数学物理方程三维可视化仿真
三维问题有限元分析(包括轴对称问题)
建立每个有限元的平衡方程，通过求解这些方程来得到近似解。
离散化
将连续的问题离散化，将整个求解域划分为有限个小的子域（称为有限元），每个子域上定义节点。
有限元方法的基本原理
解方程
通过求解整体矩阵的方程，得到各个节点的值，从整体矩阵，用于表示整个求解域上的问题。
详细描述
三维弹性力学问题的有限元分析
总结词
详细描述了三维热传导问题有限元分析的基本原理、方法和应用。
详细描述
三维热传导问题是有限元分析的另一个重要领域，主要研究热量在物体中的传递和分布。通过将连续的物体离散化为有限个小的单元，可以建立单元之间的热量传递关系，从而得到整个物体的温度分布。这种方法广泛应用于工程领域，如传热学、热能工程等。
边界条件处理
轴对称问题的有限元方法
轴对称问题有限元分析的实现流程
建立系统方程
根据有限元近似解法，将微分方程转化为离散化的系统方程。
划分网格
根据问题的几何形状和特点，将求解区域划分为一系列离散的网格单元。
建立数学模型
根据实际问题，建立相应的数学模型，包括物理方程、边界条件和初始条件。
求解系统方程
采用适当的数值方法（如直接法、迭代法等），求解离散化的系统方程，得到每个离散单元上的近似解。
轴对称问题具有旋转对称性，即其解在绕对称轴旋转时保持不变。
轴对称问题的定义和特性
特性
定义
将连续的物理问题离散化为有限个离散的单元，每个单元具有特定的形状和大小。
离散化
在每个离散单元上，使用近似函数来逼近真实解。常用的近似函数包括多项式、样条函数等。
近似解法
对于轴对称问题，边界条件通常与对称轴相关。需要对边界条件进行特殊处理，以确保离散化后的系统方程满足原始问题的约束。
数学软件Mathematica简介
图形渲染
Mathematica可以生成高质量的图形和动画，用于工程 设计的可视化展示。这有助于工程师更好地理解设计原 理和性能特点，提高设计效率。
数据科学中的应用
数据挖掘
Mathematica提供了强大的数据分析和挖 掘工具，可以帮助数据科学家从大量数据中 提取有价值的信息。例如，聚类分析、关联 规则挖掘等。
提供交互式编程环境， 方便用户进行编程和调 试。
Mathematica的起源与发展
起源
Mathematica最初由美国数学家 Stephen Wolfram于1988年开发， 旨在提供一个强大的数学工具包，以 简化复杂的数学计算和可视化。
发展
经过多年的不断更新和完善， Mathematica已经成为一款功能强大 、易用性强的数学软件，广泛应用于 科研、教育、工程等领域。
支持多种类型的2D和3D图形，如散点图、 线图、曲面图、等高线图等。
数据可视化工具
提供丰富的数据可视化工具，如直方图、饼 图、热力图等。
可视化动画
可以创建动态的视觉效果和动画，以更好地 展示数据和过程。
可视化交互
用户可以通过交互式界面与图形进行交互， 以获取更多信息。
编程语言的高级特性
函数式编程
Mathematica采用函数式编程语言，支持高阶函数、匿名函数等特性。
数和微分方程求解方面更优秀。
与MATLAB的比较
MATLAB主要面向工程和科学计算，特别适合矩阵计算和数值分析。Mathematica在 符号计算、公式推导和数据可视化方面更胜一筹，而MATLAB在实时控制系统设计和信
号处理方面更具优势。
与其他编程语言的比较
要点一
与Python的比较
Python是一种通用的高级编程语言，广泛用于数据科学、 机器学习和Web开发等领域。Mathematica在数学计算和 符号推导方面更强大，而Python在灵活性和开放性方面更 优秀，两者在某些领域可以相互补充。
三维地学建模与可视化-数字地形建模分解
采用了多个邻近点之加权平均水平面移动拟合法内插：
基于规则格网分布采样点的DEM建立
基于规则格网分布采样点的DEM建立
基于等高线分布采样点的DEM建立
等高线离散化法 等高线内插法 等高线构建TIN法
不规则三角网TIN的基本概念
TIN (Triangulated Irregular Network) 不规则三角网
Delaunay三角形
Delaunay三角形是由与相邻Voronoi多边形共享一条边的相关点连接而成的三角形。Delaunay三角形的外接圆圆心是与三角形相关的Voronoi多边形的一个顶点。Delaunay三角形是Voronoi图的偶图，简称D-三角形，如图5-1所示。 研究证明，同Voronoi图互为对偶图的Delaunay三角剖分图具有如下性质。 1）空外接圆性质。任何一个三角形的外接圆均不包含其它数据点； 2）最小内角最大性质。在所有可能形成的三角剖分中，Delaunay三角剖分中三角形的最小内角之和是最大的。 这两个特性保证了Delaunay三角剖分能够尽可能地避免生成小内角的长薄单元，使三角形能够最接近等角或等边,这也是Delaunay三角剖分的算法依据。
（2） 数字地形建模
三维地学建模与可视化
主要内容
地面三维空间数据获取方法 数字地形建模方法
空间数据获取方法
野外获取方法： 1. 点方式： 天文测量、大地测量、工程测量、矿井测量、GPS技术、钻孔勘探、物理勘探技术 2. 面方式：摄影测量、遥感技术、激光扫描技术、集成传感技术 3. 体方式：CT扫描、3D地震技术 室内获取方式： 1.点方式：坐标量算、手扶数字化 2.面方式：扫描数字化
实例步骤
2. 打开“MapGIS 6.7”——“图形处理”——“输入编辑”，打开工程，将等高线另存为”等高线.wl”，同时把图上非等高线的元素删除； 3. 提取等高线上的点：打开“MapGIS 6.7”——“空间分析”——“DTM分析”，“文件”——“打开数据文件”——“线数据文件”，打开”等高线.wl”文件。如果区域内看不到图，鼠标右键选择“复位窗口”；
数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析
数学模型和物理模型在动力学仿真中的比较分析数学模型和物理模型在动力学仿真中都起着非常重要的作用，它们都用来描述和预测复杂系统的运动行为。
然而，它们之间存在一些显著的区别，可以通过比较分析来更好地理解它们在动力学仿真中的作用和适用情况。
一、数学模型和物理模型的定义和特点数学模型是一种用数学语言和符号描述系统行为和特性的模型。
它通常以方程或者图形的形式表示，能够精确描述系统的运动规律，提供了对系统的定量分析和预测能力。
数学模型的特点是抽象性强，可以忽略系统的具体物理结构和机制，着重于描述系统的数学关系和规律。
物理模型是一种用物理理论和实验数据建立的模型，它通过对系统的物理结构和特性进行建模，描述系统的运动和行为。
物理模型常常是通过实验数据和物理定律得到的，更直观地反映了真实系统的性质和特征。
物理模型的特点是具体性强，能够直观地展现系统的物理特性和行为。
二、数学模型和物理模型在动力学仿真中的作用和应用数学模型在动力学仿真中具有重要的作用，它能够通过建立数学方程来描述系统的动力学行为，并进行数值计算和仿真分析。
例如，在机械系统动力学仿真中，可以利用牛顿运动方程和拉格朗日方程建立机械系统的数学模型，对系统的运动轨迹和受力情况进行仿真分析。
数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，具有广泛的应用领域和灵活的建模方法。
物理模型在动力学仿真中也扮演着重要的角色，它能够通过对系统实际物理结构和特性的建模来进行仿真分析。
例如，在流体动力学仿真中，可以利用纳维-斯托克斯方程建立流体系统的物理模型，对流场和压力场进行仿真分析。
物理模型能够直观地展现系统的物理特性和行为，具有较强的可视化效果和直观性。
三、数学模型和物理模型的优缺点比较分析数学模型的优点包括：1.精确性高：数学模型能够提供对系统的精确描述和深入分析，能够准确预测系统的行为和性能。
2.灵活性强：数学模型具有灵活的建模方法和丰富的数学工具，能够适应不同系统的建模需求和仿真分析。
Matlab在“大学物理”可视化教学中的应用探索word精品文档4页
Matlab在“大学物理”可视化教学中的应用探索理工科课程普遍具有抽象、难理解的特点。
为解决这一学习难点，国内外高校在教学中尝试采用数值计算软件作为辅助教学工具。
[1，2]学习物理必须学习其概念和定理，而这些概念、定理是用数学语言描述出来的，因此学生在学习物理的时候常常感到抽象、枯燥甚至产生了厌学情绪。
