晶格振动PPT课件

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第三章晶格振动和晶体的热学性质PPT

(3)周期性边界条件、第一布里渊区中的模数
a
波恩-卡门边界条件
（周期性边界条件）
a
q的取值采用波恩-卡门边界条件（周期性边界条件）来定：
u1 u N 1
N为晶格中的原子个数（晶胞数）
即：
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
un Ae i(qnat)
u1 u N 1
Ae Ae i(qat)
i[q( N 1)at ]
eiqNa 1
得： qNa 2l l =0，±1，±2……等整数
q 2 l
Na
在第一布里渊区，q取值为
/a q /a
对应于 N / 2l N / 2 ( 只l 能取N个值----模数 )
结论：在第一布里渊区内的q值唯一地描述了所有的晶格振动模式，这些值的数目等于晶格的自由度数N。
设 un,1、u是n,相2 应于原子M、m在沿链方向对其平衡位置的偏离
方程和解
和单原子链类似，若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
Mun,1 2un,1 un,2 un1,2 mun,2 2un,2 un1,1 un,1
类似于前面的讨论，可取解的形式为：
代入运动方程得：
(2 m 2 )A (2 cos qa)B 0
2 cos qa
2
2
2 M 2
0
Mm 4
2
(M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
Mm 4
2 (M
m) 2
4
2
sin 2
1 2
qa
0
解关于2的一元二次方程得：
2
(q)
mM mM

s第04章晶格振动PPT课件

在3r支色散关系中，当q→0时（长波）：
➢ 有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。长声学波描述了原胞质心的振动。
➢ 其余(3r-3)支有有限的振动频率，为光学波。长光学波描述原胞内原子之间的相对运动。
波矢的取值和波矢空间
q的值由周期性边界条件确定：
u
Rl
N1a1
s
u
Rl s
u
Rl
N2a2
s
u
Rl s
代入 u
l s
A ei(q•Rl t ) sa
得到：
u
Rl
N3a3
s
u
Rl s
q • N1a1 2h1, q • N2a2 2h2 , q • N3a3 2h3
把波矢q表示为倒格子空间中的一个矢量： q x1b1 x2b2 x3b3
光学波
在布里渊区边界 q
a
声学波： A
B
光学波： A 0
B
5、振动模式数（频率数）
波矢限定在第一布里渊区中 q
a
a
周期性边界条件下
q 2 l
Na
N l N
2
2
一维双原子链：
晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数
一个波矢对应2个不同的频率，共有2N个振动频率，这2N个振动频率分为2支。
f
d
d
(un1 un )
→弹性力
一维原子链的振动模型：被一个个弹簧连接起来的一串质量为m的球
第n个原子受到的作用力为：
f p (un p un )
p
p 1， 2， 3，
2、一维单原子链的运动方程
f p (xn p xn )

第三章晶格振动与晶体的热学性质PPT课件

4ed
0
e
2
1
CV 1254NkBTD3T3
德拜 T3 定律：CV 与 T3 成比例
注意：T3 定律一般只适用于大约
1 T 30 D
的范围
这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV∝ T3的实验结果。
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
的色散关系，称为晶格振动的振动谱。 (q )
利用波与格波的相互作用，以实验的方法直接
测定 (q)
一、格波振动使中子流的非弹性散射二、（可见光）光子与晶格的非弹性散射三、X光的非弹性散射
只讨论单声子过程
因而，光散射只能和长波声子，即接近布里渊区心的声子发生相互作用。
用可见光散射方法只能测定原点附近的很小一部分长波声子的振动谱，而不能测定整个晶格振动谱，这是光可见散射法的最根本缺点。
<<1
(1)★ 声学波
2m m M M 11m 4 m M M 2si2n aq 1/2
2m m M M 11m 4 mM M2sin2aq1/2
简化
m4mMM2sin2aq1 1m 4 m M 2 M si2a n 1 q /2 11 2m 4 m M 2 M si2a nq
32
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal

