第七章 方差分析
第七章方差分析与F检验
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
第七章方差分析(心理)
ΣX 217.40 216.20 213.20 214.40 nk=12
(ΣX)2 47262.76 46742.44 45454.24 45967.36 185426.80
1 2 3 4 n ΣX ΣX2 X
n
4 283.9 20151.51
4 290.50 21098.45
4 286.80 20564.90
SSB
n
n
SSW
2 X X 2
n
2
SST X
2
X
n
dfT dfB dfW
组间自由度
dfB k 1
组内自由度
dfW n k
dfT n 1
总自由度
计算方差 组间方差
SSB MS B dfB
MSW SSW dfW
ij X t k n
X
n j 1 i 1
ij X j
n X
k j 1
j
Xt
2
令SSt X ij X t
j 1 i 1
2
总平方和,自由度为N 1,
k
SS b n X j X t
j 1 k n
k
2
n X j X t
随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实 验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设 计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时， 总平方和＝组间平方和＋区组平方和＋误差项平方和
随机区组设计中平方和的分解：
SST SSB SSR SSE
SST
2 X X 2
Fmax
第七章 方差分析
职称 高级工程师 工程师 高级工程师 助理工程师 助理工程师 无技术职称 无技术职称 无技术职称 工程师 助理工程师 高级工程师 工程师 助理工程师 工程师 助理工程师 助理工程师
文化程度 本科 专科 高中 高中 本科 高中 高中 高中 专科 本科 专科 专科 初中 本科 初中 初中 STATA从入门到精通
单样本t检验有两种用法。一是检验样本平均数是否显著地不同于某个假设值。二是检 验同一套观察值中的两个变量的统计指标是否显著地不同。这等价于两者的差值的平 均数是否等于零。 在Stata应用中使用ttest命令来完成，单样本ttest有两种命令格式： 命令格式1（通过样本进行t检验）： ttest varname == # [if] [in] [, level(#)] 命令格式2（通过样本的统计指标进行t检验）： ttesti #obs #mean #sd #val [, level(#)] 其中，#obs为样本容量，#mean为样本均值，#sd为标准差，#val为待检验数值， level为置信度水平。
表7-15 员工信息表
minority 0 0 0 0 0 0 0 0 educ 8 8 8 8 8 8 8 8 salary 15750 15900 16200 16650 16800 16950 17400 17700 beginsalar y 10200 10200 9750 9750 10200 10200 10200 10200 gender Female Female Female Female Female Female Female Female
本例中，我们检验大学生饮酒行为平均数是否会因为是否就业而有所变化。
Page 12
STATA从入门到精通
统计学原理第七章 方差分析
三、方差分析的基本假定
1.观测值是来自于服从正态分布总体的随 机样本 2.各总体的方差相同。 3.各总体相互独立。
四、方差分析的基本步骤
• 第一步：提出假设 • 第二步：构造检验统计量F • 第三步：查表得Fα，进行统计决策（右侧 检验）
• 若F>F，则拒绝原假设 • 若F<F，则不能拒绝原假设
2.构造并计算检验统计量
• • • • SSR：行因素误差平方和 SSC：列因素误差平方和 SSE：随机因素误差平方和 SST：总因素误差平方和 SST=SSR+SSC+SSE
计算方差
平方和 自由度 方差
行因素
列因素 随机因素 总和
SSR
SSC SSE SST
K-1
r-1
（K-1）（r-1）
• 方差分析中涉及两个分类型自变量时， 称为双因素方差分析。
• 例如，在分析空调销售额的影响因素时， 除了品牌因素之外，还需考虑地区、价 格、质量等因素。
方差分析
单因素方差分析 双因素方差分析
无交互作用
有交互作用
• 1.无交互作用的双因素分析（无重复双 因素分析）
• 因素间的影响是相互独立的
• 2.有交互作用的双因素分析（可重复双 因素方差分析）
