的治学态度。
重点
用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根或没有实根。
难点
在具体题目中，能用一元二次方程根的判别式判别方程实根个数的情况。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动设计意图
①当△
时，方程有两个不等的实根：
②当△
时，方程有两个相等实根：
=－结合导入的思考和老师
讲授新课 +
例题讲解
③当△
时，所以原方程无实根.
我们看一个具体的例子：
【例 1】不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-3=0；
（2）4x2=12x-9；
（3）7y=5（y2+1）．
分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确
讲解的时候，道本节课
∴不论 m 为何值，这个方程总有两个不相等的实数根自己先思考，的学习内
【例 4 】已知： a 、 b 、 c 是 △ ABC 的三边，若方程然后再听老容和重点。
ax²+2 △ABC 的形状.
师讲解。有两个等根，试判断
解：对于原方程Δ ＝0，即
∵△=（-12）2-4×4×9=144-144=0，
∴原方程有两个相等的实数根.
（3）将原方程化为一般形式，得
5y2-7y+5=0.
∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0，
∴原方程没有实数根.
【例 2】当 k 取什么值时，关于 x 的方程 2x2-（4k+1）

一元二次方程根的判别式的应用教学案

1.2 二次根式的性质（1）【要点预习】1.二次根式的性质：(1)2____(0)a =≥；(2)(__0)____(__0).a a a a ⎧=⎨-⎩【课前热身】1.填空：2= . 答案：22. = . 答案：43. ________= .答案：1 1【讲练互动】【例1】计算：(1) 33 3.⎤+⎦；解：(1) 原式=)233333+-.(2) 原式=((22220=---=.【黑色陷阱】注意2的区别,2表示a 的算术平方根的平方, 其运算结果为a ；a 2的算术平方根, 其结果由a 的符号决定, 当a 为正数时结果为a ；当a 为负数时结果为-a . 【变式训练】 1. 计算：(1) 2（(2)2；(3)31.73-答案：(1) 4；(2)815；(3)19.【例2】(2008广州中考)如图，实数a、b在数轴上的位置，化简分析：根据图中数轴，可知-1<a<0<b<1，于是a a=-，b b=，a b b a-=-，于可化简原式.解：由题意得a<0<b, ∴原式=|a|-|b|-|a-b|=-a-b+(a-b)=-2b.号外面，可以先写成绝对值的形式，判断符号，然后化去绝对值.【变式训练】2. 2得…………………………………………………………( )A. 2B. -4x+4C. -2D. 4x-4答案：A【同步测控】基础自测1.下列算式错误的是…………………………………………………………………………( )6= B. 6- C. 2(6= D. 26=答案：D2.( )A.11 C.1±（ D.答案：B3.= a-，则实数a在数轴上的对应点一定在……………………………………（）A. 原点左侧 B. 原点右侧C. 原点或原点左侧D. 原点或原点右侧答案：C4. 当x＞2答案：x-25.则此直角三角形的斜边长为 . 答案：36. 计算：(1) 2（；(2) 2-(3) .答案：(1)-6；(2)0.3；能力提升7. π的值是…………………………………………………………………( )A. 3.14-2πB. 3.14C. -3.14D. 无法确定解析：由于3.14<π 3.14 3.14ππ=-=-，所以原式＝π-3.14-π=-3.14.答案：C8.已知0<a ，那么…………………………………………………………（）A. aB.a -C.a 3D.a 3-解析：由于a <0，故|a |=-a ，因此原式33a a ==-. 答案：D9.已知已知1x =＋1y =222x xy y -+的值是 .解析：原式=(x -y )2=((22112⎡⎤+-+==⎣⎦.答案：210. 若化简|1-x |2x -5，则x 的取值范围是 . 解析：由题意得, 原式=(x -1)+(x -4)=2x -5, 故可知1-x ≤0且x -4≥0, 解得x ≥4. 答案：x ≥411. 已知a 、b 、c 为△ABC 分析：根据“三角形两边之和大于第三边”可得a+b >c ，b+c >a ，于是a b c a b c =+-=+-a b c b c a =--=+-，故可化简原式.解：∵a 、b 、c 为△ABC 的三边长，∴a+b >c , b+c >a . ∴原式=(a+b-c )+(b+c-a )=2b . 12. 阅读下面的文字后，回答问题．小王和小李解答题目：“先化简下式，再求值：a ，其中a ＝7时，得出了不同的答案．小王的解答是：原式＝()11a a a +-=；小李的解答是：原式＝()12127113a a a a =+-=-=⨯-=．（1）_____的解答是错误的．（2）错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：___________．分析：由于a =7>111a a -=-，因此小王的解答错误.解：(1)小王；a . 创新应用13．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a+b=m ，n ab =，使得22m +=，n b a =⋅，=)(b a >7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=.即227+=2+解：这里m=13，n =42. ∵7+6=13，7×6=42，∴2213+=a+b >c , b+c >a .1.2 二次根式的性质（2）【要点预习】1.二次根式的性质2：________(0,0);a b=≥≥__0,__0).a b【课前热身】1.）A. B. C. D.答案：B2. 当0x<=___________.答案：-x3. =；=.答案：11 5 34. =_________.【讲练互动】【例1】化简：解：(1)原式=12×5=60. (2)原式=.(3)原式. (4)原式【绿色通道】对二次根式化简结果的要求：一是根号内不再含有开得尽方的因式；二是根号内不再含有分母. 二次根式化简的步骤：一是预备阶段，包括分解质因数，化带分数为假分数，处理好被开方数的符号，根号内分数的分子、分母同乘一个数，使分母变成一个完全平方数等；二是运用二次根式的性质的秩序：先运用积和商的自述平方根性质，的性质.【变式训练】1.化简：；答案：(1)40；(2)45；；【例2】先化简，再求出下面算式的近似值.(精确到0.01).解：(1)原式2.45=.(2)原式1.06=≈.(3)原式22.45≈.【黑色陷阱】第(1)题注意应化为正数后再化简；第(3)题根号内不是积的形式，注意要先分解因式，化成积的形式后再化简.【变式训练】2.先化简，再求出下列算式的近似值：(1)(结果保留三个有效数字)；(2)(精确到0.01).答案：(1)0.110； 2.50.【例3】在44⨯的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为2，2的直角三角形CBA的斜边长；由于==因此可视作两条直角边长分别为3，1的直3，1的直角三角形的斜边长.