专题6.2 数学期望中“决策”问题归纳

1．某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．

（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如表关系：

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？

附：相关系数公式，参考数据，．

【答案】(1)见解析;(2)为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．

【解析】试题分析：(1)由折线图，可得，依次算得，，，可求得

r, 所以可用线性回归模型拟合与的关系．(2)分别计算安装1台，2台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择。

（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．

①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；

②安装2台光照控制仪的情形：

当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，

当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，

故的分布列为：

2000 6000

0．2 0．8

所以元．

综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．

2．某超市计划销售某种食品，现邀请甲、乙两个商家进场试销10天．两个商家提供的返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出30件以内（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利8元．经统计，两个商家的试销情况茎叶

图如下：

（1）现从甲商家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都小于30的概率；

（2）若将频率视作概率，回答以下问题：

①记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；

②超市拟在甲、乙两个商家中选择一家长期销售，如果仅从日平均返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为超市作出选择，并说明理由．

【答案】（1）1

3

；（2）①见解析；②见解析．

【解析】试题分析：（1）结合组合知识，利用古典概型概率公式即可求两天的销售量都小于30的概率；（2）①X的所有可能取值为：140，145，150，158，166，根据古典概型概率公式，求出各个随机变量对应的概率，从而可得X的分布列，进而可得期望值；②先求出甲商家的日平均销售量，从而可得甲商家的日平均返利额，再由①得出乙商家的日平均返利额，比较返利额的大小可得结论．

所以X的分布列为

X140 145 150 158 166

P

1

10

1

5

1

5

2

5

1

10

所以EX =140×

110+145×15+150×15+158×25+166×1

10

=152．8．

3．随着互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司

M 的经营状况，对该公司最近六个月的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图：

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y 与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测M 公司2017年4月的市场占有率；

（2）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车，现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A 、B 两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致单车使用寿命各不相同，考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对这两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命的频数表如右表：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率，如果你是M 公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？

参考公式：回归直线方程为ˆˆˆy

bx a =+，其中()()

112

2

2

1

1

()ˆn

n

i i i i i i n

n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---==

--∑∑∑∑

， ˆˆa

y bx =-．

【答案】(1) 预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%;(2)见解析． 【解析】试题分析： ()1求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论

()2分别求出每款车相对应的数学期望，然后对比即可得到结论

解析：(1)由题意： 3.5x =， 16y =，

()()61

35i i i x x y y =--=∑， ()

6

2

1

17.5i i x x =-=∑，

35215

ˆ7.b

==， 1ˆˆ62 3.59a y b x =-⋅=-⨯=，∴ˆ29y x =+， 7x =时， 27923ˆy

=⨯+=． 即预测M 公司2017年4月份(即7x =时)的市场占有率为23%．

4．光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．

用电量（单位：度） ](0 200，

](200 400，

400600]（，

(]600,800

(]800,1000

户数

7

8

15

13

7

(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望； (Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式．已知该县某自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0．8元/度的价格进行收购．经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？