21世纪，计算机技术已广泛普及，在“大学物理”教学中，利用计算机仿真技术，可把物理学中阐述概念、定理的抽象公式以图形、图像及动画的形式具体生动地展现在学生面前，实现抽象公式的可视化，从而提高学生学习物理的兴趣。
根据广东海洋大学（以下简称“我校”）的实际情况，以Matlab作为平台，在“大学物理”课程的教学中，进行了可视化教学方法的探索。
Matlab是Mathworks公司推出的一套高效率的数值计算和可视化软件，是在国际科学界应用和影响最广泛的三大计算机语言之一，编程简单、易学易用，是一种“演算纸”式的高级语言。
和C、C++语言相比，[2]即使对于非计算机专业没有编程能力的一年级学生，也很容易掌握并在今后的专业学习中灵活运用，为未来从事科研工作打下良好的基础。
经过几年的教学积累，针对每个章节的重要知识点应用Matlab系统地开发了程序库，把抽象的物理现象、规律进行可视化。
一、二维图形的应用许多物理规律可抽象为形如y=f（x）的一元显示函数表示，若该函数较为复杂，可借助二维图形直观形象地表示x、y之间的映射关系。
编程方法如下：[3]使用“：”运算符，在自变量x的定义域内以一定的步距采样，得到自变量向量；运用“.” 运算符，计算因变量在每个采样点上相应的函数值，得到因变量向量；根据自变量x、因变量y绘图。
运行上述程序结果如图1所示。
从结果中可看出：辐射出射度最大值对应的波长λm=9.4μm，λmT=2.9×10-3m?K。
学生可以尝试任意改变温度，从而画出不同温度下的黑体辐射曲线，得出维恩位移定律。
Quantum3D可视化仿真系统解决方案
Quantum3D可视化仿真系统解决方案Quantum3D可视化仿真解决方案视觉和传感器系统的可靠性对于精密飞行训练和任务演练应用是至关重要的。
Quantum3D为可视化仿真解决方案提供完整的硬件、软件和综合环境，以满足客户最先进的图像生成需求。
我们的客户只有采用一款集成、开放式体系结构的商业现成解决方案，才能够在预算基础上按时提供特定目标的培训系统。
应用Quantum3D实时可视化仿真解决方案是军用固定翼和旋转翼、FAA D级资格、JAR FSTD飞行模拟、空中加油模拟、射击训练、硬件回路传感器模拟、地面车辆仿真、固态和前瞻性空中交通管制、船桥模拟、单声道和立体声科学可视化，以及虚拟现实应用的最佳选择。
下列内容描述了解决方案与这些应用相关的一些功能。
固定翼和旋转翼飞行模拟Quantum 3D的图像发生器结合Mantis?实时场景管理软件，为机组人员训练系统提供关键功能。
我们的专利NVSYNC?同步技术能够提供通道之间的精确硬件同步，从而可照射一个多屏显示系统中相邻通道之间的撕裂。
飞行员驾驶飞机时，低传输延迟可使其获得快速反馈。
基于着色器的渲染为培训场景增加了真实性。
FAA D级和JAR FSTD飞行仿真民航需要跑道附近的特效以支持FAA D级和JAR FSTD要求。
Quantum3D的IDX 6000和IDX 7000模拟跑道污染物包括积水与吹水、雪和沙子。
添加点光源反射、冰雪堆积、分层雾、眩光和光点效果以增强飞机降落时的真实感。
主机相关反馈提供每个轮胎下方的跑道条件，启用制动效果模拟。
空中加油空中加油需要对受油机进行特别细致的渲染。
加油操作员负责根据实际信号将套管插入受油机中。
如果伸缩套管与受油机接触错误，将出现硬管阴影及刮擦声的讯号，这一点至关重要。
Quantum3D 的IDX 4000和6000 IDX能够提供呈现这些高级伸缩套管功能所需的计算马力。
射击训练直升机射击训练人员需要高保真、高分辨率的合成环境。
matheamatica在物理中的应用
教学工作者通过Mathematica的互动型教学模式激发学生的兴趣，加深他们的理解，使学生拥有丰富的技能面向自己的未来。
科研工作者可以应用Mathematica快速准确地分析科研数据、验证理论假设、整理研究结果。
因为Mathematica提供越来越多的功能，可替代多种专门软件，院校单位能够以低廉的价格在全校园范围内使用教学应用集强大的计算能力、动态可视化引擎、专业水准的文件处理与演示工具为一体，Mathematica为组织教学材料提供了一个完整划一的工作环境。
您再也不必在不同的软件间跳来跳去就可完成您要做的一切。
从理念到教学计划不管您是在做课程设计还是对其进行修改，Mathematica将帮您组织、测试你的构想，使之迅速形成一个现实的教学计划。
主要性能:在课堂上求解问题用二维或三维图形演示数据或函数用随时可用的数据集来分析真正的数据在同一文档中对讲义、方程、例题计算、图形、参考资料及超链接进行编译函数参考:数学函数»公式推演»方程求解»矩阵与线性代数»微积分»最优化»统计»多项式代数»离散数学»数论»逻辑与布尔代数»数据可视化»函数可视化»符号化图语言»计算几何学»可计算数据»设计与演示演讲内容Mathematica让您把所有您制作的演讲材料，包括讲义、方程、示例、图形、演示等等，融入一个动态演示中。
而且你还可以随意对其进行修改。
主要性能:以标题、章节、列表等方式为您的文档设计格式即时撰写讲义或提纲将文档转换成互动型幻灯片，具有完全可编辑的互动型内容通过一个电子白板，用工具栏与您的文档互动，可以不用键盘函数参考:用Mathematica演示»笔记本基础»笔记本格式与风格设计»文档生成»生成专业化格式文档(新功能)无论是制定教学大纲、授课安排，抑或是给学生布置作业、设计试卷，Mathematica让您自如地在您的文档中引入技术元素而根本不影响其美观。
物理学中的数值模拟：蒙特卡洛方法、有限元分析等
• 计算速度快，尤其适合大规模问
• 对于某些问题，收敛速度较慢，
• 适用于量子力学、统计物理等领
题的计算
需要大量迭代
域的研究
• 结果具有统计意义，可以给出误
• 难以处理非线性问题，可能需要
差估计
结合其他数值方法
03
有限元分析在物理学中的应用
有限元分析的基本原理及步骤
有限元分析是一种基于离散化的数值计算方法
• 量子力学：研究微观粒子的行为，如电子、原子等
• 电磁学：研究电磁场的性质和相互作用，如电压、电流等
物理学数值模拟的发展趋势
• 物理学数值模拟的发展趋势
• 高性能计算技术的发展，使得数值模拟能够处理更复杂的问题
• 多学科交叉融合，推动数值模拟方法的创新和应用
• 人工智能和机器学习的应用，提高数值模拟的精度和效率
有限元分析的基本原理
• 将复杂的物理问题分解为简单的有限
• 离散化：将连续的物理问题分解为离
元模型
散的有限元模型
• 通过求解有限元方程，得到物理问题
• 插值：在有限元模型上构造插值函数，
的近似解
表示原始函数的近似值
• 求解：通过求解有限元方程，得到物
理问题的近似解
有限元分析在物理学中的典型应用案例
有限差分法是一种基于差分方程的数值计算方法
• 通过将物理问题转化为差分方程，然后求解差分方程得到近似解
• 适用于一维、二维和三维问题的求解
有限体积法在物理学中的应用
有限体积法是一种基于积分方程的数值计算方法
• 通过将物理问题转化为积分方程，然后求解积分方程得到近似解
• 适用于二维和三维问题的求解
有限体积法在物理学中的应用案例
数学物理方程三维可视化仿真——《数学物理方法》课程实践
义。 二、 光 子 晶体 电磁理 论 基础
在倒 易 空 间 中 ， ｒ、 Ｔ 、 Ｎ 、 ｘ 和Ｍ 等点 为 布里 渊 区 的高对 称点 ， 它们所构成 的多边形区域 （ 深灰色部分）称为不可 约 布里 渊 区。 不可 约布 里 渊 区是 倒 易空 间 中最 小 的 、可 重 复 的 区域 ，可 以 映射 出 电磁 波 在整 个 光 子 晶 体 中 的传 输 特 性 。 对 称 点 坐 标 分 别 为 ： ｒ＝ （ ０ ， ０ ） ， Ｔ ＝ 卫 （ １ ，
【 探 索与实践 】
数学物理 方程三维 可视化仿真
— —
《 数 学物理方法》 课程 实践
萍， 杨华军 ， 何文森 ， 罗志华
物理 电子 学 院 ， 四川 成都 ６ １ ０ ０ ５ ４ ）
江
（ 电子科 技 大学