解：化简后三角形的三边分别为ABC 如图所示. 【变式训练】3. 在44⨯的方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，三条边长分别为分析：由于===2，1的直角三3，2的直角三角形的斜边长.ABC 如图所示. 【同步测控】基础自测1.(2007潍坊中考)） A.10B.C.D.20答案：B2.的结果是………………………………………………………………（） A.0.6 B.0.06 C.6.0± D.06.0± 答案：A3. 下列化简正确的是 ………………………………………………………………………( )959=⨯=45B.=7+24=31CBA22⨯=3623答案：C4. 等腰直角三角形的腰长为4，则斜边上的高线长为……………………………………（）A.4 D.答案：B5.=a的取值范围是 .答案：a≥06. 化简：(1)162 ；(3) (4)答案：(1)(3)(4)6；7.直角三角形的两直角边长度的比为3∶2.解：设两直角边长分别为3x, 2x, 则由勾股定理得(3x)2+(2x)2=2, 13x2=520, x2=40.∵x>0, ∴x=∴两条直角边的长分别为能力提升8. (2007莱芜中考则x的取值范围是…………………………（）A. x≥0B. x>0C. x≥1D. x>1解析：根据二次根据成立的意义，必须满足x≥0且x-1≥0，可解得x≥1.答案：C9.若等边三角形的边长是6，则它的高为…………………………………………………( )A.3B.C.D.解析：由勾股定理，得等边三角形的高答案：C10.(2007乌鲁木齐中考)的被开方数相同的概率是.==4个中有33 4 .答案：3 411.先化简,再用计算器求出各算式的近似值(结果保留4个有效数字)：(1)(2)(3)答案：3.953；1.118；0.3953；0.3440.○12. 观察下列各式及其验证过程：验证：===.(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为任意自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明. 解：(1)，(2)创新应用13.在如图的4×4方格内画△ABC，使它的顶点都在格点上，且AB=BC=2，AC并求B点到AC的距离.DCBA分析：由于=2，2的直角三故可视作两条直角三角形边长分别为2，4的直角三角形的斜边长，因此△ABC可作出. 再利用面积法可求得B点到AC的距离.解：作BD⊥AC于D. AB=BC=2，AC=.∵S△ABC=12×2×2=2=12AC·BD, ∴BD=4AC===一元二次方程复习指南一、课程目标要求1．经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，了解一元二次方程及其相关概念．2．能灵活用直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．3．会用一元二次方程模型解实际问题，并从中经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，更好地体会数学的价值．二、知识脉络简图三、重点知识回顾1，含有一个未知数，并且未知数的最高指数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 注意一元二次方程就必须满足：①整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2（未知数的指数为2，二次项的系数不为0）.2，一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.3，一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.4，一元二次方程的解法有：直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法.对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的求根公式：x ＝2b a -±b 2－4ac ≥0）. 注意一元二次方程如果有解，就有两个解（有时有两个相同的解）.5.四种一元二次方程解法的适用范围（1）开平方法和因式分解法都只适用于一些特殊的方程.当方程的左边是含有未知数的完全平方式，而右边是一个非负数的形式时,应用开平方法.（2）当方程一边是0，而另一边适于因式分解时，可用因式分解法.(3)配方法和公式法适于任何有实数根的一元二次方程.当二次项系数是1且一次项系数是2的倍数时，可用配方法；当二次项系数不是2的倍数且不易用因式分解法时，可考虑用公式法.（4）公式法虽是“万能”的，但它总是“下策”，只有在迫不得已时才使用，而因式分解才是首选方法.（5）因为一元二次方程通过配方法然后开方即得公式法，所以开平方是基础，配方法是关键，公式法是重点，而因式分解是最快捷有效的方法.6，列一元二次方程解简单的实际应用问题的方法和步骤与列一元一次方程解应用题基本相同.简单地可分为：设、找、列、解、检、答等六个步骤.具体地就是：（1）设弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x )表示题目中的一个未知数；（2）找找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系；（3）列根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出方程；（4）解解这个所列的分式方程，求出未知数的值；（5）检检验；（6）答写出答案(包括单位名称).这六个步骤关键是“列”，难点是“找”.四、思想方法导读1转化思想：如将一元二次方程转化为一次方程，转化的策略是降次，降次的途径是配方、开方和因式分解.2建模思想：弄清问题的实际背景，找出实际问题中相关数量之间的相等关系，并把这种关系“翻译”为一元二次方程.常见的实际问题有：增长率问题、面积问题、利润问题等.2配方法：配方法不仅可以用来解一元二次方程，而且也是解决其它数学问题的方法，如学习二次函数就少不了配方法.五、典型例题解析考点一：一元二次方程的有关概念例1（09荆门）关于x 的方程ax 2－(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( )(A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2．解析：因为该方程的二次项系数为字母，根据已知条件：只有一解(相同解算一解)，考虑字母的适用范围，应将字母分0=a 和0≠a 两种情况分类讨论:解：（1）当0=a ，方程为一元一次方程 022=+-x 此时有实数根1=x ；（2）当0≠a ，方程为二次方程.由相同解算一解得：[]0)2(8)2(22=-=-+-=∆a a a ，解得2=a 此时方程有实数根1=x综合（1）、（2），选D评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件.一般设问方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。

