期权定价公式的一般推导方法

c = r , 则立即得到布莱克期货期权定价公式 :
f (t , F) = e - r ( T - t) [ F (t , S) Φ (d1) - kΦ (d2) ]
f (t , x) = F ( T - t , lnx)
= eB ( T - t ,lnx) V ( T - t , lnx)
= eB ( T - t ,lnx) V1 ( T - t , lnx) - keB ( T - t ,lnx) V2 ( T - t , lnx)
其中
= xe (b - c) ( T - t)Φ ( d1 (t , x) ) - ke - c ( T - t)Φ ( d2 (t , x) )
(23)
其中 ST = S ( T) 。具体的推导过程可参见 ① (p . 237 - 239) 。在 (21) 式中 , 令 x = S , 取 a
=σ, b = c = r , 就立即得到著名的布莱克 —斯科尔斯期权定价公式
f (t , S) = S (t) Φ (d1) - ke - r ( T - t)Φ (d2)
1. 布莱克 —斯科尔斯期权定价公式
设股票价格 S (t) 遵循随机微分方程
dS =μSdt +σSdz
其中 z 为维纳过程 。假设股票不支付红利 , 则μ为股票的瞬时期望收益率 , σ为股票价格的 波动率 。如果μ, σ和无风险利率 r 都是常数 , 则标的资产为股票 , 到期日为 T , 执行价格
有效 。
本文从求解期权的基本微分方程的角度来求得期权定价公式 。我们引入一个一般的偏微
分方程 。该偏微分方程包括布莱克 —斯科尔斯 ③期权基本微分方程 , 默顿 (Merton ④) 支付
红利股票期权基本微分方程 , 以及布莱克 (Black ⑤) 期货期权基本微分方程 。利用一般偏
微分方程的解 , 可直接获得布莱克 —斯科尔斯期权定价公式 , 默顿支付红利期权定价公式 ,
为 K 的欧式看涨期权在 t 时刻 (t < T) 的价格 f 可以看成是 (t , S (t) ) 的函数 , 即 f = f
(t , S (t) ) 。构造由股票与期权构成的对冲资产组合 , 并使该资产组合的收益率成为无风险
的 。那末在不存在套利机会的假设下 , 对冲资产组合的收益率必须等于无风险利率 r 。再借
率 r 加上单位时间商品的单位货币储存费用减去便利收益 。如果标的资产是金融资产 , 则α
就是无风险利率减去该资产的收益率 。由 Ito 引理 (见 ①, p . 262 , (10A. 9) 式)
dF =
(
5F 5t
+
55FSμS
+
1σ2 2
S2
552SF2 )
dt +σS 55FSdZ
=μF Fdt +σFFdz
·57 ·
设标的资产 (商品或金融资产) 的价格过程 S (t) 遵循随机微分方程
dS =μSdt +σSdz ,
其中σ是常数 。标的资产的期货到期日为 T1 。期货价格 F 可以通过下面的关系
F (t , S) = Seα( T1 - t)
(27)
与现货价格相联系 , 其中α (·) 是时间的函数 。如果标的资产是商品 , 则α就是无风险利
(21)
d1 (t , x)
ln (x/ k) =
+
(b +
1 2
a2)
( T - t) ,
a T- t
d2 (t , x) = d1 (t , x) - a T - t
三 、期权定价公式
与通常的情况一样 , 我们假设市场是完善的 , 没有税收和交易费用 , 所有的证明都是高 ·56 ·
度可分的 , 对证券的卖空没有限制 , 不存在套利机会 。
(24)
其中
ln (S (t) d1 =
/ k)
+
(r +
1σ2) 2
σ T- t
( T - t) , d2 = d1 - σ
T- t
2. 默顿支付红利的股票期权定价公式
假设股票以红利率 q 支付连续红利 , 股票价格 S (t) 遵循下面的随机微分方程
dS =μSdt +σSdz
其中μ是股票价格的期望增长率 , σ是股票价格的波动率 。由于股票支付连续红利率 q , μ并不等于股票的瞬时期望收益率 。如果μ, σ, q 和无风险利率 r 都是常数 , 那么标的资产
,u T)φ
(euT)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