万元
1.提出假设：
• 原假设H0： μ1=μ2=μ3=μ4
• 品牌对空调销售额没有显著影响 • 品牌对空调销售额有显著影响
• 备择假设H1： μ1、μ2、μ3、μ4不完全相等
2.计算检验统计量
各水平的均值与方差 观测数
品牌A
品牌B 品牌C 品牌D
求和
2121
1746 1634 1408
平均
353.5
第七章方差分析与F检验
• 5、主效应：实验中由一个因素的不 同水平引起的变异。
• 6、交互作用：当一个因素的水平在 另一个因素的不同水平上变化趋势 不一致时，称两个因素之间存在交 互作用。
• 7、处理效应：指实验的总变异中由 自变量引起的变异。如主效应、交 互作用。
• 8、误差变异：指总变异中不能由自变量或 明显的无关变量解释的那部分变异。包括 单元内误差和残差。
1、计算离差平方和：
1总平方和 :
SSt
X
2
X
N
2
2组间平方和 :
SSb
X
n
2
X
N
2
3组内平方和 :
SSw
X
2
X
n
2
（二）计算自由度
总自由度：dft=N-1 组间自由度： dfb=k-1 组内自由度： dfw=k（n-1) （三）计算均方
组间均方：MSb=MSA=SSb/dfb 组内均方：MSw=MSE=SSw/dfw （四）计算F值
一、几个基本术语
• 1、因素：指研究者在实验中感兴趣 的一个变量，研究者通过操纵、改 变它，来估价它对因变量的影响， 也叫自变量。
• 2、因素的水平：实验中所操纵的变 量的每个标定的值。这些值既可以 是数量的，如时间、年龄，也可以 是类别的，如职业、性别等。
• 3、因素设计：通常指多于一个因素的 实验设计。如一个含有两个因素，每个
F= MSb/ MSw
（五）查F值表进行检验并做出决断
假如拒绝虚无假设的p值定为0.05，如 果计算的值大于所确定的显著性水平 的临界值，表明F值出现的机率小于 0.05，就可拒绝虚无假设，可以说不 同组的平均数之间在统计上至少有一 对有显著差异。
如果计算的F值小于p为0.05的临界值， 就不能拒绝虚无假设，只能说不同组 的平均数之间没有显著差异。
第七章 方差分析
第三节 平均数的多重比较
F检验是一种整体性检验，当经方差分析鉴别 多个正态总体的平均数有显著时，并不能说明 各组水平之间都存在显著差异，只是说至少有 一对差异显著，究竟哪些均数差异显著，哪些 差异不显著，则还需进行均数的多重比较。
一、图凯法
是一种能将所有各对平均值同时比较的方法。 设因素A分成两组，每组有相等的含量，并经
第二节 单因素方差分析
概念
观察的因素只有一个的实验叫单因素实验。对 此种实验结果进行方差分析的方法叫单因素方 差分析。
单因素方差分析所讨论的是k个总体标准差皆 相等的条件下，解决k个总体平均数是否相等 的问题。
一、计算步骤（见P140~142）
１、依据表中数据,计算各组内的 x,x2, xi,n ２、然后计算 x,x2,n, 并令
过方差分析判别各组之间存在显著性差异，为 了比较两者之间差异显著性，可按下式计算T
值： T QS x
其中Q值按预先确定的α水平，组数K和组内 自由度（N－k）查附表获得。
任何一对平均值之差，只要超过T值，就表明 这一对平均值之间的差别是显著的。
图凯法要求所有的样本含量都相等。
例题：P147~148 当各组被试不相等时，可采用S法检验进行两
X x, X 2 x2, N n
３、计算离差平方和：（总离差平方和、组间 离差平方和和组内离差平方和）
４、计算方差：（组间方差和组内方差） ５、计算F值
二、方差分析的计算
见课本P142~143
方差分析计算的两种情况：
当样本含量相等时：
当样本含量不等时： 例题7.2，P144~146
二、实验误差与条件误差
在方差分析的试验中，即使各水平的试验条件 完全相同，但由于随机抽样或试验过程中随机 因素的影响，其试验结果（指标）仍然会存在 偏差，我们称这种偏差为试验误差或随机误差。
第七章 方差分析
表示
调查分析师资格培训--天津商业大学
二、方差分析的数据结构模型
y = µ + αi + β j + γ k + L + ε
其中：y是所观测的变量 µ为常数，代表共同的环境对观测变量的影响，称为平 均效应 αβγ则代表各个因子的某个水平对观测的变量的影响 ε代表实验观测的随机误差，独立同分布于正态分布
调查分析师资格培训--天津商业大学
三、方差分析的意义
一个因子的各个水平作用是否相同，即这个 因子对所观察变量的影响是否显著。 如果是显著的找出该最佳的水平或者各个显 著因子的最佳配合
调查分析师资格培训--天津商业大学
第二节 单因子方差分析
单因子数据结构模型 模型参数估计 单因子方差分析表 各水平效应的多重比较