固体物理--第三章晶格振动ppt课件

5
2a
2
q2 q1 a
5
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
N+1
12
n
N N+2 N+n
N n
n
Aeit N naq Aeitnaq
eiNaq 1 ei2h 1
q 2 h
Na
h =整数
6
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为 2
Na
q的分布密度：
q Na L
子数不守恒。
11
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a Mm
{
n-1 n n n+1
只考虑近邻原子间的弹性相互作用
{ 运动方程：
M n n n1 2n
m n n n1 2 n
试解：
it naq
Ae n
{ Bei
q 0
光波：＝c0q， c0为光速
对于实际晶体，＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在＋(0)附近的强烈吸收。
18
2. 声学波（acoustic branch）
n n
M
m
2m
cos
1 2
aqei
12aq
M 2 m2 2Mm cosaq
2 2
L＝Na ——晶体链的长度
简约区中波数q的取值总数 q 2 Na 2
a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N·1 =晶体链的自由度数
7
四、格波的简谐性、声子概念
晶体链的动能：

第04章晶格振动

U(a)：平衡时两个原子
r 之间的相互作用势能
U(a ) ：有相对位移时
f
两个原子之间的相互作
r
用势能
R0
简谐近似
恢复力常数
微振动时，有：
U(x)

U a

U a

dU dx

a

1 2

d2 U d x2

a
2

简谐近似：势能展开式保留到二次项：
l l
s
u

s

恢复力常数
一个原胞中有3n个类似的方程,N个原胞共有3nN个
方程的解和一维原子链类似，可以写成:
u

l s

A e i(qRl t ) sa
三维晶格的振动
把试探解代入运动方程，得到以振幅Asa满足的3n个线性齐次联立方程：

M
2 2

2M1M2
c os qa
12

M1 M2 M1M2
1

1

4M1M2 (M1 M2 )2
sin2
(
1 2
qa)

12
与单原子链的色散关系明显不同之处在于,双原
子链每个波矢q对应两个不同频率的格波：
声学波
2

三维晶格的振动
在3n支色散关系中，当q→0时（长波）：有三支ω →0，且各原子的振幅趋于相同，这三支为声学波。长声学波描述了不同原胞之间的相对运动
其余3n－3支有有限的振动频率，为光学波。长光学波描述n个格子之间的相对振动。

第四章晶格振动优秀PPT

lkAkei[tRlkq]
将方程解代回3n个运动方程
—— 3n个线性齐次方程 m k2Akk'Ck q,k'Ak'
m in00
m a x /2 a 2 k /M
光学波
m in /2 a 2 k/m
m a x 0 2 k m M /m M
声学波
A B
2kcosqa
2km2
0
相邻异类原子一般朝同一方向振动
在长波极限：相邻原子同向振动，而且振幅相同，它们的振动(波动)行为好象是同一类原子。反映的是晶格的整体振动。
光学波
A B
2kcosqa
2km2
0
相邻异类原子一般朝相反方向振动
q0
在长波极限：A/B
M/m,
mA+MB=0，
晶胞质心不动。晶体并非整体呈刚体，其中
的轻原子与重原子分别构成刚性结构，而且
两类原子永远反向振动。
与一维单原子链主要结论的比较
共同特点：色散关系中，角频率都为波矢的周期函数，都有极值。波矢都只能取分离的值，取值数目都为晶体原胞的个数。不同之处：
—— 一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动
➢ 差别：格波的空间坐标是离散的。
➢联系：在长波极限下，常用连续介质弹性波代替
较复杂的格波。（证明）
例1
证明在长波极限下，可用连续介质弹性波代替较复杂的格波。
2
k m
sin
qa 2
q0
a
k m
q
vq
v ka ，而Y ka， m a
m/a
u Aei[(n1)aqt] n1
格波
u Aei[(n1)aqt] n1

第4章晶格振动

(
2π
a
− q)sa − ω
t
same as k= − q
= A exp[i(2π s − qsa − ω t)] = A exp[i(− qsa − ω t)]
λ=4a/3
λ=4a/7
λ=4a
λ1 = 4a,
λ2
=
4a 3
,
λ3 =
4a 5
,
λ4
=
4a 7
,
k1
=
2π 4a
=
π 2a
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
k [(2π /a) m-1]
For a small k (ka<<1) Long wavelength limit
ω≈
4C M
ka 2
=
C M
a k =
Ca M/a
k=
Ca k
λ
= vk continuum elastic wave limit
ω2
=
2C M
(1− cos(ka)) =
2C M