一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解

一元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程教学目的1. 回顾已学过的关于方程（组）与方程的解的概念掌握方程的一些特点以及常规考点，特别是一元二次方程和二元一次方程组的解题技巧和容易犯错的地方，巩固关于一元二次方程和二元一次方程组的解的应用的问题解决方法。

重难点1. 二元一次方程组，一元二次方程的应用在做关于应用题的时候要会理清各个量之间的关系，并运用存在的关系建立方程教学过程一．一次方程与一次方程组1.方程（组）与方程的解的概念（1）方程：含有未知数的等式叫做方程（2）方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

（3）一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式的方程叫做一元一次方程;它的标准形式是ax+b=0(a ≠0)。

（4）二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程，它的基本形式是ax+by=0(a ≠0, b ≠0)。

（5）二元一次方程组：几个一次方程组成的含有两个未知数的一组方程叫做二元一次方程组。

（6）二元一次方程组的解：方程组里每个方程的公共解叫做二元一次方程组的解2.解方程的依据等式的性质：（1）等式的两边都加上或者减去同一个整式，得到的结果仍是等式（2）等式的两边都乘或除以同一个不为零的数或整式，所得结果仍是等式2. 方程或方程组的解法与步骤（1）解一元一次方程的一般步骤：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤未知数的系数化为一（2）解二元一次方程组的基本思路：通过消元使其转化为一元一次方程来解，通常的消元法有代入法和加减法。

3. 列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题，特别注意关键的字和词的意义，弄清相关数量关系，已知什么，求什么；（2）设未知数（注意单位的同意）；（3）根据相灯关系列出方程（组）；（4）解方程（组），并检验；（5）写出答案（包括单位名称）。