摘 要 ：数 学 物理 方 程 三 维 可视 化仿 真 及 创 新 实践 训 练是 《 数 学 物 理 方 法》教 学模 式 改 革 中的 重 要 内容 。本 文通 过 ＭＡ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 程 序 求解 二 维 菱形 晶格 光 子 晶体 的 电磁 场本 征值 方程 ， 绘 制 出二 维 能 带 曲线 ， 并将 结 果 三 维可视 化 ， 体 现 出复杂 数 学 物理 问题 的物 理 图像 ， 解 决 大学 生在课 程 学 习过程 中理解 困难 的教 学 问题 ， 加 强 大 学生 编程 实践 能 力和 创新 能 力 的培
ｅ ｃ ｔ ｇ ０ ｅ ｙ． ｂ ： ｅ 。
改革 中的重要 内容 。利用Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 数值求解数学物理方 程， 将传统教学手段 与计算机仿真教学相结合 改变只用 公式符号教学 的模式【 ｌ ｌ ， 令学生对复杂 、 抽象 、 烦琐的数学 物 理 问题具 有更 深 刻 的理解 。 本论 文 旨在 进行 数 学物 理方 程仿 真 求解 实 践训 练 ， 着 力培 养 大学 生应 用 数学 物 理思 想 解决 实 际 问题 的能 力 。 本着“ 重 理论 、 强实 践 、 突 创新 ” 的教 育理念 ， 结合科技前沿 ， 以光子 晶体 的电磁场理论作为实 践 内容 ， 利用 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 对 复 杂 的 电磁 场本 征 值 问题 进 行 计 算 机 仿 真 求解 ， 将 结 果 三维 可 视 化 ， 以 此来 展 现 复 杂 电 磁
计算机数学软件Maple概述
控制系统分析与设计
系统建模
Maple可用于建立控制系统的数学模型，包括传递函数、状态 空间表示和频率响应等。它支持控制系统的时域和频域分析。
稳定性分析
Maple提供了多种稳定性分析方法，如劳斯判据、奈奎斯特图和根轨 迹等。它可用于评估控制系统的稳定性，并指导控制器的设计。
控制器设计
Maple支持多种控制器设计方法，如PID控制、最优控制和鲁棒控制等。 它可以帮助工程师设计高效且稳定的控制系统，以满足不同的工程需求。
控制结构
Maple提供条件语句（如if-else）、 循环语句（如for、while）等控制结 构，用于实现复杂的逻辑功能。
函数定义与调用
用户可以自定义函数，并在程序中调 用这些函数。函数可以接受参数，并 返回计算结果。
03
Maple在数学计算中的应用
符号计算
代数运算
Maple可以进行各种代数运算，如多项式运算、因式分解、求根 等。
方面更具优势。此外，Maple的编程语言相对更简单易用。
03
与Python的比较
Python是一种通用编程语言，通过安装额外的库（如NumPy、SciPy
等）可以实现数学计算功能。然而，与Maple相比，Python在符号计
算和图形可视化方面功能相对较弱。
02
Maple基础知识
Maple的界面Maple与MATLAB之间的数据交换和算 法调用。
与其他科学计算软件的接口
如与Mathematica、SageMath等软件的互 操作性。
Maple在科研与教学中的应用案例
数学研究
用于解决复杂数学问题，如微分方程求解、符号积分等。
物理工程
在物理模拟、工程设计等领域进行数学建模和仿真。
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter22
![电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter22](https://img.taocdn.com/s3/m/abb24fad31126edb6e1a105c.png)
凡是 “%”后的语句为解释语句,MATLAB不执行）
（1）题目定义
g='squareg';
% 定义单位方形区域
b='squareb3';
% 左右零边界条件，顶底零导数边界条件
c=1;a=0;f=0;d=1;
（2）初始的粗糙网格化
[p,e,t]=initmesh('squareg');
（3）初始条件
22.1 用偏微分方程工具箱求解微分方程
直接使用图形用户界面（Graphical User Interface，简记作GUI）求解．
例 22.1.1 解热传导方程 ut u f
边界条件是齐次类型，定解区域自定。
计算机仿真
【解】 第一步：启动MATLAB，键入命令pdetool并回
车，就进入GUI．在Options菜单下选择Grid命 令，打开栅格．栅格使用户容易确定所绘图形的 大小． 第二步：选定定解区域 本题为自定区域 ：自拟定解区域如图22.1所 示：E1-E2+R1-E3．具体用快捷工具分别画椭 圆E1、圆E2、矩形R1、圆E3．然后在Set formula栏中进行编辑并用算术运算符将图形对 象名称连接起来. (或删去默认的表达式，直接键入E1-E2+R1-E3)
2.动画图形显示 为了将所得的解形象地表示出来，还要通过一些动画图形命 令．为了加速绘图，首先把三角形网格转化成矩形网格．调用形 式如下： (1)uxy=tri2grid（p，t，u1，x，y） p、t是描述三角形网格的矩阵，x、y是求解区域中矩形网格的坐 标点（矩阵x、y必须都是递增顺序），u1是各时刻三角形网格中 的解．输出矩阵uxy是用线性插值法在矩形网格点上得出的相应u 值． (2) [uxy,tn,a2,a3]=tri2grid(p,t,u,x,y) uxy、p、t、u、x、y意义同上，tn是格点的指针矩阵，a2、a3是内 插法的系数． (3) uxy=tri2grid(p,t,u,tn,a2,a3) 用此命令之前，应先用一个tri2grid命令得出矩阵tn、a2、a3．用此 方法可以加快速度．
三维仿真技术的应用
三维仿真监控系统三维可视化技术是计算机可视化技术与水利水电工程系统相结合产生的一种仿真体，它能有效的显现出数据的精准，其实质是通过图形、图像的方式对仿真计算过程的追踪与结果的处理，使用三维可视化技术的优越性不但可以节省劳动者的劳动强度，缩短周期，更能有效的为水利水电工程人员提供-一个快捷的数字化平台，有效的提高工程建设的工作效率。
随着三维可视化技术发展，三维仿真系统在各行各业辅助决策中得到越来越广泛的应用。
三维模型数据生产制作流程和工艺方法多种多样，但是三维模型数据至今没有行业规范和标准，各平台之间的数据共享困难。
一、三维仿真定义3D仿真，也称虚拟仿真。
是指利用计算机虚拟技术生成的具有视、听、触、味等多种感知的逼真的虚拟环境，用户可以通过使用各种传感设备与虚拟环境中的对象进行交互的一种技术。
3D仿真可以是现实世界的再现，也可以是想象中的世界，用户可借助视觉、听觉及触觉等多种感知与虚拟世界进行直接交互。
它是以仿真的方式给用户创造一个实时反映实体对象变化与相互作用的三维虚拟世界，并借助一定的设备，通过三维界面，以获取在现实世界中想要获得的效果，在数字校园、工程建设以及教学中得到越来越广泛的应用。
二、建设必要性传统的水利施工：工程大多数是依靠设计图纸、二维平面图来进行施工控制、整体规划，这很难让其它非技术的相关人员有一个直观清晰的认识，管理者也不容易实现对全局工程实施正确有效的管理控制。
基于上述原因，加之计算机强有力的计算功能和高效的图形处理能力，三维仿真技术在水利工程方面的应用越来越普遍。
在水利工程中应用三维仿真技术，将施工建筑、地理环境、人员配置、危险程度等进行真实模拟，可以浏览工程的整体场景，更加直观的、智能的辅助设计人员进行过程设计与分析，根据不同施工方案得到仿真结果，通过对仿真结果的评估和研究，选择最有效、最安全、最有力的方案运用到施工实践当中。
随着信息时代的高速发展，长距离输水工程现已进入网络时代。
数学物理方程课程可视化实验教学的探索和实践
数学物理方程 是众 多理工科 学生的基础课程之一 ，是 以物 理学 和工程技术 中提 出的偏微分方程为主要研究对象， 介绍求线 性偏微分方程精确解方法的基础数学课程∞ 。 数学物 理方 法也是 科研人 员常用 的基本方法 。 国内的数学 、 力学专业 ， 物理专业 ， 电
得 的 工具 。 １ ． 教学设计 。