2
sin
2
(
ka 2
)

ω=
4C M
sin
ka 2
Dispersion relation
When k =
4C
±
π
a
ω= M
: maximum
set the boundary of first BZ
ω [(4C/M)1/2 sec-1]
1.0

第三章晶格振动1PPT课件

在简谐近似下，我们实际处理的是晶格振动的低激发态问题，晶格振动由简正模描述，这个简正模就是声子（Phonon）。由此，我们把晶格振动这个多体问题转化为单体问题，即对声子的描述。而非简谐项(Anharmonic term) 可以用涉及声子的相互作用来解决。如晶格热导率涉及声子碰撞。
5.1 一维单原子链的振动
一、运动方程及其解
n-2 n-1 n n+1 n+2Βιβλιοθήκη 考虑由一同种原子组成的一维
a
单原子链的振动。设平衡时相邻
原子间距为a（即原胞大小），在 t 时刻第n个原子偏离其平衡位置
n-2 n-1
n
n+1 n+2
的位移为n，如只考虑最近邻原子间的弹性相互作用，有
f n n n 1 n n 1 n 1 n 1 2 n
把薛定谔方程分离变量得：
V T ( n R ) V ( V R n )( R m ( ) R ) n ( r ( ,R R ) n )V e( r n ,R ) V e( r n ,R n )( r ,R n ) d r
其中V(r)是离子实之间的相互作用势。除去离子实之间的库仑相互作用外，还有电子的贡献
一个原子实静态的模型无法解释如下几种现象
1. 无法解释晶体的比热等一系列晶体平衡态物性 2. 无法解释电导等一系列输运特性 3. 无法解释固体同各种辐射波的相互作用
晶体平衡态物性：
比热：晶体中电子的比热与晶体实际比热差别非常大。同时，按照经典热力学对晶体比热的估算也在低温段失效。
热膨胀系数：只是电子引起的变化不足以理解晶体的膨胀系数。
其中为弹性恢复力系数。设原子质量为m，则第n个原
子的运动方程为 m n 1 n 1 2 n

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16
德拜温度ΘD往往由实验确定，使在不同的温
度下，晶格热容CV的理论值与实验值相符，从而确
定ΘD。
17
• 实验和理论的比较
高温情况：固体实际热容和爱因斯坦模型比较
爱因斯坦模型热容表示式（3-71）中：
eE
e E T
T
1 2

1E / E /T
T
2

T
E
2
谐振子。根据经典理论的能量均分定理，每个简谐振
子的平均能量为kBT(kB为玻耳兹曼常数)，因而总晶
格振动能为：
相应的热容为：
U＝3NSkBT
CV＝3NSkB
CV,m=3NAkB=3R 5
其中，NA为阿伏伽德罗常数。摩尔热容与材料的
性质及温度无关，符合杜隆—泊替定律。固体热容在
低温下正比于T3是经典物理无法解释的难题。
10
• 爱因斯坦模型
假定晶体中所有原子都以相同频率独立地振动，则
晶体中的格波频率都相同。NS个原子组成的晶体
U T ＝3NS E(
,T
)＝3NS

1 2

e
1
kBT

1
则热容CV为：
（3-69）
2
Cv＝
U T
＝3NSkB v

kBT

15
引入德拜温度ΘD，设 D kBΘD
换：
x＝
kBT
d＝ kBT dx

则式（3-73）可改写成：
，作变量代
C
v＝
3V 2 2
3 p
D T
kB4T 3
x4
0
2
e x dx ex 1 2
＝9NkB
T3 D3
D T
0
x 4e x dx
ex
2
1
（3-76）
第三章晶格振动
§3-4 晶体的热容
• 概述
在一般温度变化范围的过程中，固体的体积变化不大，
可近似地视为定容过程。定容热容定义:单位质量的
物质在定容过程中，温度升高1℃时，系统内能的增
量，即
C