注意：列方程（组）解应用题的关键是：确定等量关系。

八年级同步第9讲：根的判别式及其应用-教师版

1 / 24后二I 别式及其应用根的判别式是一元二次方程中重要的知识点，可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的个数情况，也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围.本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围.知喂腑IJ 别式(2) 不解方程，判别方程5x 2 7x 5 0的根的情况是()(A)有两个相等的实数根 (B)有两个不相等的实数根模块一：判别式的值与根的关系例题解析【例1】选择:(1)卜列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是((A) X 2 1 0(C) x 2 2x 3 02(B) x 2x 1 0，、2 一一一(D) x 2x 3 0内容分析||知识精讲(C)只有一个实数根(D)没有实数根⑶ 方程x2 5x 1 0的根的情况是( )(A)有两个相等实根(B)有两个不等实根(C)没有实根(D)无法确定(4) 一元二次方程x2 3x 1 0的根的情况为( )(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)只有一个实数根(D)没有实数根【难度】★【答案】(1) D; (2) D; (3) B; (4) A.【解析】(1) A：a 1 , b 0, c 1 , b2 4ac 4 0,方程无实根;B： a 1, b 2, c 1, C： a 1, b 2, c 3,2b 4ac 0 ,万程有两个相等实根; b2 4ac 8 0,方程无实根；D：a 1, b 2, c 3, ,2 b 4ac 16 0,万程有两不等实根实根，故选D；⑵ a 5, b 7, c 5, .2b 4ac 51 0,方程无实根，故选D；(3)a 1, b 5, c 1 , .2b 4ac 29 0,万程有两不等实根，故选B；(4)a 1, b 3, c 1 , 2b2 4ac 13 0 ,方程有两个相等实根，故选 A. 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先列出方程中的代值计算，根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意a、c异号时则必有两不等实根.2 / 243 / 24【例2】不解方程，判别下列方程的根的情况:【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式,c 异号时则必有两不等实根.【例3】已知关于x 的一元二次方程（m 1）x 2 2mx 1 0根的判别式的值为4,求m 的值. 【难度】★ 【答案】0.【解析】 a m 1, b 2m, c 1 , .222b 4ac 2m 4 m 1 4mmi 4,整理即得m 2m 0,解得：m 11 , m2 0,同时方程是一元二次方程，知 a m 1 0,故m 1, 由此得m 0. 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0.(1)4x 2 5x 3 0；(3) 2x 2 3 2J&；2⑵ 2x 4x 3 0 ;,、2(4) 2x 3x 4 0 .【答案】（1）方程有两不等实根；（4）方程有两不等实根.【解析】（1） a 4, b 5, c2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根；2 _ _3, b 4ac 73 0 ,方程有两不等实根; ⑵ a 2, b 4, c 3,b 24ac 8 0,方程无实数根;(3) a 2, b 2厌,c 3, ,2 b 4ac 0 ,万程有两相等实根;(4) a 2, b 3, c 4,.2b 4ac 41 0,万程有两不等实根.列出方程中的a 、b 、c,再代值计算,根据与0的大小关系确定方程根的情况，注意4 / 24【难度】★★ 【答案】一定有.【解析】a 1 , b m 1 , cm,22b 4ac m 14 m【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况.【例5】已知方程组 ax y 1的解是x 2,判断关于x 的方程x 2ax b 0的根的情况. x by 8 y 3 【难度】★★【答案】方程无实数根. ax1 x22a 3 1 a 2 【解析】方程组ax y 1的解是x 2，代入即得：，可解得：，x by8y 32 3b 8b 2此时方程即为x 22x 2 0,其中a 1, b 2, c 2, b 24ac 8 0,可知方程无实数根.【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况.【难度】★★【答案】(1) m 2 ； (2)m 2 ； (3)m 2 .12 .【解析】对此万程，a1,bm2,c —m 1,则44m 8,由此可知,【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论.1 C 【例6】当m 取何值时，关于x 的方程x (m 2)x -m 1 0,4【例4】关于x 的方程 (m 1)x(其中m 是实数)一定有实数根吗？为什么?2m 1 0恒成立，可知方程一定有实数(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根？( 3)没有实数根?,2b 4ac(1)当 4m 8 0 ,即 m (2)当4m 8 0,即m(3)当 4m 8 0 ,即 m2时，方程有两个不相等的实数根;2时，方程有两两个相等的实数根;5 / 24根(用含k 的代数式表示). 【难度】★★1【答案】k —时，方程有实数根；方程的根为 x 2k 屈F.42【解析】对此万程，a 1, b 4k , c 2k 1 ,则22 2 一一一b 4ac 4k 4 2k 116k 4 ,因为方程有实数根，则有116k 4 0,即k —时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程 4【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其值，方程可由值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，在确定方程有实根的情况下可根据求根公式求解方程.【例8】已知关于x 的方程4x 2(k 2)x k 1有两个相等的实数根，求k 的值及方程的根. 【难度】★★★1 一一3【答案】k 2或k 10； k 2时，万程根为x , x, 2 ； k 10时，方程根为x x 2 -.【解析】化为一般式，即为： 4x 2k 2 x k 1 0,其中 a 4, b k 2 , c k 1,222贝U b 4ac k 2 4 4 k 1k 12k 20 ,因为方程有两相等实数根，则有k 212k 20 0,解得：k 1 2 , k 2 10;【例7】当k 为何值时，关于x 的方程x 2 4kx2(2k 1) 0有实数根？并求出这时方程的解为x—b ^c4kE 2k k2a2 1k 2时，方程化为4x2 4x 1 0,解得方程根为：x, x2 一；22 3k 10时，方程化为4x2 12x 9 0,解得方程根为x1 x2 -.2【例9】已知关于x的方程1x2 (m 2)x m2 0.4(1)有两个不相等的实根，求m的取值范围；(2)有两个相等的实根，求m的值，并求出此时方程的根；(3)有实根，求m的最大整数值.【难度】★★★【答案】(1) m 1； (2) m 1,此时方程根为x1 x2 2； (3) m 1.1 . _2 , 2 2, 1 2【斛析】a -, b m2, cm, b 4ac m 2 4 - m 4m 4,4 4由此可知：(1)当4m 4 0,即m 1时，方程有两个不相等的实根；(2)当4m 4 0,即m 1时，方程有两个相等的实根，此时方程即为1 2-x2 x 1 0,解得方程根为：x1 x2 2 ;4(3)当4m 4 0,即m 1时，方程有实根，此时m最大整数值为m 1.【总结】可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，方程有实数根，即其0,可在此基础上进行分类讨论.6 / 24模块二：根的判别式的应用知识精讲(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参数系数的性质确定根的范围;(3)解与根有关的证明题.例题解析【例10】证明：方程x 1 x 2 k2有两个不相等的实数根.【难度】★【答案】略.【解析】证明：对原方程进行整理，即为：x2 3x 2 k2 0其中a 1 , b 3, c 2 k2,2 2则b2 4ac 3 4 2 k2 4k2 1 0恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根.【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的值即可以确定下来.【例11] 当k为何值时，方程kx2 2 k 2 x x2 k 1 k 0 ,(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根.【难度】★★5 5 5【答案】(1)k 一且k 1； (2)k —；(3)k -.4 4 4【解析】将方程整理成关于x的一元二次方程的一般形式，即得：7 / 24k1x2 2k 2x k 1 0,此时，a k 1, b 2k 2,ck1,由方程为一元二次方程，可知 a k 1 0,故k 1；2 2b 4ac 4 k 2 4 k 1 k 1 16k 20 ,由此可知，5(1)当16k 20 0,即k —且k 1时，方程有两不等实根；45(2)当16k 20 0,即k —时，方程有两相等实根；45(3)当16k 20 0,即k —时，方程无实根.4【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其值，可由方程根的情况确定其值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论.【例12】已知关于x的一元二次方程m 1 x2 2mx m 3 0有实数根，求m的取值范围.【难度】★★一 _ 3【答案】m -且m 1.2【解析】由原方程是一元二次方程，可知m 1 0,即m 1；对此方程，其中a m 1, b 2m, cm3,方程有实根，则必有：,2 2 3b 4ac 2m 4 m 1 m 3 8m 12 0,可解得m -；3即m的取值范围为m —且m 1.2【总结】对于形如ax2 bx c 0的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证8 / 249 / 24元二次方程的二次项系数不能为 0,然后在此基础上进行解题和计算.【例13] 如果m 是实数，且不等式(m 1)x m 1的解集是x 1 ,那么关于x 的一元二21 次方程mx (m 1)x - m 。

