分式方程的几种解法

分式方程的几种解法

分式方程是初中数学教材重点内容之一，它是一元二次方程的应用和深化，同时又是列分式方程解应用题及解分式方程组的基础，所以分式方程有承上启下的作用，至关重要，它的解法很多，这里略谈一二。

一、 去分母法

方法导析：它是分式方程的基本解法，即：方程两边同乘以各分母的最简公分母，化分式方程为整式方程，解出这个整式方程，最后把所得结果代入最简公分母中检验，便得分式方程的根。 例1：解方程：

4

1

21235222--

-=++-x x x x x 解：方程两边同乘以)2)(2)(1(-++x x x 去分母得：

)1(4)2)(1()2)(52(+-++=--x x x x x

整理得：01282=+-x x 解之得：6,221==x x

检验：把2=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它等于0，所以2=x 不是原方程的根。把6=x 代入)2)(2)(1(-++x x x ，它不等于0，所以6=x 是原方程的根。∴原方程的根为6=x 。 二、 换元法

方法导析：根据方程特点用另一字母代替方程中的未知项式，得到一个关于这一字母的新方程，再进行解方程，其宗旨是换得的方程较原方程简单。

例2：解方程：2

13

33322=-+-x x x x 解，设a x x =-32，则a

x x 13332⨯=-，原方程变形为： 2

133=+

a a 去分母，得：061322=+-a a 解之得：61=a 2

1

2=a

当6=a ，即63

2=-x x ，去分母，整理得0362=--x x 323±=∴x 当21=a ，即2132=-x x ，去分母，整理得0622=--x x 2

3

,221-==∴x x 检验，把323+=x ，323-=x ，2=x ， 2

3-=x 分别代入原方程分母中其计算结果都不为0，所以他们都是原方程的根。

∴原方程的根是323±=∴x ，2=x ， 2

3-

=x 三、 通分法

方法导析：根据方程特点，原方程式适当变形后，两边进行通分，再结合分式性质解题。 例3：解方程：

4

1

614121+-

+=+-+x x x x 解：方程两边通分得：)

4)(6(6

4)4)(2(24++--+=++--+x x x x x x x x

即：

24

102

8622

2+-=++x x x x ∴24108622+-=++x x x x

解得：1=x

经检验：原方程的根是1=x 。 四、 加减法

方法导析：方程两边同时减去一个恰当的常数，加以整理，使变得的方程较为简单，使方程简化。 例4：解方程：

27

5

48=--+--x x x x 解：方程两边都减去2，得：0)17

5

()148(=---+---x x x x 即：

7

1

42-=

-x x 解之得：10=x 经检验：原方程的根是10=x 五、 拆项法 方法导析：形如分式

)

()

(x g x f ，当分子)(x f 的指数大于（或等于分母)(x g 的指数时），可以施加运算进一步简化分式的值，设

)

()

(x g x f 的商式为)(x a ，余式为)(x b ，则有

)

()

()()()(x g x b x a x g x f +=，利用这种变形，可以使某些分式对方程得到较为简捷的解题方法。

例5：解方程：

3

3

224411+-+

+-=+-++-x x x x x x x x 解“原方程变形为：)36

1()241()481()121(+-++-=+-++-x x x x

去括号，移项，整理得：3

3

441122+-

+=+-+x x x x 两边分别通分，得：

)

3)(4()1)(2(++=++x x x

x x x

)3)(4()1)(20++=++=∴x x x x x 或（

2

5

0-==∴x x 或

经检验：原方程的根是2

5,021-==x x 六、 向c

c x

x 11+=+模式转化法

方法导析：利用（1）c

c x

x 11

+=+之根为c

x c x 1,21==，（2）c

c x

x 11-=-之

根为c x c x 1

,21-==，（3）b a x b ax +=+之根为a

b x x ==21,1三种模式，可使解分式方程简化。

例6：解方程：2

5

311322=-+

-x x x x 解：原方程可变形为：21

2311322+=-+

-x x x x 由模式（1）可得：21

3121

322=-=-x x x x 或 由

2132=-x x 解得: 2

1

,22

1-==x x 由2

1

312=-x x 解得：103,10343-=+=x x 经检验：原方程的根为：2

1

,221-==x x 103,10343-=+=x x 七、 利用比例性质法

方法导析：利用合比性质：d d

c b b a

d c a b ±=

±⇒=

)0(≠±=±⇒=m d

md

c b mb a

d c a b

可使方程解法简化。 例7：解方程：

5

27

42316--=

+-x x x x 解：利用比例的合比性质得：

52)

52()74(23)23()16(----=

++--x x x x x x 即：5

23

235-=

+-x x 解得：1=x

经检验，原方程的根是1=x 八、 取倒数法

方法导析：根据方程特点，取其倒数，再利用负数之和为0的性质解