生硬 的讲 解使学生眼花缭乱 ， 甚至不知所云 ， 直接影 响了学习效 果 ．如何使学生从错综复杂 的数学表 达式 中看出其所表达的物 理图像 ， 让无 言的定理公 式去开 口说话 ， 这 正是 笔者探索教学实 践的初衷 。 因此 ， 迫切需要将 实验教学有机整合到数学物理方程 的课程教学 中。《 国家 中长期教育改革和发 展规划纲要 （ ２ ０ １ ｏ一 ２ ０ ２ ０ 年） 》 提出： 加强实验 室 、 校 内外 实习基地 、 课程教材 等基本 建设 。深化教学改革 ， 支持学生参与科学研究 ， 强化实践教学环 节。 这一重要发展战略将教育实践化建设推 向了一个新的阶段 。 基于 这样 的背景 ， 加强数学物 理方 程课程教 学实践改 革＠， 适应 教育实践化发展的需要 ， 迫在眉睫 。
引言
表 现 出来 ， 以此展 现问题 的物理 图像 。针对 这些 问题 ， 笔 者认
为： 。
１ ． 可视化实验教学切合学 生实 际 ， 有助于明确学 生的学 习 目 标， 提高学习兴趣 ， 在实践 中惊 ２ ． 教师在实践教学中要注重科学思维与创新能力的培养 ， 选 择合 理的实验题 目， 使 学生掌握本门课重要的思想方法 和思维 方式 ， 如对 偶的思想 ， 同构 的思 想 ， 在理论 推导过程 中的顺 向思 维、 逆向思维 、 发散思维等各种思维方式 。 ３ ． 从学生实际情 况出发 ， 在扎实的基础理论 与基础知识的教 学前 提下 ， 实验 教学 中以实验工具 的运 用为主 ， 分 析为辅 ， 培养
物理学中的建模与仿真：物理过程的数学建模与计算机仿真
02
物理建模的分类
• 解析建模：通过数学公式直接描述物理 现象，如牛顿运动定律 • 数值建模：通过计算机程序模拟物理现 象，如有限元法 • 混合建模：结合解析建模和数值建模， 如有限差分法
计算机仿真的基本原理与方法
计算机仿真的方法
• 基于物理的仿真：直接模拟物理现象，如分子动力学模拟 • 基于数学的仿真：通过数学模型模拟物理现象，如有限元法 • 混合仿真：结合基于物理的仿真和基于数学的仿真，如有限差分法
仿真结果的可视化与验证
01
仿真结果的可视化
• 数据可视化：如散点图、折线图、饼图 等 • 图像可视化：如位图、矢量图、三维图 形等 • 动画可视化：如模拟动画、过程动画、 交互动画等
02
仿真结果的验证
• 实验验证：通过实验数据与仿真结果进 行对比，验证仿真模型的准确性 • 理论验证：通过理论分析与仿真结果进 行对比，验证仿真模型的正确性 • 工程验证：通过工程实践与仿真结果进 行对比，验证仿真模型的可靠性
05 物理学建模与仿真的未来发展
物理学建模与仿真的新兴技术
新兴技术的应用
• 智能建模：如基于人工智能的自动建模、自适应建模等 • 智能仿真：如基于人工智能的仿真优化、仿真预测等 • 智能验证：如基于人工智能的误差估计、误差控制等
新兴技术
• 人工智能：利用机器学习、深度学习等技术提高建模与仿真的精度和效率 • 高性能计算：利用并行计算、分布式计算等技术提高建模与仿真的计算能力 • 虚拟现实：利用虚拟现实技术实现仿真结果的可视化和交互操作
物理学建模与仿真的挑战与机遇
挑战
• 模型复杂性：随着物理现象的复杂化， 建模难度不断增加 • 计算性能：随着仿真精度的提高，对计 算性能的要求不断提高 • 数据可用性：随着数据量的增长，数据 可用性和数据质量成为关键问题
数学物理方程的计算机仿真求解
（5）求解此双曲问题 u1=hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d); %得到如下结果： %Time: 0.166667 %Time: 0.333333 %Time: 0.5 %… %Time: 4.5 %Time: 4.66667 %Time: 4.83333 %Time: 5 %428 successful steps %62 failed attempts %982 function evaluations %1 partial derivatives %142 LU decompositions %981 solutions of linear systems %现在把解u1用动态图形表示出来． （6）矩形网格插值 delta=-1:0.1:1; [uxy, tn, a2, a3]=tri2grid(p, t, u1(:, 1), delta, delta); gp=[tn; a2; a3];
具体操作上可用两个途径： (1) 直接使用图形用户界面（Graphical User Interface， 简记作 GUI）求解． 计算机仿真求解的偏微分方程类型分为： 椭圆型方程： ( c u ) a u f 抛物型方程： d 双曲型方程： d
u t
u
2
(c u ) a u f
图22.1 所讨论定解问题的区域
第三步：选取边界 首先选择Boundary菜单中Boundary Mode命 令，进入边界模式．然后单击Boundary菜单中 Remove All Subdomain Borders选项，从而去掉子 域边界，如图22.2．单击Boundary菜单中Specify Boundary Conditions选项，打开Boundary Conditions对话框，输入边界条件．本例取默认条 件，即将全部边界设为齐次Dirichlet条件，边界显 示为红色．如果想将几何与边界信息存储，可选择 Boundary菜单中的Export Decomposed Geometry,Boundary Cond‟s命令，将它们分别存储 在g、b变量中，并通过MATLAB形成M文件．
数学物理方法中热传导方程的COMSOL教学应用
第40卷 第12期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 40 No.12 2020年 12月 Journal of Science of Teachers′College and University Dec. 2020文章编号：1007-9831（2020）12-0083-06数学物理方法中热传导方程的COMSOL教学应用王鹏1，王清亮1，左旭东2，张冬梅3（1. 忻州师范学院 物理系，山西 忻州 034000；2. 江苏理工学院 数理学院，江苏 常州 213001；3. 大连理工大学 物理学院，辽宁 大连 116024）摘要：数学物理方法是物理专业的一门必修课程，由于具有较多数学技巧以及物理图像不直观等特点，授课与学习的难度均较大．以热传导方程的学习内容为例，论述了如何利用COMSOL Multiphysics有限元分析软件实现可视化和探究性教学，使学生更深刻地理解数学方程中的物理内涵并建立正确的物理图像，减轻教师的授课负担并提高学生的学习效果．关键词：COMSOL Multiphysics；数学物理方法；热传导方程中图分类号：O411.1∶G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2020.12.019The application of COMSOL software on the thermal conduction equation inmethods of mathematical physicsWANG Peng1，WANG Qingliang1，ZUO Xudong2，ZHANG Dongmei3（1. Department of Physics，Xinzhou Teachers University，Xinzhou 034000，China；2. School of Mathematics and Physics，Jiangsu University of Technology， Changzhou 213001，China；3. School of Physics，Dalian University of Technology，Dalian 116024，China）Abstract：Methods of mathematical physics is a compulsory course in physics major．Due to the characteristics of many necessary mathematical skills involved and unintuitive physical images，both teaching and learning are difficult．