第四节 两个因子方差分析
两个因子数据结构模型 模型参数的估计 方差分析表的构造 各个水平效应的多重比较
调查分析师资格培训--天津商业大学
一、随机区组因子数据结构模型
yijk = µ + α i + β j + (αβ ) ij + ε ijk i = 1, L p; j = 1, L , q; k = 1, L , n
检验假设
H 0 : α1 = α 2 = L = α m = 0 H1 : 至少α i ≠ 0 or H 0 : µ1 = µ 2 = L = µ m
m ni m
H1 : 至少µi ≠ 0
m ni
总变动平方和分解（SST=SSA+SSE）
( yij − y ) 2 = ∑ ni ( yi − y ) 2 + ∑∑ ( yij − yi ) 2 ∑∑
i =1 j =1 i =1 i =1 j =1
第七章 方差分析
第七章方差分析方差分析的主要目的是（B ）。
A．分解平方和 B．进行多个平均数的假设测验 C．分解自由度 D．进行F测验进行方差分析，第一步需要进行（C ）。
A．平方和分解 B．自由度分解 C．A＋B D．方差分解设有k组数据，每组皆有n个观察值，该资料共有nk个观察值，其总平方和可分解为（B ）。
A．组内平方和与误差平方和 B．组间平方和与误差平方和C．组间平方和与处理平方和 D．误差平方和F测验显著，说明处理间（C ）。
A．均显著 B．方差同质 C．存在显著差异 D．不显著在分解平方和的过程中，误差平方和一般（D ）。
A．通过合并组内平方和得到 B．通过合并组间平方和得到C．通过合并处理平方和得到 D．通过减法得到F测验的先决条件是（ D）。
A．变数y服从正态分布 B．样本方差来自不同总体C．两个样本方差彼此独立 D．A＋C多重比较是指（ B）。
A．多个方差之间互相比较 B．多个平均数之间互相比较C．多个处理之间互相比较 D．多个F值之间互相比较LSD实质上是（），用它进行多重比较，通常会增大犯（D）的概率。
A．t测验，II类错误 B．F测验，I类错误 C．u测验，I类错误D．t测验，I类错误自由度等于（A ）。
A．观察值个数减约束条件个数 B． n-1 C． n-2 D． n-k系统分组资料的方差分析可分解出（B ）。
A．系统误差 B．两个误差项 C．两个处理效应 D．互作项方差分析是一种 (C ) 的方法。
A．分解平方和 B． F 测验 C．多样本平均数测验 D．假设测验平方和与自由度的分解基于样本观察值的（A ）。
A．线性模型 B．大小 C．变异情况 D．数量在 A 、 B 两因素方差分析中如果处理的 F 测验不显著，有无必要筛选最佳组合（ A）。
A．无必要 B．有必要 C．视情况而定 D．不好确定如果样本平均数与其方差有比例关系，这种资料宜用（B ）。
A．对数转换 B．平方根转换 C．反正弦转换 D．用平均数代替观察值下表是 6 种溶液及对照的雌激素活度鉴定，指标是小鼠子宫重量。
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
第七章方差分析ppt课件
精选课件ppt
13
4、各种方差、F值的计算：
各种方差的计算： （1）组间方差：
s
2 A
SS A df A
（2）组内方差：
s
2 e
SS e df e
F检验及其实质： F
s
2 A
s
2 e
本质差异
＝ —————
试验误差
精选课件ppt
14
第二节 单方面分类的方差分析
例：整地深度（A,cm）对比试验，试分析不同的 整地深度对苗木的高生长有否显著的影响？
5*5拉丁方设计
D BC A E E DACB A CBED B AEDC C EDBA
精选课件ppt
20
第二节 三方面分类的方差分析
分析造成差异的原因？ 1、横行间 2、直行间 3、处理间（类间） 4、机误
精选课件ppt
21
第二节 三方面分类的方差分析
三方面分类的方差分析：
SS总=SS横行间+SS直行间+ SS类间+SS误差 即
小：0.05
结论的可靠性
低：统计量的自由 高：统计量的自由度大 度小（df =18） （df =45）
精选课件ppt
3
第一节 方差分析的基本原理
二、方差分析的种类：
1、单因子试验的方差分析 （1）单方面分类的方差分析----完全随机排列、成组法等 （2）双方面分类的方差分析----随机区组设计、配对法等 （3）三方面分类的方差分析----拉丁方设计 2、复因子试验的方差分析 （1）无交互作用的方差分析 （2）有交互作用的方差分析
d
m
LS 0.0D 5t0.05 sd
LS 0.0D 1 t0.01 sd
第七篇 方差分析(stata统计分析与应用)
主要选项
描述