一元二次方程根的判别式的多种应用

一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。

例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。

例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。

例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。

三、证明方程根的性质。

例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。

简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。

评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。

四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。

例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。

简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。

一元一次方程根的判别式教案

一元二次方程根的判别式的教学设计一、教学目标：1、知识和技能：(1）能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；(2）会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围；2、数学思考：通过启发诱导,发现一元二次方程根的判别式，感受知识的探索形成过程。

3、解决问题：（1）.不解方程利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。

（2）灵活运用根的判别式求字母系数的取值范围。

4、情感态度价值观：（1）向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；（2）培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力和推理论证能力。

二、教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

三、教学过程：<一>、设置悬念，引发兴趣：【教师】：同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。

【学生】会争先恐后地编题考老师。

【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。

<二>设置练习，创设情境。

【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。

用公式法解一元二次方程(出示在屏幕上）()()()222 1320296103230x x x x x x++=-+=-+=(注：找三名学生板演，其余学生在位上做)【学生】都在积极解答，寻找其中的奥秘。

【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。

<三>启发引导，发现结论：【教师】请同学们观察这三个方程的解题过程，可以发现：在把系数代入求根公式之前，每题都是先确定了a、b、c的值，然后求出它【说明】：这样设计（1）是为了让学生明白：24b ac-的值的符号在解一元二次的值——24b ac -，为什么要这样做呢？【学生】会初步说出 24b ac -的作用是：它能决定方程是否可解。

根的判别式及根与系数的关系

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
A．由解方程引入．由解方程引入:
解方程: 解方程 ①x2+x−1=0 b2−4ac=1+4=5 − = = + = ②x2−4x+4=0 + = 无实数根, 无实数根可见,由的值,可以判断方程根的情况可见由b2−4ac的值可以判断方程根的情况的值可以判断方程根的情况.
方程的根为1或 ∴所求m=2或m=10 ,方程的根为或3. 所求 = 或 = 方程的根为
求证:无论为任何实数,关于无论a为任何实数关于x的方程例4 求证无论为任何实数关于的方程总有两个不相等的实数根. x2−(2a−1)x+a−3=0总有两个不相等的实数根 − + − = 总有两个不相等的实数根
−b± ∆ x= 2a 方程有两个不相等的实数根 −b 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 2a 方程没有实数根. 方程没有实数根
2、判别式的应用（1）直接判断一元二次方程根的情况; （2）由题目给出的一元二次方程根的情况,求出a、b、c 中待定系数的值或取值范围.
例1 不解方程判断下列方程根的情况不解方程,判断下列方程根的情况判断下列方程根的情况.
m < 3
又m是非负整数 ∴m=0或m=1 小结:使用∆时必须在a≠0的前题下.
取什么值时,关于例3. m取什么值时关于的方程取什么值时关于x的方程有两个相等的实数根？ 2x2−(m+2)x+2m−2=0有两个相等的实数根？ + + − = 有两个相等的实数根并求出这时方程的根. 并求出这时方程的根
2 1 ∴ m = 时,方程有一根为零. 2
引申:1、若ax2+bx+c=0 (a≠0 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b=0; （2）若两根互为倒数,则a=c; 0 c=0 （3）若一根为0,则c=0 ; （4）若一根为1,则a+b+c=0 ; （5）若一根为−1,则a−b+c=0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.