In order to achieve the visualization teaching and inquiry teaching，based on an example of thermal conduction equation，a COMSOL Multiphysics software based on finite analysis method is utilized，which makes students have deeper understanding on the physical connotation of mathematical equations and establish correct physical picture．The application of COMSOL software reduces the teaching burden of teachers and improves the learning effect of students．Key words：COMSOL Multiphysics；methods of mathematical physics；thermal conduction equation数学物理方法是物理学以及部分工科专业本科生必修的一门重要科目，旨在丰富学生的知识技能储备以及培养学生利用数学技能解决物理问题的能力．因此，这门课程不仅物理内容较多，而且涉及大量的高等数学知识，如复变函数、微积分和级数等，学生普遍反映学习难度较大，学习积极性不高．繁琐的数学推导也使得学生更关注“数学”技能的提高而忽略了“物理”内涵的理解；另外，数学物理方法课程还存在考核方式单一、教学时效性不强等不足[1]．目前，数学物理方法课程的教学方式仍以课堂讲授为主．无论是以往的板书教学还是如今的多媒体教学，都能够较好地做到数学公式的推导和数学思想的传达；但是如何让学生更直观地获得物理图像仍力有未逮，尤其在传统的板书教学过程中较难实现．即使是采用多媒体教学方式，也很难找到或者绘制贴合教材的相关素材用于直观展示物理图像，如果采用板书教学的方法绘图则更加不易，要想进一步实现学生自收稿日期：2020-08-12基金项目：山西省高等学校科技创新项目（2020L0538）；山西省高等学校教学改革创新项目（J2019169）；忻州师范学院科研基金项目（2019KY06）作者简介：王鹏（1991-），男，辽宁大连人，讲师，博士，从事碳纳米材料基础物性及应用研究．E-mail：**********************84 高 师 理 科 学 刊 第40卷 主深入学习、拓展思路、发散思维的目标就更难了．因此，如何在教学过程中实现“数学方法”与“物理图像”的有机结合成为提高教学效果必须要解决的问题．计算机仿真是一种能够实现物理图像展示的有效手段，已经被广泛使用于大学教学中．宋彦琦[2]等人利用Matlab 软件编程实现了复变函数方程以及波动方程定解问题的求解．但是编程方法不易掌握，对学生直观理解物理问题也并无明显益处．相比之下，COMSOL Multiphysics 软件是一款大型多物理场数值仿真软件，具有上手较快、操作便捷和可视性强的特点，能够根据实际需求建立物理模型，并将数学方程的数值求解结果以曲线图、分布图等图像的形式直观展示出来，体现了“数形结合”的思想．另外，COMSOL 软件涵盖了物理、化学、工程等多个科学领域的计算模块，能够满足教学和科研的需要．目前，已有不少学科的本科专业课使用这一软件辅助教学，如物理专业的电磁学[3-6]、模拟电子技术[7]等课程，甚至部分研究生的课程教学也采用这一软件[8-16]，取得了较好的成果．本文针对数学物理方法课程在教学过程中存在的重“数学”而轻“物理”的问题，利用COMSOL 软件求解一个空心圆柱体热传导模型，明确热传导方程的物理含义和3类边界条件的物理概念，展示数学方程中隐藏的物理图像．结合COMSOL 软件开展教学可以激发学生的自主学习动力并提高学生的思维发散能力和探索能力，实现探究性学习和翻转课堂的教学模式，提高学习效果．1 空心圆柱体的热传导方程及边界条件本文以一个空心圆柱的热传导模型（见图1）为例来展开说明．空心圆柱体的内、外半径（内R ，外R ）以及高度（h ）分别为0.05，0.15，0.2 m．图1 空心圆柱体 热传导方程一般可写为 (,)(,)(,)T r t c k T r t F r t tr ¶-D =¶r r r （1） 其中：T 是待求温度，与时间和空间均有关；t 为时间；F 为热源强度；c k ，，r 分别为热导率、密度和比热容．等号左边第１项就是初中时就学习过的单位体积内物体温度变化与外界所交换的热量（V T cm V q D =0，0q 和V 分别是物体吸收/释放的热量和物体体积），第２项则表示单位时间内以热传导形式流入该单位体积的热量．因此，方程（1）的物理本质就是能量或者说热能守恒．在本例中，认为空心圆柱体中无热源，则()0=t r F ，，该方程变为齐次方程．如果只想知道圆柱体达到热平衡状态时的温度分布而不研究温度随时间的变化，则方程（1）将化为拉普拉斯方程 (,)0T r t D =r （2） 要求解热传导方程，必须要给定初始条件和边界条件，圆柱体的初始温度被设定为20 ℃（293.15 K）．数学物理方法课程中常见的边界条件可以分为3类：第1类边界条件是直接规定待求物理量的取值．在本例中，空心圆柱的内表面被视为与一个恒温热源 接触，温度被固定为室温60 ℃（333.15 K），即高度h 内表面 上/下表面 外表面 R 内R 外第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 85|333.15 K r R T ==内 （3）第2类边界条件是规定待求物理量在边界外法线方向上的方向导数．对一个给定的边界截面，傅里叶热传导定律可以写为 T q k n ¶=-׶r （4） 其中：q r 是单位面积内的热流量，即热流密度；负号表示热量是逆温度梯度方向传导的．因此，对于给定热导率的空心圆柱体来说，规定外法线方向导数等价于直接定义热流密度．显然，热流密度是一个更具有直观物理意义的量，可以将边界处的热流密度直接视为第2类边界条件．本例中，将空心圆柱体的外表面设置为绝热条件，即圆柱体与外界不能通过外侧表面与外界环境进行热交换 |0r R T k n=¶-×=¶外 （5） 第3类边界条件规定了边界处待求物理量与待求物理量外法线方向上方向导数之间的线性关系，有时也称作混合边界条件．本例设定圆柱体的上下2个表面与外界存在热交换，根据牛顿冷却定律，在该表面设置第3类边界条件 0,ext |()z h f T k h T T n=¶-×=×-¶ （6） 其中：f h 为空心圆柱上下表面的对流换热系数；ext T 表示外界环境温度．等号左边表示圆柱表面因存在温度梯度而流通的热量，右边表示由于环境中热对流的存在而交换的热量．这样看就会发现，公式（6）的物理意义就是在圆柱体的上下2个表面不会有热量的持续累积和损耗，热量的流动是连续的，这也符合直观认知．通过给定f h 的值和环境温度ext T ，就可以得到确定的第3类边界条件．2 利用COMSOL Multiphysics 软件求解空心圆柱体热传导模型2.1 物理模型的构建由于空心圆柱具有中心对称结构，因此在用COMSOL Multiphysics 仿真软件构建模型时无需构建三维模型，选择“二维轴对称”模型，可以减少计算量和计算时间．利用COMSOL 软件绘制的矩形（见图2），其位置和大小均可在软件中任意更改．本例中矩形的宽度和高度分别为0.1，0.2 m，左下角顶点的坐标为（0.1，0 m）．r =0处的红线表示旋转轴，矩形绕轴旋转一圈即可得到与图1所示同尺寸的空心圆柱体．COMSOL 软件内置了多种材料的基本物理特性参数，在仿真过程中可以直接对仿真模型添加材料并调用相关参数．空心圆柱体的材料被设置为铁，其密度、比热容和热导率分别为7 870 kg/m 3，440 J/（kg·K），76.2W/(m·K)．由于本文研究的是空心圆柱体的热传导问题，因此选择软件中自带的“固体传热”模块进行仿真计算．86 高 师 理 科 学 刊 第40卷 该模块已经内置了热传导方程，无需修改，只需进行边界条件和初始条件的设置即可．利用COMSOL 软件设置初始温度条件的界面见图3a．可以看到，COMSOL 软件的界面对用户非常友好，直接在输入框内输入数值即可．