category(varlist) class(varlist) repeated(varlist) partial sequential noconstant regress [no]anova
分类变量
分类变量，与上同义。如不注明，Stata默 认所有变量都是分类变量。
重复观测因子
使用边际平方和，默认选项
描述
bonferroni 多重比较检验 scheffe 多重比较检验 sidak 多重比较检验 产生列表 [不]显示均值 [不]显示标准差 [不]显示频数 [不]显示观测个数 不显示方差分析表 以数值形式显示，而不是以标签形式 列表不隔开 将缺失值作P为age一类10
STATA从入门到精通
■ longway命令的基本格式如下： ■ loneway response_var group_var [ i f ] [ i n ] [weight] [ , options]
■ 表7-15 员工信息表
minority educ
salary
beginsalar y
gender
0
8
15750
10200
Female
0
8
15900
10200
Female
0
8
16200
9750
Female
0
8
16650
9750
Female
0
8
16800
10200
Female
0
8
16950
10200
喝减肥茶后体 重（公斤） 63 71 79 73 74 65 67 73 60 76 71 72 75 62
第七章 计量资料多组均数的比较----方差分析
随机区组设计(randomized block design)又称 为配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做 法是：先按影响试验结果的非处理因素（如 性别、体重、年龄、职业、病情、病程等） 将受试对象配成区组(block)，再分别将各区 组内的受试对象随机分配到各处理或对照组 。
总变异SS总反映了所有测量值之间总的变异 程度。
计算公式为
g
ni
g(
X)2 ij
SS组 间 ni(Xi X)2
i1
i1
j1
ni
C
组间g1
2．组间变异： 各处理组由于接受处理
的水平不同，各组的样本均数 (i＝1， 2，…，g)也大小不等，这种变异称为组 间变异。
其大小可用各组均数与总均数的离均差 平方和表示，记为SS组间 。
三、SPSS软件实现
SNK结果
SNK结果解释
表7.8为输出HomogeneousSubsets结果。在 表格纵标目Subset下的第3和第4列上,3组均 数呈现从小到大排列,分为两个亚组,即甲厂 与丙厂在同一亚组(P=0.5111),表示二者均
数的差别无统计意义;
但乙厂与甲厂、丙厂均不在同一亚组,表 示乙厂与甲厂、丙厂比较的检验统计量 所对应的P 值均小于0.05(表底注有 α=0.05)。差别有统计意义,据表中均数,可 认为乙厂该指标高于甲厂和丙厂。
用F界值（单侧界值）确定P值。
第二节 多个独立样本均数的比较
完全随机设计：(completely random design)是 采用完全随机化的分组方法，将全部试验对 象分配到g个处理组（水平组），各组分别接 受不同的处理，试验结束后比较各组均数之 间的差别有无统计学意义，推论处理因素的 效应。
第七章SPSS方差分析
1-1
方差分析概述
一、问题的提出 通过参数检验可以解决两两总体均值的比较 多个总体均值的检验如何作？(如：钻卡、金卡和银 卡客户的平均移动话费的比较）
可以多次采用两样本t检验方法实现 产生的问题：犯第一类错误的概率明显增大
例如：K个变量两两进行t检验，需要作N=k! ÷(2! ×(k-2)!)次， 如果为0.05，那么每次比较不犯第一类错误的概率为0.95。N 次检验均不犯第一类错误的概率为0.95N，而犯第一类错误的 概率为1-0.95N，远远大于设定的0.05
1 - 14
单因素方差分析
(四)基本操作步骤 (1)菜单选项: analyze->compare means->one-way ANOVA (2)选择一个或多个变量作为观察变量到 dependent list 框
(3)选择一个变量作为控制变量到factor框
(4) option中的statistics项:
1-3
方差分析概述
(三)涉及的概念 (1)观察因素:作为观测的对象,称为观测变量(如：
移动话费、学生成绩等).
(2)影响因素：两类
人为可以控制的因素(如:资费、促销策略、投入学 习的时间等)，在方差分析中称为控制因素.将控制 因素的不同情况称为控制因素的不同水平. 人为很难控制的因素(如:消费习惯、个体智力差异 、抽样误差等)，在方差分析中称为随机因素.