φ (x) = max {0 , x - k}
其中 k 为常数 , 则 (14) 式变为
V (τ, u) 其中
=
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
,u
)
T
max
{0 ,
euT -
k}
e-
(u -
u
)
T
2Fra Baidu bibliotek
2a2τ du T
=
1 2πτa
∞
(28)
于是σF F
=σS
5F 5S
=σF
,
因此σF =σ。这就是说明货价格的波动率与现货价格的波动率相同 。
如果无风险利率 r 是常数 , 那么标的资产是期货 , 到期日为 T ( T ≤T1) , 执行价格为 K 的
欧式看涨期权在 t 时刻 (t < T) 的价格 f 可以看成是 (t , F) 的函数 , 即 f = f (t , F) , 并且
价公式 :
f (t , S) = S (t) e - q( T - t)Φ (d1) - ke - r ( T - t)Φ (d2) 其中
(26)
ln (S (t) / k) d1 =
+ [ (r - q) σ T- t
+
1σ2 2
]
( T - t) ,
d2 = d1 - σ
T- t
3. 布莱克期货期权定价公式
1 2
a2
52 V 5u2
+
(b -
1 2
a2
+
a2
5B 5u
)
5V 5u
-
5V 5τ
+ V
[
1 2
a2
52B 5u2
+
1 2
a2
(55Bu ) 2 +
(b -
1 2
a2)
5B 5u
-
5B 5τ
-
C]
=0
(7)
选择 B (τ, u) 使
b-
1 2
a2
+
a2
5B 5u
=
0
,
1 2
a2
52B 5u2
为:
f T = f ( T , x T) =φ ( xT) , T > t
(2)
其中φ (·) 是连续函数 , xT = x ( T) 。下面我们来求方程 (1) 在边界条件 (2) 之下的 解。
首先作变换τ= T - t , u = lnx 。定义新的函数 F 如下 ,
F = F (τ, u) = f (Τ - τ, eu) = f (t , x)
助 Ito 引理 , 就可得到下面的微分方程
5f
(t , 5t
S) + rS 5f
(t , 5S
S)
+
1σ2 2
S2
52f
(t , 5S2
S) = rf
(t ,
S)
(22)
其中 S = S (t) 。方程 (22) 称为布莱克 —斯科尔斯期权基本微分方程 。边界条件为 :
f T = max {0 , ST - K}
(3)
则方程 (1) 可变为
1 2
a2
52 F 5u2
+
(b -
1 2
a2)
5F 5u
-
5F 5τ
=
CF
(4)
边界条件为 :
F0 = F (0 , eμT) =φ (eμT)
(5)
其中 uT = lnx T 。再作变换
V = V (τ, u) = F (τ, u) e - B (τ,u)
(6)
其中 B (τ, u) 为待定函数 。由 (6) 可得 F = VeB , 于是方程 (4) 可变为 :
布莱克 —斯科尔斯期权定价公式 (见 ①p . 244 或 ②) 。
这种方法很简单 。然而 , 在某些更为复杂的情况下 (例如利率是随机的 , 或者股票价格
不是连续的扩散过程) , 风险中性概率分布是非常复杂的 , 有时甚至不存在显式表达式 。在
这种情况下 , 通过求数学期望得到期权的定价公式是难以实现的 。而解微分方程的方法则更
^
f = E [ e - r ( T - t) max (0 , ST - K) ] ,
^
其中 ST 是股票在 T 时刻的价格 , E表示对风险中性概率分布求期望值 , 而 ST 的风险中性概 率分布为
lnST～N (lnSt +
σ2 (r - 2 )
( T - t) , σ
T - t)
其中 N (α, β) 是均值为α, 方差为β2 的正态分布函数 。通过计算上述的期望值 , 就可得到
满足下面的布莱克期货期权基本微分方程 :
5f
(t , 5t
F)
+
1σ2 2
F2
52f
(t , 5 F2
F) = rf
(t ,
F)
(29)
边界条件为 :
f T = max {0 , FT - K}
(30)