根据对空心圆柱体初始温度的设定，此处输入“293.15 K”．利用COMSOL 软件设置第1类边界条件的界面见图3b ．设置一栏中，在“边界选择”中选择矩形的左边（这一条边经绕轴旋转后即形成空心圆柱体的内表面），表示要对这一条边进行物理条件的设置．其下方“方程”中展示了一个关于温度的公式，表示此处设置的物理含义是温度边界条件．在温度输入框中输入“333.15 K”，即可完成了第1个边界条件的设置．设置圆柱外表面绝热和上下表面热对流边界条件时的软件界面分别见图3c~d，与对空心圆柱体的边界条件设定的操作基本一致．通过以上操作，可以使学生对数学方程、初始条件和边界条件有更直观的认识，有利于深入理解数学公式背后的物理内涵．2.2 仿真结果与讨论点击COMSOL 软件中的“物理场控制网格”实现空心圆柱体的网格自动剖分，本案例中将网格数设置为360．由于本案例求解的是空心圆柱体热稳定状态温度分布，因此研究模式选择“稳态”（此时软件自动将要求解的方程设定为拉普拉斯方程）；点击“计算”按钮，软件开始自动求解数学方程并输出物理图像，使用普通笔记本电脑的计算时间仅需约2 s．f h =100 W/（m 2·K）时，空心铁圆柱体的温度分布情况见图4a~b．可以看到圆柱体的温度从内表面（333.15 K）向外表面（约328 K）逐渐降低，同时上下表面的温度比圆柱体的中央区域要低，这是上下表面与温度较低的外界环境（293.15 K）存在热交换的边界条件导致的必然结果；等温线自左向右（对应空心圆柱体由内而外）逐渐稀疏，表示温度梯度的绝对值逐渐减小；由于圆柱体上下表面与外界存在热交换，因此，上下表面的温度沿径向方向降低得比其内部要快，导致上下表面附近的等温线分布比中央更密集．结果表明，COMSOL 软件能够展示热传导方程中的待求温度函数在给定的初始条件和边界条件下是如何分布a 整体设置初始温度条件（293.15 K）b 内表面设置为第1类边界条件（温度333.15 K）第12期 王鹏，等：数学物理方法中热传导方程的COMSOL 教学应用 87 的，使学生不仅能够很好地理解边界条件的概念，还能够直观地把数学方程与物理图像联系起来．在满足教学需求的基础上，COMSOL 软件还自带有“参数化扫描”功能，可以赋予某个条件任意多的数值，用于研究该条件对仿真结果的影响．在本例中，通过赋予空心圆柱体表面对流换热系数()f h 3个不同的数值，研究了表面对流换热情况对其空心圆柱体热传导过程的影响．圆柱上下表面在具有不同换热系数的条件下，其温度沿径向方向的变化曲线见图4c．可以看到，空心圆柱体的温度沿着径向向外逐渐降低，且斜率逐渐趋于0，与图4a 和图4b 的结果一致．另外，随着f h 取值的增加，空心圆柱体外侧的温度逐渐降低，这是由于f h 的增大使圆柱体通过上下表面向低温外界环境释放出了更多的热量，导致处于热绝缘状态的外表面从圆柱内侧吸收到的热量较少，因此温度较低．在仿真过程中，计算热传导方程中温度函数的空间分布仅是COMSOL 软件的结果之一，软件已经把所有热物理参数的分布进行了计算并保存在模型中．因此，对学有余力的学生，教师可以引导其进一步深入思考和探索，利用COMSOL 软件展示更多的结果．例如：圆柱体上下表面的换热边界条件既然能够影响圆柱体的温度分布，那热流量究竟是多大，与空间位置以及表面换热系数的大小是否有关．要得到以上结论只需要在软件中将之前展示的纵坐标“温度”替换为“热流密度”．空心圆柱体上表面的热流密度沿径向方向的变化曲线见图4d．可以看到，上表面的热流量密度沿着径向向外逐渐降低，这是由于空心圆柱体的内侧温度较高，与外界环境温差较大，因此热流量密度较大．由此可见，f h 与圆柱体表面的热流密度成明显的正相关关系，提高f h 有助于圆柱体的散热，而降低f h 则有助于圆柱体的保温．f h 取值的数量和大小均可在COMSOL 软件中根据教学和研究需求进行自定义设置．通过COMSOL 软件还可以对空心圆柱体的初始温度、内表面温度等初始条件和边界条件进行修改或赋予不同的取值，从而进一步研究不同条件对热传导过程的影响，这样不仅能够使学生对热传导现象的理解更加深入，更能调动学生学习的主观能动性．在实际的教学过程中，还可以将学生们提前分组，分别研究不同物理条件对空心圆柱体热传导过程的影响，在课堂上互相交流学习，从而实现翻转课堂教学模式和探究性学习模式，锻炼学生的探究能力，提高科学素养．最终完成的计算结果可以保存为一个单独的工程文件（.mph 格式），便于学生上交和教师检查，也有利于保存记录和用于交流学习．这些操作不仅可以使用在热传导方程的学习上，对数学物理方法课程中的其它内容同样有效．在学习结束后，教师可以结合实际应用与课程内容出题，=100 W·（m ·K）时空心圆柱体的等温线分布/℃88 高 师 理 科 学 刊 第40卷让学生开展调研后将实际问题转化为仿真模型，制作并上交仿真案例．这个过程既可以作为课后作业发布，也可以作为期末考试的一种新载体，未来甚至可以在数学物理方法课程中设置计算机实践课时，进一步实现教学模式和考核模式的改革．利用COMSOL软件辅助教学可以实现物理概念的理解、模型的建立和仿真结果的可视化展示等目的，是一种能够让学生更好地预习、学习和复习的有效手段．不仅能够使学生直观建立物理图像，理解数学方程背后的物理内涵，还可以让学生将理论知识与实际应用联系起来，提高认识问题和解决问题的能力．3 结论本文以空心圆柱体为例，利用COMSOL Multiphysics软件实现了热传导过程的物理图像的可视化教学，帮助学生进一步理解3类边界条件和热传导方程的物理内涵．COMSOL软件具有操作简单、可视性强的特点，集教、学、研多种功能于一体，加强了数学公式与物理图像和实际应用之间的关联性，同时减少学生的畏难心理和教师的授课压力．该软件的使用有助于激发学生的主观能动性，利于探究性学习和翻转课堂教学模式的开展；能够让教师和学生在教与学的过程中更加关注数学方程背后的物理概念与物理思想，让学生在掌握数学技能的同时，实现领悟物理思想、使用数学工具解决实际物理问题的教学目标．COMSOL 软件的应用为课后作业和能力考核提供了一种全新的方式，是实现新时代教学改革的有效手段．参考文献：[1] 周天．“数学物理方法”课程的教学认识和改革探索[J]．教育教学论坛，2020（10）：316-317[2] 宋彦琦，刘冬桥，李小龙，等．引入计算机仿真的数学物理方法教学改革探索[J]．高教学刊，2020（4）：125-127，130[3] 徐亚东，周航，高雷．信息技术优化教学方案 提升教学效果——以COMSOL在电磁学中的应用为例[J]．物理通报，2019，（12）：22-24[4] 刘国强，闫孝姮，赵筱赫．电磁场中稳恒磁场的COMSOL教学应用[J]．中国现代教育装备，2019（19）：9-10，13[5] 王晓华．在“电磁场理论”教学中的COMSOL有限元软件的应用研究[J]．黑龙江科学，2017，8（19）：79-81[6] 黄爱凤．物理仿真软件在物理教学中的应用探讨——以“变压器”教学为例[J]．物理之友，2017，33（5）：47-49[7] 周腾，王瀚林，史留勇，等．COMSOL Multiphysics在《模拟电子技术》教学改革中的应用[J]．教育教学论坛，2017（24）：237-238[8] 张杰，陈煅，郭佳瑶，等．COMSOL有限元分析方法在循环伏安法教学中的应用[J]．化学教育，2019，40（20）：75-79[9] 吴宏伟，方羽，权家琪．以波动光学模块为例探究COMSOL在教学改革中的应用[J]．科教文汇，2019（9）：80-82[10] 邱伟彬，林志立．利用COMSOL仿真进行二维光子晶体的教学[J]．高教学刊，2019（7）：84-86[11] 黄勇刚．利用COMSOL提升研究生表面等离激元光学的教学质量——以表面等离激元光波导为例[J]．科技视界，2019（19）：67-68[12] 张赛，胡光华，许伯强，等．基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真分析在《固体中的超声导波》教学中的应用[J]．中国多媒体与网络教学学报，2018（5）：14-15[13] 辛锋先，刘学伟，伍晓红，等．COMSOL可视化仿真在声学理论课程中的应用与实践[J]．高教学刊，2018（24）：1-4[14] 孔为，肖建昆，陈代芬．Comsol Multiphysics在“节能技术”教学中的应用[J]．科技资讯，2013（6）：209[15] 邓科，关珺珺．基于COMSOL Multiphysics的有限元仿真模拟在《理论声学》教学中的应用：缺陷态的分析[J]．科技创新与应用，2016（18）：22-23[16] 李晓东，梁婕，李忠武，等．计算机仿真在环境系统工程教学中的应用[J]．广州化工，2015，43（19）：160-161。