1 - 27
单因素方差分析中的先验对比
(一)目的 先凭经验确定各水平均值之间的对比系数,以正负符号分别 代表两组,然后判定这两组均值的线性组合是否存在显 著差异.如：1/3 (k1+k2+k3)=1/2 (k4+k5)
应用统计学(第七章 方差分析)
5)检验方法 F 检验 比较处理效应的均方(MSt )和试验误差的均方(MSe) 假设处理效应的变量和试验误差的变量是来自同一正态 总体的两个样本 处理效应的均方(MSt )和实验误差的均方(MSe)的比值就 是F 值，即： F MSt MSe
与t 检验相类似，把计算所得的F 值与临界Fα值比较，
➢ 结果表示方法 (1)字母标示法，(2)梯形表示法
(1) 梯形表示法 a.按大小顺序排列数据 b.依次用本行数据减去比本行数据小的所有值列为列 c.比较所得数值，大于LSD0.05的标*，大于LSD0.01的标**
则：
SST xi2j C SSt Ti2 n C
处理 1 2 … i … k 重复
1
x11 x21 … xi1 … xk1
2
x12 x22 … xi2 … xk2
… …… …………
j
x1j x2j … xij … xkj
… …… …………
n
x1n x2n … xin … xkn
总和 T1 T2 … Ti … Tk
n
(xij
xi. ) 0
约束，
j 1
dfe=k(n-1)=(nk-1)-(k-1)=dfT - dft 3) 均方(方差)的计算
MSt=SSt / dft，
MSe=SSe / dfe
4)统计检验 方差分析的目的在于确定处理效应和试验误差在总变异 中的重要程度 处理间的均方(MSt)可以作为处理效应方差的估计量 处理内的均方(MSe)可以作为试验误差差异的估计量 如果二者相差不大，说明处理的变异在总变异中所占的 位置不重要，即不同试验处理对结果影响不大 如果二者相差较大，即处理效应比试验误差大得多，说 明试验处理的变异在总变异中占有重要的位置，不同处理对 结果的影响很大，不可忽视
方差分析 - 第七章方差分析
L A
X ij2
X ij2
n i
N
X ij2 c n i
（3）组内离差平方和
LELTLA
3、计算自由度
（1）总自由度 （2）组间自由度 （3）组内自由度 4、计算方差 （1）组间方差
nT N1
nA k1
n EN kn T n A
MS
A
LA n A
（2）组内方差
MS E
LE n E
FF0.0(1n1 ,n2 )
p0.01 因素对试验 显 结 著 果 性 有
对[例1]进行单因素方差分析
H 0:1234
方方方方 法法法法 一二三四 1 3.3 3.0 0.4 3.6
2 1.2 2.3 1.7 4.5
3 0 2.4 2.3 4.2
4 2.7 1.1 4.5 4.4
5 3.0 4.0 3.6 3.7
二、单因素方差分析的基本原理
[例1]为考查不同训练方法对磷酸肌酸增长的 影响，我们采用了四种不同的训练方法。每 种方法选取条件相仿的6名运动员，通过三个 月的训练以后，其磷酸肌酸的增长值（单 位：mg/100ml）如下表。试检验训练方法对 运动员磷酸肌酸增长值有无显著性影响？即 四种训练方法运动员磷酸肌酸平均增长值差
xij23
xi2j 493
C232 29.389
18
LT 49329.38946.6311
LA
302 352
57
182
6
2
9.3
893
7.691
1
LE 46.631137.691184.000
n T 1 1 1 8n 7 A 3 1 2n E 1 3 1 85
MAS372.691118.8905
第七章方差分析（AnalysisofVariance,ANOVA）
第七章方差分析(Analysis of Variance, ANOVA)7.1 方差分析概述7.2 单因素方差分析7.3 无重复双因素方差分析7.4 可重复双因素方差分析7.5 案例研究7.6 试验设计初步7-17.1 方差分析概述⒈方差分析的概念⒉方差分析中的基本术语⒊ANOVA：对比多个总体的均值⒋方差分析中的基本假定7-27-3方差分析的概念方差分析：通过检验多个总体均值是否相等来判断分类型自变量对数值型因变量是否有显著影响。
解决：①A 、B 、C 是否Y 的重要影响因素；②如果为重要影响因素，最优水平？研究系统A B C分类型自变量Y数值型因变量A （a 1，a 2，a 3，…）B （b 1，b 2，b 3，…）C （c 1，c 2，c 3，…）7-4方差分析中的基本术语第1周第9周第14周第2周第7周第16周第4周第12周第17周第5周第10周第13周第3周第8周第18周第6周第11周第15周AB品牌底部中部顶部货架位置因素因素水平实验单元：“一周”响应变量：“每周销售量”处理：品牌—货架位置组合随机安排试验例：一项市场营销研究。