一元一次方程根的判别式

〈设计意图〉：例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证明实际与练习2中的第4题的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。所以我设计的目的主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会培养学生分析问题，解决问题的能力
练习3：求证：关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。
练习2：不解方程，判断下列方程的根的情况：必做题：（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2-1）-7x＝0 选做题：（4）x2 2 2kx k 2 0
〈设计意图〉：练习题设计必做和选做，充分关注了学生的个体差异，遵循分层教学的原则，在掌握基础的同时还为学优生提供了思维的发展空间。
〈设计意图〉：这一环节是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为下面定理及逆定理的运用做好铺垫。
（三）、综合应用——巩固新知
练习一：用一元二次方程的根的判别式定理，完成下面题目： ⑴方程x2+2x-1=0中，a= b= c= ， b2-4ac= 方程有个实数根。 ⑵方程-2x2-3x=0中，a= b= c= ， b2-4ac= 方程有个实数根。 ⑶方程4x2+4x+1=0中，a= b= c= ， b2-4ac= 方程有个实数根。 ⑷方程x2+x+1=0中，a= b= c= ， b2-4ac= 方程有个实数根。
（四）、感悟收获——系统新知
（1）通过这一节课的学习，你学到了哪些知识？（2）应用一元二次方程根的判别式来解决实际问题时，应注意哪些问题？（3）你是否还存在疑问呢？
判别式的情况 △＞0 △＝0 △＜0 △ ≥0

根的判别式在解题中的应用

根的判别式在解题中的应用作者：张田田来源：《初中生世界·九年级》2020年第09期一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式Δ=b2-4ac在初中数学学习中占有非常重要的地位，它是解决一元二次方程相关问题的重要工具，也是中考的必考知识点。

利用根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，在解决方程、函数、不等式等问题时也有广泛的应用。

下面就根的判别式在解题中的应用举例说明，以期对同学们的学习有所帮助。

苏科版数学教材九年级上册“一元二次方程”第20页的习题中有这样一题：例1 k取什么值时，关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个相等的实数根？有两个不相等的实数根？没有实数根？【分析】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式的知识。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况可以由根的判别式b2-4ac的符号来判定。

当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根;当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根;当Δ=b2-4ac<0时，方程没有实数根。

故先用含k的代数式表示b2-4ac，再分别用b2-4ac=0，b2-4ac>0，b2-4ac<0求出相应的k的取值范围。

变式1 （2020·江苏南京）关于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）。

A.两个正根B.两个负根C.一个正根，一个负根D.无实数根【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系两个知识点。

先把方程（x-1）（x+2）=p2化为一般式，根据根的判别式A=b2-4ac的符号来判断方程根的个数，再根据根与系数的关系x1+x2=-b/a，x1·x2=c/a来判断根的正负性，即可求解。

解：将原方程化为x2+x-2-p2=0，则Δ=b2-4ac=1+8+4p2=9+4p20，可知方程有两个不相等的实数根。

因为x1·x2=c/a=-2-p2<0，所以此方程有一个正根，一个负根，故选C。

方程的实根的判别式的意义及应用

专题复习一元二次方程的实根的判别式的意义及应用 (一)教学目标通过练习、交流与总结，使学生熟练掌握一元二次方程根的判别式，培养学生的语言表达能力，进一步提高学生的解题能力及思维的严密性.教学重点：会用判别式判定根的情况教学难点：认真审题，分析题意，正确选择解决问题的途径教学用具：电脑，展示台教学设计：学生答题小组交流、讨论师生共同归纳、总结教学过程：一、课前基础训练不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）x 2＋3x+3=0; （2）x 2-4x-3=0; （3）4x 2-4x+1=0设计意图：通过很简单的基本训练，教师对学生今天所要复习的内容的认知情况做一个了解。

二、知识重现提问1：刚才在做练习时，你用了什么数学知识？提问2：这个知识又是如何研究得到的呢？重现根的判别式由来（电脑展示）一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0（a ≠o,b 2-4ac ≥0）的求根公式的推导ax 2＋bx ＋c=0 02=++a c x ab x 022222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++a c a b a b x a b x 222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ∵a ≠0,4a 2>0,又b 2-4ac ≥0 aac b b x a ac b b x 24,242221---=-+-=∴ 根的判别式： b 2-4ac ，用符号“△”表示判定一元二次方程的根的情况时，当Δ>0时,_方程有两个不等实数根_；当Δ=0时，方程有两个相等实数根；当Δ<0时方程没有实数根。