基于Mathematica的运动学问题的可视化求解
例 ３ 现有一 ５ｍ 长的细杆 ＭＮ 自由下落， 距其 下端从 点 １ Ｉ ５Ｉ 处有一 个 Ａ 点 ， Ｔ 问细杆通过 Ａ 点所用的时间？ 分析 该 问题 和例 ２ 有相似之处 ， 解决问题 的方法灵 活
多样 ， 能够使学 生对于运动规律掌握更加灵活 ．
・
＝ １ ｍ／， ０ ｓ
运动的 比例关系求解 ， 过程略．
３ ・ Ｏ
中学物理 故加 速度
Ｖｏ．９ Ｎ ．５ １ ｏ １ ２ ＝一 一 ，
２ １ 年 ８月 ０１
加速度 ０ ４ｍ 作 匀加速 直线 运动 ， ． ／ 同时， 另一质 点 乙 由 Ｂ 向 Ｃ以速度 ０ ５ｍ／ 作 匀速直线运 动． ． ｓ 试求运动过 程 中两质 点 间的最小距 离为多少？
直接可以得出结论 ： Ａ 在 Ｂ段所用 时间为
ｔｂ ＝ （ ａ ２一√ ） ． ３ ｓ
垫， 直接可以得出答 案 ， 也可 以锻炼学生从 不 同角度 思考 问
题 的 能力 ． 例 ４ 杆 ＡＢ长 ｌ＝ ５ｍ， 过 其 下 方 １ 的尺 寸为 ５ｎ 通 ５ｍ ｌ
的 圆筒 ， 求杆全部通过 圆筒需要 多长时间？ 分析 本题在前 面的基础上可 以很 好的理解 ， 同时可 以加深知识点 的掌握 ．
解法 １ Ｎ 点 到Ａ 点 的时 间
￡， ：
√ ｓ ＝ ，
Ａ 点到达圆筒下表面时的时间
ｆ
√ ：．， Ｓ ｊ
，＾ ，
２ Ｈ ＋２ ＝ （ Ｌ）
。
ｓ．
所 以杆全部通过需要时间为
Ａ ｔ＝ ￡ ２一￡ ｌ＝ （５一√ ）Ｓ √ ３ ．
图１
Ｍ Ｎ 点 时 ￡ √ ＝ｓ ， Ａ 的 间： ２ ￣ ＝ ，
虚拟现实第三部分建模和仿真技术
现代仿真技术与应用 第七章虚拟现实第三部分建模与仿真技术
三维扫描系统的关键技术
在硬件和控制技术方面，扫描运动的伺服装置要求精度高，运行平稳，可定位性好。 三维信息获取技术方面，三维信息获取的原理应综合考虑精度，速度，易实现性，
易使用性，成本，使用背景等。 色彩信息获取方面，物体的色彩由三个因素确定: 照明类型，物体表面的反射特性，
虚拟摄像机硬件采用图形图像处理功能强大的ONYX图形工作站。要求虚拟 背景图像连续平稳的变化，图形工作站应该有每秒25帧的处理能力。
虚拟背景的生成包括建模和重建两步。第一步利用建模工具建立三维模型和 纹理贴图。第二步由图形计算机控制物体在虚拟环境中的位置，建立整个虚 拟环境。
15
现代仿真技术与应用
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现代仿真技术与应用 第七章虚拟现实第三部分建模与仿真技术
自动的几何建模方法
三维扫描仪（3 Dimensional Scanner）又称为三维数字化仪（3 Dimensional Digitizer）。它是当前使用的对实际物体三维建模的重要工具。它能快速方便 的将真实世界的立体彩色信息转换为计算机能直接处理的数字信号，为实物数 字化提供了有效的手段。
与此对比，VR的力学仿真必须可靠地、无缝地、自动地、实时地运行。在世界建模的 范围内，任何可能发生的情况必须正确处理。近年来，计算机图形的研究开始涉及这类 仿真提出的问题，这称为基于物理的建模。
基于物理模型的动画技术，尽管比传统动画技术的计算复杂性高，但能逼真地模拟自然 物理现象。基于物理模型的动画，大致可分为三类，刚体运动模拟、塑性物体变形运动 模拟、流体运动模拟。
增强现实的建模问题
第七章虚拟现实第三部分建模与仿真技术
增强现实使用看穿的头盔显示，它在真实环境的视场上重叠合成图形。在传统的叠 加显示中，合成的图形与背景没有直接关系。但在增强现实中，合成的物体应看起 来是真实环境的一部分。
偏微分方程的MATLAB数值解法及可视化_冯桂莲
具有初始条件为 u0 = u（ t0 ） 。 （ 3 ） 双曲型 。基本形式为 ： d u － !（ c !u） + au = f 2 t
2
u0 ＇= u （ t0 ） ＇。 具有初始条件为 u0 = u（ t0 ） ， （ 4 ） 本征值方程 。基本形式为 ： －! ·（ c !u） + au = λ du u 是偏微分方程的解 ； c， a， f， d 是标量复函 其中 ， 数形式的系数 ， 在抛物型和双曲型方程中 ， 它们也可以 是 t 的函数 ， λ 是待求的本征值 。 a， f 是 u 的函数时 ， 当系数 c， 称之为非线性方程 组， 形式为 ： －! ·（ c （ u ） ! u ） + a （ u ） u = f （ u ） 这也可以用 MATLAB 求解
Vol． 23 No． 12 Dec． 2013
偏微分方程的 MATLAB 数值解法及可视化
冯桂莲
（ 青海民族大学， 青海 西宁 810007 ）
摘 要： 偏微分方程的数值解法在数值分析中占有很重要的地位 ， 很多科学技术问题的数值计算包括了偏微分方程的数
值解问题。在学习初等函数时， 总是先画出它们的图形， 因为图形能帮助了解函数的性质。 而对于偏微分方程， 画出它们 的图形并不容易， 尤其是没有解析解的偏微分方程 ， 画图就显得更加不容易了 。 为了从偏微分方程的数学表达式中看出 函数值与自变量之间的关系， 通过 MATLAB 编程， 数值求解了泊松方程， 并将其结果可视化， 给出了解析 其所表达的图形、 解与数值解的误差。 关键词： 偏微分方程； MATLAB； 泊松方程； 数值解法； 可视化 中图分类号： TP31 文献标识码： A 文章编号： 1673 － 629X（ 2013 ） 12 － 0120 － 04 doi： 10． 3969 / j． issn． 1673 － 629X． 2013． 12． 029
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数学物理方程三维可视化仿真作者：江萍杨华军何文森罗志华来源：《教育教学论坛》2013年第03期摘要：数学物理方程三维可视化仿真及创新实践训练是《数学物理方法》教学模式改革中的重要内容。
本文通过MATLAB程序求解二维菱形晶格光子晶体的电磁场本征值方程，绘制出二维能带曲线，并将结果三维可视化，体现出复杂数学物理问题的物理图像，解决大学生在课程学习过程中理解困难的教学问题，加强大学生编程实践能力和创新能力的培养。
关键词：本征值问题；三维可视化仿真；光子晶体；平面波展开法；能带结构中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）03-0247-03一、课程背景《数学物理方法》是理工科学生的基础课程之一，也是科研中常用的基本方法。
数学物理方法课程的内容繁多，公式推导繁杂，尽管教材中的例题通常具有明确的物理意义，但是从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，不仅学生会觉得困惑、枯燥，教师也难免觉得棘手。
探索数学物理方法数值化教学的新方法，是数学物理方法课程教学中的一项重要工作，也是数学物理方法教学改革中的重要内容。
利用MATLAB数值求解数学物理方程，将传统教学手段与计算机仿真教学相结合，改变只用公式符号教学的模式[1]，令学生对复杂、抽象、烦琐的数学物理问题具有更深刻的理解。
本论文旨在进行数学物理方程仿真求解实践训练，着力培养大学生应用数学物理思想解决实际问题的能力。
本着“重理论、强实践、突创新”的教育理念，结合科技前沿，以光子晶体的电磁场理论作为实践内容，利用MATLAB对复杂的电磁场本征值问题进行计算机仿真求解，将结果三维可视化，以此来展现复杂电磁场问题的物理图像，对培养大学生创新能力具有重要意义。
二、光子晶体电磁理论基础在利用分离变量法求解数学物理方程时，最后都归结到求解本征值问题。
在用本征函数系展开法解数学物理方程时，也要对所用的本征函数系有较好的理解[2]。
所以，各种本征函数系在数学物理方程课程的学习中有非常重要的地位。