考察品牌和货架位置对咖啡周销售量的影响。
试验单元（experiment unit ）、响应变量（responsevariable ）、因素（factor ）、因素水平（factor level ）、处理（treatment ）。
ANOVA：对比多个总体的均值佣金固定薪金佣金加固定薪金165120140981151561309022021012611219510713418715523524080总平均样本均值175.00113.29166.17151.48三类报酬构成的推销人员的月销售额（千美元）问题：（1）三种报酬类型销售人员的销售业绩是否存在显著差异？（2）如果存在差异，哪类销售人员的业绩最佳？三个总体的均值是否相等？7-57-6散点图佣金固定薪金佣金+固定薪金50100150200250300分类型自变量销售业绩均值差异分析：（1）同一总体内部的差异（随机差异）？（2）不同总体之间的差异（随机差异+系统差异）？（3）两类差异大小分析？7-71x 2x 3x ()f x x31x 2x 3x ()f x x2 1 H 0为真时，样本均值的抽样分布H 0为假时，样本均值的抽样分布方差分析中的基本假定•基本假定：•（1）每个总体均服从正态分布；•（2）每个总体的方差相等；•（3）来自每一总体的样本都是独立随机样本三个总体均值是否相等？012311::H H 23,,不全相等7.2 单因素方差分析（One-way Analysis of Variance）⒈基本概念与数据结构表⒉ANOVA：k个总体均值的检验⒊ANOVA表：单因素方差分析⒋最佳方案的选择7-87-9基本概念与数据结构研究一个分类型自变量对一个数值型因变量的影响。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主要内容: 方差分析的概念； 单因素方差分析； 无交互作用的双因素方差分析。
1
第一节 方差分析引论
一、问题的提出
例1、某饮料在五家超市的销售情况。（6） （9）
超市 1 2 3 4 5
均值
某饮料在五家超市的销售情况表
无色 26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 27.32
为r 1，MSE 的自由度为k 1r 1 。
36
（三）分析步骤 1、提出假设设：
H10：1 2 i k H11：（ i i 1,2, , k）不完全相等 H 20：1 2 j r H 21： j ( j 1,2, , r)不完全相等 其中：i为因素A的第i个水平（总体）的均值， j为因素B的第j个水平（总体）的均值。
3495.37
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8 157.3 4955.29 31.46
4948.66
合计
573.9 16583.99 16544.91
28.70
22
某饮料的方差分析表
误差来源 误差平方和 自由度 均方 F值
组间误差 71.11 组内误差 44.82
3 23.7 8.46 16 2.8
若F
F，则拒绝原假设
H
；
0
若F
F，则不能拒绝原假设
H
。
0
18
（四）方差分析表 前述（二）之1的计算，一般在方差分 析计算表中进行，（二）之2、3在方差分 析表中进行。方差分析计算表与方差分析 表的一般形式分别如后一页：
19
方差分析计算表
观
察
因 值
素水
平
A1
A2
L
试验批号
1
x11
x21
L
2
总误差 115.93 19
临界值
3.24
由于F F，所以拒绝原假设，接 受备择假设， 既饮料包装的颜色对销 售量有显著影响。
23
例2、某课程结束后，学生对该授课教师的教学质量 进行评估，评估结果分为优、良、中、差四等。教 师对学生考试成绩的评判和学生对教师的评估是分 开进行的，他们互相都不知道对方给自己的打分。 有一种说法，认为给教师评为优秀的这组学生的考 试分数，可能会显著地高于那些认为教师工作仅是 良、中或差的学生的分数。同时认为，对教师工作 评差的学生，其考试的平均分数可能最低。为对这 种说法进行检验，从对评估的每一个级组中，随机 抽取出共26名学生。试以0.05的显著水平检验各组 学生的分数是否有显著差别。26名学生的考试成绩 如下表。
10
第二节 单因素方差分析
一、样本数据结构（28）
单因素方差分析的样本数据结构
观
察
因 值
素水
平
A1
A2
L
Ak
试验批号
1
x11
x21
L
xk1
2
x12
x22
L
xk 2
M
M
M
M
M
ni
x1n1
x2n2
L
x k nk
11
二、单因素方差分析的步骤
（一）提出假设
H0：1 2 i k H1：（i i 1，2， ，k）不完全相等
37
2、在方差分析表中计算相应的统计量