lim T 0
U T
＝ V
U T
V
Volum 1 e
晶体的运动能量包括:
曲线尽可能地与实验曲线拟合，从而确定爱因斯坦
温度ΘE。对大多数固体，ΘE在100～300K之间。
12
• 德拜模型
把晶体视为各向同性的连续弹性媒质。设晶体是N 个初基原胞组成的三维单式格子(S＝1)，晶体中仅有3支声学支格波，并设它们的相速vp都相同。因
而三支格波的色散关系均是线性的:
ω=vpq
则等频率面（等能面）为球面：
e / kBT e / kBT 1 2
（3-70）
11
式中的频率ω还是个待定的量。为了确定ω，引入爱因斯坦温度ΘE，定义：
E kBE
则热容成为ΘE和温度T的函数：
2
Cv＝3NSkB

E T

eE /T
e E T
2
1
（3-71）
在声子热容CV显著变化的温度范围内，使热容理论
则定容热容为：
C＝
U T
＝ V T
m
0
gE,T d
8
把式（3-58′）代入上式，得到
C＝
m 0
kB

kBT
2

e kBT e kBT－1
2
g

d
（3-68）
格波态密度函数：
3s
g ＝
晶格振动能量Ul (Lattice) 电子运动能量Ue (Electron) 对热容的贡献分别用晶格热容CVl 和电子热容 CVe来表示。除极低温下金属中的电子热容相对较大，通常CVl＞＞CVe，故晶格热容CVl简化为CV。
2
固体热容的实验定律：高温下的杜隆—珀替（Dulong
-Petit）定律和低温下的德拜（Debye）定律。
量子理论热容的计算然而，从量子论的观点出发，每个谐振子能量都是量
子化的，其平均能量不再是kBT，而成为：
6

E ＝ 1 ＋
1

2
exp

kBT

1

1

2

n

（3-58′）
晶格振动能量为3NS个量子谐振子能量之和，晶体的
m
0
kB2

kBT
2

e kBT e kBT 1
2
d
（3-73）
14
式中，截止频率ωm又称为德拜频率，记为ωD，它
由格波总数等于3N来确定：
D
0
g

d＝ 3V
2
2
3 p

0
D

2d＝3N
求得：
（3-74）
D3

6π2N p
V
（3-75）
杜隆—珀替定律：对确定的材料，高温下的热容为常数，摩尔热容为3R，
R=8.314510±0.000070J/(3成正比。
3
图3-19 硅、锗的热容与温度的关系
4
经典理论热容的计算
设单位质量的晶体中有NS个原子，则其自由度数为
3NS。晶体中的格波可归结为3NS个相互独立的简

主要因为高温时ΘE/T＜＜1，又当x ＜＜ 1时，
ex≈1+x，那么（3-71）成为：
CV＝3NSkB
19
若所考查的晶体为1mol 同元素的物质，则
∣qω(q)∣＝ d
dq

vp
13
由式（3-48）可得格波态密度函数：
g()

3S

i 1
gi
()
3S

i 1
V (2π)3

dS
qi (q)
3 V 4πq2 3V
(2π)3 vp 2 2v3p
代入式（3-68），得：
（3-72）
Cv＝
3V
2 2
3 p
3NS个量子谐振子与3NS个格波一一对应，晶格振动
能也就是各个格波能量之和：
U
=
3NS
Ei
i 1

3NS 1
(
i1 2
+n
) ωi
（3-67）
7
由格波态密度函数g(ω)的定义，上式可写成：
U＝0m g()E(,T )d
其中，ωm为截止频率，且有：
m g()d() 3NS 0
i 1
gi
3s
＝
i 1
V
2
3
dS
qi q
（3-68′）
9
对于具体的晶体，求解g(ω)十分困难，式（3-68）的积分也不容易。人们经常使用简化的模型来讨论晶体热容问题。主要包括：爱因斯坦（Einsten）模型和德拜(Debye) 模型，均建立在谐振子能量量子化的基础上，得出了基本正确、超越经典物理的结论。另一方面它们又都对格波的态密度函数作了不同程度的近似。因而结论在定量上与实验有不同程度的偏差。