反过来也成立。

三、知识应用，例题分析例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 04322=-+x x , (2) 07)1(52=-+x x 。

点拨：把方程化为一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，再计算判别式的值. 例2、当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。

根的判别式优秀教案

课题：《1.2一元二次方程的解法5》一、教材分析1、课标要求：（1）通过具体实例，了解一元二次方程根的情况（2）会用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等2、本节课探索了一元二次方程根的三种情况，并探索根的情况与判别式之间的关系二、学情分析学生在上节课学会了公式法解一元二次方程，在此基础上通过解方程了解一元二次方程根的3种情况，学生容易入手，并能较快探索方程根的情况与判别式之间的内在联系。

三、教学目标：知识目标：1、探索一元二次方程的根与判别式的关系2、利用根的判别式判别方程根的情况3、根据方程的根的情况确定字母范围或值过程目标：1、在探索一元二次方程根的情况与判别式的关系中体会判别式的正反两方面的作用情感目标：培养学生思维的严谨性四、教学重、难点：根的判别式正反两方面的应用五、教学过程：（一）创设情境1、温故知新一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是什么？其中2(40)b ac -≥2、尝试与交流用公式法解下列一元二次方程：()()()0122303322011222=+-=+-=-+x x x x x x 3、思考与探索（1）观察上述3题的结果，你认为一元二次方程的根有哪几种情况？3种情况：有2个不相等的实数根、有2个相等的实数根、没有实数根（2）一元二次方程根的情况与什么有关？有怎样的关系？与的符号有关：，方程有两个不相等的实数根24b ac -240b ac -> ，方程有两个相等的实数根240b ac -=，方程没有实数根240b ac -<【设计意图】：通过回顾一元二次方程的求根公式，并用公式法解方程，让学生感受一元二次方程根的3种情况，并进一步思考根的情况与什么有关，激发学生的探究欲望和学习兴趣。

（二）引入新知1、根的判别式：我们把叫做一元二次方程的根的判别式。

24b ac -2、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0）的根的情况可由来判定：24b ac -①240bac ->②方程有两个相等的实数根240b ac -=③方程没有实数根240b ac -<④方程有两个实数根240b ac -≥（三）例题分析例1：不解方程，判别下列方程根的情况2222(1)310(2)650(3)2340(4)5x x x x y y x +-=-+=-+=+=【设计意图】：通过由根的判别式来判别方程根的情况，体会根的判别式的重要性和优越性。

一元二次方程判别式的应用---毕业论文

【标题】一元二次方程判别式的应用【作者】李沛津【关键词】一元二次方程判别式代数应用【指导老师】郑莲【专业】数学教育【正文】1、引言一元二次方程 ( )的根的判别式，在初中代数数学中仅占两个课时，授课时数虽然较少，但其重要性却不容忽视，在高中的学习中占有重要的地位，是重点教学内容之一，在教科书中又有比较详细、简单的推导过程，它的应用在代数中尤为突出，比如它不仅用于一元二次方程中关于根的讨论，而且在函数、函数的定义域、函数的值域、函数的极值、不等式、因式分解、求变量的变化范围、直线与二次曲线的位置关系等方面都有广泛的应用。

而且它的应用还不只限于数学的领域，在物理等其他领域都会用到。

接下来就先了解判别式的意义，在对其应用来做分类举例介绍判别式。

2、一元二次方程判别式的意义对于实系数一元二次方程 ( 均为常数）（A）根的情况，可由来判断，我们把称为方程（A）根的判别式。

由于负数在实数集内不能进行开平方运算，因此，对方程(A)根的判别式应从两个方面明确其意义：（1）只有具备了均为实数且时，才有如下的结论：当 >0时，方程（A）有两个不相等的实数根；当 =0时，方程（A）有两个相等的实数根；当 <0时，方程（A）没有实数根。