周期结构对电磁波的调控是物理学领域的基础问题。
光子晶体是由介电常数周期排列形成的一种合成材料，是非均匀介质中少数可以严格遵循电磁理论的新型人工材料。
在一定的晶格常数和介电常数条件下，布拉格散射使在光子晶体中传播的电磁波受到调制形成类似于电子的能带结构[3]。
利用计算机仿真求解光子晶体中的复杂本征值问题，可以帮助学生熟悉并更好地掌握本征函数系的性质和求解方法。
1.理想二维光子晶体的结构。
假设介电常数为εa，半径为r的介质柱平行于z轴，背景介质的介电常数为εb，在（x，y）平面内的晶格常数为a，θ为相邻基矢a1和a2之间的锐角，当θ=90°和60°时，分别为正方形晶格和正三角形晶格。
（x，y）平面的傅里叶变换空间为倒易空间（如图1所示），对应于由波矢k定义的频谱。
根据几何关系，（x，y）平面内的基矢（a1，a2）和倒易空间的基矢（b1，b2）分别为a1=aex，a2=a（cosθex+sinθey）；b1=■ex-■ctgθey，；b2=■ey。
在倒易空间中，Γ、T、N、X和M等点为布里渊区的高对称点，它们所构成的多边形区域（深灰色部分）称为不可约布里渊区。
不可约布里渊区是倒易空间中最小的、可重复的区域，可以映射出电磁波在整个光子晶体中的传输特性[4]。
对称点坐标分别为：Γ=（0，0），T=■（1，■），N=■（1，■ctgθ，■）；X=■（0，■），M=■（■ctgθ-1，■）。
2.理想二维光子晶体的本征值问题。
平面波的指数形式表示为H（r，t）=H（r）e-iωt （1）E（r，t）=H（r）e-iωt （2）联立无源Maxwell方程组，分别得到电场和磁场的传播方程？塄×■？塄×H（r）=■■H（r）（3）■？塄×？塄×E（r）=■■E（r）（4）ε（r）是光子晶体介质分布的周期函数，本征值方程（3）和（4）式与电子材料中的周期性势场问题的Schr？觟dinger方程类似，称为光子晶体的支配方程[5]。
本征场H（r）和E （r）分别对应于理想二维光子晶体中横磁（TM）模式和横电（TE）模式的空间形态，通过求解本征值（ω/c）2，可以得到频率ω与波矢k之间的色散关系，即光子晶体的能带结构。
3.光子晶体中的平面波展开。
根据Bloch理论，将光子晶体本征场用平面波展开为HK（r）=■H■（G）e■ （5）EK（r）=■E■（G）e■ （6）G为倒格矢，将（5）和（6）式分别代入本征值方程（3）和（4）式，利用平面波基{G，exp[i（k+G）gr]，…}的正交性[6]，得到如下关于电磁场展开系数的本征值方程■k%（G-G'）（k+G）g（k+G'）Hk（G'）=■Hk（G）（7）■k%（G-G'）（k+G'）g（k+G'）Ek（G'）=■Ek（G）（8）矩阵k%（G）是k（r）=1/ε（r）=k%（G）e■的傅立叶展开系数k%（G）=■■k%（r）e■dr■=■■■e■dr2+■（■-■）■e■dr2 （9）u表示一个周期单元，Au为周期单元横截面的面积。
c表示一个散射单元横截面上的积分边界。
（9）式右边包含了G≠0和G=0的项k%（G）=■+（■-■）fr，G=02fr（■-■）■，G≠0 （10）其中J1（GR）为第一类贝塞尔函数，fr为填充比。
三、仿真求解电磁场本征值问题我们通过计算机仿真求解TM模式电磁场本征值方程（7）式，获得二维菱形晶格光子晶体的本征频率ωk与波矢k之间的色散关系，绘制出能带曲线。
1.光子晶体的数学建模。
对于θ=70°的二维菱形晶格光子晶体，背景介质的介电常数为εb=12，空气柱的半径r=0.4a。
仿真步骤和MATLAB程序如下：①定义光子晶体的结构参数。
ea=1；eb=12；R=0.4；sita=70；a=1；a1=a*[1，0]；a2=a*[cos（sita*pi/180），sin（sita*pi/180）]；b1=2*pi/a*[1，-1/tan（sita*pi/180）]；b2=2*pi/a*[0，1/sin（sita*pi/180）]；fr=pi*R*R/abs（a1（1）*a2（2）-a1（2）*a2（1））；②定义倒易空间中对称点的坐标。
Point（1，：）=[0，0]；Point（2，：）=pi/a*[1，（1-cos（sita））/sin（sita）]；Point（3，：）=pi/a*[1-（1-cos （sita））/sin（sita）*1/tan（sita），1/sin（sita）]；Point（4，：）=pi/a*[0，1/sin（sita）]；Point（5，：）=pi/a*[（1-cos（sita））/sin（sita）*1/tan（sita）-1，1/sin（sita）]；Point（6，：）=[0，0]；③产生一个20×20的矩阵，确定平面波的波数NPW，定义倒格矢G。
DimForG=20+1；NPW=DimForG*DimForG；gtemp=-10：10；gtemp1=repmat（gtemp，DimForG，1）；Gx=b1（1）*gtemp1+b2（1）*gtemp1'；Gy=b1（2）*gtemp1+b2（2）*gtemp1'；Gx=Gx（：）'；Gy=Gy（：）'；Gx_m=repmat（Gx，NPW，1）；Gx_n=Gx_m'；Gy_m=repmat（Gy，NPW，1）；Gy_n=Gy_m'；G=sqrt（（Gx_m-Gx_n）.*（Gx_m-Gx_n）+（Gy_m-Gy_n）.*（Gy_m-Gy_n））；④确定κ（r）=1/ε（r）的傅里叶展开系数。
ek0=fr/ea+（1-fr）/eb；ekc=（1/ea-1/eb）*fr*2；GR=G*R；na=find（GR==0）；GR（na）=1；ek=ekc*besselj（1，GR）./GR；ek（na）=ek0；2.仿真计算光子晶体TM模式能带曲线。
①定义倒易空间波矢路径。
用Keach代表波矢路径上的取值密度，Ktype为对称点的数目，第一布里渊区内沿波矢路径Γ→T→N→M→Γ的仿真程序为：Ktype=5；Keach=6；x=[]；y=[]；for n=1：Ktype x1=linspace（Point（n，1），Point（n+1，1），Keach+1）；y1=linspace （Point（n，2），Point（n+1，2），Keach+1）；x=[x，x1（1：Keach）]；y=[y，y1（1：Keach）]；end②求解本征值方程。
eigval=[]；for m=1：Ktype*Keachkx=x（m）；ky=y（m）；KGmn=sqrt（（kx-Gx_m）.^2+（ky-Gy_m）.^2）.*sqrt（（kx-Gx_n）.^2+（ky-Gy_n）.^2）；H=KGmn.*ek；eigvalue=sort（eig（H））；eigval=[eigval，eigvalue（1：20）]；endeigval=[eigval，eigval（：，1）]；eigval=real（sqrt（eigval）*a*0.5/pi）；③绘制二维能带曲线。
for m=1：KtypeD（m）=sqrt（（Point（m+1，1）-Point（m，1））^2+（Point（m+1，2）-Point（m，2））^2）；xtemp（m，：）=linspace（0，D（m），Keach+1）；endx=xtemp（1，1：Keach）；Dtotal=0；for m=2：KtypeDtotal=Dtotal+D（m-1）；x=[x，xtemp（m，1：Keach）+Dtotal]；endx=[x，xtemp（Ktype，Keach+1）+Dtotal]；x=x/max（x）；plot（x，eigval）；修饰过后的二维菱形晶格光子晶体TM偏振模式能带曲线如图2所示。
四、本征值函数的三维可视化仿真绘制三维等频面，关键是建立波矢平面（kx，ky）内二维点阵的坐标，再求解出每个点对应特征值，仿真步骤和MATLAB程序为：1.定义波矢（kx，ky）平面内点阵的坐标Keach=36；x=linspace（Point（1，1），Point（2，1），Keach+1）；y=linspace（Point（1，2），Point（4，2），Keach+1）；x1=[-x（Keach+1：-1：2），x（1：Keach+1）]；y1=[-y（Keach+1：-1：2），y（1：Keach+1）]；2.求解本征值方程。