无交互作用的双因素方差分析表
误差来源
误差平方和
自由度 均方 F值
因素A的组间误差
SS A
k 1
MSA FA
因素B的组间误差
SSB
r 1
MS B
FB
随机误差
SSE
k 1r 1 MSE
总误差
SST
n 1
38
3、统计检验
在给定的显著水平下，查F分布表得到临界值：
ni xi2j nx 2
i1 j1
i1 j1
k
ni (xij xi )2 k
ni (xi x)2
i1 j1
i1 j1
SSE SSA
15
其中： （1）组间误差，其自由度为k-1:
k ni
k
SSA
(xi x)2 ni (xi x)2
x j x 2
i1 j 1
i1 j 1
SST SSA SSB SSE
34
其中：
k r
SSE
xij xi x j x 2
i1 j1
kr
SSA
xi x 2
i1 j1
k r
SSB
x j x 2
x1 x2
A … …… … …
…
Ak
xk1 xk2 … xkr
Tk·
…
xk
列列均和值T.xj j Tx·11 Tx·22
… …
Tx·kr
总和 T
总均x 值
32
其中：
xi
1 r
r
xij
j 1
x j
1 k
k i 1
xij
x
1 kr
k i 1
r
xij
j 1
0；反之，则接受H
。
0
对于例1，在显著水平 0.05下，哪两种包装
颜色的饮料的销量有显 著差别？
x1 x2 27.32 29.26 2.24
LSD t0.025 (16)
2.8 (1 1) 2.24 55
由于x1 x2 LSD 1与2没有显著差异。
(i 1,2, k )
( j 1,2, r)
33
（二）误差平方和的分解（32）
k r
SST
xij x 2
i1 j 1
k r
xij xi x j x 2
i1 j 1
k r
kr
xi x 2
k
xij
ni xi
x i1 j1 n
i1 n
，（n n1 n2 nk）
14
2、在方差分析中，需要计算三个误差平方
和，即总误差平方和（ SST ）、组间误差平方
和（ SS A ）及组内误差平方和（ SSE ） 。
k
SST
ni (xij x)2 k
10 14
20 18
12 18
6 10
区
B4 16 4
8
6 18
B5 26 22 16 20 10
31
（一）样本数据结构
无交互作用的双因素方差分析的样本结构表（34）
B水平
因素B
行和 行均值
A水平
B1 B2 … Br
Ti.
xi
因 素
A1
x11 x12 … x1r
A2
x21 x22 … x2r
T1· T2·
ni xi2
总均值
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2 136.6 3742.6 27.32
3731.91
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6 147.8 4377.54 29.56
4368.97
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5 132.2 3508.56 26.44
i1 j1
MS A
SSA ，MS k 1
B
SSB ，MS r 1
E
k
SSE
1r
1
35
构造统计量：
FA
MS A MS E
～
Fk
1，k
1r
1
FB
MS B MS E
～ Fr 1，k 1r 1
其中 MSA 的自由度为k 1，MSB 的自由度
24
观测值
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
26名学生考试成绩
学生对教师评估等级
优
良
中
差
85
80
73
76
77
78
80
72
79
94
92
70
84
73
76
85
92
79
6
90
86
73
91
75Leabharlann 816425
解：若各组学生的平均成绩之间没有显著差异， 则表明学生对教师的评估结果与他们的成绩之间 没有必然的联系。
售（因素B），现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，
得到该商品不同包装的销售资料如下表。现欲检验包装方式和
销售地区对该商品销售是否显著影响（
0.）05？
某种商品不同地区不同包装的销售资料
包装方式（A）
A1
A2
A3
A4
A5
B1 20 12 20 10 14
销 售地（B）
B2 B3
22 24
x12
x22
M
M
M
M
ni
列和
x1n1
x2n2
L
n1
n2
x1 j
x2 j
j 1
j 1
列平方和
x n1 2 1j
n2
x22j
j 1
j 1
x x 列均值
1
2
Ak
xk1
xk 2
M
x k nk
nk
xkj