(2)对于 <0时，应该说“原方程没有实数根”，而不说“原方程无解”，以免引起将来在复数集上解一元二次方程时要把“无解”改成“有虚数解”的麻烦。

3、判别式在数学中的应用判别式的应用非常广泛，在中学数学的学习中，它在代数中的应用起到了不少的作用。

所以非常值得一提。

3.1 求字母的值或范围根据抛物线与轴交点的个数，确定解析式中字母系数的值或字母系数之间的关系例1.已知，当满足什么条件时，抛物线与轴总有一个交点。

解：要使抛物线与轴总有一个交点，只需:，又，所以 .即当时，抛物线与x轴总有一个交点。

例2.已知二次函数，证明：取任意实数值时，函数的图象与轴总有两个交点。

证明：因为：，所以取任意实数值时，函数的图象与轴总有两个交点。

一元一次方程根的判别式

一元一次方程根的判别式1. 引言大家好，今天我们来聊聊一元一次方程和它的根的判别式，听起来有点拗口，但别担心，我们会轻松搞定它的。

首先，一元一次方程就像我们日常生活中的各种问题，比如说“我有多少钱？我想买多少东西？”这类问题其实都能用方程来解决。

想象一下，假如你手里有100块钱，想买若干个20块的玩具，想知道能买几个？这就是一个方程的问题！而判别式就是帮助我们搞定这个问题的工具。

2. 一元一次方程的基本概念2.1 方程的定义一元一次方程顾名思义，就是只有一个未知数的方程，像是“ax + b =0”，其中的x 就是我们要找的未知数。

这里的a和b可以是任何数字，只要a不等于0就行。

为什么？因为如果a等于0，那这个方程就变得无趣了，变成了“b = 0”，这不就是个平常的数字等于另一个数字吗？无聊得很！2.2 方程的根说到根，其实就是方程的解。

我们想知道x等于多少，才能让这个方程成立。

比如说，如果我们有一个方程“2x + 4 = 0”，我们要怎么找出x的值呢？简单，我们把4移到另一边，变成“2x = 4”，然后两边同时除以2，得出x = 2。

这就是我们的方程根，或者说解。

3. 判别式的介绍3.1 判别式的作用判别式在这里就像是个小助手，告诉我们这个方程的根是什么样的。

对于一元一次方程，根的数量和性质其实很简单。

只要方程是ax + b = 0，根总是存在的，而且只有一个！这就像是在众多选择中，你最终只选中了一个心仪的商品，不管你选择了多少，最终还是只有一个结果。

3.2 为什么要判别式？大家可能会问，判别式还有什么用呢？其实它在更复杂的方程中，就像一位经验丰富的老者，能给你提供很多信息。

比如在二次方程中，判别式告诉你根的数量和性质，特别是当我们面对“看似无解”的情况时。

比如在“ax² + bx + c = 0”中，判别式Δ = b² 4ac能告诉我们方程有两个不同的实根、两个相同的实根，还是没有实根。

一元一次方程根的判别式教案

3、解决问题：（1）.不解方程利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。

（2）灵活运用根的判别式求字母系数的取值范围。

二、教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

【学生】会争先恐后地编题考老师。

【说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态。

<二>设置练习，创设情境。

【教师】你们一定很想知道我的绝活是怎么回事吧？那么好，现在就请同学们用公式法解，以下三个一元二次方程；你们会很快发现我的奥秘。

【说明】这样设计，使学生亲身感知一元二次方程根的情况，培养了学生的探索精神，变“老师教”为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。

人教版数学九年级上册第21章第2节解一元二次方程公式法求根公式中判别式的应用初中数学教学课件PPT

∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根． 2.关于x的一元二次方程 x2 2x m 0有两个实
根，则m的取值范围是
.
解： b2 4ac (2)2 41 m 4 4m 0
∴ m 1 注意：一元二次方程有实根，说明方程可能
有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
难点突破例1:不解方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0. ∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
知识讲解
应用2：已知方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件
3.已知关于x的方程x2-kx-2=0,求证：方程总有两个不相等的实数根。
10
小结【课堂小结】
应用1：不解方程，判断一元二次方程根的情况
求根公式中根应用2：已知一元二次方程根的情况，求方程中
的判别式应用
字母系数所满足的条件
应用3：证明方程根的情况
通过以上例题介绍了求根公式中判别式的三种应用，其实它的应用不仅仅是这些，比如与几何知识的问题，在解决二次函数的相关问题、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解以及求最值问题等都有应用。因此可以看出一元二次方程的判别式在初中数学中占有非常重要的地位，也是学习某些知识的基础。
九年级-上册-第21 章第2节
课题：解一元二次方程—公式法求根公式中根的判别式的应用
难点名称：1.一元二次方程根的判别式使用条件的忽略； 2.当方程有实根时，求方程中字母系数的取值范围。

一元一次方程根的判别式的应用

根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)

人教版数学九年级上册 21.2.4一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高)

湘教版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》精品教案

一元二次方程根的判别式的应用教学案

一元一次方程,二元一次方程组,一元二次方程知识讲解

八年级同步第9讲：根的判别式及其应用-教师版

一元二次方程根的判别式的多种应用

一元一次方程根的判别式教案

根的判别式及根与系数的关系

一元一次方程根的判别式

根的判别式在解题中的应用

方程的实根的判别式的意义及应用

根的判别式优秀教案

一元二次方程判别式的应用---毕业论文

一元一次方程根的判别式

一元一次方程根的判别式教案

人教版数学九年级上册第21章第2节解一元二次方程公式法求根公式中判别式的应用 初中数学教学课件PPT

人教版数学九年级上册第21章第2节解一元二次方程公式法求根公式中判别式的应用初中数学教学课件PPT