方程 (29) 的推导过程可参见 ① (p . 289 - 291) 。在 (21) 式中 , 令 x = F , 取 a =σ, b = 0 ,
+
1 2
a2
(55Bu) 2 +
(b -
1 2
a2)
5B 5u
-
5B 5τ
-
C=0
(8)
由上式可得 :
55τB =δ,
5B 5u
=β
(9)
其中
β=
a2 - 2b 2a2
,
δ=
1 2
a2
(β- 1) 2 +
(b +
1 2
a2)
β-
1 2
a2
-
c
(10)
为此 , 我们取
B (τ, u) =δτ+βu
为股票 , 到期日为 T , 执行价格为 K 的欧式看涨期权在 t 时刻 (t < T) 的价格 f 也可看成是
(t , S (t) ) 的函数 , 并且满足下面的默顿支付红利的股票期权基本微分方程 :
5f
(t , 5t
S)
+
(r - q)
S 5f
(t , 5S
S)
+
1σ2 2
S2
52f
(t , 5S2
∫e
lnk
-
βu
T
(euT - k)
e-
(u -
u
)
T
2
2a2τ du T
= V1 (τ, u) - KV2 (τ, u)
(13) (14) (15)
(16)
V1 (τ, u) =
1 2πτa
∞
∫e
lnk
xp
{ - βuT + uT -
(
u
- uT) 2a2τ
2
}
duT
(17)
V2 (τ, u) =
以及布莱克期货期权定价公式 。我们的方法为求得一般期权定价公式提供了一个基本框架 。
二 、一个偏微分方程的解
考虑下面偏微分方程 ·54 ·
1 2
a2 x2
52f
(t , 5x2
x) + bx 5f
(t , 5x
x) + 5f
(t , 5t
x) = cf
(t ,
x)
(1)
其中 a , b , c 是常数 , t 是时间变量 , x = x (t) 是参数 t 的函数 , 取正值 。边界条件
(11)
这时方程 (7) 变为 :
1 2
a2
52 V 5u2
=
5V 5τ
(12)
边界条件为 :
·55 ·
V0 = e - B (0 ,uT)φ (euT) 而方程 (12) 即为标准的热传导方程 , 解为 (见 ⑥, p . 69)
V (τ, u) = 如果
1 2πτa
∞
∫e
-∞
-
B
(0
S)
= rf
(t , S)
(25)
其中 S = S ( t ) , 边界条件与 (23) 式相同 。方程 ( 25) 的推导过程可参见 ① (p . 288 -
289) 。在 (21) 式中 , 令 x = S , 取 a =σ, b = r - q , c = r , 则立即得到支付红利股票期权定
-
1 2
2
y
π 2
-∞
= e (b - c)τeue - B (τ,u)Φ
(u
-
lnk
-
a
(βτ
1)
a2τ)
其中Φ (·) 为标准正态分布函数 。同理可得 :
(19)
V2 (τ, u)
= e - cτe - B (τ,u)Φ
(u -
l
nk aτ
a2τβ)
(20)
于是由 (3) 、(6) 、(16) 、(19) 和 (20) 式可得 :
财经论丛
1999 年第 2 期
期权定价公式的一般推导方法
王春发
一 、引言
我们知道 , 布莱克 —斯科尔斯 (Black2Scholes) 期权定价公式可以这样来推导 。假设股
票价格遵循下面的随机微分方程
dS =μSdt +σSdz 其中 S 是股票的价格 , μ是股票价格的期望增长率 , σ是股票价格的波动率 , z 是维纳
过程 。如果没有税收和交易费用 , 所有的证券都是高度可分的 , 对卖空没有限制 , 股票在期 权的有效期内不支付红利 , 不存在套利机会 , 那末当μ、σ和无风险利率 r 都是常数时 , 标
的资产为股票 , 到期日为 T , 执行价格为 K 的欧式看涨期权在 t 时刻 (t < T) 的价格 f 为
1 2πτa
∞
∫e
lnk
xp
{ - βuT -
(
u
- uT) 2a2τ
2
}
duT
(18)
在 (17) 式中 , 令 y = - [ uT - u + (β- 1) a2τ] / a τ, 则
V1 (τ, u)
= exp
{ (β-
1) 2
2a2τ-
βu
+
u}
∫ 1 e dy [ u - lnk - (β- 1) a2τ]/ aτ